WYKŁAD 5C: TABLICE ANALITYCZNE PRZYKŁADY
|
|
- Grażyna Sobczak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 5C: TABLICE ANALITYCZNE PRZYKŁADY III rok kognitywistyki UAM, Reguły 1.1 KRZ Reguły rozszerzania tablic analitycznych dla formuł bez kwantyfikatorów (dla języka KRZ) zapisanych w notacji Smullyana są następujące: ψ ψ α α 1 β β 1 β 2 α 2 Ćwiczenie. Zapisz reguły dla α-formuł oraz β-formuł w przypadku poszczególnych funktorów prawdziwościowych oraz ich negacji. Przypominamy tabelę składników formuł, zapisanych w jednolitej notacji: α α 1 α 2 ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ β β 1 β 2 (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ 1
2 1.2 KRP W przypadku języków pierwszego rzędu, dodajemy następujące reguły rozszerzania tablic analitycznych (w notacji Smullyana): γ (dla dowolnego termu zamkniętego języka L par ) γ(t) δ (dla dowolnego nowego parametru a) δ(a) Przypominamy jednolitą notację dla formuł z kwantyfikatorami: 2 Wskazówki heurystyczne γ γ(t) δ δ(t) xϕ ϕ(x/t) xϕ ϕ(x/t) xϕ ϕ(x/t) xϕ ϕ(x/t) Propozycja notacji podana została na wykładzie. Jeśli budzi jakieś wątpliwości, proszę pytać. Rozważane dalej przykłady powinny być pomocne w rozumieniu tej notacji oraz sprawnym posługiwaniu się nią. Kolejność kroków budowania tablicy: (o ile to możliwe, to) najpierw reguły nierozgałęziające, potem rozgałęziające. Oszczędzanie niepotrzebnej pracy: jeśli uzyskałaś na którejś gałęzi budowanej tablicy analitycznej parę formuł wzajem sprzecznych (lub ), to zamknij tę gałaź. 3 Dowody tablicowe 3.1 W KRZ 1. Zbudujemy tablice analityczne: 1. dla formuły (p q) (p q) oraz 2. dla zaprzeczenia tej formuły, tj. dla formuły ((p q) (p q)). Tablica analityczna dla (p q) (p q): 2
3 (p q) (p q) 1. (1 l ) (p q) 2. (1 p ) (p q) 3. (2 g ) p (2 d ) q 1 (3 g ) p (3 d ) q 4. (4) q 2 Tablica analityczna dla ((p q) (p q)): [(p q) (p q)] 1. (1 g ) p q 3. (1 d ) (p q) 2. (2) p q 4. (3 l ) p (3 p ) q (4 l ) p (4 p ) q (4 l ) p (4 p ) q p,4 p Żadna z tych tablic nie jest, jak widać, sprzeczna (zamknięta). 2. Zbudujemy dowód tablicowy prawa modus ponendo ponens: ((ϕ ψ) ϕ) ψ Konstruujemy zatem tablicę, w której korzeniu umieszczamy zaprzeczenie formuły ((ϕ ψ) ϕ) ψ: 3
4 (((ϕ ψ) ϕ) ψ) 1. (1 g ) (ϕ ψ) ϕ 2. (1 d ) ψ (2 g ) ϕ ψ 3. (2 d ) ϕ (3 l ) ϕ (3 p ) ψ 2d,3 l 1d,3 p Tablica jest sprzeczna, a więc ((ϕ ψ) ϕ) ψ jest tezą tablicową. 3. Zbudujemy tablicę analityczną dla zbioru: S = {p r, p q, q r}. (0.1) p r 1. (0.2) p q 2. (0.3) q r 3. (1 g ) p (1 d ) r (2 l ) p (2 p ) q 1g,2 l (3 l ) q (3 p ) r 2p,3 l 1d,3 p 4. Zbudujemy tablicę analityczną dla zbioru: S = { (p q) r, (r s), (p q) t, t (r q) }. 4
5 (0.1) (p q) r 2. (0.2) (r s) 1. (0.3) (p q) t 3. (0.4) t (r q) 4. (1 g ) r (1 d ) s (2 l ) (p q) 5. (2 p ) r (3 l ) p q (3 p ) t 2l,3 l (4 l ) t (4 p ) r q 6. 1g,2 p 3p,4 l (5 g ) p (5 d ) q (6 l ) r (6 p ) q 1g,6 l 5g,6 p 5. Ustalimy czy wniosek wynika tablicowo z przesłanek: p q r s (p q) (r s) Budujemy zatem tablicę analityczną, rozpoczynając ją od przesłanek oraz zaprzeczonego wniosku: 5
6 (0.1) p q 5. (0.2) r s 3. (0.3) ((p q) (r s)) 1. (1 g ) p q 4. (1 d ) (r s) 2. (2 g ) r (2 d ) s (3 l ) r (3 p ) s (4 l ) p (4 p ) q (5 l ) p (5 p ) q (5 l ) p (5 p ) q 2g,3 p 4l,5 l Tablica nie jest zamknięta, a więc wniosek nie wynika tablicowo z przesłanek. 3.2 W logice pierwszego rzędu 1. Zbudujemy tablicę analityczną dla zbioru zdań: { x y ((P (x) P (y)) Q(x, y)), x y ((P (x) R(y)) Q(x, y)), x ( P (x) R(x)) }. 6
7 x y ((P (x) P (y)) Q(x, y)) 1. a x y ((P (x) R(y)) Q(x, y)) 6. a x ( P (x) R(x)) 5. b (1) y ((P (a) P (y)) Q(a, y)) 2. b (2) ((P (a) P (b)) Q(a, b)) 3. (3 g ) P (a) P (b) 4. (3 d ) Q(a, b) (4 g ) P (a) (4 d ) P (b) (5) ( P (b) R(b)) 8. (6) y ((P (a) R(y)) Q(a, y)) 7. b (7) (P (a) R(b)) Q(a, b) 11. (8 l ) P (b) 9. (8 p ) R(b) 10. (9) P (b) 4d,9 (10) R(b) (11 l ) (P (a) R(b)) 12. (11 p ) Q(a, b) 3d,11 p (12 l ) P (a) (12 p ) R(b) 4g,12 l 10,12p Zauważmy, że (na mocy prawa De Morgana) x ( P (x) R(x)) jest równoważne zdaniu x (P (x) R(x)). Niech predykat P będzie dumnie interpretowany jako własność bycia Polakiem, R jako własność bycia obcokrajowcem, zaś Q(x, y) interpretujmy jako x szydzi z y. Otrzymujemy wtedy następujące brednie: 7
8 Pewien Polak nie szydzi z co najmniej jednego Niepolaka. Każdy Polak szydzi ze wszystkich obcokrajowców. Nikt nie jest jednocześnie Niepolakiem oraz nieobcokrajowcem. Po zastosowaniu prawa De Morgana do ostatniego z tych zdań otrzymujemy zgrabniejszy stylistycznie, ale w dalszym ciągu sprzeczny tekst: Pewien Polak nie szydzi z kogoś, kto Polakiem nie jest. Wszyscy Polacy szydza z każdego obcokrajowca. Każdy jest Polakiem lub obcokrajowcem. 2. Ustalimy czy wniosek wynika tablicowo z przesłanek: x (P (x) Q(x)) y (R(y) Q(y)) z (P (z) R(z)) Budujemy zatem tablicę analityczną, rozpoczynając ją od przesłanek oraz zaprzeczonego wniosku: x (P (x) Q(x)) 2. a 4. b y (R(y) Q(y)) 1. a z (P (z) R(z)) 3. b (1) R(a) Q(a) 5. (2) P (a) Q(a) 8. (3) (P (b) R(b)) 6. (4) P (b) Q(b) 7. (5 g) R(a) (5 d ) Q(a) (6 g) P (b) (6 d ) R(b) (7 l ) P (b) (7 p) Q(b) 6g,7l (8 l ) P (a) (8 p) Qa 8
9 Tablica nie jest zamknięta, a zatem wniosek nie wynika tablicowo z przesłanek. Otwarte gałęzie tablicy pozwalają zbudować modele, w których prawdziwe są przesłanki, a fałszywy jest wniosek: P Q R a + + b + + P Q R a? + + b + + Ta notacja powinna być oczywista, dla przykładu: 1. Znak + na przecięciu kolumny dla P oraz wiersza dla b w drugiej z tych tabelek oznacza, że na gałęzi znajduje się zdanie atomowe P (b). 2. Znak na przecięciu kolumny dla R oraz wiersza dla b w drugiej z tych tabelek oznacza, że na gałęzi znajduje się zdanie atomowe R(b). 3. Znak? na przecięciu kolumny dla P oraz wiersza dla a w drugiej z tych tabelek oznacza, że na gałęzi nie ma ani zdania atomowego P (a) ani zdania atomowego P (a). Zauważmy ponadto, że pierwsza przesłanka jest formułą typu γ, a więc należało zastosować do niej stosowną regułę zarówno dla stałej a, jak i dla stałej b. 3. Ostatni walczyk w Międzyzdrojach. Czy z przesłanek: Każdy kogoś lubi. Niektórzy lubia tylko tych, którzy ich nie lubia. wynika tablicowo wniosek: Ktoś jest lubiany przez niesamoluba.? Znajdujemy strukturę składniową przesłanek i wniosku. Występuje tu tylko jeden predykat: czytajmy L(x, y) jako x lubi y. Wtedy oczywiście L(x, x) czytamy: x lubi siebie (przyjmijmy, że jest to równoznaczne z x jest samolubem). Badane wnioskowanie przebiega według następującego schematu: x y L(x, y) x y (L(x, y) L(y, x)) x y (L(y, x) L(y, y)) Budujemy zatem tablicę analityczną, rozpoczynając ją od przesłanek oraz zaprzeczonego wniosku: 9
10 x y L(x, y) 2. a x y (L(x, y) L(y, x)) 1. a x y (L(y, x) L(y, y)) 5. b (1) y(l(a, y) L(y, a)) 4. a 6. b (2) y L(a, y) 3. b (3) L(a, b) (4) L(a, a) L(a, a) 10. (5) y (L(y, b) L(y, y)) 7. a (6) L(a, b) L(b, a) 8. (7) (L(a, b) L(a, a)) 9. (8 l ) L(a, b) (8 p) L(b, a) 3,8l (9 l ) L(a, b) (9 p) L(a, a) 3,9l (10 l ) L(a, a) (10 p) L(a, a) 9,10l 9,10p Tablica jest zamknięta, a zatem wniosek wynika tablicowo z przesłanek. 4. Zbudujemy tablicę analityczną dla zbioru formuł: {P (a), Q(a), x(p (x) (R(x) S(x))), S(a), x((r(x) T (x)) Q(x)), x(r(x) T (x))}. 10
11 (0.1) P (a) (0.2) Q(a) (0.3) x(p (x) (R(x) S(x))) 1. a (0.4) S(a) (0.5) x((r(x) T (x)) Q(x)) 2. a (0.6) x(r(x) T (x)) 3. a (1) (P (a) (R(a) S(a))) 4. (2) ((R(a) T (a)) Q(a)) 5. (3) (R(a) T (a)) (4 l ) P (a) (4 p) R(a) S(a) ,4l (5 l ) (R(a) T (a)) 7. (5 p) Q(a) 0.2,5p (6 l ) R(a) (6 p) S(a) 0.4,6p (7 l ) R(a) (7 p) T (a) 6l,7 l (8 l ) R(a) (8 p) T (a) 6l,8 l 7p,8 p Tablica zamknięta. Zauważmy, że ponieważ w zdaniach naszego zbioru występowała stała a, więc należało dla niej zastosować regułę dla wszystkich γ-formuł w tablicy. 5. Spróbujemy zbudować tablicę analityczną dla zbioru zdań: { x(p (x) Q(x)), x y(r(y) S(y, x)), x((r(x) Q(x)) T (x)), x y((t (y) S(y, x)) T (x)), x y(( P (y) S(x, y)) T (x))}. 11
12 x (P (x) Q(x)) 4. a 5. b x y (R(y) S(y, x)) 6. a 7. b x ((R(x) Q(x)) T (x)) 8. a 9. b x y ((T (y) S(y, x)) T (x)) 10. a 11. b ( x y (( P (y) S(x, y)) T (x))) 1. a (1) y (( P (y) S(a, y)) T (a)) 2. b (2) (( P (b) S(a, b)) T (a)) 3. (3 g) P (b) S(a, b) (3 d ) T (a) (4) P (a) Q(a) (5) P (b) Q(b) (6) y (R(y) S(y, a)) (7) y (R(y) S(y, b)) (8) (R(a) Q(a)) T (a) (9) (R(b) Q(b)) T (b) (10) y ((T (a) S(y, a)) T (a)) 12. a 13. b (11) y ((T (y) S(y, b)) T (b)) 14. a 15. b (12) (T (a) S(a, a)) T (a) (13) (T (a) S(b, a)) T (a) (14) (T (y) S(a, b)) T (b) (15) (T (y) S(b, b)) T (b) Wykonaliśmy wszystkie kroki dotyczące γ-formuł oraz stałych a i b. Jest widoczne, że druga formuła zmusza do wprowadzania coraz to nowych stałych (tak, jak ma to miejsce w formułach (6) oraz (7) powyżej). W konsekwencji, nie można zakończyć budowy tablicy analitycznej w tym przypadku. 6. Lawina miłości. Jak się wydaje (przyjmując, że pasywizacja w języku naturalnym odpowiada braniu konwersu relacji), strukturze składniowej zdania O ile choćby jeden osobnik jest zakochany sam w sobie, to jeśli każdy kogoś kocha, to ktoś jest kochany przez wszystkich odpowiada następujące zdanie języka KRP:. ( ) x xk(x, x) ( x y K(x, y) y x K(x, y)) 12
13 Spróbujemy zbudować tablice analityczne: dla zdania ( ) oraz dla jego zaprzeczenia. Najpierw tablica dla ( ): x K(x, x) ( x y K(x, y) y x K(x, y)) 1. (1 l ) x K(x, x) 2. a (1 p ) x y K(x, y) y x K(x, y) 3. (2) K(a, a) (3 l ) x y K(x, y) 4. a (3 p ) y x K(x, y) 6. a (4) y K(a, y) 5. a (5) K(a, a) (6) x K(x, a) 7. a (7) K(a, a) Zauważmy, że w lewej gałęzi tablicy nie mieliśmy do dyspozycji δ-formuły, pozwalającej wprowadzić nową stałą. W takiej sytuacji wprowadzamy nową stałą na mocy reguły dla γ-formuł. Otrzymana tablica nie jest zamknięta, a więc jej gałęzie otwarte (akurat wszystkie są otwarte) są spełnialne. Zauważmy również, że możemy wprowadzać tę samą stałą dla δ-formuł, znajdujących się na różnych gałęziach (można też zawsze używać różnych stałych na poszczególnych gałęziach). Teraz spróbujemy zbudować tablicę analityczną dla negacji zdania ( ): 13
14 ( x K(x, x) ( x y K(x, y) y x K(x, y))) 1. (1 g ) x K(x, x) 3. a 1 (1 d ) ( x y K(x, y) y x K(x, y)) 2. (2 g ) x y K(x, y) 4. a 1 8. a a 3 (2 d ) y x K(x, y) 5. a 1 9. a a 3 (3) K(a 1, a 1 ) (4) y K(a 1, y) 6. a 2 (5) x K(x, a 1 ) 7. a 3 (6) K(a 1, a 2 ) (7) K(a 3, a 1 ) (8) y K(a 2, y) 12. a 4 (9) x K(x, a 2 ) 13. a 5 (10) y K(a 3, y) 14. a 6 (11) x K(x, a 3 ) 15. a 7. Nie można zakończyć budowy tej tablicy. W ten oto sposób jeden samolub uruchomił potężną (nieskończoną!) lawinę miłości. Czy potrafisz napisać wzór na miłość ukryty w tej konstrukcji? Mówiąc poważnie: czy potrafisz wskazać model, w którym prawdziwa byłaby negacja zdania ( )? Jerzy Pogonowski Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl 14
15 Wybrane pozycje bibliograficzne Annelis, I.A From Semantic Tableaux to Smullyan Trees: A History of the Development of the Falsifiability Tree Method. Modern Logic 1, Bell, J.L., Machover, M A Course in Mathematical Logic. North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York Oxford. Beth, E.W Semantic Entailment and Formal Derivability. Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van wetenschapen, afd. letterkunde, new series, vol. 18, no. 13, Amsterdam. Fitting, M First-Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer Verlag, New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo Hong Kong. Gentzen, G Untersuchungen über das logische Schliessen. Mathematische Zeitschrift 39, , Georgacarakos, G.N., Smith, R Elementary Formal Logic. McGraw-Hill Book Company. Handbook of Automated Reasoning A. Robinson, A. Voronkov (eds.), Elsevier, Amsterdam London New York Oxford Paris Shannon Tokyo, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts. Handbook of Tableau Methods Edited by: D Agostino, M., Gabbay, D.M., Hähnle, R., Posegga, J., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London. Hintikka, J Form and Content in Quantification Theory. Acta Philosophica Fennica 8, Hodges, W Logic. Pelican Books. Howson, C Logic with trees. Routledge, London and New York. Jeffrey, R Formal Logic: Its Scope and Limits. McGraw-Hill, New York. Kleene, S.C Mathematical Logic. John Wiley & Sons, Inc. New York London Sydney. Kripke, S A Completeness Theorem in Modal Logic. Journal of Symbolic Logic 24,
16 Lis, Z Wynikanie semantyczne a wynikanie formalne. Studia Logica X, Marciszewski, W., Murawski, R Mechanization of Reasoning in a Historical Perspective. Rodopi, Amsterdam Atlanta. Nerode, A., Shore, R.A Logic for Applications. Graduate Texts in Computer Science, Springer. Pawlak, Z Automatyczne dowodzenie twierdzeń. Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa (seria: Biblioteczka Matematyczna, 19). Porębska, M., Suchoń, W Elementarne wprowadzenie w logikę formalna. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Priest, G An Introduction to Non-Classical Logic. Cambridge University Press. Quine, W.V A proof procedure for quantification theory. The Journal of Symbolic Logic Volume 20, Number 2, Rasiowa, H., Sikorski, R On the Gentzen Theorem. Fundamenta Mathematicae 48, Rasiowa, H., Sikorski, R The Mathematics of Metamathematics. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Smullyan, R First-Order Logic. Springer Verlag, Berlin. Schütte, K Ein System des verknüpfenden Schliessens. Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschungen 2, Wang, H Toward Mechanical Mathematics. IBM Journal Research and Development 4,
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoTABLICE ANALITYCZNE KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI
KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: TABLICE ANALITYCZNE (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI ZAKŁAD LOGIKI STOSOWANEJ UAM http://www.logic.amu.edu.pl Niniejsza
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Cele wykładu Wykład ma trzy zasadnicze cele: 1. Przedstawienie wybranych metod dowodowych, stosowanych w logice.
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoMetalogika (11) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (11) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (11) Uniwersytet Opolski 1 / 80 Wstęp Plan wykładu
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoStrzępy Notatek do Wykładu. Logika Matematyczna. dla I roku Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM. Semestr Letni
Strzępy Notatek do Wykładu Logika Matematyczna dla I roku Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Semestr Letni 2004-2005 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Spis
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIA 2015/2016 V rok kognitywistyki UAM 1 Uwagi organizacyjne Zajęcia 1 8: Jerzy Pogonowski (obie grupy) Zajęcia 9-15: Szymon Chlebowski (obie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji
LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Pokażemy teraz działanie pewnej metody dowodowej, mającej istotne zastosowania m.in. w automatycznym dowodzeniu
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoLogika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetalogika Wstęp. Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika Wstęp Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Wstęp Uniwersytet Opolski 1 / 22 Wstęp Cel wykładów
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoWybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoMichał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoKlasyczny Rachunek Zdań: Tablice Analityczne. (Logika Matematyczna: Wykłady 11,12) Semestr Zimowy Jerzy Pogonowski
Klasyczny Rachunek Zdań: Tablice Analityczne (Logika Matematyczna: Wykłady 11,12) Semestr Zimowy 2007 2008 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl 11.0. Wprowadzenie Omówimy
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 11 12
Logika Matematyczna 11 12 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl TA w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 11 12 TA w KRZ 1 / 102 Wprowadzenie Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoMetalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (10) Uniwersytet Opolski 1 / 291 Plan wykładu Plan
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 11 12
Logika Matematyczna 11 12 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 3, 10 stycznia 2008 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 11 12 3, 10 stycznia 2008 1
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoTechniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą
Zakład Zaawansowanych Technik Informacyjnych (Z-6) Techniki informacyjne dla wnioskowania oraz generowania, reprezentacji i zarządzania wiedzą Zadanie nr 2 Relacyjne systemy dedukcyjne: teoria i zastosowania
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Plan na dziś Wprowadzimy kilka pojęć, które będą istotnie wykorzystywane w
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi
Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoModele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Językoznawstwo i nauka o informacji
Informacje ogólne 1. Nazwa Logika matematyczna 2. Kod LOGMAT 3. Rodzaj obowiązkowy 4. Kierunek i specjalność studiów Językoznawstwo i nauka o informacji 5. Poziom studiów I 6. Rok studiów I 7. Semestr
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (I JiIN UAM)
Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoDrobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Bardziej szczegółowoJęzyk KRP zadania z rozwiązaniami
Język KRP zadania z rozwiązaniami Michał Lipnicki 1 Napisz schematy poniższych zdań w języku KRP. (1) Stefan pije. (2) Stefan pije z Romanem. (3) Stefan pije i zakąsza. (4) Stefan pije lub Roman zakąsza.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki. Logika Matematyczna. Marcelina Borcz.
5 marca 2009 Spis treści 1 2 3 4 5 6 Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika matematyczna,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Bardziej szczegółowoSzymon G l ab. Struktury losowe II Graf losowy. Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka
Instytut Matematyki, Politechnika Lódzka Graf losowy jako granica Fraisse Przez K graf oznaczmy rodzinȩ wszystkich skończonych grafów (np. na N). Niech G bȩdzie granic a Fraisse rodziny K graf. Strukturȩ
Bardziej szczegółowoCzyli o budowie drzew semantycznych.
Czyli o budowie drzew semantycznych ZAŁÓŻMY Jednego z Was porwał okrutny PRL. W ramach okupu żąda, by obecni na sali udowodnili, że podane przez nich formuły są zawsze prawdziwe. Zaczynają zupełnie niewinnie
Bardziej szczegółowoDowód pierwszego twierdzenia Gödela o. Kołmogorowa
Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o niezupełności arytmetyki oparty o złożoność Kołmogorowa Grzegorz Gutowski SMP II rok opiekun: dr inż. Jerzy Martyna II UJ 1 1 Wstęp Pierwsze twierdzenie o niezupełności
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoNOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna semantyka Kripke go
Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoLogika Radosna 2. Jerzy Pogonowski. KRZ: dowody założeniowe. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 2 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRZ: dowody założeniowe Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 2 KRZ: dowody założeniowe 1 / 94 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoDalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowo