1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe"

Transkrypt

1 1 Ćwiczenia: Funkcje całkowitoliczbowe 1.1 Funkcje podłoga i sufit (Floor and ceiling functions) podłoga (część całkowita) x = największa liczba całkowita mniejsza lub równa x sufit x = najmniejsza liczba całkowita większa lub równa x część ułamkowa x = x x, x [0, 1) Zad. 1.1 Narysuj wykres funkcji podłoga i sufit. Zad. 1. Oblicz a) 0.1, 0.1, e, e, π, π b) 0.5, 0.5, e, e, π, π c) 1 + 1, 1 + 3, , 1 5 d) 0.3, 0.3, 5.8, 5.8 e) n, n, n Z. Zad. 1.3 Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Czy prawdziwe są równości: a) x = x + x + 1 b) x + y = x + y, c) x = x d) x = x, e) x + y x + y {0, 1} f) xy = x y g) x = x+1 h) x = x Zad. 1.4 Wykaż, że funkcje podłoga i sufit są wzajemnie symetryczne względem środka układu współrzędnych tj. x = x Zad. 1.5 Wykazać, że a) x + n = x + n, x R, n Z, b) nx = n x, x R, n Z, Zad. 1.6 Oblicz lg 35, gdzie lg x = log x. Zad. 1.7 Oblicz liczbę bitów m potrzebną do dwójkowego zapisu liczby n. x Zad. 1.8 Udowodnij, że: a) = x x, b) = x, c) x+a b = x +a b, a, b Z. Zad. 1.9 Wyznacz widmo Spec( 1 ), Spec( ), Spec(+ ), a następnie policz ile elementów tych zbiorów jest nie większych niż n = 10, n = 100, tj. oblicz N(x, 10) oraz N(x, 100). 1. Arytmetyka modularna Reszta z dzielenia x/y: x mod y = x y x y Zad Oblicz 5 mod 3, 5 mod 3, 5 mod 3, 5 mod 3, y 0 10 mod π, 10 mod π, 10 mod π Zad Wykaż, prawo rozdzielności k(x mod y) = (kx) mod (ky). Zad. 1.1 Udowodnij, że n mod = (1 ( 1) n ) /

2 Ćwiczenia: Relacja podzielności Zad..1 Oblicz (Wskazówka: wyznacz rozkład na czynniki pierwsze) a) NWD(18, 60), NWW(18, 60) b) NWD(48, 84), NWW(48, 180) c) NWD(48, 180), NWW(48, 180) Zad.. Za pomocą algorytmu Euklidesa oblicz a) NWD(16, 93) b) NWD(10, 7) c) NWD(41, 16) Zad..3 Za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa oblicz r = NW D(m, n) oraz liczby p, q Z takie, że r = pm + qn, gdy a) m = 16, n = 93 b) m = 10, n = 7 c) m = 41, n = 16 d) m = 35, n = 68 e) m = 871, n = 367 f) m = 1567, n = 5005 g) m = 58, n = 15 Zad..4 Wyznacz wszystkie rozwiązania równań w liczbach całkowitych a) 17x + 0y = 100 b) 903x + 731y = 107 c) 8x + 7y = 44 d) 14x + 8y = 39

3 3 Ćwiczenia: Relacja kongruencji oraz pierścienie Z n Definicja 3.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R, : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla wszystkich elementów r, s, t R: 1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny). działanie jest łączne: r (s t) = (r s) t 3. działanie jest rozłączne względem działania + (obustronnie): r (s + t) = (r s) + (r t) (s + t) r = (s r) + (t r) Definicja 3. Pierścień R nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy działanie jest przemienne, tzn. r,s R r s = s r Definicja 3.3 Pierścień R nazywamy pierścieniem z jedynką, gdy: e R r R e nazywa sie jedynką pierścienia. e r = r e = r Element Definicja 3.4 Element a 0 pierścienia R nazywamy: a) odwracalnym lub jednością, jeśli b R ab = 1; b) dzielnikiem zera, jeśli b 0,b R ab = 0. Zad. 3.1 a) Wykonj tabelki działań + n, n w Z n dla n = 4, 5, 6. b) Wyznacz elementy odwracalne w Z 4, Z 5, Z 6. c) Wyznacz dzielniki zera w Z 4, Z 5, Z 6. Zad. 3. Kiedy w pierścieniu Z n występują dzielniki zera? Definicja 3.5 Niech m, n N i niech F (X 1,..., X n ) Z[X 1,..., X n ]. Redukcją według modułu m wielomianu F nazywamy wielomian F (X 1,..., X n ) Z m [X 1,..., X n ], który można otrzymać z F w wyniku zastąpienia każdego współczynnika wielomianu F jego resztą z dzielenia przez m i przez zastapienie działań + m i m. Redukcją według modułu m równania F (X 1,..., X n ) = 0 o niewiadomych z pierścienia Z nazywamy równanie F (X 1,..., X n ) = 0 o niewiadomych w pierścieniu Z m, gdzie F oznacza redukcje według modułu m wielomianu F. Twierdzenie 3.6 Jeśli równanie F (X 1,..., X n ) = 0 nie ma rozwiązania w pierścieniu Z m, to równanie F (X 1,..., X n ) = 0 nie ma rozwiązania w pierścieniu Z. Zad. 3.3 Zredukuj równania według modułu m a) x 3 3y =, m = 3 b) x 11y = 7, m = 4 c) x + y = 31z + 15, m = 8 Zad. 3.4 Dokonując redukcji podanego równania do odpowiedniego pierścienia Z n wykazać, że nie ma on rozwiązania w pierścieniu Z. a) 15x + 7y + 5z + 9 = 0 ( mod 5) b) x 3 + y 3 = 7y ( mod 7) Zad. 3.5 Wykazać, że liczby całkowitej postaci 8m + 7, m Z nie można przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczb całkowitych.

4 4 Ćwiczenia: Kongruencje Zad. 4.1 Czy a) 1 7( mod 5) b) 0 7( mod 4)? Zad. 4. Rozwiąż kongruencje f(x) 0( mod m) x 5 x ( mod 6) x 5 3x + 0( mod 7) a b ( mod m) m (a b) Wskazówka. Sprawdź, czy 0, 1,..., m 1 spełniają kongruencję. Twierdzenie 4.1 Kongruencja ax b( mod m) ma rozwiązanie r = NW D(a, m) b. Jeśli n b, to kongruencja ma dokładnie r pierwiastków postaci: x 0, x 0 + m r, x 0 + m r,..., x 0 + (r 1)m r Z m. Zad. 4.3 Rozwiązać, jeśli to możliwe kongruencje pierwszego stopnia a) 3x ( mod 5) b) 3x 4( mod 9) c) 6x 14( mod ) d) 9x 1( mod 17) e) 3x 7( mod 90) Zad. 4.4 Oblicz następujące potęgi a b ( mod m), korzystając z binarnego zapisu liczby b = (b k 1... b 0 ). a) 7 13 ( mod 10) b) 3 50 ( mod 13) c) 644 ( mod 645) Wskazówka. Zauważmy, że a b ( mod m) = k 1 Zad. 4.5 Oblicz resztę z dzielenia a) przez 10 b) przez 13 c) przez 645 i=0 a b i i ( mod m) Zad. 4.6 Oblicz wartości funkcji Eulera a) ϕ(10) b) ϕ(100) c) ϕ(16) d) ϕ() a) ϕ(15) Zad. 4.7 Oblicz następujące potęgi korzystając z twierdzenia Eulera a) ( mod 16) b) ( mod 55) c) 101 ( mod 3) Zad. 4.8 Rozwiązać układy kongruencji, korzystając z chińskiego twierdzenia o resztach a) x 1( mod ), x ( mod 3) b) x 1( mod 3), x 3( mod 5), x ( mod 7) (odp: 58) c) x 0( mod 4), x 4( mod 5), x 3( mod 7) (odp:4)

5 5 Ćwiczenia: Indukcja matematyczna Twierdzenie 5.1 (Zasada indukcji matematycznej.) Jeżeli istnieje taka liczba naturalna n 0, że T (n 0 ) jest zdaniem prawdziwym, dla każdej liczby naturalnej n n 0 prawdziwa jest implikacja T (n) T (n + 1), to T (n)jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Zad. 5.1 Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że a) n N n = n(n+1) b) n N ( 1) n 1 n = ( 1) n 1 n(n+1) ( ) c) n 3 = n(n+1) d) n(n + 1) = 1 1n(n + 1)(n + )(3n + 5) e) (n 1) = n f) n (n + 1) = n(n+1)(n+) 3 Zad. 5. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0, liczba a) 10 n 1 jest podzielna przez 9 b) 8 11 n 3 n b) 9 4 n + 6n 10 d) 6 n 3 n e) n 3n + 3 Zad. 5.3 Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n N, n n 0 zachodzi nierówność a) n > n, n 0 = 3 b) 6n + 6 < n, n 0 = 6 c) 5n n 3, n 0 = 6 d) n n 1 > n 1, n 0 =

6 6 Ćwiczenia: Automaty skończone. Kraty Zad. 6.1 Przedstaw graf automatu skończonego a) akceptującego liczby podzielne przez dwa b) służącego do sprawdzania czy dane słowo binarne zaczyna się od jedynki c) służącego do sprawdzania czy dane słowo binarne kończy się jedynką Definicja 6.1 Wyrażeniem regularnym nad alfabetem Σ są: zbiór pusty φ i słowo puste λ wszystkie symbole a i z alfabetu Σ jeśli e 1, e są wyrażeniami regularnymi, to są nimi również: (domknięcie Kleene ego) e 1 e (konkatenacja) e1 + e (suma) Wyrażenia regularne-oznaczenia: e 1 dowolny ciąg składający się e 1, np. e 1 e 1, e 1 e 1 e 1 e 1, a także pusty e 1 e sekwencja, najpierw e 1, następnie e e 1 + e alternatywa, albo e 1, albo e Zad. 6. Jaki zbiór definiują następujące wyrażenia a) (W +w)iki [b)] (W w) iki [c)] (a+b) baba(a+b) [d)] (litera)(litera+cyfra) [e)] 1(0+1) 1 Definicja 6. Częściowy porządek relacja ϱ X X, która jest zwrotna x X xϱx przechodnia x,y,z X (x ϱ y y ϱ z) x ϱ z antysymetryczna x,y X (x ϱ y y ϱ x) x = y Definicja 6.3 Kratą nazywamy porządek częściowy, w którym dla dowolnych dwóch elementów istnieją: inf (x, y) = x y - kres dolny (największe ograniczenie dolne) i sup (x, y) = x y - kres górny ( najmniejsze ograniczenie górne). Zad. 6.3 W zbiorze M (Z 5 ) zdefiniujmy relację częściowego porządku a) Czy M (Z 5, ) jest kratą? A B a 11 b 11, a 1 b 1, a 1 b 1, a b b) Wskaż, o ile istnieją elementy największy i najmniejszy w M (Z 5 ). c) Wyznacz kresy zbioru W = {( 3 1 ) ( 1 3, 0 1 ) ( 4 1, 3 0 )} Zad. 6.4 Wykaż, że następujące zbiory są kratami zbiór liczb naturalnychych dodatnich wraz z relacją częściowego porządku: x y x y zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb całkowitych (x, y) Z wraz z relacją częściowego porządku: (x 1, y 1 ) (x, y ) x 1 x, y 1 y rodzina Z wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru Z z relacją zawierania

7 7 Ćwiczenia: Algebry Boole a Zad. 7.1 Wykaż, że algebra wartości logicznych (Z = {0, 1},,,, 0, 1) jest algebrą Boole a. Zad. 7. Wykaż, że zbiór B = {0, 1} z działaniami,, określonymi następująco a b = max{a, b}, a b = min{a, b}, a = 1 a, jest algebrą Boole a. Zad. 7.3 Niech S = {1,, 3, 6}. Zdefiniujmy x + y = NW W (x, y), x y = NW D(x, y)), x = 6 x dla x, y S. Pokaż, że (S, +,,, 1, 6) jest algebra Boole a. Zad. 7.4 Pokaż, że funkcja f 1 (x 1, x, x 3 ) i f (x 1, x, x 3 ) dana tabelą jest funkcją Boole a x 1 x x 3 f 1 () f () Zad. 7.5 Przedstaw wyrażenie w postaci normalnej a) f(x 1, x, x 3 ) = (x 1 x ) x 3 b) f(x, y) = x x y c) f(x, y, z) = x y(x z))

8 8 Ćwiczenia: Wprowadzenie do metod kombinatorycznych Oznaczenia: Liczba wariacji bez powtórzeń z n elementów po k elementów: V k n = n! (n k)! wariacji z powtórzeniami z n elementów po k elementów: V k n = n k kombinacji bez powtórzeń z n elementów po k elementów: Cn k = ( n) k kombinacji z powtórzeniami z n elementów po k elementów: C k n = ( n+k 1 k permutacji bez powtórzeń n-elementowych: P n = n! permutacji z powtórzeniami n-elementowych, w której jeden el. występuje n 1 razy, drugi n razy,..., k-ty n k razy, gdzie n n k n: P n 1,n,...,n k n! n = n 1!n!...n k! Zad. 8.1 Ile jest czterocyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9? Zad. 8. Ile jest czterocyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9, w których żadna cyfra się nie powtarza? Zad. 8.3 Ile spośród 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,,..., 9, w których żadna cyfra się nie powtarza, zawiera cyfrę 5? Zad. 8.4 Na ile sposobów można ustawić w szeregu 1-osobową drużynę harcerską tak, aby dwaj ustaleni harcerze stali obok siebie? Zad. 8.5 Na ile sposobów można wybrać losy spośród 16 różnych losów? Zad. 8.6 W grupie mamy 16 dziewcząt i 15 chłopców. Ile mamy możliwych wyborów 5-osobowej delegacji, w skład której wejdzie 3 chłopców? Zad. 8.7 W grupie mamy 16 dziewcząt i 15 chłopców. Ile mamy możliwych wyborów 5-osobowej delegacji, w skład której wejdzie co najmniej 3 chłopców? Zad. 8.8 Znaleźć liczbę n-elementowych ciągów binarnych zawierających r jedynek (r n). Zad. 8.9 Na ile sposobów można rozmieścić 5 identycznych kul w trzech różnych szufladach? Zad Na ile sposobów można rozmieścić 0 identycznych kul w pięciu różnych szufladach tak, aby w każdej szufladzie były przynajmniej dwie kule? Zad Na ile sposobów można rozmieścić 5 identycznych cukierków w siedmiu rozróżnialnych pudełkach, jeśli w pierwsze pudełko może zawierać co najwyżej 10 cukierków, a pozostałe mogą zawierać dowolną ilość? Zad. 8.1 Mamy 5 komputerów i łączymy je kablem koncentrycznym w sieć lokalną o topologii szynowej (local bus). Na ile sposobów (jeśli chodzi o kolejność komputerów) możemy je podłączyć? Zad Na płycie głównej komputera znajduje się 5 slotów PCI. Mamy do obsadzenia 5 kart rozszerzeń tego typu. Na ile sposobów możemy to zrobić (jeżeli chodzi o kolejność ich rozmieszczenia) jeśli chcemy, aby 3 z góry ustalone karty znajdowały się obok siebie? Zad Ile różnych liczb naturalnych możemy zapisać na dwóch bajtach? )

9 9 Ćwiczenia: Współczynniki dwumianowe i wielomianowe. Zasada włączeń i wyłączeń. Zasada szufladkowa Dirichleta Oznaczenie: Liczba permutacji z powtórzeniami n-elementowych, w której jeden el. występuje n 1 razy, drugi n razy,..., k-ty n k razy, gdzie n n k n: P n 1,n,...,n k n! n = n 1!n!...n k! Zad. 9.1 Ile różnych wyrazów (mających sens albo nie) możemy uzyskać przestawiając litery w wyrazie a) KOMPUTER b) PROGRAM c) KATALIZATOR? Zad. 9. Mamy do dyspozycji 10 cyfr: 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3,,, 1. Ile różnych dziesięciocyfrowych liczb można utworzyć z tych cyfr? Współczynniki dwumianowe i wielomianowe. Zad. 9.3 Wykorzystując następujące własności współczynników dwumianowych Newtona (symbolu Newtona) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 1 n 1 = = 1, = +, 0 n k k 1 k narysuj trójkąt Pascala dla n = 5. Zad. 9.4 Udowodnij a) ( n ( k) = n ) n k b) ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 ) k+1 Zad. 9.5 Oblicz, korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (a + b) n = n a) (1 + x) 6 b) (a + b) 6 c) (1 a) 7, a (0, 1) d) (a b) 8 Zad. 9.6 Oblicz następujące współczynniki wielomianowe ( n ) i 1 i...i k = n! ( a) n ( k) = 6 ) ( 3 b) 10 ) ( 3 c) 1 ) 3 4 Zasada włączeń i wyłączeń card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) k=0 i 1!i!...i k! ( n ) k a k b n k card(a B C) = card(a) + card(b) + card(c) card(a B) card(a C) card(b C) + card(a B C) Zad. 9.7 Ile jest liczb całkowitych ze zbioru K = {1,,..., 300} podzielnych przez lub przez 3? Zad. 9.8 Ile jest dodatnich liczb całkowitych, mniejszych lub równych 500, które nie są podzielne ani przez 3 ani przez 5? Zad. 9.9 Na ile sposobów z talii 5 kart można wybrać 6 kart, tak aby otrzymać co najmniej jednego asa i co najmniej jednego króla? Zad Wśród 00 studentów po 80 studentów zapisało się na wykłady z analizy, algebry i geometrii. Co więcej, na każde dwa z tych wykładów zapisało się po 30 studentów, a na wszystkie trzy 15 studentów. a) Ilu studentów zapisało się na chociaż jeden z tych wykładów? b) Ilu studentów nie zapisało się na żaden z tych wykładów? c) Ilu studentów zapisało sie tylko na geometrię? Zad Ile liczb ze zbioru {1,,..., 1000} nie jest podzielnych ani przez, ani przez 3, ani przez 5, ani przez 7?

10 Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli w n szufladach rozmieszcza sie więcej niż n przedmiotów, to istnieje co najmniej jedna szuflada. w której znajduje się więcej niż jeden przedmiot. Twierdzenie 9.1 Niech A będzie zbiorem skończonym. Jeżeli zbiory A i, i = 1,,..., k, stanowią podział A, przy czym card(a) > k, to istnieje i 0 {1,,..., k}, takie, że card(a i0 ) > 1. Twierdzenie 9. Niech A będzie zbiorem skończonym. Jeżeli zbiory A i, i = 1,,..., k, stanowią podział A, przy czym dla pewnej liczby p N + mamy card(a) > p k, to istnieje i 0 {1,,..., k}, takie, że card(a i0 ) > p. Zad. 9.1 Uzasadnij, że w każdym mieście liczącym co najmniej 1, 7 mln mieszkańców znajdziemy co najmniej 5 osób o tej samej liczbie włosów na głowie, jeżeli przyjmiemy, że rośnie ich na ludzkiej głowie co najwyżej Zad Udowodnij, że w dowolnej grupie n osób istnieją osoby o tej samej liczbie znajomych. Zad Pokaż, że wśród n + 1 dowolnych licz całkowitych znajduje się dwie których różnica dzieli się przez n. Zad Pokaż, że jeśli w trójkącie równobocznym o boku długości 4 umieścimy 17 punktów, to znajdziemy dwa punkty miedzy którymi odległość nie przekracza 1. Zad Grupa 41 studentów zaliczyła sesje składającą się z 3 egzaminów, w których możliwymi ocenami były 5, 4, 3. Wykazać, że co najmniej pięciu studentów zaliczyło sesję z jednakowym zbiorem ocen. Zad Na turnieju piłkarskim, w którym docelowo każda drużyna ma zagrać z każdą inna, bierze udział 7 zespołów. Uzasadnij, że w dowolnym momencie trwania turnieju znajdą sie dwie drużyny, które rozegrały do tego momentu te samą liczbę meczów.

11 10 Ćwiczenia: Teoria grafów Definicja 10.1 Grafem o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E nazywamy odwzorowanie Γ : E P (V ) = {{v, w} : v, w V }, przyporządkowujące każdej krawędzi E dwa (lub jeden) wierzchołki. Graf prosty- graf, który nie ma krawędzi wielokrotnych. Multigraf - ma krawędzie wielokrotne. Graf pełny to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są dokładnie jedną krawędzią. Zad Niech V oznacza zbiór wierzchołków, E-zbiór krawędzi, Γ : E V. Wyznaczyć V, E, Γ dla poniższych grafów: Definicja 10. Stopniem deg(v) wierzchołka v V nazywamy liczbę deg(v) = n + k, gdzie -n liczba krawędzi e nie będących pętlami takich, że v Γ(e) -k liczba pętli f takich, że Γ(f) = {v, v} Uwaga: v V deg(v) = card(e) Definicja 10.3 Graf nazywamy regularnym stopnia k, jeśli δ(γ) = (Γ) = k gdzie δ(γ) = min{deg(v) : v V } -minimalny stopień wierzchołka (Γ) = max{deg(v) : v V } -maksymalny stopień wierzchołka Uwaga: W dowolnym grafie liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest parzysta. Zad. 10. Wyznaczyć stopnie wszystkich wierzchołków grafu, sumę wszystkich stopni s oraz liczbę krawędzi card(e). Zad Czy istnieje graf o zbiorze wierzchołków V = {x, y, z, t}, gdzie deg(x) = deg(y) = deg(z) = i deg(t) = 3. Zad Czy graf G jest grafem prostym? Zad Narysować wszystkie grafy proste bez pętli, które zawierają cztery wierzchołki tego samego stopnia. Zad Rozstrzygnąć czy możliwa jest powyższa sytuacja. Jeśli tak, to narysować odpowiedni graf. a) graf ma 1 krawędzi, 4 wierzchołki stopnia 4, a wszystkie pozostałe stopnia 5? b) graf ma 1 krawędzi, 3 wierzchołki stopnia 4, x wierzchołków stopnia? Definicja 10.4 Dwa grafy Γ 1 : E 1 P (V 1 ) i Γ : E P (V ) nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieją bijekcje ϕ : E 1 E i ψ : V 1 V, takie że e E1 u,w V1 Γ 1 (e) = {u, w} Γ (ϕ(e)) = {ψ(u), ψ(w)} Uwaga: Grafy są izomorficzne gdy odpowiadającym sobie krawędziom odpowiadają również incydentne z nimi pary wierzchołków. Zad Czy grafy są izomorficzne? Definicja 10.5 Drogą o długości k w grafie nazywamy ciąg krawędzi e 1 e... e k o tej własności, że kolejne krawędzie posiadają wspólne wierzchołki. Drogę e 1 e... e k nazywamy zamkniętą, jeśli odpowiada jej ciąg wierzchołków v 1 v... v k v 1. Drogę nazywamy prostą, jeżeli e i e j dla i j.

12 Prostą drogę zamkniętą e 1 e... e k = v 1 v... v k v 1 nazywamy cyklem jeśli v i v j dla i j. Zad Czy podana droga jest zamknięta, prosta, jest cyklem? Jaka jest jej długość? a) a f c b b) a b c d e f a c) a f c d d e Definicja 10.6 Macierzą sąsiedztwa grafu o n wierzchołkach v 1,..., v n nazywamy macierz S taką, że jej dowolny wyraz s ik jest równy liczbie krawędzi łączących wierzchołek v i z wierzchołkiem v k, i, k = 1,..., n. Twierdzenie 10.7 Jeżeli S jest macierzą sąsiedztwa, gdzie card(v ) = n, to liczba dróg długości m łączących dowolny wierzchołek v i z dowolnym wierzchołkiem v k, i, k = 1,..., n, jest równa s (m) ik (tzn. wyrazowi macierzy S m znajdującemu się w i-tym wierszu i k-tej kolumnie.) Zad Wyznaczyć macierz sąsiedztwa grafu. Ile jest dróg długości łączących wierzchołki v 1 i v 3?

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna - zadania

Matematyka Dyskretna - zadania zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo