MATEMATYKA DYSKRETNA
|
|
- Jolanta Żukowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATEMATYKA DYSKRETNA Wykład I Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Politechnika Częstochowska
2 Kontakt Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73, pok. 184 tel.: konsultacje: wtorek Opis przedmiotu Forma zajęć: 30 godzin wykładu i 30 godzin ćwiczeń [4 ECTS] Wykład wprowadza aparat matematyczny niezbędny do konstruowania i analizy algorytmów. Składa się z elementów kombinatoryki, teorii grafów i teorii liczb. Tematy 1. Indukcja matematyczna 2. Rekurencja 3. Zliczanie zbiorów i funkcji 4. Sumy skończone i rachunek różnicowy 5. Współczynniki dwumianowe 6. Permutacje i podziały 7. Funkcje tworzące 8. Funkcje tworzące w zliczaniu obiektów kombinatorycznych 9. Asymptotyka 10. Teoria liczb 1
3 11. Arytmetyka modularna 12. Grafy 13. Metody algebraiczne w teorii grafów Literatura N.L.Biggs, Discrete mathematics, Oxford University Press B.Bollobas, Modern graph theory, Springer V.Bryant, Aspekty kombinatoryki, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne Th.H.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, C.Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, R.Diestel, Graph theory, Springer R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik, Matematyka konkretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa J.Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.I: Kombinatoryka, Wydawnictwo WIT, Warszawa M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.II: Teoria grafów, Wydawnictwo WIT, Warszawa W.Lipski, Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne W.Lipski, W.Marek, Analiza kombinatoryczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa L.Lovász, K.Vesztergombi, Discrete mathematics, Lecture Notes, Yale University,
4 14. Z.Palka, A.Ruciński, Wykłady z kombinatoryki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa G.Polya, R.E.Tarjan, D.R.Woods, Notes on introductory combinatorics, Birkhauser J.Riordan, An introduction to combinatorial analysis, Princeton University Press K.A.Ross, Ch.R.B.Wright, Matematyka Dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa K.A.Rybnikow (redaktor), pr. zb., Analiza kombinatoryczna w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe A.Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego R.J.Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Czym zajmuje się matematyka dyskretna? Matematyka dyskretna - zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur nieciągłych, to znaczy zawierających zbiory skończone lub co najwyżej przeliczalne (czyli dyskretne). Matematyka dyskretna stała się popularna w ostatnich latach dzięki zastosowaniom w informatyce, która w sposób naturalny zajmuje się jedynie strukturami skończonymi. 3
5 Działy matematyki, które wchodzą w skład matematyki dyskretnej: algebra liniowa kombinatoryka kryptografia logika matematyczna programowanie liniowe teoria gier teoria relacji teoria grafów teoria informacji teoria liczb Zbiory Zbiór jest to pojęcie podstawowe, niedefiniowane. Zbiory oznaczamy wielkimi literami np.: A, X, S, T, natomiast ich elementy - małymi : a, x, s, t. Pewne szczególne, często występujące zbiory, mają swoje własne nazwy np.: N = {0,1,2,3, } - zbiór liczb naturalnych Z + = {1,2,3, } - zbiór liczb całkowitych dodatnich Z = {0, ±1, ±2, ±3, } - zbiór liczb całkowitych Q = {m/n: m,n Z n 0} - zbiór liczb wymiernych 4
6 IQ - zbiór liczb niewymiernych R = Q IQ - zbiór liczb rzeczywistych Przykład 1 Wypiszmy elementy zbioru { n 2 : n N }. {0,1,4,9,16,25,36, } oznacza nieskończony zbiór liczb naturalnych, które są kwadratami liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A B) jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B. Przykład 2 Z + N Z Q R Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy symbolem: P(A). Wszystkich podzbiorów zbioru A jest 2 A, gdzie A oznacza moc zbioru A. Przykład 3 Wyznaczmy wszystkie podzbiory zbioru A={a, b, c, d}. 5
7 P(A)= { ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}=a } Zbiór potęgowy ma 2 4 =16 elementów (podzbiorów). Szczególnym rodzajem zbioru jest alfabet. Alfabetem nazywamy skończony niepusty zbiór Σ. Jego elementami są symbole (litery alfabetu Σ). Słowem danego alfabetu nazywamy dowolny skończony ciąg liter zbioru Σ. Zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu Σ oznaczamy Σ*. Dowolny podzbiór zbioru Σ* nazywamy językiem nad alfabetem Σ*. Słowo puste to ciąg niezawierający liter i oznaczony przez λ. Przykład 4 a) Przyjmijmy alfabet Σ = { 0,1} Σ* jest zbiorem nieskończonym: Σ*={ λ, 0,1, 00, 01, 10, 11, 001, 010, 011, 100, 101, 110, } b) Przyjmijmy alfabet Σ = { } W tym przypadku Σ* również jest zbiorem nieskończonym: Σ*={ λ,,,,, } 6
8 Na zbiór Σ trzeba nałożyć pewne ograniczenia: należy zadbać aby zbiór Σ nie zawierał liter, które są ciągami liter rozpoczynającymi się od litery należącej do Σ. Przykład 5 Przyjmijmy alfabet Σ= {x, y, xy}. Jak odczytać słowo xxyy? Czy: (x) (x) (y) (y) a może (x) (xy) (y)? Bez powyższego ograniczenia nie można jednoznacznie zinterpretować tego ciągu liter. Teraz możemy już zdefiniować długość słowa w Σ* jako liczbę liter alfabetu Σ w słowie w zliczając każde jej wystąpienie. Przykład 6 Niech Σ= {0, 1}. Słowo w 1 =001 jest długości 3, tak jak słowa w 2 =010, w 3 =011, w 4 =100, w 5 =101 i w 6 =111. Działania na zbiorach Działania na zbiorach pozwalają na tworzenie nowych zbiorów ze starych. 7
9 suma zbiorów A B = { x: x A lub x B lub x należy do obu zbiorów }. iloczyn zbiorów (przecięcie zbiorów, część wspólna) A B = { x: x A i x B }. Zbiory A i B są rozłączne, jeśli nie mają wspólnych elementów, tzn. A B = ø. różnica zbiorów A \ B = { x: x A i x B } Różnicą zbiorów A i B jest zbiór powstały przez usunięcie ze zbioru A tych wszystkich elementów zbioru B, które należały też do zbioru A. różnica symetryczna zbiorów A B = { x: x A lub x B, ale x nie należy do obu zbiorów jednocześnie}. A B = ( A \ B ) ( B \ A ). dopełnienie zbioru A Dla zbioru A U różnicę zbiorów U \ A nazywamy dopełnieniem lub uzupełnieniem zbioru A i oznaczamy symbolem A C ( stosuje się też oznaczenie A ). U oznacza zbiór uniwersalny, uniwersum. Przykład 7 Dane są zbiory: A = { 1,2,3,4,5 } i B = { 1,2,6 }, U = { 1,2,3,4,5,6,7}. Wyznaczmy: A B = { 1,2,3,4,5,6 } A B = { 1,2 } A \ B = { 3,4,5} B \ A = { 6 } 8
10 A B = { 3,4,5,6 } A C = { 6,7 } B C = { 3,4,5,7 } Relacje Często chcemy porównywać lub przeciwstawiać sobie różne elementy zbioru, na przykład po to, by ustawić je w jakiejś kolejności lub zgrupować razem elementy o podobnych własnościach. Matematyczne podstawy opisywania takich struktur w zbiorach daje teoria relacji. W tej części wykładu wprowadzimy pojęcie relacji i omówimy ich związek z grafami skierowanymi i macierzami. Rozważmy dwa zbiory S i T. Dla każdego elementu s zbioru S i każdego elementu t zbioru T tworzymy parę uporządkowaną (s,t). Element s jest tu pierwszym elementem pary uporządkowanej (poprzednikiem), t jest drugim elementem (następnikiem) i kolejność tych elementów jest istotna. Zbiór wszystkich par uporządkowanych (s,t) nazywamy iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów S i T i oznaczamy przez S T. S T = { (s,t): s S t T } Jeśli S=T, to czasami piszemy S 2 zamiast S S (relacja uniwersalna). Przykład 8 Niech S = { 1, 2, 3, 4 } i niech T = { a, b, c }. 9
11 a) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S T, a ile do zbioru T S? Wypisz elementy tych zbiorów. b) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S S? Wypisz elementy tego zbioru. a) Zbiór S x T składa się z dwunastu par uporządkowanych: S T = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c) }. Zbiór T S składa się również z dwunastu par uporządkowanych: T S = { (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4) }. Można zauważyć, że T S S T. b) Zbiór S S składa się z szesnastu par uporządkowanych: S x S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) }. Pojęcie iloczynu kartezjańskiego odgrywa zasadniczą rolę w opisywaniu związków między elementami dwóch zbiorów. Dokonuje się tego poprzez podanie tak zwanej relacji binarnej w iloczynie kartezjańskim. Relacja dwuargumentowa (binarna) Dla danych zbiorów S i T relacją dwuargumentową na zbiorze S T jest dowolny podzbiór R zbioru S T. 10
12 Przykład 9 Rozważmy zbiór P programów, które mogą być wykonane na danym komputerze oraz katalog C gotowych programów, które mogą być wykorzystywane przez inne programy. Określamy relację na zbiorze C P, mówiąc, że gotowy program c jest w relacji z programem p œ P, jeśli program p wywołuje program c jako podprogram. Często używany program c jest w relacji z wieloma programami p, natomiast program c, który nigdy nie jest wywoływany, nie jest w relacji z żadnym programem p. Jeśli f:søt, to funkcję f utożsamia się ze zbiorem R f = { (x,y) œ S T: y = f(x) }, który jest relacją na zbiorze S T. Oczywiście nie wszystkie relacje są funkcjami. Jeśli traktujemy funkcje jako relacje, to funkcja ze zbioru S w zbiór T jest szczególnym rodzajem relacji R na zbiorze S T, mianowicie jest taką relacją, że dla każdego x œ S istnieje dokładnie jeden y œ T taki, że (x,y) œ R. Zatem funkcje są to relacje, dla których ma sens zapis funkcyjny: f(x) jest jedynym elementem zbioru T takim, że para (x,f(x)) należy do R f. W przypadku S=T mówimy, że podzbiór R zbioru S x S jest relacją w zbiorze S. Relację odwrotną R -1 do relacji R definiujemy następująco: R -1 ={ (y,x) œ T S: (x,y) œ R } Relacja R w zbiorze S jest: zwrotna jeśli (x,x) œ R dla wszystkich x œ S, 11
13 przeciwzwrotna - (x,x) R dla wszystkich x œ S, symetryczna - (x,y) œ R implikuje (y,x) œ R dla wszystkich x,y œ S, antysymetryczna - (x,y) œ R i (y,x) œ R implikują x=y, przechodnia - (x,y) œ R i (y,z) œ R implikują (x,z) œ R. Jeśli zbiory S i T są zbiorami skończonymi, to dowolną relację R w iloczynie kartezjańskim S T można w wygodny sposób zilustrować albo w postaci tak zwanego rysunku grafu relacji albo w postaci tablicy relacji. Przykład 10 Weźmy relację R 1 na zbiorze {0,1,2,3} określoną przez. Zatem (m,n) œ R 1 wtedy i tylko wtedy, gdy m n. Rysunek grafu relacji R 1 jest diagramem zawierającym umowne symbole oraz łączące je strzałki. Zauważamy, że narysowaliśmy strzałki od m do n, jeśli tylko (m,n) œ R 1, 1 R jednakże nie narysowaliśmy ich na pętlach 0Ø0, 1Ø1 itd. R 1 ={(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3),(3,3)} Zbadajmy własności tej relacji. Relacja jest zwrotna. Wszystkie pary postaci (x,x) należą do relacji R 1 : {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}. 12
14 Nie jest relacją symetryczną. Np. para (0,1) nie implikuje pary (1,0). Sprawdzimy teraz, czy relacja jest przechodnia. (0,0) i (0,1) implikują (0,1) (0,0) i (0,2) implikują (0,2) (0,0) i (0,3) implikują (0,3) (0,1) i (1,1) implikują (0,1) (0,1) i (1,2) implikują (0,2) (0,1) i (1,3) implikują (0,3) (0,2) i (2,2) implikują (0,2) (0,2) i (2,3) implikują (0,3) (0,2) i (2,3) implikują (0,3) (0,3) i (3,3) implikują (0,3) itd. Relacja jest przechodnia. Tablica relacji R S T zawiera S wierszy, odpowiadających poszczególnym elementom zbioru S, oraz T kolumn, które odpowiadają kolejnym elementom zbioru T. Pole tablicy, leżące na przecięciu wiersza przyporządkowanego elementowi s oraz kolumny przyporządkowanej elementowi t, zawiera symbol albo symbol 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (s,t) R. Pozostałe pola tablicy albo są puste, albo są wypełnione zerami. W przypadku użycia symboli 1 oraz 0, tablica relacji odpowiada zero-jedynkowej macierzy, która również może być używana do zapisu relacji R. Przykład 11 Rozważmy dwa zbiory skończone: zbiór A={ 1,2,3,4 } i zbiór B={ {1,2}, {1,4} }. Elementami zbioru A są cztery liczby naturalne, natomiast elementami zbioru B są dwa 13
15 dwuelementowe podzbiory zbioru liczb naturalnych. Niech R A B będzie relacją przynależności do zbioru w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B. Zbiór R zawiera zatem następujące cztery pary uporządkowane: (1,{1,2}), (1,{1,4}), (2,{1,2}), (4,{1,4}). Tablica relacji {1,2} {1,4} Literatura do wykładu I 1. K.A.Ross, Ch.R.B.Wright, Matematyka Dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.I: Kombinatoryka, Wydawnictwo WIT, Warszawa A.Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego L.Lovász, K.Vesztergombi, Discrete mathematics, Lecture Notes, Yale University, N.L.Biggs, Discrete mathematics, Oxford University Press
16 ZESTAW ZADAŃ DO WYKŁADU I Zadanie 1 Wypisz po pięć elementów każdego z następujących zbiorów: a) { n N: liczba n jest podzielna przez 5} b) {n N: liczba n+1 jest pierwsza} Ile elementów mają powyższe zbiory? Zadanie 2 Wypisz elementy następujących zbiorów: a) { 1/n: n=1,2,3,4} b) {n 2 -n: n=0,1,2,3,4} c) {1/n 2 : n Z +, liczba n jest parzysta i n<11} d) {2+(-1) n : n N} e) { n N: n 2 =2} f) { x R: x 2 =2} Ile elementów mają powyższe zbiory? Napisz, jeśli zbiór jest nieskończony. Zadanie 3 Niech U={1,2,3,4,5,,12}, A={1,3,5,7,11}, B={2,3,5,7,11}, C={2,3,6,12} i D={2,4,8}. Wyznacz zbiory: A B, A C, (A B) C C, A\B, C\D, A C, A B. Ile podzbiorów ma zbiór B\C? Zadanie 4 Rozważ zbiory: A = { n Z + : liczba n jest nieparzysta} B = { n Z + : liczba n jest pierwsza} C = { 4n+3: n Z + } D = { x R: x 2-8x+15=0} Które z tych zbiorów są podzbiorami innych z tych zbiorów? Rozpatrz wszystkie szesnaście możliwości. Zadanie 5 Wyznacz wszystkie podzbiory zbioru A={e,f,g,h,i}. Zadanie 6 Niech Σ={a,b}. Wypisz po pięć elementów każdego ze zbiorów: a) { w Σ* : długość(w) 2} b) { w Σ* : długość(w) = 4} Który z tych zbiorów zawiera słowo puste? Wypisz wszystkie podzbiory zbioru Σ. Zadanie 7 Rozważ następujące trzy alfabety: Σ 1 ={a,b,c}, Σ 2 ={a,b,ca}, Σ 3 ={a,b,ab}. 15
17 Do którego ze zbiorów Σ* 1, Σ* 2, Σ* 3 należy każde poniższe słowo i określ długość tego słowa jako elementu każdego zbioru do którego ono należy: aba, bab, cba, cab, caab, baab. Zadanie 8 Niech Σ={a,b}, A={ λ,a,aa,aaa }, B={ λ,b,bb,bbb } i C= { w Σ* : długość(w) 2} Wyznacz zbiory: A B, A B, A\B, B\A, A C, B\C, C\A, A\Σ. Zadanie 9 Niech S = { 0, 1, 2, 3, 4 } i niech T = { 0, 2, 4 }. a) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S x T, a ile do zbioru T x S? b) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x T: m<n} c) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ T x S: m<n} d) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x T: m+n 3} e) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x S:m+n=10} Zadanie 10 Wypisz elementy tych spośród następujących zbiorów, które mają mniej niż siedem elementów. Dla większych zbiorów wypisz dokładnie siedem elementów danego zbioru. a) {(m,n) œ N 2 : m=n} b) {(m,n) œ N 2 : liczba m + n jest pierwsza} c) {(m,n) œ Z + 2 : m=6} d) {(m,n) œ Z + 2 : min(m,n)=3} e) {(m,n) œ N 2 : m 2 =n} Zadanie 11 Niech R 2 będzie relacją na zbiorze {1,2,3,4,5} określoną tak, że (m,n) œ R 2 wtedy i tylko wtedy, gdy m-n jest liczbą parzystą. Zapisz relację jako zbiór par uporządkowanych, wykonaj rysunek grafu zbioru, zbuduj tablicę relacji. Zadanie 12 Niech R 2 będzie relacją z zadania 11. Wypisz elementy relacji odwrotnej do R 2, wykonaj rysunek grafu zbioru, zbuduj tablicę relacji Zadanie 13 Dla następujących relacji w zbiorze S = {0,1,2,3} określ, które z własności: zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia spełniają te relacje. Narysuj wykres każdej z relacji. Nie rysuj strzałek, jeśli relacja jest symetryczna. a) (m,n) œ R 1, jeśli m+n=3, b) (m,n) œ R 2, jeśli m+n 4 c) (m,n) œ R 3, jesli max(m,n)=3. d) (m,n) œ R 4, jeśli mn=m, e) (m,n) œ R 5, jeśli m 2 +n 2 =2, 16
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: MATEMATYKA DYSKRETNA Discrete mathematics Forma studiów: Stacjonarne Poziom kwalifikacji: Kod przedmiotu: A_06 Rok: I obowiązkowy w ramach treści
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA DYSKRETNA Discrete mathematics Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/14 Netografia i bibliografia 1. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków wazniak.mimuw.edu.pl http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=matematyka_dyskretna_1
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/10 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoSymbol, alfabet, łańcuch
Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE
RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o
Bardziej szczegółowoRozdział 7 Relacje równoważności
Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoAlgebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA 1. Informacje ogólne Nazwa modułu i kod (wg planu studiów) Nazwa modułu (j. ang.) Kierunek studiów Specjalność/specjalizacja Poziom kształcenia Profil kształcenia Forma studiów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoRelacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 R.L.Graham, D.E.Knuth,
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Matematyka Dyskretna Nazwa w języku angielskim : Discrete Mathematics Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej
Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRelacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoGramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoAlgebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki Dr hab. Artur Maciąg, prof. PŚk
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowo