Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
|
|
- Dorota Żukowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /14
2 Relacje Relacja E = {(x, x): x S} jest relacją równości w zbiorze S. Piszemy xex lub x=x lub (x, x) E. Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C w zbiorze S taką, że xcy wtw gdy istnieje z S takie, że xaz i zby. Piszemy wtedy xaby. Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację potęgi, np. xaay = xa 2 y, xaaay = xa 3 y
3 Domknięciem relacji A w zbiorze S nazywamy relację A d w zbiorze S taką, że xa d y jeśli istnieje ciąg z 0 =x, z 1, z 2, z n-1, z n =y taki, że z 0 A z 1 A z 2 A A z n-1 A z n. Zatem xa d y wtw jeśli istnieje n takie, że xa n y. Lemat Domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacji: A d = A A 2 A 3 A n Relację odwrotną do A oznaczamy A -1.
4 Niech S będzie zbiorem n-elementowym i A relacją w S. Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową o wymiarze n. Na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny wpisujemy 1 jeśli x i Ax j, w przeciwnym wypadku 0. Elementy takiej macierzy oznaczać będziemy przez a ij, a całą macierz przez [a ij ]. Oczywiście istnieje n! różnych numeracji zbioru S, czyli n! różnych macierzy opisujących relację A w S. Macierz, której wszystkie elementy są zerami określa relację pustą. Macierz, której wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną. Macierz [δ ij ], gdzie δ ij =1 dla i=j oraz δ ij =0 dla i j, określa relację równości. Symbol δ ij nazywamy deltą Kroneckera. Macierz [δ ij ] zawiera jedynki na przekątnej i zera poza przekątną.
5 Macierz [a ij ] = [1 δ ij ] określa relację nierówności. Tylko dla tych czterech relacji (pustej, pełnej, równości i nierówności) ich macierze pozostają niezmienione dla różnych numeracji zbioru S. Macierz Kroneckera: Złożeniu relacji odpowiada iloczyn macierzy!
6 Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się następujące własności relacji: zwrotność (x, x) R dla wszystkich x S symetria (x, y) R (y, x) R dla wszystkich x S, y S przechodniość (x, y) R i (y, z) R (x, z) R dla wszystkich x S, y S, z S Lematy Relacja R jest przechodnia wtw gdy R 2 R. Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = R d.
7 Relacja niezwrotna, to relacja, która nie jest zwrotna, tzn. (x, x) R dla pewnego x S Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna), to nowa własność: (x, x) R dla wszystkich x S Lematy Relacja zwrotna zawiera relację równości. Relacja pełna i relacja równości są zwrotne. Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną. Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej. Relacja pusta jest przeciwzwrotna.
8 Relacja asymetryczna, to relacja która nie jest symetryczna: (x, y) R i (y, x) R dla pewnych x S, y S Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną, gdy z dwu zależności xry, yrx co najmniej jedna jest nieprawdziwa: (x, y) R (y, x) R dla wszystkich x S, y S. Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną, gdy prawdziwość dwu zależności xry, yrx jest równoważna równości x i y: (x, y) R i (y, x) R wtw x=y.
9 Lematy Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej. Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A -1. Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy A A -1 =. Relacje pusta, pełna, równości i nierówności są symetryczne. Relacja pusta jest również przeciwsymetryczna. Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna. Relacja równości nie jest przeciwsymetryczna! Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy A A -1 E (gdzie E to relacja równości). Relacje pusta i równości są antysymetryczne.
10 Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się kolejne własności relacji: spójność (x, y) R lub (y, x) R dla wszystkich x S słaba spójność (x, z) R i (y, z) R dla pewnego z S (x, y) R lub (y, x) R Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych jest Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych jest
11 Własności relacji a działania na relacjach Jeśli A, B są zwrotne to A B, A B, AB, A -1, A d są zwrotne. Jeśli A, B są przeciwzwrotne to A B, A B, A -1 są przeciwzwrotne. Jeśli A, B są symetryczne to A B, A B, A -1 są symetryczne. Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne. Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A -1 jest przeciwsymetryczna. Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja A B jest przeciwsymetryczna. Jeśli A, B są antysymetryczne to A B, A -1 są antysymetryczne. Jeśli A, B są przechodnie to A B, A -1 i A d są przechodnie.
12 Proszę zapoznać się z operacjami na macierzach: str podręcznika Ross&Wright a (z pominięciem pojęć i przykładów dotyczących grafów). Wiele powyŝszych faktów pochodzi z ksiąŝek: J.A.Szrejder: Równość, podobieństwo, porządek. WNT. Warszawa 1975 K.A.Ross, Ch.R.B. Wright: Matematyka dyskretna. WN PWN Warszawa 1996 Dalsze rozwaŝania o relacjach stanowią ponadto fragmenty artykułu: A.Łachwa: Podobieństwo zbiorów, Acta Academiae Modrevianae. Informatyka, Kraków 2008, s
13 Niemal codziennie używamy pojęcia podobieństwa i wskazujemy rzeczy podobne do siebie. Na pierwszy rzut oka jest to pojęcie proste. Jednak informatyk musi nadać im tak precyzyjny sens, by nadawały się na elementy budowanego modelu rzeczywistości lub na operacje wchodzące w skład tworzonej metody obliczeniowej. Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głównie do budowania zbiorów (zbiór składa się z elementów podobnych!). I choć termin zbiór może być pojmowany na wiele sposobów (por. wykład pierwszy) oraz często zastępujemy go terminami typ encji czy klasa obiektów, nie zmienia to istoty sprawy. Łącząc elementy w zbiór podejmujemy decyzję, na czym ma polegać ich podobieństwo.
14 Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozróżnialność, a nie równość. Równość jest szczególnym przypadkiem nierozróżnialności i szczególnym przypadkiem podobieństwa. Tradycyjne podejście do badania podobieństwa polega na tym, by najpierw określić miarę podobieństwa, a następnie badać związki między obiektami podobnymi.
15 Równość w matematyce jest eksplikowana przez relację równoważności. Relacja ta, to relacja jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Dzieli ona uniwersum, na którym jest określona, na klasy równoważności: klasy obiektów równoważnych, a podział taki jest rozłączny i zupełny. Równość (jednakowość, identyczność) jest zatem przede wszystkim binarną relacją równoważności określoną na pewnym uniwersum. Ponadto jest wartością względną, zależy od sytuacji czy punktu widzenia obserwatora (na danym uniwersum można zwykle zdefiniować różne relacje równoważności). I wreszcie równość oznacza zastępowalność jednego obiektu drugim w określonej sytuacji. Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność, możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim, ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą.
16 Podobieństwo obiektów danego uniwersum jest w matematyce zwane tolerancją i jest relacją zwrotną, i zarazem symetryczną. Nie jest zaś wymagana przechodniość, a to dlatego, że obiekty podobne nie są identyczne: nieznacznie różnią się od siebie i te drobne różnice między kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektów całkowicie różnych od tych początkowych. Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne słowa różniące się tylko jedną literą, np. możemy w taki sposób przekształcić słowo kot w słowo lew : kot kos los lis lin len lew.
17 Zbiór U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią tolerancji. Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa. W szczególności okazuje się, że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru cech elementów uniwersum U w taki sposób, że elementami podobnymi są te, które mają co najmniej jedną wspólną cechę. Jeśli A i B są tolerancjami to A B, A B, A -1, A d są tolerancjami. Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją równoważności zawierającą A. Jeśli A jest zwrotna to A A -1, A A -1, A A -1 są tolerancjami.
18 Dwa zbiory dystrybutywne są równe, gdy mają te same elementy. Zbiory dystrybutywne są równoważne, gdy można wskazać pewne identyczne cechy tych zbiorów, np. równoliczność. W matematyce podobieństwo zbiorów dystrybutywnych często definiuje się nie jako relację tolerancji, lecz jako szczególną relację równoważności równokształtność. Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za podobne, gdy mają te same kąty i proporcje: mają taki sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość. W algebrze dwa wyrażenia nazywa się podobnymi, gdy mają ten sam kształt z dokładnością do współczynników liczbowych. Przykłady takie można mnożyć.
19 Podobieństwo zbiorów rozmytych Zbiorem rozmytym jest ogół tych elementów pewnego uniwersum, które można powiązać myślowo w całość na podstawie jakieś ich własności, zwykle nieostrej. Dwa zbiory rozmyte określone na pewnym uniwersum są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element tego uniwersum należy do tych zbiorów w tym samym stopniu. Podobnie definiuje się inkluzję zbiorów rozmytych: zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (określonym na tym samym uniwersum, co A) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element uniwersum należy do zbioru A w stopniu nie większym niż należy do zbioru B.
20 Tak rozumiane równość i inkluzja zbiorów rozmytych są wprawdzie formalnie poprawne i eleganckie, ale mają niewielkie znaczenie z punktu widzenia metod obliczeniowych. Po pierwsze dlatego, że w przypadku uniwersum nieskończonego (lub skończonego, ale bardzo) nie moglibyśmy sprawdzić, czy odpowiednia relacja zachodzi. Po drugie zaś dlatego, że zdefiniowane wyżej dwie ostre własności zwykle nie mają zastosowania przy przetwarzaniu rozmytej informacji. Rozmytość to przecież niewyraźność i niepewność. Niewielkie różnice w sposobie rozumienie tej niepewności (niewielkie różnice w wartościach funkcji przynależności) nie powinny decydować o tak istotnych własnościach jak równość i zawieranie.
21 Rozmycie ostrego znaczenia inkluzji sprowadza się do tego, że własność zawierania się jednego zbioru w drugim będzie rozumiana jako stopniowalna: od stopnia 0 oznaczającego niezawieranie, poprzez przypadki zawierania częściowego, do stopnia 1 oznaczającego zawieranie całkowite. Dodatkowo oczekuje się, że taka rozmyta własność będzie zwrotna (A A w stopniu 1) i antysymetryczna (jeżli A B w stopniu α i B A w stopniu β, to A jest podobne do B w stopniu α β). Oryginalny sposób obliczania rozmytej inkluzji wprowadziłem w swojej książce o zbiorach rozmytych. Pomysł mój opierał się na obserwacji, że stopień częściowego zawierania się zbioru A w zbiorze B ma nas informować o tym, jak mają się do siebie części zbioru A, które wystają poza zbiór B, do części zbioru A, które mieszczą się wewnątrz zbioru B.
22 Wzrokowo potrafimy to łatwo ocenić:
23 Założyłem, że wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbiorów powinien być na tyle prosty, by dało się go łatwo stosować w rozmaitych sytuacjach praktycznych. Nie możemy więc obliczać powierzchni, długości krzywych, czy maksymalnych odległości między dowolnymi krzywymi. Wykorzystuję dwa łatwe do policzenia wskaźniki wysokość oraz nośnik. Wysokością zbioru rozmytego A nazywa się najwyższy stopień przynależności, i oznacza przez h(a). Nośnikiem zbioru rozmytego A nazywa się podzbiór tych elementów uniwersum, dla których stopień przynależności jest niezerowy, i oznacza przez supp(a).
24 Ostatecznie wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbioru rozmytego A w zbiorze rozmytym B ma postać: 1 dla hex =0 dg(a B) = 0 dla hex hin lub sex sin lub hin =0 (1 sex / sin) T (1 hex / hin) wpp
25 Równość dwóch zbiorów ostrych zachodzi wtedy, gdy pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi w pierwszym. Podobieństwo zbiorów rozmytych mogę więc zdefiniować, jako mniejszy ze stopni tych dwóch rozmytych inkluzji: dg(a B) = dg(a B) dg(b A). Inną propozycją obliczania podobieństwa zbiorów rozmytych jest podobieństwo oparte na metryce. Dla zbiorów rozmytych na uniwersum skończonym można przyjąć np. tzw. odległość dwudzielną: k(a, B) = 1 A B / A B. Wyznaczanie podobieństwa dwóch zbiorów rozmytych może polegać na obliczaniu dopełnienia ich znormalizowanej odległości. Stopień podobieństwa zbiorów rozmytych A i B, to wówczas E(A, B) = 1 m(a, B).
26 Kolejną propozycją jest podobieństwo oparte na przekrojach. Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych, nośniki zbiorów rozmytych A i B będą ograniczone, a każde α-przecięcie iloczynu i sumy tych zbiorów będzie odcinkiem, skończoną sumą odcinków, zbiorem jednoelementowym (przecięcie na poziomie wartości szczytowej) albo zbiorem pustym (przecięcie powyżej wysokości). Przy takich założeniach możemy w poprzednim wzorze na E(A, B) zastąpić iloczyn i sumę zbiorów rozmytych ich α-przekrojami, moce zaś tych zbiorów ich długościami (długością zbioru ostrego będącego sumą odcinków jest suma długości tych odcinków). Stosunek długości α-cięcia iloczynu do długości α-cięcia sumy pokaże nam na każdym poziomie podobieństwo między zbiorami A i B.
27 Jeśli policzymy średnią z tych liczb, to dla zbiorów identycznych uzyskamy wartość 1, dla zbiorów o pustym iloczynie wartość 0, dla pozostałych zaś przypadków stopnie dobrze oddające intuicyjnie pojmowane podobieństwo.
28 W zastosowaniach praktycznych możemy ograniczyć się do przecięcia sumy i iloczynu zbiorów rozmytych A i B na skończonej niewielkiej liczbie n poziomów: E n (A, B) = (1/n) Σ (A B)α / (A B)α, gdzie λ=[h(a) h(b)] / n. α=0, λ, 2λ,..., nλ
29 Podobieństwo zbiorów A i B z ostatniego rysunku policzono na dwa sposoby: dla n=8 i dla n=80. Otrzymane wyniki, to i 0.602, czyli dostatecznie podobne na to, by nie stosować tak wielu przecięć, jak w drugim z tych sposobów. W przypadku zbiorów rozmytych, których kształt przybliżono łamaną, poziomy przecięć raczej nie powinny być rozłożone symetrycznie, tylko przechodzić przez wierzchołki łamanych. UWAGA Materiał dotyczący zbiorów rozmytych nie jest obowiązkowy!
30
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. 2. Podobieństwo obiektów. Andrzej Łachwa
Podobieństwo zbiorów 105 Andrzej Łachwa Podobieństwo zbiorów 1. Wstęp Niemal codziennie używamy określenia podobieństwo i wskazujemy rzeczy podobne do siebie. Na pierwszy rzut oka jest to pojęcie proste.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/10 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/15 Literatura obowiązkowa K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 R.L.Graham, D.E.Knuth,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoRelacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 3. Relacje i funkcje
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoKRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE
RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:
1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoRelacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/14 Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym log 10 (k)
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowo