0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.
|
|
- Grzegorz Pietrzak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 (Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami) Elementy teorii liczb: - podzielność, operacje MOD i DIV - znajdywanie NWD (algorytm Euklidesa) i NWW - algorytmy mnożenia i potęgowania oraz działania modulo Elementy kodowania: - chińskie twierdzenie o resztach - funkcje liniowe w pierścieniach skończonych - zapis dwójkowy - word, byte, integer Elementy funkcji boolowskich Zadanie 3.1. W alfabecie 10 znakowym S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}= Z_10 szyfrem liniowym y = 2 * x + 5 (w Z_10) zakodowano wyraz 3.literowy (3,5,8) metodą,litera po literze'. 1. znaleźć otrzymany nowy wyraz 3.literowy 2. podać kilka innych wyrazów, które mają ten sam wynik kodowania Rozwiązanie: Cz.1. Dany szyfr koduje następująco: x=3 --> y = 2 * mod 10 = 11 mod 10 = 1 x=5 --> y = 2 * mod 10 = 15 mod 10 = 5 x=8 --> y = 2 * mod 10 = 21 mod 10 = 1 Odpowiedź: Wynik kodowania to ciąg (1,5,1) Cz.2. Zauważam, że 3 i 8 kodują się na ten sam znak 1. Przez wykonanie tabeli wyników kodowania wszystkich znaków od 0 do9 poznam wszystkie możliwe wartości: 0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3. Dochodzę do wniosku, że ten sam wynik kodowania (1,5,1) dadzą wszystkie te wyrazy, które na pierwszym miejscu mają 3 lub 8, na drugim miejscu mają 0 lub 5 i na trzecim miejscu mają znowu 3 lub 8, np. Odpowiedź: Oto przykłady spełniające wymogi polecenia - (3,5,8), (8,0,8), (3,0,8), (3,5,3). Zadanie 3.2. Odwrócić szyfr liniowy y = 5 * x + 2 w pierścieniu Z_9. Rozwiązanie: Dany wzór na y w zależności od x należy traktować jako równość w pierścieniu Z_9, którego elementami są reszty z dzielenia przez 9 czyli liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 z dodawaniem i mnożeniem modulo 9. Ponieważ liczba 5 jest pierwsza względem 9, więc ma odwrotność w tym pierścieniu, która można znaleźć przez wypisanie tabelki mnożenia. Spośród wartości iloczynu przez 5, czyli z liczb 0, 5, 10,
2 15, 20, 25, 30, 35, 40 tylko 10 ma wartość równą 1 modulo 9 czyli, że 2 jest odwrotnością 5 w pierścieniu Z_9. Mnożąc równość definiującą szyfr stronami przez 2 (mod 9) otrzymujemy: 2 * y = 2 * 5 * x + 2 * 2 (mod 9) 2 * y = 1 * x + 4 (mod 9) x = 2 * y - 4 (mod 9) i ostatecznie Odpowiedź: x = 2 * y + 5 (w pierścieniu Z_9). Zadanie 3.3. Znaleźć wszystkie liczby całkowite a spełniające warunki a mod 13 = 4, a mod 8 = 5, a mod 3 = 0. Rozwiązanie: Zastosujemy chińskie twierdzenie o resztach. W naszym przypadku mamy, że dzielniki 13, 8 oraz 3 są względnie pierwsze, tzn. żadne dwa nie mają wspólnego dzielnika. Zatem wśród liczb ze zbioru {0, 1, 2,..., M - 1} istnieje dokładnie jedna liczba X posiadająca wymienione reszty 4, 5, oraz 0, odpowiednio, gdzie M = 13 * 8 * 3 = 312. Ponadto, każda inna liczba przy dzieleniu przez 312 daje tę samą resztę. Zatem zbiór poszukiwanych liczb to liczby postaci X + k * 312, gdzie k to dowolna liczba ze zbioru liczb całkowitych Z := {..., -1, 0, 1, 2,... }. Obliczanie X. Posłużymy się algorytmem podanym na wykałdzie: definiujemy M_1 = 8 * 3 = 24, M_2 = 13 * 3 = 39, M_3 = 13 * 8 = 104. obliczamy L_1 = M_1 mod 13 = 11, L_2 = M_2 mod 8 = 7, L_3 = M_3 mod 3 = 2 obliczamy odwrotności: N_1 = ODWR(L_1, mod 13) =... = 6 (bo 6 * 11 = 5 * = 1 (mod 13) ) N_2 = ODWR(L_2, mod 8) =... = 7 (bo 7 * 7 = 6 * = 1 (mod 8) ) N_3 = ODWR(L_3, mod 3) =... = 2 (bo 2 * 2 = 1 * = 1 (mod 3) ) obliczamy liczbę: Y = 4 * N_1* M_1 + 5 * N_2 * M_2 + 0 * N_3 * M_3 = 4 * 6 * * 7 *39 = 24 * * 39 = obliczamy jej resztę z dzielenia przez M = 312:
3 X = Y mod 312 = 69 (bo 1941 = 6 * ). Sprawdzenie: 69 = 3 * czyli 69 mod 13 = 4, 69 = 8 * 8 +5 czyli 69 mod 8 = 5 oraz 69 = 13 * 3 czyli 69 mod 3 = 0. Odpowiedź: Zbiór poszukiwanych liczb to wszystkie liczby postaci X + k * 312, gdzie X = 69 zaś k to dowolna liczba ze zbioru liczb całkowitych Z := {..., -1, 0, 1, 2,... }. Zadanie 3.4. Przy pomocy algorytmu rosyjskich chłopów obliczyć iloczyn 245 * 167. Odpowiedź: Tworzymy dwie kolumny, z których pierwsza w pierwszym wierszu zawiera 245 a druga w pierwszym wierszu zawiera 167. Kolejne wiersze powstają z dzielenia pierwszej kolumny całkowicie liczbowo przez dwa i mnożenie drugiej kolumny przez 2: Dodajemy te wyrazy z drugiej kolumny, które stoją obok liczb nieparzystych (w pierwszej kolumnie): 245 * 167 = = Zadanie 3.5. Zbudować sieć boolowską obliczającą wartości bitów z_1, z_2 (ze zbioru {0, 1} tak, aby dla dowolnych a, b, c spełniona była równość liczb naturalnych ( z_1, z_2 )_2 = a + b + c. Uwaga: lewa strona oznacza wartość liczby zapisanej w systemie dwójkowym przy pomocy dwóch bitów, tj. liczbę z_1 * 2 + z_2 * 1. Odpowiedź: Ograniczę się do sugestii, aby uzyskać ją z notatek, które prowadzą do konstrukcji tzw. pełnego sumatora FULL ADDER (dla trzech bitów). Jako dane wejściowe wziąć zmienne boolowskie a, b i c, zaś jako wyjściowe z_1 i z_2. Ubóstwo dostępnej mi grafiki nie pozwala na sporządzenie szkicu tej odpowiedzi. Zadanie 3.6. Pokazać przykłady takich par wartości bajtów x, y ze zbioru {0,1}^8, które spełniają równości 1. Par ( x or y ) = Par ( x ) or Par( y ) 2. Par ( x xor y ) = Par( x ) xor Par( y ) Uwagi nie należące do rozwiązania:
4 1. Zapis,a^b' oznacza,a do potęgi b'. Zapis,a_b' oznacza, że b jest dolnym indeksem a. 2. Zastosowałem łączniki,or' i,xor', które mogą być w zadaniach na egzaminie zastąpione przez ptaszek (taki jak oznaczający w logice,lub') oraz krzyżyk w kółku, odpowiednio. Na niektórych edytorach brak tych symboli. JoD Rozwiązanie: Cz.1. Zgodnie z treścią wykładów przyjmuję, że dla x = (x_1, x_2,..., x_8), y = (y_1, y_2,..., y_8) operacje,or' oraz,xor' dają w wyniku x or y = (x_1 or y_1, x_2 or y_2,..., x_8 or y_8) x xor y = (x_1 xor y_1, x_2 xor y_2,..., x_8 xor y_8) przy czym tabela działania na zmiennych (0,1)-owych jest taka jak w logice: 1 or 1 = 1 or 0 = 0 or 1 = 1, 0 or 0 = 0 1 xor 1 = 0 xor 0 = 0, 1 xor 0 = 0 xor 1 = 1 Ponadto przyjmuję, że Par jest funkcją, która ciągowi (0,1)-owemu przyporządkowuje wartość 0, jeśli ilość jedynek jest parzysta, zaś wartość 1, jeśli ilość jedynek jest nieparzysta. Tak więc aby spełniona pierwsza równość zadania, parzystość połączonych operacją,or' ciągów x i y musi być równa większej z parzystości przypisywanych tym ciągom oddzielnie. Dam więc przykłady trzech istotnie różnych możliwości: gdy lewa strona równa się 0 i oba składniki prawej strony są równe 0, np: x = (0,1,0,1,0,1,0,1), y = (1,0,1,0,0,0,0,0). Rzeczywiście wtedy mamy x or y = (1,1,1,1,0,1,0,1) a więc L = Par ( x or y ) = 0 (bo liczba jedynek wynosi 6 czyli że jest liczbą parzystą). Ponadto Par ( x ) = Par ( y ) = 0 (bo liczby jedynek w x i y są parzyste - 4 i 2, odpowiednio). Tak więc na prawej stronie mamy,0 or 0' czyli 0. Zatem lewa strona i prawa są równe gdy lewa strona równa się 1 i oba składniki prawej strony są równe 1, np: x = (0,1,0,1,0,1,0,0), y = (1,1,1,0,0,0,0,0). Rzeczywiście wtedy mamy x or y = (1,1,1,1,0,1,0,0) a więc L = Par ( x or y ) = 1 (bo liczba jedynek wynosi 5 czyli że jest liczbą nieparzystą). Ponadto Par ( x ) = Par ( y ) = 1 (bo liczby jedynek w x i y są nieparzyste - 3 i 3, odpowiednio). Tak więc na prawej stronie mamy,1 or 1' czyli 1. Zatem lewa strona i prawa są równe gdy lewa strona równa się 1 i tylko jeden składnik prawej strony jest równy 1, np: x = (0,1,0,1,0,1,0,0), y = (1,0,1,0,0,0,0,0). Rzeczywiście wtedy mamy x or y = (1,1,1,1,0,1,0,0) a więc L = Par ( x or y ) = 1 (bo liczba jedynek wynosi 5 czyli że jest liczbą nieparzystą). Ponadto Par ( x ) = 1 (bo liczba jedynek w x wynosi 3) zaś Par ( y ) = 0 ( bo liczba jedynek wynosi 2). Tak więc na prawej stronie mamy,1 or 0' czyli 1. Zatem lewa strona i prawa są równe. Uwaga: W tym zadaniu można dać przykłady, że równość nie jest spełniona.
5 Odpowiedź: Przykłady ciągów spełniających równość 1. x = (0,1,0,1,0,1,0,1), y = (1,0,1,0,0,0,0,0); x = (0,1,0,1,0,1,0,0), y = (1,1,1,0,0,0,0,0); x = (0,1,0,1,0,1,0,0), y = (1,0,1,0,0,0,0,0). Cz.2. Tutaj mamy sytuację inną, gdyż zgodnie z treścią wykładów mamy wzór: (*) Par( x_1, x_2,..., x_8) = x_1 xor x_2 xor... xor x_8 Ponadto poznaliśmy prawo łączności i przemienności operacji,xor'. Zatem możemy przekształcić lewa stronę następująco: L = Par ( x xor y ) = Par ( x_1 xor y_1, x_2 xor y_2,..., x_8 xor y_8) = = (x_1 xor y_1) xor (x_2 xor y_2) xor... xor (x_8 xor y_8) = = ( x_1 xor x_2 xor... xor x_8) xor ( y_1 xor y_2 xor... xor y_8 ) co na mocy wzoru (*) pozwala stwierdzić, że L = Par( x ) xor Par( y ) a więc, że Odpowiedź: Lewa strona równości 2. równa się prawej dla dowolnych x i y ze zbioru {0,1}^8. Zatem jako przykłady par spełniających można wiąć dowolne pary ciągów (0,1)- owych o długości 8. Uwaga (poza rozwiązaniem): Jest oczywiste, że ten dowód stosuje się do tej samej równości dla ciągów dowolnej długości (niekoniecznie 8). Zadanie 3.7. Obliczyć wartość liczbową zmiennej typu SHORT INTEGER c, wiedząc że c = a or b, gdzie zmienne typu SHORT INTEGER a i b mają wartość liczbową W( a ) = - 11 oraz W( b ) = 23, odpowiednio. Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru, który bajtowi a = ( a_1, a_2,..., a_8) (czyli ciągowi (0,1)- owemu ze zbioru {0,1}^8) przyporządkowuje wartość (*) W ( a ) := a_2 * 64 + a_3 * a_8 * 1 - a_1 * 128 Zatem a_1 = 1 (bo W(a) jest ujemne), zaś a_2 * 64 + a_3 * a_8 * 1 = = 117. Z jednoznaczności rozwinięcia dwójkowego otrzymujemy: a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 =0, a_6 = 1, a_7 = 0, a_8 = 1 (sprawdzenie: * *2 + 1 = 117). Zatem a = ( 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1). Podobnie, ze wzoru (*) zasosowanego do b otrzymamy b_1 = 0 (bo W( b ) jest dodatnie) i konsekwentnie b_2 = 0, b_3 = 0, b_4 = 1, b_5 =0, b_6 = 1, b_7 = 1, b_8 = 1
6 (sprawdzenie: W( b ) = 0*64 + 0* * *128 = 23). Zatem b = ( 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1). Operacja,or' zastosowana do a i b daje c = (1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1). Korzystając jeszcze raz ze wzoru (*) tym razem zastosowanego do c otrzymujemy W( c ) = 1*64 + 1*32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1-1*128 = -7. Odpowiedź: W( c ) = -7. Zadanie 3.8 (wprowadzenie do rekurencji). Udowodnić, że ciągi liczbowe S_n oraz T_n podane poniższymi równościami spełniają ten sam związek rekurencyjny. Korzystając z tego, że S_1 = T_1 wywnioskować stąd rowność S_n = T_n dla wszystkich n ze zbioru {1, 2, 3,...}. Oto równości definiujące: S_n := n, T_n := 0.5 * n * (n+1), dla n = 1, 2,.... Cz.1. Odpowiedź: Dla znalezienia wyrażenia na S_{n+1} przy pomocy S_n zapiszmy S_{n+1} = n + (n+1) S_n = n, a więc mamy: (*) S_{n+1} = S_n + (n+1). Dla znalezienia wyrażenia na T_{n+1} przy pomocy T_n zapiszmy T_{n+1} = 0.5 * (n + 1) * ((n+1) + 1) = 0.5 * (n+1) * (n+2) T_n = 0.5 * n * ( n+1 ), a więc, wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy: T_{n+1} - T_n = 0.5 * (n + 1) [ ( n+2) - n] = 0.5 * (n+1) * 2 = n+1, czyli: (**) T_{n+1} = T_n + (n+1). Ponieważ formuły (*) i (**) są takie same, więc rzeczywiście ciągi S_n i T_n spełniają te same związki rekurencyjne.
7 Cz.2. Odpowiedź: Ponieważ S_1 = 1, T_1 = 0.5 * 1 * 2 =1, więc rzeczywiście S_1 = T_1. Ze wzorów rekurencyjnych udowodnionych w cz. 1 wynika, że dla każdego n ze zbioru {1,2,3...} mamy S_n = T_n implikuje S_{n+1} = T_{n+1} Na mocy postulatu o indukcji matematycznej zupełmej wnosimy, że S_n = T_n dla każdego n ze zbioru liczb naturalnych {1, 2, 3,... } Dalsze zadania, bez rozwiązań: Zadanie 3.9. Rozłożyć na czynniki pierwsze: 513, 76, 72, 5183, 427. Zadanie Obliczyć: 2^{25) mod 7; 3^{21} mod 8; 7^{40} mod 10. Zadanie W pierścieniu Z_9 rozwiązać równania dla x z tego pierścienia lub pokazać brak rozwiązania: 2 + 4*x = 0; 1+ 3*x = 4; 5 + x = 4. Zadanie Przy pomocy rozszerzonego algorytmu Euklidesa znaleźć d = NWD(a=650,b=156) oraz takie liczby całkowite x oraz y, dla których d = x*a + y*b. Zadanie Znaleźć wszystkie liczby całkowite a spełniające warunki: a mod 13 = 4, a mod 8 = 5, a mod 3 = 0. Zadanie Znaleźć szyfr odwrotny do liniowego: y = (9* x+ 6) mod 26, dla x z pierścienia Z_{26}. Przyjmując znaczenie literowe A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z dla liczb 0,1,2,...,25, odszyfruj wyraz (litera po literze):,,zdjzl Zadanie Przy pomocy algorytmu rosyjskich chłopów obliczyć 247 * 163
8 . Zapowiedź materiału do zestawu 4/7 PRZYKŁADY ZADAŃ NA FUNKCJE TWORZĄCE
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoZegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.
Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoKongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Bardziej szczegółowoZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM.
ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM. Publikacja zawiera przykłady krótkich sprawdzianów wiadomości z zakresu zbiorów liczbowych oraz praw i działań w tych zbiorach
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoMADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY
MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia
Bardziej szczegółowoNajwiększy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) WZAiP1: Chińskie twierdzenie o resztach
Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) Chińskie twierdzenie o resztach Wybrane zagadnienia algorytmiki i programowania I 27 października 2010 Największy wspólny dzielnik - definicja
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11
Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoKongruencje i ich zastosowania
Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:
ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Test (6 pkt) Zaznacz znakiem X w odpowiedniej kolumnie P lub F, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa.
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. Test (6 pkt) Zaznacz znakiem X w odpowiedniej kolumnie lub, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa. a) rzeanalizuj poniższy algorytm (:= oznacza instrukcję
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoKOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO
Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoRSA. R.L.Rivest A. Shamir L. Adleman. Twórcy algorytmu RSA
RSA Symetryczny system szyfrowania to taki, w którym klucz szyfrujący pozwala zarówno szyfrować dane, jak również odszyfrowywać je. Opisane w poprzednich rozdziałach systemy były systemami symetrycznymi.
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowomgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. KOMPRESJA ALGORYTMEM ARYTMETYCZNYM, GOLOMBA I RICE'A Idea algorytmu arytmetycznego Przykład kodowania arytmetycznego Renormalizacja
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.
Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoKongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7
Bardziej szczegółowoTechniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno
Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoRekurencja (rekursja)
Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń.
Podstawy programowania Programowanie wyrażeń 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń. W językach programowania są wykorzystywane
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb
Bardziej szczegółowoPrzypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
Bardziej szczegółowo1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:
1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące
Bardziej szczegółowoWykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6
Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 6 Zadanie domowe Wizualizacje do oddania. Przygotuj dwie pary kart Matematyczne skojarzenia,
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowo