AGNIESZKA LISOWSKA. Efektywne kodowanie obrazów z wykorzystaniem falek geometrycznych

Transkrypt

1 Systemy wspomagaa decyzj Materały Koferecj Naukowej, Zakopae 8-10 XII 2003 AGNIESZKA LISOWSKA Istytut Matematyk, Uwersytet Śląsk, Efektywe kodowae obrazów z wykorzystaem falek geometryczych 1. Wstęp We współczesym śwece problem kompresj obrazów cyfrowych staow jede z stotejszych problemów zwązaych z teorą sygałów. Mejsza objętość daych uzyskaa w wyku ch kompresj pozwala e tylko a zmejszee kosztów ch przechowywaa, lecz róweŝ skraca czas potrzeby a przesłae tych daych przez seć, a przykład Iteret czy Itraet. Isteje wele metod aproksymacj sygałów wykorzystywaych w kodowau obrazów. Jeda z ajstarszych teora szeregów Fourera wprowadzoa w 1807 roku przez J. Fourera [12] pozwala a efektywe przyblŝae sygałów za pomocą fukcj susodalych. Teora ta pozwala a wykrywae zma sygału w czase cechuje sę dobrą lokalzacją. Została juŝ dogłębe dotychczas zbadaa ewetuale moŝa juŝ tylko szukać owych dzedz jej zastosowań. Koleją teorą, która osągęła duŝy sukces z powodu swej duŝej uŝyteczośc jest teora falek, którą zapoczątkował A. Haar w 1910 roku wprowadzając fukcję zwaą późej falką Haara [8]. Od tego czasu teora ta została dobrze pozaa rozwęta ewoluowała w welu róŝych kerukach. W welu zastosowaach przewyŝsza oa moŝlwośc teor Fourera gdyŝ pozwala a wychwytywae zma w sygałach e tylko w czase, lecz róweŝ w skal [12]. Pozwala to a dokładejszą aalzę sygału, a co za tym dze prowadz do lepszych współczyków kompresj. Teora falek w przypadku aalzy sygałów jedowymarowych e ma sobe rówych. Jedak w przypadku obrazów radz sobe eco gorzej. PoewaŜ, o le charakteryzuje sę oa duŝą skuteczoścą w wychwytywau ecągłośc puktowych, to w przypadku ecągłośc lowych występujących często w obrazach w postac krawędz e speła juŝ postawoych wymagań. Wyka to z faktu, Ŝe ajczęścej stosowae metody dwuwymarowe są separowale zatem e potrafą wychwycć geometryczych cech obrazu. Jako remedum a przedstawoy problem powstała obszera teora falek geometryczych, w szczególośc wedgeletów beamletów. Została oa zapoczątkowaa przez D. Dooho w 1999 roku [4]. Okazuje sę, Ŝe pozwala oa a dokładejszą aalzę obrazów Ŝ w przypadku klasyczych metod falkowych. Wyka to z faktu, Ŝ teora ta umoŝlwa wychwytywae zma w obraze e tylko w czase skal, lecz róweŝ jeszcze w keruku. Pozwala to a wychwycee cech geometryczych obrazu, jakm są krawędze. Jest to fakt e bez zaczea, poewaŝ to właśe krawędze osą ajwęcej formacj o obraze [6]. Dotychczasowe uŝyce falek geometryczych wedgeletów beamletów polegało a aproksymowau obrazów z uŝycem prostych krawędz. W ejszym artykule zapropoowao wykorzystae róweŝ ych krzywych, które moŝa opsać za pomocą dodatkowego parametru, co poprawa jakość rekostruowaego obrazu. Fakt te został potwerdzoy poprzez przeprowadzoe badaa. 2. Wedgelet, beamlet falk geometrycze Na teorę falek geometryczych moŝa popatrzeć jako a pewego rodzaju uogólee klasyczej teor falek. Zwązaych z ą jest wele pojęć, które prowadzą w róŝych kerukach. Do ajczęścej uŝywaych zalcza sę dwe grupy wedgelets beamlets [4, 5] oraz curvelets 186

2 A. LISOWSKA, Efektywe kodowae obrazów z wykorzystaem falek geometryczych 187 rdgelets [1-3]. Wszystke te falk prowadzą do eco ego stylu kodowaa obrazów cechują sę róŝym zastosowaam. Jedak, jak pokazują lcze badaa [3, 11], wszystke oe pozwalają a bardzej efektywe kodowae obrazów z puktu wdzea kompresj, Ŝ stadardowe metody falkowe. Posadają teŝ wększe moŝlwośc róŝych zastosowań [3, 7, 9, 10]. W dalszej częśc artykułu przedstawoe zostaą jedye falk z perwszej z wymeoych grup. Ustalmy dowoly bary obraz o wymarach N N, gdze N=2 k, k N. Rozpatrzmy dowoly podzał czwórkowy (ag. quadtree partto) takego obrazu. Podzałow temu odpowada drzewo czwórkowe, w którego węzłach przedstawać moŝa poszczególe elemety podzału czwórkowego obrazu. Elemetam takego podzału są kwadraty S, j o rozmarach N N 2 2 gdze = 0,...,lg N (deksowae pozomów drzewa) j= 0,..., 4 1 (deksowae kwadratów w obrębe pozomu). Ustalmy dowoly kwadrat S, j z podzału czwórkowego. Beamletem azywamy ezdegeeroway (tz. e leŝący całkowce a brzegu kwadratu) odcek b łączący dowole dwa pukty a brzegu tego kwadratu (patrz Rys.1). Jego połoŝee określają współrzęde ( v1, v 2). Natomast wedgeletem azywamy fukcję charakterystyczą obszaru wyzaczoego przez beamlet b daą wzorem 1, dla y b( x) w( x, y) =, x, y S. (1) 0, dla y> b( x) Na Rys. 1 przedstawoo w powększeu przykładowy elemet podzału czwórkowego dowolego obrazu barego prezetujący powyŝsze pojęca. V 1 Beamlet b Wedgelet w V 2 Rysuek 1. Grafcza reprezetacja falek beamlet wedgelet. W praktyczych zastosowaach stosuje sę często eco ą formę parametryzacj opartą a beguowym układze współrzędych (patrz Rys. 2). Wtedy zarówo beamlet jak wedgelet jest jedozacze wyzaczoy przez kąt θ zawarty mędzy ormalą do beamleta a kerukem pozomym; oraz odległość r beamleta od środka rozpatrywaego kwadratu. Dodatkowo do parametryzacj wedgeleta uŝywa sę wartośc h 1 h 2 pozwalających a kodowae obrazów róweŝ w skal szarośc, a e tylko barych, jak dotychczas zaprezetowao. Rysuek 2. Parametryzacja falek beamlet wedgelet.

3 188 Systemy wspomagaa decyzj Sparametryzowae w powyŝszy sposób falk pozwalają a zdefowae odpowedch słowków, które wykorzystywae są w kodowau obrazów. Defcja 1. Słowkem beamletów azywamy zbór słowkem wedgeletów azywamy zbór B= { b = b ( r, θ ) : = 0,...,lg N, j= 0,..., 4 1} ; (2) j W = { w = w ( r, θ, h, h ) : = 0,...,lg N, j= 0,...,4 1}, (3) j 1 2 gdze r θ π. lg N 1/ 2 [0,2 ), [0, ), h1, h2 {0,...,255} ZauwaŜmy, Ŝe zdefoway powyŝej słowk beamletów zawera odck o róŝej lokalzacj, skal oretacj. Podobą własoścą cechuje sę słowk wedgeletów. Taka róŝorodość pozwala a dokładą aproksymację dowolego obrazu. Słowk te moŝe zostać uŝyty do przeprowadzea aalzy sytezy obrazu w astępujący sposób. Defcja 2. Aalza wedgeletowa obrazu f wyraŝa sę wzorem dla wszystkch w W, 0< W. Defcja 3. Syteza wedgeletowa wyraŝa sę wzorem α = f, w (4) W f ( x, x ) = α w ( x, x ). (5) = 1 W przypadku teor beamletów stosowae są aalogcze defcje aalzy sytezy beamletowej. Jedya róŝca w kodowau obrazów mędzy beamletam wedgeletam polega a tym, Ŝe w przypadku tych perwszych kodujemy jedye same krawędze obrazu, podczas gdy te druge pozwalają a kodowae dowolych obrazów. Obe rodzy falek cechują sę teŝ róŝym zastosowaam w przetwarzau obrazów. 3. Uogólee wedgeletów beamletów Teora dotycząca falek geometryczych prezetowaa dotychczas w lteraturze dotyczy jedye przypadków, w których zakłada sę, Ŝe beamlety wedgelety bazują jedye a prostych odckach. Z praktyczego puktu wdzea take uproszczee powoduje, Ŝe w przypadku krawędz obecych w obrazach, które e są prostym, zbyt wele falek jest potrzebych do ch aproksymacj (ajbardzej sugestywy przykład staow okrąg). W zwązku z tym aturale wydało sę uogólee tej teor do przypadków z krawędzam, które są fragmetam dowolych łuków (okręgów, parabol bądź ych). NaleŜy pamętać jedak, Ŝe powy to być krzywe, które moŝa opsać za pomocą tylko jedego dodatkowego parametru. Wprowadzee ch wększej lczby pocąga za sobą zacze zwększee słowka, co powoduje wydłuŝee czasu dzałaa algorytmu zwększa lość formacj potrzebych do zakodowaa obrazu. Rozpatrzmy zatem parametryzację falek przedstawoą w poprzedm rozdzale (Rys. 2). Dodajemy do ej kolejy parametr d (patrz Rys. 3), który ozacza odległość pomędzy puktam przecęca ormalej do prostego beamletu z prostym zakrzywoym beamletem

4 A. LISOWSKA, Efektywe kodowae obrazów z wykorzystaem falek geometryczych 189 odpowedo. ZauwaŜmy, Ŝe parametr d określa am stopeń zakrzywea łuku w praktyce jest o dość mały. MoŜa go zatem zakodować za pomocą stosukowo ewelkej lczby btów. Rysuek 3. Parametryzacja uogóloych falek beamlet wedgelet. Mając tak sparametryzowae uogóloe beamlety wedgelety moŝemy zdefować odpowadające m uogóloe słowk podobe jak w Defcj 1. Defcja 4. Uogóloym słowkem beamletów azywamy zbór ) ) ) B= { b = b ( r, θ, d) : = 0,...,lg N, j= 0,..., 4 1} ; (6) j uogóloym słowkem wedgeletów azywamy zbór ) ) ) W = { w = w ( r, θ, d, h, h ) : = 0,...,lg N, j= 0,..., 4 1}, (7) j 1 2 gdze r d θ π. lg N 1/ 2, [0,2 ), [0, ), h1, h2 W przypadku uogóloych słowków falek defcje aalzy sytezy obrazów są aalogcze jak w przypadku klasyczych beamletów wedgeletów. W praktyczych zastosowaach bardzo często parametry wedgeletów wyzaczae są za pomocą aproksymacj lowej metodą ajmejszych kwadratów. Pozwala to a uzyskae moŝlwe ajlepszej aproksymacj obrazu a zadaym pozome dekompozycj. W przypadku uogóloych wedgeletów moŝa zastosować metodę aproksymacj kwadratowej, a ta jak wadomo daje mejsze błędy przyblŝea. Zatem przytoczoe fakty pozwalają a sformułowae astępującej uwag. Uwaga. Przyjmjmy astępujące ozaczea: f kodoway obraz, f m aproksymacja obrazu za pomocą m wedgeletów, f) m aproksymacja obrazu za pomocą m uogóloych wedgeletów, wtedy gdze MSE ) MSE, (8) fm MSE) ozacza średokwadratowy błąd aproksymacj uogóloym wedgeletam, f m MSE f m ozacza błąd aproksymacj wedgeletam. Prawdzwe jest róweŝ stwerdzee astępujące. Do rekostrukcj obrazu o tej samej jakośc, potrzeba jest mejsza lczba uogóloych wedgeletów w stosuku do lczby klasyczych wedgeletów. Pozwala am to zauwaŝyć, Ŝe w przypadku kodowaa obrazów zawerających duŝo zakrzywoych krawędz moŝlwe jest uzyskae wększego stopa kompresj obrazu. Istote, arzuty zwązae z zakodowaem dodatkowego parametru (określającego stopeń zakrzywea fm

5 190 Systemy wspomagaa decyzj łuku) zostaą zwelowae z dodatkową korzyścą ogóla lczba btów potrzebych do zakodowaa obrazu będze mejsza w przypadku uŝyca uogóloych wedgeletów. Z przeprowadzoych badań wyka, Ŝe korzyśc te mogą sęgać awet 15%. 4. Zastosowae wedgeletów do kodowaa obrazów W ejszym rozdzale przedstawoa zostae dea kodowaa obrazów z wykorzystaem owej rodzy falek. Dla uproszczea rozwaŝań przyjmjmy, Ŝe rozpatrujemy obrazy bare, uogólea do skal szarośc oraz do model barwych moŝa uzyskać w dość aturaly sposób. Na Rys. 4(a) zaprezetoway został przykład barego obrazu. Na kolejych, od (b) do (f), zajdują sę coraz dokładejsze a kolejych pozomach dekompozycj (od perwszego do pątego) aproksymacje przykładowego obrazu. Wdzmy, Ŝe za kaŝdym razem uzyskujemy coraz drobejszy podzał czwórkowy obrazu, a co za tym dze, coraz lepszą jego jakość. To, czy kolejy kwadrat zostae podzeloy a koleje cztery, zaleŝy od tego, czy błąd aproksymacj mędzy orygalym obrazem w obrębe zadaego kwadratu a przyblŝającym go wedgeletem jest odpowedo mały (poŝej pewej zadaej wartośc progowej w przypadku kompresj stratej, bądź rówy 0 w przypadku dokładej rekostrukcj). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Rysuek 4. Orygaly obraz (a), oraz jego koleje przyblŝea wedgeletam (b)-(f). Dla porówaa a Rys. 5 przedstawoo przykładowe koleje przyblŝea (od drugego do czwartego pozomu dekompozycj) tego samego obrazu z wykorzystaem uogóloych wedgeletów. Porówując oba rodzaje aproksymacj wdzmy, Ŝe ta druga daje am bardzej zwartą reprezetację obrazu (do zakodowaa została uŝyta mejsza lczba wedgeletów) oraz lepszą jakość przyblŝea (potwerdzoą wartoścam PSNR).

6 A. LISOWSKA, Efektywe kodowae obrazów z wykorzystaem falek geometryczych 191 (a) (b) (c) Rysuek 5. Koleje przyblŝea uogóloym wedgeletam. Jak juŝ wspomao wcześej, parametry wedgeletów kodowaego obrazu przechowuje sę w drzewach czwórkowych. Podobe jak w przypadku tradycyjych falek wartośc te zapsuje sę jako róŝce pomędzy parametram z kolejych pozomów dekompozycj. Take welorozdzelcze podejśce pozwala a uzyskae progresywego stadardu kompresj, co jest e bez zaczea, a przykład w przypadku przesyłaa daych przez seć. 5. Podsumowae Przedstawoe w artykule beamlety wedgelety oraz ch przykładowe zastosowae w kodowau obrazów staową tylko ewelką część teor dotyczącej owej rodzy falek geometryczych. Jedak juŝ zaprezetowae przykłady pokazują jak skuteczym arzędzem w kodowau, w szczególośc kompresj, obrazów są falk geometrycze. Zaprezetowae w tym artykule uogólee rozszerza dodatkowo ch moŝlwośc poprawa skuteczość kodowaa. Poza, przedstawoym w artykule, przykładem kodowaa obrazów dla beamletów wedgeletów moŝa wskazać całą gamę ych zastosowań. Wedgelety są z powodzeem stosowae w takch dzedzach przetwarzaa obrazów jak segmetacja, bądź teŝ są wykorzystywae do usuwaa szumów z obrazów. Natomast beamlety są uŝywae róweŝ w połączeu z ym strukturam, Ŝ przedstawoe w artykule drzewa czwórkowe, maowce grafam ajblŝszych sąsadów. W oparcu o programowae dyamcze grafy beamletowe wykorzystywae są, a przykład, do ekstrakcj formacj z obrazów o bardzo duŝym stopu zaszumea. 6. Lteratura [1] Cadès E., What s a Curvelet?, Notces of the Amerca Mathematcal Socety, Vol. 50, No. 11, November, pp , [2] Cadès E., Dooho D., Curvelets A Surprsgly Effectve Noadaptve Represetato For Objects wth Edges, Curves ad Surfaces Fttg, A. Cohe, C. Rabut, ad L. L. Schumaker, Eds. Sat-Malo: Vaderblt Uversty Press, [3] Do M. N., Drectoal Multresoluto Image Represetatos, Ph.D. Thess, Departmet of Commucato Systems, Swss Federal Isttute of Techology Lausae, November, [4] Dooho D. L., Wedgelets: Nearly-mmax estmato of edges, Aals of Stat., Vol. 27, pp , [5] Dooho D. L. Huo X., Beamlets ad Multscale Image Aalyss, Lecture Notes Computatoal Scece ad Egeerg, Multscale ad Multresoluto Methods, Sprger, [6] Kaser P. K., The Joy of Vsual Percepto,

7 192 Systemy wspomagaa decyzj [7] Ndl U., Nowak R., Fgueredo M., Codg Theoretc Approach to Image Segmetato, IEEE Iteratoal Coferece o Image Processg, October, [8] Reskoff H., Wells R. O. Jr, Wavelet Aalyss, Sprger-Verlag, New York, [9] Romberg J., Wak M., Barauk R., Approxmato ad Compresso of Pecewse Smooth Images Usg a Wavelet/Wedgelet Geometrc Model, IEEE Iteratoal Coferece o Image Processg, September, [10] Todorovc S., Nechyba M. C., Mult-resoluto Lear Dscrmat Aalyss: Effcet Extracto Of Geometrcal Structures I Images, to appear Proc. IEEE It. Cof. o Image Processg, Barceloa, September, [11] Wak M., Romberg J., Cho H., Barauk R., Geometrc Tools for Image Compresso, Aslomar Coferece o Sgals, Systems, ad Computers, Pacfc Grove, CA, November, [12] Walker J. S., Fourer Aalyss ad Wavelet Aalyss, Notces of the Amerca Mathematcal Socety, Vol. 44, No 6, pp , Jue/July, 1997.