WYBRANE STATYSTYKI ODPORNE
|
|
|
- Franciszek Kwiatkowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Grażyna Trzpot Unwersytet Ekonomczny w Katowcach WYBRANE STATYSTYKI ODPORNE Wprowadzene Obserwacje oddalone (outlers) są takm obserwacjam w próbe, które mogą powodować zakłócena w ocene relacj w próbe. Ne jest to termn o znaczenu pejoratywnym; obserwacje oddalone mogą być poprawne, ale pownny być dentyfkowane dla oceny błędów. Poczynając od 60., zaproponowano wele metod slnych odpornych (robust and resstant) mnej wrażlwych na obserwacje oddalone. Mogą one konkurować, a nawet wygrywać ze standardowym statystycznym metodam. Omawana tematyka jest przedmotem wcześnejszych prac autork zawsze w kontekśce zastosowań w ekonom (Trzpot 009, 011a, 011b). Artykuł ten ma charakter opsowy w powązanu z przygotowywanym podręcznkem. 1. Statystyk jednowymarowe położena skal Średna z próby może być załamana przez pojedynczą obserwację. Jeżel dowolna obserwacja ma wartość taką, że y ±, wówczas średna z próby y ±, w przecweństwe do medany z próby, która ne jest wrażlwa na pojedyncze wartośc zmerzające do neskończonośc. Mówmy, że medana jest odporna na duże błędy, podczas gdy średna ne. Faktyczne medana może zneść do 50% dużych błędów zanm będze arbtralne duża; mówmy, że ma punkt załamana 50-proc., podczas gdy dla średnej mamy odpowedno 0%. Średna jest efektywnym estymatorem parametru położena dla rozkładu normalnego, dlatego może być wykorzystywana jako estymator parametru położena dla rozkładów zblżonych do normalnych. Metody odporne pownny meć wysoką efektywność w otoczenu zakładanego modelu statystycznego. Dlaczego ne jest wystarczające przesane danych odrzucene obserwacj odstających? Należy rozważyć wele aspektów metodologcznych: 1. Praktycy, nawet eksperc statystycy, ne zawsze przeglądają zbory danych.. Ostre decyzje, czy zachować, czy odrzucć obserwacje mogą być nezbyt trafne. Proponujemy nadać wag wątplwym obserwacjom. Możemy równeż odrzucć kompletne złe obserwacje.
2 Wybrane statystyk odporne Może być zadanem trudnym lub wręcz nemożlwym umejscowene obserwacj odstających w welowymarowym lub mocno zrestrukturyzowanym zborze danych. 4. Odrzucene obserwacj odstających wpływa na rozkład teoretyczny (zmennej losowej), który mus być skorygowany. W szczególnośc warancja będze nedoszacowana w wyczyszczonym zborze. Dla ustalonego rozkładu defnujemy relatywną efektywność estymatora. Efektywność estymatora θˆ względem nnego estymatora ~ θ możemy zmerzyć, posługując sę następującą marą efektywnośc: ~ D ( ˆ) θ RE ( θ, ˆ) θ = ~ (1.1) D ( θ ) ~ Grancę RE ( θ, ˆ θ ) przy rosnącej do neskończonośc welkośc próby nazywamy efektywnoścą asymptotyczną: ~ ~ ARE ( θ, ˆ) θ = lm RE( θ, ˆ θ ) n (1.) Estymatorem asymptotyczne najefektywnejszym jest estymator, którego asymptotyczna efektywność równa sę jednośc. Można problem zdefnować równeż w odnesenu do asymptotycznych warancj. Jeżel estymator θˆ ne jest znany, wówczas zakładamy, że jest efektywnym estymatorem. Pojawają sę trudnośc z obcążonym estymatoram, których warancja jest mała lub wynos zero. Proponowanym w lteraturze rozwązanem jest wykorzystane błędów średnokwadratowych, nnym przeskalowane θ/e(θˆ ). Iglewcz (1983) proponuje wykorzystane warancj logarytmu estymatora θˆ : D (logθˆ ) jako estymatora parametru skal *. Zastosujmy podejśce ARE do oceny średnej medany (Venables, Rpley, 00). Dla rozkładu normalnego D ( średna) ARE(medana, średna) = = /π 64% D ( medana) Dla rozkładów o nnych wartoścach rozkładów w ogonach medana ma lepsze własnośc. Przykładowo, dla rozkładu t-studenta z pęcoma stopnam swobody, a to jest często rozkład zgodny z rozkładem błędów model, ARE (medana, średna) 96%. * jest nezależna od skal
3 164 Grażyna Trzpot Kolejny przykład podał Tukey (1960). Zakładamy, że mamy n obserwacj Y ~ N(μ, σ ) dla = 1,..., n oraz chcemy estymować wartość warancj σ. Rozważmy dwa estymatory ˆ σ = s oraz ~σ = d π/, gdze: 1 d = Y Y n oraz stała jest wybrana tak, że dla rozkładu normalnego d /πσ. Wówczas ARE( ~σ, s ) = 0,876. Załóżmy, że dla każdego Y mamy obserwacje z rozkładu N(μ, σ ) z prawdopodobeństwem 1 ε oraz wartośc z rozkładu N(μ, 9σ ) z prawdopodobeństwem ε. Zauważmy, że obydwe warancje dla wszystkch obserwacj oraz warancja nezakłóconego rozkładu obserwacj są proporcjonalne do σ. Otrzymujemy dane zawarte w tab. 1. Wartośc ARE dla wybranych wartośc ε ~σ, s ) ε (%) ARE( 0 0,876 0,1 0,948 0, 1, ,44 5,04 Źródło: Na podstawe (Venables, Rpley, 00). Tabela 1 Meszanka rozkładów z zakłócenem ε = 1% jest neodróżnalna od rozkładu normalnego, zwłaszcza w praktycznych zastosowanach, dlatego optymalność s jest bardzo wrażlwa. Mówmy o braku odpornośc efektywnośc estymatora. Znajdujemy odmenne estymatory parametru σ nż d π / (mają punkt załamana 0%). Dwa proponowane rozwązana przyjmowane jako estymatory są porównywalne: oraz IQR = X (3n/4) X (n/4) (1.3) MAD = medana { Y medana(y j ) } (1.4) j Przykładowo, dla rozkładu normalnego otrzymujemy odpowedno następujące wynk:
4 Wybrane statystyk odporne 165 MAD medana { Y μ } 0,6745σ, IQR σ[φ 1(0,75) Φ 1(0,5)] 1,35σ Obydwa estymatory są efektywne, ale bardzo odporne na obserwacje oddalone w zborze danych. Dla estymatora MAD dla rozkładu normalnego mamy ARE= 37% (Staudte, Sheather, 1990, s. 13). W kolejnym kroku rozważań zakładamy, że mamy n nezależnych obserwacj Y z rodzny z parametrem położena o funkcj gęstośc f(y μ), oraz funkcja f jest symetryczna względem zera. Zatem μ jest wartoścą centralną (medana, średna, jeżel stneje) dystrybuanty Y. Rozważamy rozkład newele różnący sę od rozkładu normalnego. Mamy wele estymatorów wartośc μ. Wśród tego zboru estymatorów znajdujemy średną z próby, medanę z próby estymatory wyznaczane metodą najwększej warygodnośc (MNW). Dodatkowo rozpatrujemy średną ucętą, która jest średną dla 1 α wartośc rozkładu, zatem αn obserwacj jest usunętych z każdego końca badanego rozkładu (najwększych najmnejszych).. M-estymatory parametrów położena skal Rozważymy jako estymatory parametru położena znane z lteratury M- -estymatory. Nazwa pochodz od sformułowana prawe MNW estymatory ( MLElke estmators). Analzując funkcję gęstośc f, możemy zdefnować funkcję ρ = log f. Wówczas estymator najwększej warygodnośc wyznaczamy jako: mn log f ( y μ) = mn ρ( y μ) μ μ (.1) Powyższe przekształcene jest użyteczne, jeżel funkcja ρ ne jest funkcją gęstośc. Zapszmy, jako ψ = ρ (jeżel ta pochodna stneje), wówczas otrzymujemy: gdze: w = ψ(y μˆ )/(y μˆ ). ψ ( y ˆ) μ = 0 lub w ( ˆ) μ = 0 (.) To sugeruje teracyjne metody rozwązana, przy czym wag uaktualnamy przy każdej kolejnej teracj. y
5 166 Grażyna Trzpot Przykłady M-estymatorów Średna z próby odpowada funkcj ρ() =, medana z próby odpowada funkcj ρ() =. Dla dowolnego n medana jest rozwązanem zapsanego problemu. Funkcja, ψ ( ) = 0, c c odpowada ucętej metryce; duże odległośc pomędzy wartoścam ne mają żadnego wpływu. Funkcja * c, c ψ ( ) =, c c, > c odpowada metryce Wnsora obejmuje wartośc ekstremalne obserwacj jako μ ± c. Odpowedna funkcja ρ = log f jest następująca:, ρ ( ) = c( c), c c wyznacza funkcję gęstośc o rozkładze Gaussa w centrum rozkładu, mającą podwójne wykładncze ogony. Ten estymator zdefnował Huber (1981). Zauważmy, że jeżel c 0, w grancy otrzymujemy medanę, oraz jeżel c, wówczas grancą jest średna. Wartość c = 1,345 zapewna 95% efektywnośc dla rozkładu normalnego. Funkcja podwójne ważąca Tukey a ma postać: t ψ ( t) = t[1 ] + R gdze [.] + oznacza dodatne wartośc. To jest, jak zwykło sę określać, łagodne (soft) ucnane. Wartość R = 4,685 zapewna 95% zgodnośc efektywnośc dla rozkładu normalnego (Venables, Rpley, 00). Kolejny przykład to funkcja ψ Hampela (1986), która jest kawałkam lnowa: * Pojęce określone przez Charlesa P. Wnsora (por. Don, 1960).
6 Wybrane statystyk odporne 167 = c c b b c c a b a a a 0, ), ) /( (, 0, ) ( ψ Ilustracja omówonych estymatorów (rys. 1) wymagała przyjęca umownych wartośc parametrów: a =,s, b = 3,7s, c = 5,9s. Zauważamy oczywśce problem skal. W czterech ostatnch przypadkach mamy współczynnk skal (c, R lub s). Możemy zastosować estymator do przeskalowana rezultatów: s y μ ρ μ mn (.3) dla współczynnka skal s, przykładowo estymator MAD. Alternatywne, możemy estymować s w podobny sposób. Rys. 1. Przykłady funkcj ważących dla M-estymatorów
7 168 Grażyna Trzpot Wykorzystując MNW dla gęstośc s 1 f(( μ)/s), otrzymujemy równane y μ y μ ψ = n (.4) s s które ne jest odporne (oraz obcążone dla rozkładu normalnego). Trzeba to równane zmodyfkować do y μ χ = ( n 1) γ (.5) s dla ogranczonej funkcj χ, gdze γ jest wyberane tak, aby uzyskać zgodność z rozkładem normalnym, zatem γ = Eχ(N). Przykładem nech będze następna propozycja Hubera: χ() = ψ() = mn(, c) (.6) W bardzo małych próbach należy skupć uwagę dodatkowo na zmennośc μˆ w przypadku zastosowana metryk Wnsora (Huber, 1981). Jeżel położene μ jest znane, możemy zastosować ten estymator, zastępując n 1 przez n, celem estymacj jedyne współczynnka skal s. 3. Własnośc model regresj Omówmy koncepcję odpornej regresj w zakrese model lnowych, która mów o nezagrażających zachowanach w beżących newłaścwych wartoścach danych. W termnolog, którą wprowadzmy, odporna regresja ma wysok punkt załamana proponujemy 50%. Rozważymy zamanę metody najmnejszych kwadratów (MNK) przez jeden dwóch z metod: 1. LMS najmnejsze medanowe kwadraty: mnmalzują medanę kwadratów reszt. Bardzej ogólne LQS mnmalzuje pewen kwantyl (przykładowo 80%) kwadratów reszt.. LTS najmnejsze ucęte kwadraty: mnmalzują sumę kwadratów najmnejszych q reszt. Orygnalne q zawera trochę powyżej 50%. Omówone podejśca wymagają znaczne węcej oblczeń numerycznych nż metoda najmnejszych kwadratów, poneważ ne mamy zachowanej różnczkowalnośc. Obydwe metody wychwytują efekt welowymarowych obserwacj oddalonych koncentrują sę na dobrym dopasowanu, do co najmnej powyżej 50% danych. W konsekwencj są mnej efektywne w przypadku braku obserwacj odstających (LMS bardzej nż LTS). Aby zlustrować pewne problemy, rozważmy przykład. Rousseeuw Leroy (1987) rozpatrują roczne dane lczby połączeń telefoncznych w Belg (rys. ). Zaprezentowano lnową funkcję regresj (MNK least squares), regresję z M-estymacją oraz najmnejsze ucęte kwadraty reszt (LTS).
8 Wybrane statystyk odporne 169 Rys.. Mlony połączeń telefoncznych w Belg, Źródło: (Rousseeuw, Leroy, 1987). Lna LQS jest następująca: ŷ = 56,16 +1,16 t (rok). Wykonane badana pokazują, że dla lat pownna być badana całkowta długość połączeń (w mnutach) w mejsce lczby połączeń (jak to było wykonywane w latach ). 4. Odporna regresja * Regresję odporną zdefnowano w latach 80. XX w. (Huber, 1981). Perwsza najbardzej znana regresja była określona następująco: mn medana y b b jako najmnejsze medanowe kwadraty (least medan of squares LMS). Uzasadnenem dla kwadratów reszt jest następująca obserwacja, gdy n jest parzyste, wówczas wyberana jest medana. To jest bardzo odporna metoda regresj, dodatkowo ne wymaga estymacj parametru skal. Jest jednak bardzo neefektywna pokrywa, co najwyżej 1/ 3 n danych. Dodatkowo, cechuje sę wrażlwoścą na obserwacje centralne w zborze danych (Hettmansperger, Sheather, 199; Daves, 1993,.3). * Resstant regresson.
9 170 Grażyna Trzpot Rousseeuw (1987) sugeruje regresję najmnejszych ucętych kwadratów (least trmmed squares LTS): mn y b (4.1) b Ta metoda jest bardzej efektywna, ale oddzela same krańcowe obserwacje. Rekomendowana suma kwadratów reszt ne pownna przekraczać wartośc q = [(n + p + 1)/]. Następne wprowadzono S-estymatory, dla których współczynnk równana są wyznaczane jako rozwązane zadana n y b χ = ( n p) β (4.) = 1 cos z najmnejszym parametrem skal s. W równanu (4.) jako funkcja χ jest zazwyczaj przyjmowana całkowalna podwójne ważąca funkcja Tukey a ( ) 6 4 u 3u + 3u, u 1 χ ( u) = 1, u 1 Wartośc c 0 = 1,548 β = 0,5 są wyznaczane celem spełnena warunku zgodnośc, jeżel rozkład błędów jest rozkładem normalnym. To daje efektywność 8,7% przy rozkładze normalnym, która jest nska, ale lepsza nż LMS LTS. Jedyne w klku specjalnych przypadkach (LMS dla jednowymarowej regresj ze stałą) możemy ten problem optymalzacyjny rozwązać dokładne, wykorzystując aproksymacyjne metody kolejnych przyblżeń (Marazz, 1993). Wele tych metod wykorzystuje podejśce metody najmnejszych kwadratów, proponując dopasowane najmnejszych kwadratów dla wybranych q punktów ze zboru danych. Następne losowo sprawdzają duże próby dla tego dopasowana. 5. Mocna regresja W modelu regresj mamy dwa podstawowe źródła błędów: wartośc obserwacj y oraz odpowadający wektor p * wartośc zmennych objaśnających (regressors). Wększość metod regresj rozważa jedyne perwszy rodzaj źródła błędów. W pewnych okolcznoścach (przykładowo planowane eksperymentów) błędy zmennych objaśnających mogą być gnorowane. Tak jest w przypadku M-estymatorów, którym zajmemy sę w tym punkce. * n obserwacj (y, 1,..., p)
10 Wybrane statystyk odporne 171 Rozważmy problem regresj dla n przypadków (y, ) z modelu dla p-wymarowego wektora. M-estymatory y = β + ε (5.1) Przyjmujemy skalowane dla funkcj gęstośc f(e/s)/s dla ε oraz przyjmujemy ρ = log f, wówczas estymator maksymalnej warygodnośc mnmalzuje n y b ρ + n log s (5.) = 1 s Załóżmy, że s jest znane oraz funkcja ψ = ρ. Wówczas w MNW, wyznaczając b celem estymacj β, rozwązujemy nelnowe równane: n y b ψ = 0 (5.3) = 1 s Zapszmy reszty jako: r = y b. Rozwązane równana (5.3) lub mnmalzacja względem (5.) defnuje M-estymatory względem współczynnków β. Znaną metodą rozwązana (5.3) jest metoda teracyjna ważonych najmnejszych kwadratów, z wagam określonym następująco: y y w = μ μ ψ / (5.4) s s Iteracja jest zbeżna jedyne dla wypukłych (conve) funkcj ρ oraz dla nemalejących (Tukey, 1960), a równane (5.3) może meć wele perwastków. W takch przypadkach należy wybrać dobry punkt startowy uważne przeprowadzć terację. W zastosowanach współczynnk skal s jest neznany. Łatwy odporny estymator współczynnka skal to MAD (względem pewnego przyjętego centrum). Można go zastosować dla reszt blskch zero, równeż dla pozostających w pewnym w otoczenu albo dla reszt z odpornego dopasowana. Alternatywne, możemy estymować s, wykorzystując prawe MNW estymatory (MLE-lke way). Znajdując punkt stacjonarny równana (5.) względem s, otrzymujemy: y b y b ψ = n (5.5) s s Rozwązane ne jest odporne oraz obcążone dla rozkładu normalnego (Venables, Rpley, 00).
11 17 Grażyna Trzpot W przypadku jednowymarowym możemy to równane zmodyfkować przekształcając do postac: MM-estymacja y b χ = ( n p)γ (5.6) s Możlwe jest połączene odpornośc oraz efektywnośc M-estymatorów. Takm rozwązanem jest MM-estymator zaproponowany przez Yoha, Stahel Zamar (1991) *. MM-estymator to M-estymator, który wykorzystuje współczynnk wyznaczone na perwszym etape przez S-estymator oraz stały współczynnk skal dany przez S-estymator. To pozwala uzyskać (dla c > c 0 ) wysok punkt załamana S-estymatorów oraz wysoką efektywność dla rozkładu normalnego. Przy znacznych kosztach oblczeń otrzymujemy to, co najlepsze z obydwu omówonych podejść. Podsumowane W przedstawonym artykule omówono wybrane statystyk odporne podstawowych parametrów wraz z ch własnoścam. W szczególnośc omówono wybrane estymatory parametrów położena skal. Zwrócono uwagę na podstawowe uwarunkowana odpornej regresj. Stosując klasyczne estymatory, ne wracamy do założeń, które towarzyszą metodom wyznaczana tych estymatorów. Brak spełnena tych założeń powoduje trudnośc w wyznaczanu rozwązań formułowanych zadań. Estymatory odporne wymagają zastosowana metod przyblżonych, teracyjnych. Celem efektywnego wyznaczena wartośc tych estymatorów ważne jest spojrzene na własnośc numeryczne metod teracyjnych stosowanych do rozwązań zapsanych zadań. Wele programów komputerowych wspomagających procesy analzy danych, takch jak S-Plus czy Statstca lub SAS, mają funkcje powązane ze statystycznym metodam odpornym. Badane porównawcze efektywnośc tych metod teracyjnych jest odrębnym zadanem powązanym ze statystyką odporną. Bblografa Daves P.L. (1993): Aspects of Robust Lnear Regresson. Annals of Statstcs, 1, s Don W.J. (1960): Smplfed Estmaton for Censored Normal Samples. Annals of Mathematcal Statstcs, 31, s * (Zob. Marazz, 1993).
12 Wybrane statystyk odporne 173 Hampel F.R., Ronchett E.M., Rousseeuw P.J., Stahel W.A. (1986): Robust Statstcs. The Approach Based on Influence Functons. John Wley and Sons, New York. Hettmansperger T.P., Sheather S.J. (199): A Cautonary Note on the Method of Least Medan Squares. Amercan Statstcan 46, s Huber P.J. (1981): Robust Statstcs. John Wley and Sons, New York. Iglewcz B. (1983): Robust Scale Estmators and Confdence Intervals for Locaton. W: Understandng Robust and Eploratory Data Analyss. Eds. D.C. Hoagln, F. Mosteller, J.W. Tukey. John Wley and Sons, New York, s Marazz A. (1993): Algorthms, Routnes and S Functons for Robust Statstcs. Wadsworth and Brooks/Cole. Pacfc Grove, CA. Rousseeuw, P. J., Leroy, A.M. (1987): Robust Regresson and Outler Detecton. John Wley and Sons, New York. Staudte R.G., Sheather S.J. (1990): Robust Estmaton and Testng. John Wley and Sons, New York. Trzpot G. (009): Etreme Value Dstrbutons and Robust Estmaton. Acta Unverstats Lodzenss. Fola Economca 8, Łódź, s Trzpot G. (011a): Odporna analza szeregów czasowych. Prace Naukowe nr 165, Unwersytet Ekonomczny, Wrocław. Trzpot G. (011b): Wybrane odporne metody estymacj beta. W: Modelowane preferencj a ryzyko 11. Red. T. Trzaskalk. Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Katowce, s Trzpot G. (01): Odporna regresja kwantylowa. W: Dylematy ekonometr. Red. J. Bolk. Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Katowce, s Tukey J.W. (1960): A Survey of Samplng from Contamnated Dstrbutons. W: Contrbutons to Probablty and Statstcs. Eds I. Olkn, S. Ghurye, W. Hoeffdng, W. Madow, H. Mann. Wley and Sons, New York. Yoha V., Stahel W.A., Zamar R.H. (1991): A Procedure for Robust Estmaton. John Wley and Sons, New York. Venables W.N., Rpley B.D. (00): Modern Appled Statstcs wth S-PLUS. Sprnger-Verlag. SOME ROBUST STATISTICAL METHODS Summary Outlers are sample values that cause surprse n relaton to the majorty of the sample. Ths s not a pejoratve term; outlers may be correct, but they should always be checked for transcrpton errors. Many robust and resstant methods have been developed snce 1960 to be less senstve to outlers. Ths methods can be used nstead or be even better than classcal one. Robust methods were used early n me works (Trzpot 009, 011a, 011b) as an applcaton n fnance and economy. Ths artcle has a descrptve character, connected wth new book for students.
Natalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a
Statystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk . Sprawy organzacyjne Zasady zalczena Ćwczena Lteratura. Czym zajmuje sę ekonometra? Model ekonometryczny 3. Model lnowy Postać modelu lnowego Zaps macerzowy modelu dl
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Weryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
M-estymacja w badaniu małych przedsiębiorstw *
Zeszyty Unwersytet Ekonomczny w Krakowe Naukowe 1 (949) ISSN 1898-6447 Zesz. Nauk. UEK, 2016; 1 (949): 5 21 DOI: 10.15678/ZNUEK.2016.0949.0101 Grażyna Dehnel Elżbeta Gołata Katedra Statystyk Unwersytet
Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Krzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa
Bonformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Unwersytetu Przyrodnczego we Wrocławu projekt realzowany w ramac Programu Operacyjnego Kaptał Ludzk współfnansowanego ze środków Europejskego Funduszu Społecznego
Metody predykcji analiza regresji
Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Mikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 13 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Symulacje Analogczne jak w przypadku cągłej zmennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analzy różnego rodzaju problemów w modelach gdze zmenna
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej
Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej
Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Pattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 11 1 1. Testowane hpotez łącznych 2. Testy dagnostyczne Testowane prawdłowośc formy funkcyjnej: test RESET Testowane normalnośc składnków losowych: test Jarque-Berra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10 14 grudnia 2009 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar
Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
Natalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Statystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Dobór zmiennych objaśniających
Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.
STATYSTYKA ODPORNOŚCIOWA referat dydaktyczny
Seminarium WFiIS AGH, 25 listopada 2005 STATYSTYKA ODPORNOŚCIOWA referat dydaktyczny Plan: 1. Statystyka klasyczna 2. Powstanie statystyki odpornościowej 3. Estymatory statystyki odpornościowej 4. Własności
KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natala Nehrebecka Stansław Cchock Wykład 10 1 1. Testy dagnostyczne 2. Testowane prawdłowośc formy funkcyjnej modelu 3. Testowane normalnośc składnków losowych 4. Testowane stablnośc parametrów 5. Testowane
Mikroekonometria 10. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 10 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Jak analzować dane o charakterze uporządkowanym? Dane o charakterze uporządkowanym Wybór jednej z welkośc na uporządkowanej skal Skala ne ma nterpretacj
Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ
WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy. Rozkład dwupunktowy x i p i 0 1-p 1 p suma 1
Rozkład dwupunktowy Zmenna losowa przyjmuje tylko dwe wartośc: wartość 1 z prawdopodobeństwem p wartość 0 z prawdopodobeństwem 1- p x p 0 1-p 1 p suma 1 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobeństwa
0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4
Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (
1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Proces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,
Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Barbara Batóg *, Jacek Batóg ** Unwersytet Szczecńsk ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI
Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE
PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.
dy dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Metoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model
Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu
EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010
EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra
Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA
Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA
Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Statystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wkład wstępn. Teora prawdopodobeństwa element kombnatork. Zmenne losowe ch rozkład 3. Populacje prób danch, estmacja parametrów 4. Testowane hpotez statstcznch 5. Test parametrczne
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego
Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa
O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,
Podstawy teorii falek (Wavelets)
Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc
Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych
Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Mikroekonometria 7. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 7 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Testowane hpotez 4 podstawowe testy Przedzał ufnośc Parametry mają asymptotyczny rozkład normalny Znamy błąd standardowy Czy parametr jest statystyczne różny
6. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO
Różnce mędzy obserwacjam statystycznym ruchu kolejowego a samochodowego 7. ROŻNICE MIĘDZY OBSERWACJAMI STATYSTYCZNYMI RUCHU KOLEJOWEGO A SAMOCHODOWEGO.. Obserwacje odstępów mędzy kolejnym wjazdam na stację
Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa-
ZałoŜena scheatu Gaussa- Markowa I. Model jest nezennczy ze względu na obserwacje: f f f3... fl f, czyl y f (x, ε) II. Model jest lnowy względe paraetrów. y βo + β x +ε Funkcja a być lnowa względe paraetrów
Mikroekonometria 3. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 3 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.hedonic.dta przygotuj model oszacowujący wartość kosztów zewnętrznych rolnictwa 1. Przeprowadź regresję objaśniającą
Uogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Badanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej
Badane współzaleŝnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Badane zaleŝnośc dwóch cech loścowych. Analza regresj prostej Kody znaków: Ŝółte wyróŝnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz
OeconomiA copernicana 2013 Nr 3. Modele ekonometryczne w opisie wartości rezydualnej inwestycji
OeconomA coperncana 2013 Nr 3 ISSN 2083-1277, (Onlne) ISSN 2353-1827 http://www.oeconoma.coperncana.umk.pl/ Klber P., Stefańsk A. (2003), Modele ekonometryczne w opse wartośc rezydualnej nwestycj, Oeconoma
Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Nieparametryczne Testy Istotności
Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009.
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk Elżbeta
MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI
Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene