Składam serdeczne podziękowania wszystkim tym, którzy w jakikolwiek sposób pomogli mi w napisaniu tej pracy. W szczególności chciałbym podziękować

Transkrypt

1 Katedra Wytrzymałości Materiałów nstytut Mechanii Budowli Wydział nżynierii Lądowej Politechnia Kraowsa Mariusz Hebda ZATOOWANE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM WYTĘŻENOWEGO DO ANALZY WYTRZYMAŁOŚCOWEJ KOMPOZYTÓW WŁÓKNTYCH Praca dotorsa promotor: dr hab. inż. Janusz German, prof. PK Kraów 6

2 ładam serdeczne podzięowania wszystim tym, tórzy w jaiolwie sposób pomogli mi w napisaniu tej pracy. W szczególności chciałbym podzięować następującym osobom: Promotorowi pracy Panu Profesorowi Januszowi Germanowi za cenne wsazówi i pomoc podczas pisania pracy i ostatecznego jej redagowania. Panu Profesorowi Ryszardowi Pęchersiemu za pomoc udzieloną w pierwszych etapie powstawania pracy, a szczególnie za podpowiedź tematu i pierwsze publiacje. Panu Profesorowi Marcinowi Chrzanowsiemu Kierowniowi Katedry Wytrzymałości Materiałów za stworzenie dobrych warunów pracy i za życzliwość.

3 P TREŚC. WPROWADZENE..... WTĘP..... CEL ZAKRE PRACY.... WŁANOŚC MATERAŁÓW KOMPOZYTOWYCH WTĘP RODZAJE CECHY WŁÓKEN RODZAJE CECHY ONOWY WŁAŚCWOŚC KOMPOZYTÓW BUDOWA WŁÓKNTYCH KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH PODTAWY MECHANK KOMPOZYTÓW RÓWNANA FZYCZNE DLA MATERAŁÓW ANZOTROPOWYCH RÓWNANA FZYCZNE DLA WARTWY ORTOTROPOWEJ RÓWNANA FZYCZNE DLA WARTWY ORTOTROPOWEJ W KONFGURACJ NEOOWEJ ANALZA MECHANCZNA LAMNATÓW WYTRZYMAŁOŚĆ WARTWY KOMPOZYTOWEJ WTĘP WARTWA W ZŁOŻONYM TANE NAPRĘŻENA WARUNK TAWANE KRYTEROM WYTĘŻENOWYM KRYTERA WYTĘŻENOWE DLA WARTWY KOMPOZYTOWEJ Kryterium Tsaia-Hilla (965) Kryterium Hoffmana (967) Kryterium MDE (969) Kryterium Tsaia-Wu (97) KRYTERA WYTĘŻENOWE DENTYFKUJĄCE MECHANZM ZNZCZENA Kryterium naprężenia / odształcenia masymalnego (9) Kryterium Hashina-Rotema (973/98) Kryterium Puca (996) ANALZA WYBRANYCH KRYTERÓW WYTĘŻENA Porównanie ryteriów Wpływ współczynnia interacji na ształt rzywej granicznej OGÓLNE UWAG O TOOWANU KRYTERÓW WYTĘŻENOWYCH NOŚNOŚĆ KOMPOZYTU WARTWOWEGO WTĘP METODY ANALZY Metoda FPF Metoda LPF ANALZA LAMNATU PO UZKODZENU PERWZEJ WARTWY posoby postępowania z warstwą uszodzoną dentyfiacja sposobu zniszczenia MODELE DEGRADACJ ZTYWNOŚC - PRZEGLĄD LTERATURY Zerowanie modułów sztywności Obniżenie sztywności o stałą wartość Uwzględnienie stopnia zniszczenia...53

4 6. PODTAWY KRYTERUM RYCHLEWKEGO WTĘP TANY ENERGETYCZNE ORTOGONALNE GŁÓWNY ROZKŁAD ENERG PRĘŻYTEJ ENERGETYCZNE KRYTERUM WYTĘŻENA WYZNACZANE MODUŁÓW ZTYWNOŚC PROJEKTORÓW KRYTERA WYT. OPARTE NA ROZKŁADZE PEKTRALNYM TENORA PODATNOŚC WYZNACZENE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM WYTĘŻENOWEGO POTAWENE ZADANA TANY WŁANE TENORA PODATNOŚC OGÓLNA POTAĆ KRYTERUM RYCHLEWKEGO GĘTOŚĆ ENERG PRĘŻYTEJ W POZCZEGÓLNYCH TANACH WŁANYCH WYZNACZENE ENERG KRYTYCZNYCH KOŃCOWA POTAĆ KRYTERUM WYTĘŻENA DLA WARTWY ORTOTROPOWEJ ANALZA PROPONOWANEGO KRYTERUM WYTĘŻENA Uwzględnienie różnej wytrzymałości na ścisanie i rozciąganie Zares stosowania Współczynni interacji naprężeń F Zares stosowania ryterium energetycznego dla rzeczywistych materiałów ompozytowych Wpływ charaterysty materiałowych na zna i wartość energii rytycznej WERYFKACJA DOŚWADCZALNA Test off-axis Dwuosiowy stan naprężenia Wniosi z weryfiacji doświadczalnej NOWA METODA DEGRADACJ ZTYWNOŚC LAMNATU WTĘP PODTAWY TEORETYCZNE formułowanie metody Algorytm wyznaczania nośności laminatu Możliwość identyfiacji mechanizmu zniszczenia PRZYKŁADY ZATOOWAŃ Rozciąganie laminatu [/9] s Rozciąganie laminatu [±/ 4/±/4/±] s WERYFKACJA DOŚWADCZALNA Rozciąganie i ścisanie laminatów z materiału węgiel / eposyd Rozciąganie i ścisanie laminatów z materiału bor / eposyd PODUMOWANE WNOK... 7 LTERATURA... DODATEK... D- D.. OBJAŚNENE TOOWANYCH DZAŁAŃ NA TENORACH... D- D.. ZWĄZK FZYCZNE DLA WARTWY KOMPOZYTOWEJ... D- D... Równania fizyczne dla warstwy ortotropowej... D- D... Równania fizyczne dla warstwy w onfiguracji nieosiowej... D-3 D.3. KLAYCZNA TEORA LAMNATÓW... D-8 D.4. CHARAKTERYTYK MATERAŁOWE KOMPOZYTÓW... D-

5 D.5. TENOR V-EGO RZĘDU JAKO MACERZ DWUWYMAROWA...D-4 D.6. DOWODY ZALEŻNOŚC MĘDZY WPÓŁCZYNNKAM A ρ, B ρ...d-6 D.6.. Dowód zależności a b...d-7 D.6.. Dowód zależności a b...d-8 D.6.3. Dowód zależności b <...D-9 D.6.4. Dowód zależności a < b...d- D.6.5. Dowód zależności a b a b...d- D.6.6. Dowód zależności a < < a...d- D.7. PORÓWNANE METODY Z TETEM PETTA WADDOUPA...D- D.8. WARTOŚC WŁANE MACERZY ODWROTNEJ...D-9

6 P RYUNKÓW Rys.. Podział ompozytów ze względu na rodzaj zbrojenia Rys.. Wytrzymałość właściwa dla materiałów onwencjonalnych i ompozytowych Rys..3 Moduł sprężystości właściwy dla materiałów onwencjonalnych i ompozytowych Rys..4 Pojedyncza warstwa ompozytowa i jej uład odniesienia Rys..5 Laminat zbudowany z pojedynczych warstw Rys. 3. Rozład naprężeń i odształceń w laminacie Rys. 3. iły i momenty wypadowe w laminacie Rys. 4. Wieloosiowy stan naprężenia w warstwie ompozytowej Rys. 4. Obwiednia graniczna dla ryterium Puca w przestrzeni (, 6 ) wg [73] Rys. 4.3 Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału aramid/eposyd (Kevlar 49/Epoxy) Rys. 4.4 Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału węgiel/eposyd (T3/934) Rys. 4.5 Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału szło/eposyd (ilena E- Glass/MY75) Rys. 4.6 Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału aramid/eposyd (Kevlar 49/Epoxy) Rys. 4.7 Rezultaty dwuosiowego testu dla warstwy szło/eposyd wg [8] Rys. 4.8 * Krzywe graniczne wg ryterium Tsaia-Wu dla różnych wartości F Rys. 4.9 Krzywe graniczne wg ryterium MDE dla różnych wartości ν 3 Rys. 7. Obciążenia niszczące działające na warstwę ompozytu Rys. 7. Kombinacje wytrzymałości X, Y w zależności od ierunu działania naprężeń Rys. 7.3 Rozciąganie i ścisanie warstwy ompozytowej w uładzie off-axis Rys. 7.4 Krzywe wytrzymałości porównane z testem rozciągania wg Tsaia, Hahna [9] Rys. 7.5 Krzywe wytrzymałości porównane z testem rozciągania wg Pipesa, Cole a [7] Rys. 7.6 Krzywe wytrzymałości porównane z testem ścisania wg Binga, una [6] Rys. 7.7 Krzywe wytrzymałości porównane z testem ścisania wg Tsaia [93] Rys. 7.8 Obwiednie graniczne porównane z testem wg oden i in. [8] Rys. 7.9 Obwiednie graniczne porównane z testem wg Wu i cheubleina [] Rys. 7. Obwiednie graniczne porównane z testem wg Jianga i Tennysona [44] Rys. 7. Obwiednie graniczne porównane z testem wg Eberhardsteiner [] Rys. 8. Algorytm wyznaczania nośności laminatu Rys. 8. chemat obciążenia i onfiguracji laminatu Rys. 8.3 Zależność ε dla laminatu [/9] s Rys. 8.4 Zależność ε dla laminatu [±/ 4/±/4/±] s Rys. 8.5 Zmiana modułu Young a i współczynnia Poissona podczas rozciągania laminatu [±/-4/±/4/±] s Rys. 8.6 Wynii rozciągania laminatu [±θ] 3 wg [55] i własnych obliczeń. Rys. 8.7 Wynii rozciągania laminatu [9/(±θ) /9] wg [55] i własnych obliczeń. Rys. 8.8 Wynii ścisania laminatu [±θ] 3 wg [38] i własnych obliczeń. Rys. 8.9 Wynii ścisania laminatu [9/(±θ) /9] wg [35] i własnych obliczeń. Rys. 8. Rozciąganie laminatu [/9] s esperyment wg [69]. Rys. 8. Rozciąganie laminatu [±] s esperyment wg [69]. Rys. 8. Rozciąganie laminatu [±45] s esperyment wg [69]. Rys. 8.3 Rozciąganie laminatu [±3] s esperyment wg [69].

7 7 Rys. 8.4 Ścisanie laminatu [±6] s esperyment wg [69]. Rys. 8.5 Ścisanie laminatu [±3] s esperyment wg [69]. Rys. D. Dodatnia i ujemna transformacja uładu współrzędnych Rys. D. Ścisanie laminatu [/9] s esperyment wg [69]. Rys. D.3 Rozciąganie laminatu [/9] s esperyment wg [69]. Rys. D.4 Ścisanie laminatu [±] s esperyment wg [69]. Rys. D.5 Rozciąganie laminatu [±] s esperyment wg [69]. Rys. D.6 Ścisanie laminatu [±3] s esperyment wg [69]. Rys. D.7 Rozciąganie laminatu [±3] s esperyment wg [69]. Rys. D.8 Rozciąganie laminatu [±45] s esperyment wg [69]. Rys. D.9 Ścisanie laminatu [±6] s esperyment wg [69]. Rys. D. Rozciąganie laminatu [±6] s esperyment wg [69]. Rys. D. Ścisanie laminatu [ 3 /±45] s esperyment wg [69]. Rys. D. Rozciąganie laminatu [ 3 /±45] s esperyment wg [69]. Rys. D.3 Rozciąganie laminatu [/9/±45] s esperyment wg [69]. Rys. D.4 Rozciąganie laminatu [/±6] s esperyment wg [69]. Rys. D.5 Rozciąganie laminatu [9 3 /±45] s esperyment wg [69].

8 P TABEL Tab.. Właściwości różnych rodzajów włóien Tab.. Właściwości materiału na osnowy ompozytów Tab..3 Właściwości ompozytów i materiałów onwencjonalnych Tab. 4. Współczynni interacji F dla różnych ryteriów wytężeniowych Tab. 7. Rozład obciążenia na stany własne Tab. 7. Zares stosowania ryterium energetycznego dla wybranych materiałów Tab. 7.3 tałe materiałowe wyznaczone przez Cazeneuve i in. [8] Tab. 7.4 Wpływ zmiany stałych materiałowych na wartość energii rytycznej Tab. 7.5 Charaterystyi materiałowe ompozytów użytych w testach off-axis Tab. 7.6 Charaterystyi materiałowe ompozytów użytych w testach dwuosiowych Tab. 8. Rozład spetralny tensora podatności dla wybranych materiałów Tab. 8. Udział sztywności poszczególnych stanów własnych w sztywności całowitej Tab. 8.3 Wynii analizy wytrzymałościowej laminatu [/9]s z materiału M7/855-7 Tab. 8.4 Wynii analizy wytrzymałościowej laminatu [±/ 4/±/4/±] s Tab. 8.5 Zmiana stałych materiałowych ompozytu bor/555 Tab. 8.6 Obciążenia niszczące dla laminatów wyonanych z materiału bor/555 wg [6] Tab. D. Charaterystyi materiałowe dla jednoierunowo zbrojonych ompozytów

9 9 P WAŻNEJZYCH OZNACZEŃ α macierz przejścia ε tensor odształceń ϕ współczynni wytężenia Φ gęstość energii sprężystej Φ r wartość rytyczna gęstości energii sprężystej η i,ij,η ij, j współczynnii wzajemnego wpływu (Lechniciego) λ moduł sztywności (wartość własna tensora sztywności) ν więszy współczynni Poissona w osiach materiałowych warstwy ν mniejszy współczynni Poissona w osiach materiałowych warstwy ν xy, ν yx współczynnii Poissona w dowolnym uładzie odniesienia tensor naprężeń ω tensor własny a, a sładowe tesnora podatności A macierz sztywności tarczowej laminatu b, b sładowe tensora podatności B macierz sztywności sprzężeń laminatu C tensor sztywności D macierz sztywności giętnej laminatu E podłużny moduł Younga w osiach materiałowych warstwy E poprzeczny moduł Younga w osiach materiałowych warstwy E x, E y moduły Younga w warstwie w dowolnym uładzie odniesienia F współczynni interacji naprężeń w ryteriach wytężeniowych typu wadratowego G moduł ścinania w osiach materiałowych warstwy G xy moduł ścinania w warstwie w dowolnym uładzie odniesienia P projetor ortogonalny zreduowana macierz sztywności warstwy w osiach materiałowych zreduowana, transformowana macierz sztywności w dowolnym uładzie odniesienia s dewiator tensora naprężenia tensor podatności

10

11 . WPROWAD ZE N E. Wprowadzenie.. Wstęp Człowie od początu swojej działalności, tórą można nazwać inżyniersą, miał do czynienia z materiałem onstrucyjnym. Początowo był to oczywiście materiał występujący w stanie naturalnym, ja drewno i amień, później materiały wytworzone sztucznie, taie ja cegła, beton, stal. Rozwój cywilizacyjny i przemysłowy powodował potrzebę tworzenia coraz bardziej odpowiedzialnych i sompliowanych onstrucji, a te z olei wymagały stosowania bardziej zaawansowanych technologicznie materiałów. tarano się zatem ulepszać stosowane materiały, ta przez dosonalenie technologii ich wyonania, ja również przez łączenie różnych materiałów ze sobą. Na przyład w starożytności wzmacniano cegły ciętą słomą, a w średniowieczu wyonywano miecze zbudowane z wielu warstw różnych materiałów, poprawiając w ten sposób ich wytrzymałość. Powszechnie stosowanym dziś materiałem budowlanym jest żelbet, tóry dzięi wprowadzonym dodatowo władom stalowym, ma dużo więszą wytrzymałość na rozciąganie, niż sam beton. dea wzmocnienia materiału przez połączenie różnych sładniów doprowadziła do powstania materiałów ompozytowych. W zasadzie wymienione wyżej materiały to są właśnie ompozyty, jedna prawdziwy rozwój materiałów ompozytowych jao dziedziny inżynierii materiałowej, rozpoczął się wraz z opracowaniem metod przemysłowego wytwarzania włóien szlanych oraz powstaniem żywic syntetycznych. Miało to miejsce ooło 93 rou, a impulsem do dalszych poszuiwań w tym zaresie były potrzeby przemysłu zbrojeniowego, związane z wojną światową i wyścigiem zbrojeń po jej zaończeniu. Zapotrzebowanie na leie i jednocześnie wytrzymałe materiały w technice lotniczej, orętowej i raietowej doprowadziło do powstania w latach 6-tych ubiegłego wieu włóien węglowych, w latach 7- tych włóien aramidowych i w latach 8-tych włóien polietylenowych. Dużą zaletą materiałów ompozytowych, a w szczególności ompozytów włónistych, jest możliwość wyorzystania ich budowy anizotropowej do uształtowania danego elementu zgodnie z ierunami działających w nim sił. Przyjmując odpowiedni ąt ułożenia włóien i sewencję warstw w ompozycie, projetant onstruuje niejao sam materiał. Mamy zatem do czynienia z rozszerzeniem procesu projetowania onstrucji o projetowanie materiału, z tórego ma być ona zbudowana. Niezbędna jest zatem wiedza z zaresu mechanii materiałów ompozytowych, a w szczególności umiejętność wyznaczania ich nośności. Teoretyczne podstawy analizy ompozytów powstały w latach 4-tych dwudziestego wieu i w swoich głównych założeniach obowiązują do dzisiaj. Niestety pomimo ciągłych poszuiwań do chwili obecnej nie powstała jednolita teoria oreślania wytrzymałości tych materiałów. Teoria, tóra byłaby powszechnie aceptowana i pozostająca w zgodzie z wyniami badań doświadczalnych. Wpływ na to ma wiele czynniów z tórych najważniejsze wydają się być różnorodność cech fizycznych materiałów wyorzystywanych do wyonywania ompozytów, anizotropia strutury i możliwość uszadzania się ompozytu na sute wielu mechanizmów (pęanie włóien, pęanie matrycy, wyboczenie włóien, delaminacja, itd.). Wciąż zatem trwają badania i powstają liczne teorie opisu zniszczenia ompozytów, o czym świadczy ogromna ilość publiacji, jaie uazały się na ten temat.

12 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH.. Cel i zares pracy Przy oreślaniu nośności warstwowych ompozytów włónistych, zwanych taże laminatami, występują dwa luczowe punty. Pierwszym jest wyznaczenie nośności pojedynczej warstwy sładowej ompozytu, a drugim degradacja sztywności w warstwach ulegających stopniowo uszodzeniu. Zares niniejszej pracy obejmuje właśnie te dwa punty analizy wytrzymałościowej. Celem pracy jest analiza wytrzymałościowa warstwowych ompozytów włónistych prowadzona z wyorzystaniem energetycznego ryterium wytężeniowego sprężystych stanów własnych, sformułowanego w sposób ogólny dla materiałów anizotropowych przez R y - c h l e w s i e g o [76, 77]. Praca słada się z dziewięciu rozdziałów oraz dodatu, w tórym zamieszczono nietóre dowody i wyprowadzenia opisywane w zasadniczej części, a taże algorytmy obliczeń i charaterystyi fizyczne nietórych materiałów ompozytowych. Rozdział pracy zawiera podstawowe informacje o materiałach ompozytowych taie ja podział, rodzaje i właściwości mechaniczne sładniów ompozytu, czyli włóien i osnowy, a taże porównanie ompozytów z materiałami onwencjonalnymi. Rozdział ten opracowano w oparciu o dane dostępne w literaturze i w podręczniach dotyczących materiałów ompozytowych, a w szczególności w pracach [3], [6], [68], [97]. W rozdziale 3 przedstawiono srótowo podstawy mechanii ompozytów włónistych w zaresie niezbędnym do celów niniejszej pracy. Podane w tym rozdziale wzory i uwagi w więszości zaczerpnięto z podręczniów do mechanii ompozytów [3] i [45]. W rozdziale 4 tratującym o nośności warstwy ompozytowej omówiono ryteria wytężeniowe najczęściej stosowane w analizie wytrzymałościowej ompozytów. Doonano przy tym podziału na ryteria identyfiujące mechanizm zniszczenia i na te, tóre nie dają tej możliwości. stotną częścią tego rozdziału są oryginalne autorsie analizy porównawcze dotyczące ryteriów wytężeniowych, stosowanych w analizie nośności ompozytów. W szczególności zwrócono uwagę na ważny aspet jaim jest wpływ współczynnia interacji naprężeń normalnych na stabilność ryterium. Rozdział 5 dotyczy problemu oreślania nośności ompozytu warstwowego. Przedstawiono w nim podstawowe metody wyznaczania tej nośności, to jest metody oparte na zniszczeniu pierwszej (FPF) i ostatniej warstwy (LPF). Więszą uwagę soncentrowano na zachowaniu się laminatu po uszodzeniu pierwszej warstwy i na ocenie degradacji jego sztywności. W oparciu o dostępną literaturę przedstawiono stosowane obecnie modele identyfiacji mechanizmów zniszczenia i degradacji macierzy sztywności laminatu, na sute uszadzania się olejnych jego warstw. Rozdział 6 dotyczy sformułowania energetycznego ryterium wytężeniowego sprężystych stanów własnych i jest opracowany na podstawie prac R y c h l e w s i e g o [76], [77]. Przedstawiono w nim definicje stanów energetycznie ortogonalnych i głównego rozładu energii sprężystej na stany własne oraz przedstawiono sposób wyznaczania modułów sztywności i projetorów ortogonalnych. Kolejne rozdziały, to jest 7 i 8 stanowią zasadniczą i oryginalną część pracy. W rozdziale 7 z ogólnego sformułowania R y c h l e w s i e g o zostało wyspecyfiowane ryterium wytężeniowe dla pojedynczej warstwy ortotropowej ompozytu. Wyznaczono stany własne tensora podatności, tórych dla płasiej warstwy ortotropowej jest trzy, a następnie w oparciu o te stany doonano energetycznie niezależnego rozładu gęstości energii sprężystej. Energie rytyczne, występujące w ogólnym sformułowaniu ryterium, wyznaczono w oparciu o myślowe esperymenty, polegające na obciążaniu warstwy aż do zniszczenia w ierunach głównych osi materiałowych. Dzięi taiemu podejściu ryterium energetyczne przyjęło postać charaterystyczną dla ryteriów stosowanych w analizie ompozytów, to zna-

13 . WPROWAD ZE N E 3 czy postać, w tórej występują charaterystyi wytrzymałościowe warstwy w ierunach osi materiałowych. W dalszej części rozdziału 7 doonano analizy stabilności ryterium, badając wpływ współczynnia interacji naprężeń normalnych na postać rzywej granicznej wytrzymałości. Wyazano przy tym, że matematyczny warune na uzysanie zamniętej rzywej ma w przypadu otrzymanego ryterium sens energetyczny. Przeprowadzono analizę zaresu stosowalności ryterium z uwagi na powyższe waruni dla różnych materiałów ompozytowych. Końcowa część rozdziału 7 przedstawia weryfiacje ryterium w oparciu o dostępne w literaturze dane doświadczalne. Przeanalizowano ta zwane testy off-axis, czyli rozciąganie lub ścisanie pojedynczej warstwy ompozytu siłą przyłożoną pod dowolnym ątem w stosunu do ierunu ułożenia włóien oraz doświadczenia polegające na analizie warstwy w dwuosiowym stanie naprężenia. Rozdział 8 przedstawia zaproponowaną przez autora metodę degradacji macierzy sztywności ompozytu. Metoda ta została sformułowana w oparciu o ryterium wytężeniowe R y c h l e w s i e g o i związany z nim rozład spetralny tensora podatności. Wprowadzono definicje współczynniów wytężenia materiału w ażdym ze stanów własnych, przedstawiające stosune gęstości energii sprężystej zgromadzonej w danym stanie własnym pod wpływem działającego obciążenia, do energii rytycznej w tym stanie. Współczynnii te wyorzystano następnie jao mnożnii modyfiujące macierz sztywności (lub podatności) po rozładzie tej macierzy na stany własne. Wprowadzone współczynnii pozwalają modyfiować sztywność warstwy bez onieczności identyfiowania sposobu zniszczenia. Na zaończenie przedstawiono ila przyładów zastosowania zaproponowanej metody do analizy nośności laminatów oraz doonano jej weryfiacji w oparciu o dane doświadczalne dostępne w literaturze. Pewna część zagadnień omawianych w rozdziałach 7 i 8 została opubliowana w pracach [9], [3], [3], [3].

14

15 . WŁA NOŚC M ATER AŁ Ó W KOM PO ZYTO WYCH 5. Własności materiałów ompozytowych.. Wstęp Kompozyt jest to materiał, zawierający przynajmniej dwa różne sładnii wyraźnie od siebie oddzielone i równomiernie rozłożone w jego objętości, połączone ze sobą w celu uzysania oreślonych cech wytrzymałościowych i sztywnościowych, lepszych od własności sładniów. Połączenie to zachodzi na poziomie marosopowym, czyniąc ompozyt materiałem niejednorodnym. Zgodnie z powyższą definicją ompozytem nie jest, na przyład stop dwóch metali, tórych połączenie zachodzi na poziomie mirosopowym, a w sali maro uzysujemy materiał jednorodny. Własności fizyochemiczne sładniów tworzących ompozyt zazwyczaj istotnie różnią się od siebie, co wynia z różnych funcji jaie pełnią w materiale. Jeden sładni, zwany osnową pełni rolę wypełniacza, natomiast drugi (może ich być więcej niż jeden), nazywany zbrojeniem, stanowi wzmocnienie materiału. Podziału ompozytów można doonać w oparciu o różne ryteria. Jednym z nich jest podział w zależności od materiału z jaiego wyonana jest osnowa. Wyróżniamy ompozyty z osnową polimerową, metalową i ceramiczną. Materiały ompozytowe można również podzielić ze względu na rodzaj wzmocnienia. Występują ompozyty zbrojone cząstami, włónami rótimi i długimi. Podział ompozytów ze względu na rodzaj wzmocnienia przedstawiono schematycznie na rys... Rys... Podział ompozytów ze względu na rodzaj zbrojenia

16 6 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Mechanizm zbrojenia cząstami polega na ograniczaniu przez nie odształceń osnowy, tóra również uczestniczy w przenoszeniu obciążeń, działających na ompozyt. Cząstami mogą być puste wewnątrz uli szlane lub ceramiczne, bardzo rótie włóna, płati metaliczne itp. Do tej grupy ompozytów można zaliczyć beton, w tórym rolę osnowy pełni zaczyn cementowy, a wzmocnieniem jest ruszywo. nnym znanym z częstych zastosowań ompozytem zbrojonym cząstami jest materiał do producji opon samochodowych, w tórym osnowę stanowi guma, a zbrojenie sadza, zbudowana z niemal ulistych cząste węgla. W ompozytach włónistych osnowa pełni rolę spoiwa, wiążącego włóna w jeden scalony element. tanowi taże ochronę dla włóien, ta orozyjną, ja mechaniczną. Osnowa rozłada w sposób równomierny obciążenia na włóna i tylo w niewielim stopniu bierze udział w ich przenoszeniu. Włóna długie najczęściej ułada się równolegle do siebie w jednym ierunu lub w dwóch ierunach, tworząc taninę, ale występują też rozmieszczenia przypadowe włóien prostych lub spętlonych. Włóna rótie najczęściej mają w ompozycie uład przypadowy, ale stosuje się również włóna rótie ułożone w jednym ierunu. pośród włóien rótich spotya się czasem włóna typu whiser (ryształ nitowy), otrzymane z monoryształów, tóre cechują się bardzo wysoą wytrzymałością i wysoim modułem sprężystości. Technologia otrzymywania tego typu włóien jest jedna bardzo osztowna, stąd zbrojenie nimi ompozytu nie jest jeszcze szeroo rozpowszechnione. Jednym z naturalnych ompozytów włónistych jest drewno, tóre zbudowane jest ze słabej miazgi wypełnionej mocnymi włónami. Każdy ze sładniów ma przy tym oreślone zadania do spełnienia. Włóna przenoszą obciążenia, działające zazwyczaj w ierunu ich ułożenia, natomiast miazga jest wypełnieniem, chroniącym włóna przed uszodzeniem i wiążącym je w spójną całość. Omawiane tutaj zagadnienia dotyczą ompozytów zbrojonych włónami długimi stąd w dalszej części pracy uwaga będzie soncentrowana na tym właśnie typie materiałów ompozytowych... Rodzaje i cechy włóien Włóna stosowane do zbrojenia ompozytów można podzielić na pięć grup w zależności od rodzaju materiału. ą to włóna nieorganiczne, grafitowe, polimerowe, ceramiczne i metalowe. pośród cech fizycznych charateryzujących włóna najczęściej podaje się średnicę, gęstość, wytrzymałość na rozciąganie i moduł sprężystości wzdłużnej (Younga). Przy wyborze materiału z jaiego jest wyonane włóno, bardzo często bierze się pod uwagę tzw. moduł sprężystości właściwy i wytrzymałość właściwą, tóre przedstawiają te charaterystyi odniesione do gęstości materiału. Wytrzymałość właściwa to wyrażona w m długość włóna przy tórej niszczy się ono pod własnym ciężarem. Moduł właściwy i wytrzymałość właściwa nowoczesnych włóien stosowanych w materiałach ompozytowych są wielorotnie więsze niż w przypadu włóien metalowych, co jest powodem ich szeroiego stosowania w przemyśle lotniczym i osmicznym, gdzie szua się materiałów o wysoiej wytrzymałości i jednocześnie ja najlżejszych. Właściwości różnych rodzajów włóien, należących do wymienionych wyżej pięciu grup, zestawiono w tabeli.. Wśród włóien nieorganicznych należy wymienić włóna szlane i borowe. Włóna szlane należą do najstarszych (lata 3-te XX wieu) i najczęściej stosowanych. Wyróżnia się dwa typy włóien szlanych, włóna typu E i. Pierwszy z nich ma gorsze właściwości mechaniczne, ale znacznie niższą cenę. Włóna typu E są stosowane rzadziej w bardziej odpowiedzialnych onstrucjach. Włóna borowe zaczęto produować i stosować w latach 6-

17 . WŁA NOŚC M ATER AŁ Ó W KOM PO ZYTO WYCH 7 tych XX wieu. Ze względu na wysoą cenę stosuje się je do specjalnych onstrucji, tam gdzie jest wymagana duża sztywność. Moduł Younga włóien borowych wynosi ooło 4 GPa, czyli jest dwurotnie więszy niż dla stali, a spośród pozostałych materiałów dorównują mu tylo włóna orundowe (z grupy włóien ceramicznych) i grafitowe wysoomodułowe. W tych ostatnich jedna, wysoi moduł osiągnięto osztem spadu wytrzymałości. Włóien szlanych używa się do zbrojenia ompozytów z osnową polimerową, natomiast włóien borowych do ompozytów z osnową polimerową i metalową. Tabela.. Właściwości różnych rodzajów włóien Materiał Średnica [µm] Gęstość [N/m 3 ] Moduł sprężystości wzdłużnej [GPa] Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] Moduł sprężystości właściwy [m] Wytrzymałość właściwa [m] Druty metalowe stal aluminium tytan beryl Włóna nieorganiczne szło E szło bor Włóna grafitowe grafit H grafit HM węgiel Włóna polimerowe aramidowe polietylenowe Włóna ceramiczne węgli rzemu ic orund Al O Włóna grafitowe należą do równie często stosowanych ja włóna szlane, przewyższają je jedna parametrami mechanicznymi i co się z tym wiąże, niestety również ceną. Wśród włóien tej grupy występują włóna grafitowe i węglowe. Grafit to również węgiel, ale o bardziej uporządowanej struturze. Oprócz regularnej sieci rystalicznej występują obszary gdzie jest ona zaburzona lub w ogóle jej bra. Powoduje to pogorszenie właściwości mechanicznych, ale nisa ich cena w porównaniu z włónami grafitowymi sprawia, że są one często stosowane. Włóna grafitowe dzielą się na wysoomodułowe (HM) i wysoowytrzymałe (H), odpowiednio o zwięszonej sztywności i wytrzymałości. Wśród tych ostatnich pojawiły się w ostatnich latach włóna o nazwie T o wytrzymałości na rozciąganie 7 MPa! Zasadniczo jedna wytrzymałość włóien grafitowych H waha się w granicach 3 4 MPa. Włóna te stosuje się do zbrojenia ompozytów ze wszystimi rodzajami osnowy (polimerowa, metalowa i ceramiczna).

18 8 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Włóna polimerowe wyróżniają się najwyższą wytrzymałością właściwą i właściwym modułem sprężystości. Jao pierwsze zaczęto stosować w latach 7-tych ubiegłego wieu włóna aramidowe, znane pod nazwą handlową Kevlar. Ooło dziesięć lat później wprowadzono na ryne włóna polietylenowe, tóre są produowane pod różnymi nazwami. W UA pod nazwą pectra, w Japonii Temilon i w Holandii pod nazwą Dyneema. Włóna polimerowe mają mniejszą odporność na działanie wysoiej temperatury niż włóna szlane i węglowe. Włóien polimerowych używa się jao wzmocnienie w ompozytach z osnową polimerową. Ostatnią grupę stanowią włóna ceramiczne. Należą one do najdroższych, ale równocześnie mają bardzo dobre właściwości fizyochemiczne. Cechują się przede wszystim odpornością na działanie bardzo wysoich temperatur (powyżej 5 C) i czynniów wywołujących orozję chemiczną. Dodatowo są bardzo sztywne, moduł Young a wynosi od 5 do 4 GPa. Najczęściej stosowane są włóna orundowe (trójtlene aluminium Al O 3 ) i włóna z węglia rzemu (ic)..3. Rodzaje i cechy osnowy Osnowy stosowane w ompozytach włónistych dzieli się pod względem materiału na polimerowe, metalowe i ceramiczne. Osnowy polimerowe są stosowane najczęściej, ponieważ są tanie i posiadają właściwości fizyochemiczne wystarczające dla więszości warunów pracy ompozytu. Jedynie w onstrucjach pracujących w bardzo wysoich temperaturach lub w wyjątowo agresywnym środowisu stosuje się ompozyty z osnową metalową i ceramiczną. Kompozyty taie są jedna bardzo drogie, ze względu na złożony proces ich producji. Osnowy polimerowe dzielą się na termo- lub chemoutwardzalne i termoplastyczne. Osnowy termoutwardzalne mają najczęściej postać płynną lub półpłynną i po uformowaniu odpowiedniego ształtu ompozytu są utwardzane w wysoiej temperaturze lub w temperaturze poojowej po dodaniu utwardzaczy chemicznych. Proces ten jest nieodwracalny. Osnowy termoplastyczne mogą mięnąć w wysoiej temperaturze, a następnie ponownie twardnieć po jej obniżeniu. Osnowa termoutwardzalna wyazuje lepszą odporność na deformację pod wpływem zmian temperatury, na orozję chemiczną i działanie rozpuszczalniów, ale jest też rucha. Z olei osnowa termoplastyczna jest ciągliwa, ale wyazuje słabą stabilność ształtu i sztywności w podwyższonej temperaturze. Wadą obu rodzajów materiału jest ich higrosopijność, co wpływa na pogorszenie charaterysty sztywnościowych i wytrzymałościowych ompozytów. Osnowy ceramiczne wyazują bardzo dużą odporność na zmiany ształtu i cech fizycznych i mechanicznych w bardzo wysoich temperaturach (nawet do 35 C). Posiadają też wysoą odporność na czynnii chemiczne i absorpcję wilgoci. Do wad osnowy ceramicznej należy zaliczyć ruchość, i bardzo wysoie oszty producji. Najczęściej stosuje się osnowy z węglia rzemu ic i trójtlenu aluminium Al O 3. Podobne zalety ja w przypadu materiałów ceramicznych wyazują osnowy metalowe. Dodatowo mają lepszą odporność na pęanie i zmęczenie, a taże lepiej przewodzą ciepło. Dopuszczalna temperatura pracy wynosi do C. Osnowy metalowe wyonywane są najczęściej ze stopów różnych metali taich ja aluminium tytan magnez i miedź. Właściwości materiałów na osnowy zestawiono w tabeli..

19 . WŁA NOŚC M ATER AŁ Ó W KOM PO ZYTO WYCH 9 Tabela.. Właściwości materiału na osnowy ompozytów Rodzaj osnowy Gęstość [N/m 3 ] Moduł sprężystości wzdłużnej [GPa] Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] Dopuszczalna temperatura [ C] Polimerowa termoutwardzalna: eposyd fenol poliester Polimerowa termoplastyczna: nylon polieteretereton poliester polietylen Ceramiczna węgli rzemu ic orund Al O Metalowa stopy aluminiowe stopy tytanowe stopy magnezowe stopy miedzi Właściwości ompozytów Kompozyty mają szereg zalet w porównaniu z onwencjonalnymi materiałami onstrucyjnymi. Do najważniejszych należy wysoa sztywność i wytrzymałość właściwa, co przełada się na dużą wytrzymałość przy bardzo małym ciężarze własnym. Porównanie w tym zaresie nietórych ompozytów z materiałami onwencjonalnymi podano w tabeli.3 i na rysunach. i.3 Cecha ta powoduje, że ompozyty wyorzystuje się wszędzie tam, gdzie pierwszorzędne znaczenie ma mały ciężar i duża wytrzymałość (przemysł osmiczny, lotniczy, motoryzacyjny). nną zaletą jest możliwość wyorzystania anizotropii cech sztywnościowych i wytrzymałościowych materiału ompozytowego do jego lepszego dopasowania do onstrucji. Wzmocnienie ułada się ierunach estremalnych naprężeń i odształceń, podobnie ja to się czyni w onstrucjach żelbetowych, przy czym w przypadu ompozytów efetywność tego zabiegu jest dużo więsza.

20 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Tabela.3. Właściwości ompozytów i materiałów onwencjonalnych Materiał Gęstość [N/m 3 ] Moduł sprężystości wzdłużnej [GPa] Wytrzymałość na rozciąganie [MPa] Moduł sprężystości właściwy [m] Wytrzymałość właściwa [m] Dopuszczalna temperatura [ C] drewno świerowe łatwo palne stal węglowa stal stopowa aluminium węgiel/eposyd aramid/eposyd szło E/eposyd Materiały ompozytowe cechuje też wysoa udarność i wytrzymałość zmęczeniowa. Na przyład wytrzymałość zmęczeniowa stali i aluminium wynosi ooło 5% ich wytrzymałości statycznych, podczas gdy dla jednoierunowo zbrojonego ompozytu węgiel/eposyd jest to aż 9%. Więszość ompozytów wyazuje też wysoą odporność na orozję chemiczną, nie wymagają zatem stosowania powło ochronnych, ja to ma miejsce na przyład w przypadu stali. Podstawową wadą ompozytów, tóra w istotny sposób ogranicza powszechność stosowania tego typu materiałów jest cena. Koszt włóien szlanych wynosi. 6. $/g, włóien węglowych $/g, żywica eposydowa osztuje 3. $/g, a gotowe ompozyty w postaci tzw. taśm prepreg szło/eposyd 4. $/g, węgiel/eposyd 4,. $/g. Dla porównania oszt stali wynosi.4. $/g, a aluminium.. $/g. Powyższe ceny - z racji brau tego typu danych u polsich dystrybutorów materiałów onstrucyjnych - podano w dolarach ameryańsich za [6]. Do wad materiałów ompozytowych należy też zaliczyć trudności z onstruowaniem połączeń, szczególnie w onstrucjach prętowych. Ogranicza to zastosowanie ompozytów w budownictwie, gdzie onstrucje prętowe występują nader często. Połączenia typu sworzniowego i śrubowego wyazują małą odporność zmęczeniową. Kompozyty z osnową polimerową posiadają słabą odporność na działanie wysoiej temperatury. Najwięsza temperatura pracy wynosi dla nich ooło 5 C rzado dochodzi do 5 C, podczas gdy elementy wyonane ze stali mogą bezpiecznie znosić temperaturę 5 6 C. Alternatywą jest tu możliwość zastosowania ompozytów z osnową metalową, a jeszcze lepiej ceramiczną, tóre co prawda są dużo droższe, ale za to mają bardzo dużą odporność na działanie wysoiej temperatury. Kompozyty z osnową metalową i ceramiczną są pozbawione jeszcze jednej wady, charaterystycznej dla osnów polimerowych, a mianowicie słonności do absorpcji wilgoci.

21 . WŁA NOŚC M ATER AŁ Ó W KOM PO ZYTO WYCH materiały onwencjonalne ompozyt wytrzymałość właściwa [m] drewno świerowe stal węglowa stal stopowa aluminium włóna węglowe - eposyd włóna aramidowe - eposyd włóna szlane E - eposyd Rys... Wytrzymałość właściwa dla materiałów onwencjonalnych i ompozytowych materiały onwencjonalne ompozyt moduł właściwy [m] drewno świerowe stal węglowa stal stopowa aluminium węgiel - eposyd aramid - eposyd szło E - eposyd Rys..3. Moduł sprężystości właściwy dla materiałów onwencjonalnych i ompozytowych Charaterystyi materiałowe podane w tabelach..3 zostały zaczerpnięte z podręczniów [6], [68], [97]. ch wartości podawane w innych źródłach dla tych samych materiałów mogą się istotnie różnić, na co w wielu opracowaniach zwraca się uwagę. German [3] podaje, że różnice w wytrzymałości lub wartości modułu Younga uzysane z badań laboratoryjnych dwóch identycznych (marosopowo) próbe mogą wynosić od ilu do iludziesięciu procent. Powodem ta dużych różnic jest niejednorodność materiału ompozytowego, wyrażająca się na przyład nadmiernym zagęszczeniem włóien w pewnych rejonach i ich braiem w innych czy zmiany przeroju włóna po jego długości. Należy zatem z dużą rezerwą podchodzić do tego typu danych, a przy projetowaniu oreśla się ich miarodajne wartości w oparciu o metody statystyczne.

22 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH.5. Budowa włónistych ompozytów warstwowych Kompozyt warstwowy jest elementem onstrucyjnym zbudowanym z pojedynczych cienich warstw, zwanych taże laminami. Z uwagi na bardzo małą grubość warstwy tratuje się je jao elementy dwuwymiarowe. Elementami sładowymi warstwy są włóna stanowiące zbrojenie i osnowa zespalająca włóna ze sobą i nadająca warstwie ształt. Z puntu widzenia mechanii warstwa jest materiałem anizotropowym, przy czym równoległy uład włóien i mała grubość nadają jej cechy ortotropii płasiej. Do opisu warstwy przyjmuje się uład odniesienia (, ) związany z orientacją włóien, przy czym oś jest równoległa do ierunu ułożenia włóien (rys..4). Osie ta przyjętego uładu są nazywane głównymi osiami materiałowymi, a onfiguracja geometryczna warstwy względem tego uładu onfiguracją osiową (on-axis). Rys..4. Pojedyncza warstwa ompozytowa i jej uład odniesienia Kompozyt warstwowy, zwany taże laminatem, powstaje przez ułożenie warstw w stosie, jedna na drugiej i trwałe ich zespolenie. Warstwy najczęściej ułożone są ta, aby ieruni włóien były obrócone względem siebie o pewien ąt (rys..5). Dobór tego ąta, a taże sewencja warstw są dobierane w zależności od potrzebnych dla danego zastosowania parametrów sztywnościowych i wytrzymałościowych. Rys..5. Laminat zbudowany z pojedynczych warstw posób ułożenia warstw w laminacie oreśla się za pomocą specjalnego odu, zawierającego informację pod jaim ątem przebiegają olejno włóna w ażdej warstwie w przyjętym uładzie odniesienia i ilość warstw. Na przyład dla laminatu przedstawionego schematycznie na rys..5 od można zapisać [9/α/ α/ α/α/9] lub w sróconej formie [9/α/ α] s gdzie indes s oznacza symetrię.

23 3. POD TAWY MECHAN K KOM PO ZYTÓ W 3 3. Podstawy mechanii ompozytów 3.. Równania fizyczne dla materiałów anizotropowych Do analizy ompozytów wyorzystuje się głównie równania fizyczne liniowej teorii sprężystości, jao że dobrze opisuje ona zachowanie tych materiałów w szeroim zaresie temperatur. W zaresie liniowo-sprężystym obowiązuje prawo Hooe a, tóre w ogólnym sformułowaniu przyjmuje postać: lub po odwróceniu (3.a) ij Cijl ε l ε (3.b) ij ijl l W powyższych równaniach ij, ε ij elementy tensorów naprężenia i odształcenia, zaś C ijl elementy tensora sztywności, ijl elementy tensora podatności. Tensory naprężenia i odształcenia to eulidesowe tensory -ego rzędu, zaś tensory sztywności i podatności są tensorami V-ego rzędu. Tensory C i są tensorami symetrycznymi spełniającymi zależności: T T C C,, Co o C (3.) ymetria tensorów sztywności i podatności wynia z rozważań energetycznych i prowadzi do reducji ich niezależnych sładowych z 36 do. Chęć uproszczenia formy wzorów (3.) doprowadziła do powstania sróconego zapisu macierzowego, zwanego zapisem Voigta. Tensory naprężenia i odształcenia przedstawia się w tym zapisie jao macierze jednoolumnowe, a tensory sztywności i podatności jao macierze wadratowe. Przyjmuje się przy tym następującą zamianę indesów: (3.3) Równanie (3.a) w zapisie Voigta przyjmie zatem następującą postać: C C 3 C 4 C 5 C 6 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 (3.4) Powyższy sposób zapisu powoduje, że utracony jest tensorowy charater macierzy sztywności, podatności oraz macierzy naprężeń i odształceń.

24 4 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH W tym miejscu należy dodać pewien omentarz rytyczny jeśli chodzi o stosowany w wielu opracowaniach macierzowy sposób zapisu, ale z wyorzystaniem podwójnych tensorowych indesów. Mianowicie bardzo często związe (3.a) zapisywany jest w postaci: C C 33 C 3 C 3 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε 33 ε 3 ε 3 ε (3.5) W tle taiego sposobu zapisu stoi chęć użycia indesów wsazujących na rząd tensora, co jedna wydaje się nielogiczne, szczególnie jeśli chodzi o tensory czwartego rzędu, czyli tensory C i. Nie da się bowiem zapisać w sposób płasi (dwuwymiarowy) tensora czwartego rzędu. Zresztą w zapisie (3.5) i ta charater tensorowy macierzy, ε, C i jest utracony, analogicznie ja w przypadu związów (3.4). Pomimo użycia, ja się wydaje odpowiednich indesów, obydwa sposoby zapisu równań fizycznych - wsaźniowy (3.a) i macierzowy (3.5) - nie są równoważne. Obliczając na przyład element, otrzymamy w pierwszym przypadu: a w drugim: C ε C ε C33 ε33 C ε C3 ε3 C ε C ε C ε C33 ε 33 C ε C3 ε3 C3 ε 3 Związe (3.5) będzie równoważny związowi (3.a) jeśli wprowadzi się do niego pewne współczynnii orecyjne przy nietórych elementach równania ja to poazano poniżej: C C C 33 C C C 3 3 C C C 33 C C C 3 3 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε33 (3.6) ε 3 ε 3 ε Współczynnii te można również wyprowadzić w oparciu o matematyczne rozumowanie, w tórym zauważa się, że tensor rzędu ma wszystie własności wetora w 6-cio wymiarowej przestrzeniu eulidesowej, a tensor V rzędu wszystie własności tensora rzędu w tej samej przestrzeni. Uzasadnienie powyższego rozumowania, pochodzące z pracy [5] jest przedstawione w dodatu D.5. Według autora stosowanie zapisu w postaci (3.5) bez wprowadzenia współczynniów orecyjnych i bez powołania się na powyższy formalizm matematyczny może prowadzić do wielu nieporozumień.

25 3. POD TAWY MECHAN K KOM PO ZYTÓ W Równania fizyczne dla warstwy ortotropowej W ompozytach warstwowych daje się wyróżnić trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii, co definiuje ompozyt jao materiał ortotropowy. ymetrie powodują reducję niezależnych elementów macierzy sztywności i podatności z do 9. Ponieważ warstwa ompozytu jest onstrucją dwuwymiarową (jej grubość jest bardzo mała w porównaniu z długością i szeroością) obliczeniowo tratuje się ją jao element płasi. Przyjmuje się zatem, że pomijalnie małe są naprężenia i odształcenia związane z ieruniem zgodnym z normalną do płaszczyzny warstwy (ierune 3 w głównych osiach materiałowych). Założenie to umożliwia analizę warstwy w ta zwanym płasim stanie naprężenia, w tórym: (3.7) Związi fizyczne (3.4) reduują się wówczas do postaci: 6 66 ε ε ε 6 (3.8) ε ε ε (3.9) Macierz sztywności występująca w równaniu (3.8) jest nazywana zreduowaną macierzą sztywności i oznaczana przez. Liczba niezależnych sładowych macierzy podatności i sztywności reduuje się dla płasiego stanu naprężenia do 4. Elementy tych macierzy można przedstawić w funcji ta zwanych stałych inżyniersich, tóre są uogólnionymi modułami sprężystości, ścinania i uogólnionymi współczynniami Poissona. posób oreślania tych stałych polega na przeprowadzeniu trzech myślowych esperymentów, tj. jednoosiowego rozciągania w dwóch ierunach ortotropii i ścinania w płaszczyźnie warstwy (por. [3], [45]). W płasim stanie naprężenia macierz podatności w funcji stałych inżyniersich przyjmuje następującą postać: ν E E ν (3.) E E G Odwracając macierz podatności można otrzymać sładowe zreduowanej macierzy sztywności, tóra w funcji stałych inżyniersich przyjmuje postać:

26 6 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH m E mν E mν m E E G [ ν ν ] m (3.) Występujące w powyższych równaniach stałe materiałowe to: E podłużny moduł Younga, E poprzeczny moduł Younga, G moduł ścinania, ν więszy współczynni Poissona, ν mniejszy współczynni Poissona. Pomimo, że stałych inżyniersich jest pięć, to liczba niezależnych elementów macierzy podatności i sztywności dalej wynosi cztery. ymetria i powoduje, że można zapisać: E ν ν (3.) E Możliwość wyznaczenia wartości mniejszego współczynnia Poissona z zależności (3.) powoduje, że w specyfiacjach charateryzujących materiały ompozytowe podaje się tylo cztery charaterystyi, pomijającν Równania fizyczne dla warstwy ortotropowej w onfiguracji nieosiowej Przedstawione w puncie 3. równania fizyczne dla warstwy ortotropowej w płasim stanie naprężenia, były zapisane w głównych ierunach ortotropii, czyli w ta zwanej onfiguracji osiowej. Analiza wytrzymałościowa ompozytów wymaga zapisu równań fizycznych również w uładzie dowolnie zorientowanym w stosunu do głównych ierunów ortotropii, ponieważ zazwyczaj w tym właśnie uładzie opisane jest obciążenie działające na ompozyt. Zachodzi zatem onieczność wielorotnej transformacji z onfiguracji osiowej do nieosiowej i odwrotnie. Ponieważ macierze, ε, i są tensorami, ich elementy transformują się przy obrocie uładu współrzędnych, zgodnie z prawami transformacji tensorów (odpowiednio i V rzędu): A ' ijl a ' ij α α a (3.3) im i jn jl p l α α α α A (3.4) W analizie ompozytów wyorzystuje się jedynie pierwsze z powyższych równań, w odniesieniu do tensorów naprężenia i odształcenia. Pratyczne wyorzystanie równania (3.4) jest możliwe tylo przy użyciu omputera. Dlatego transformacji macierzy podatności i sztywności doonuje się na drodze przeształceń doonywanych na macierzach, ε, i. Przeształcenia te są przedstawione w dodatu D.. Po transformacji otrzymujemy następujący związe fizyczny zapisany w onfiguracji nieosiowej: lq mnpq

27 3. POD TAWY MECHAN K KOM PO ZYTÓ W 7 x y τ xy ε x ε y τ xy (3.5) Występująca w (3.5) macierz jest nazywana transformowaną zreduowaną macierzą sztywności. W analogiczny sposób postępujemy z macierzą podatności, a związe odwrotny do (3.5) z jej użyciem ma postać: ε x ε y τ xy x y τ xy (3.6) Wzory pozwalające obliczyć poszczególne elementy transformowanych macierzy sztywności i podatności przedstawiono w dodatu D.. W podobny sposób ja to miało miejsce w onfiguracji osiowej, można macierz podatności wyrazić w funcji stałych inżyniersich. Przeprowadza się przy tym serię trzech myślowych esperymentów: rozciąganie w ierunu osi x, rozciąganie w ierunu osi y i ścinanie w płaszczyźnie warstwy. Otrzymana w ten sposób macierz podatności w funcji stałych inżyniersich oraz zależności pomiędzy jej elementami są przedstawione w dodatu D Analiza mechaniczna laminatów Metoda analizy ompozytów warstwowych, uwzględniająca wpływ właściwości mechanicznych poszczególnych warstw na właściwości całego laminatu, nosi nazwę lasycznej teorii laminacji lub lasycznej teorii płyt laminatowych. Podstawowe założenia i równania teorii laminacji można znaleźć w podręczniach [3], [45]. Przedstawiono je również srótowo w dodatu D.3. Rys. 3.. Rozład naprężeń i odształceń w laminacie Na rysunu 3. przedstawiono w sposób poglądowy rozłady naprężeń i odształceń w laminacie, będące onsewencją założeń przyjętych w ramach teorii. Naprężenia w laminacie są definiowane jao wielość uśredniona z naprężeń warstwowych po grubości laminatu. Następnie, analogicznie ja w teorii płyt cienich, definiuje się ta zwane siły i momenty wypadowe (płytowe), zdefiniowane na jednostę szeroości przeroju (rys. 3.).

28 8 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Rys.3.. iły i momenty wypadowe w laminacie Wypadowe siły i momenty w ompozycie warstwowym można przedstawić w postaci: N N N x y xy A A A 6 A A A 6 A A A ε x B ε x B γ xy B 6 B B B 6 B B B κ x κ x κ xy (3.9) M M M x y xy B B B 6 B B B 6 B B B ε x D ε x D γ xy D 6 D D D 6 D D D κ x κ x κ xy (3.) lub w sróconej formie symbolicznej: N A M B B ε D κ (3.) gdzie: ε tensor odształceń powierzchni środowej, κ tensor rzywizn powierzchni środowej. Macierze występujące w równaniach (3.9) i (3.) są definiowane w lasycznej teorii laminatów jao: macierz sztywności tarczowej: A ij N ( ij ) t (3.) macierz sztywności sprzężeń: macierz sztywności giętnej: B ij N ( ij ) t z c (3.3) D ij N 3 t ( ) c ij t ( z ) (3.3) c W powyższych równaniach z oznacza odległość środa ciężości -tej warstwy od płaszczyzny środowej, a t jej grubość. Macierze A, B i D są symetryczne, co wynia z symetrii transformowanej macierzy sztywności.

29 3. POD TAWY MECHAN K KOM PO ZYTÓ W 9 Równania (3.9) i (3.) Wilczyńsi [99] nazywa swego rodzaju związami onstytutywnymi dla laminatu. Analizując ich postać można zauważyć, że istnieje sprzężenie pomiędzy wszystimi odształceniami. Pod wpływem prostego rozciągania wystąpi nie tylo odształcenie wzdłuż działającej siły i w ierunach poprzecznych, ale taże zginanie i zwichrzenie powierzchni środowej. Podobnie dla przypadu prostego zginania (na przyład momentem M x ) laminat dozna nie tylo zginania i zwichrzenia, ale wystąpią w nim również odształcenia charaterystyczne dla stanów tarczowych, czyli rozciągnięcia ze zmianą postaci. W laminatach, dla tórych zeruje się macierz B występuje wyraźny podział na stany tarczowe i giętne podobnie ja w materiałach izotropowych. Dalsze uproszczenia pracy laminatu (przy warunu B ) mogą występować po wyzerowaniu się nietórych elementów macierzy A i D. Na przyład laminat, dla tórego A 6 i A 6, dozna podczas prostego rozciągania jedynie zmiany objętości, podczas gdy dla A ij dozna również zmiany postaci. Jeżeli w stanie płytowym D ij, to laminat podczas zginania ulega zwichrzeniu. Bra zwichrzenia przy zginaniu wystąpi wówczas, gdy D 6 i D 6. Można zauważyć, że zerowanie się macierzy B nastąpi dla tych laminatów, tórych warstwy sładowe są rozmieszczone symetrycznie (zarówno co do onfiguracji ja i materiału) względem powierzchni środowej. ymetryczne warstwy różnią się jedynie znaiem współrzędnej środa ciężości z c, co biorąc pod uwagę postać równania (3.3) prowadzi do wyzerowania się sum iloczynów dla warstw symetrycznych. Jeżeli laminat jest zbudowany z warstw, w tórych włóna są rozmieszczone tylo pod ątem i 9 (ta zwane laminaty rzyżowe), to wyzerowaniu ulegają elementy A 6 i A 6 w macierzy sztywności tarczowej oraz D 6 i D 6 w macierzy sztywności giętnej. Podobne lub inne uproszczenia postaci macierzy A lub D występują dla wielu innych laminatów, tóre charateryzują się pewną regularnością w sewencji ułożenia warstw. Laminaty te slasyfiowano i podzielono na pewne grupy oraz oreślono jaiego rodzaju uproszczenia ich dotyczą. Pełną lasyfiację ompozytów wraz ze szczegółową analizą ich właściwości podano na przyład w [3].

30

31 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 3 4. Wytrzymałość warstwy ompozytowej 4.. Wstęp Wytrzymałość warstwy ompozytowej jest zależna od wytrzymałości elementów jej strutury, czyli włóien i osnowy. Powoduje pewne trudności przy próbie opisu jej wytężenia. Warstwa może się niszczyć przez pęanie włóien przy rozciąganiu lub przez ich wyboczenie przy ścisaniu. Zniszczenie warstwy może również nastąpić na sute uszodzenia samej osnowy, co może być wyniiem działania naprężeń ścinających w płaszczyźnie warstwy lub sił prostopadłych do ierunu ułożenia włóien. Zniszczeniu może również ulec warstwa pośrednia między włónem, a osnową, ta zwane uszodzenie granicy faz. Oczywiście zniszczenie warstwy może również następować w wyniu działania ombinacji wszystich lub nietórych z omówionych sposobów uszodzenia. Podejście do oreślenia wytrzymałości warstwy ompozytowej w oparciu o właściwości elementów strutury jest przedmiotem zainteresowania ta zwanej miromechanii ompozytów. Wspomniane trudności przy tego rodzaju próbie opisu wytężenia powodują, że obecnie dość dobrze rozwinięta jest jedynie analiza wytrzymałości przy rozciąganiu i ścisaniu w ierunu włóien. Tematya związana z miromechanią ompozytów wyracza poza ramy niniejszej rozprawy. nnym sposobem oreślenia wytrzymałości warstwy jest potratowanie jej jao ciała jednorodnego, ale o własnościach ortotropowych. Przez przeprowadzenie testów wytrzymałościowych w głównych ierunach ortotropii wyznacza się doświadczalnie naprężenia niszczące, tóre tratuje się jao charaterystyi wytrzymałościowe. Dla warstwy ompozytowej istnieje pięć granic niebezpiecznych. ą to: X t wytrzymałość na rozciąganie w ierunu włóien, X c wytrzymałość na ścisanie w ierunu włóien, Y t wytrzymałość na rozciąganie w ierunu poprzecznym do włóien, Y c wytrzymałość na ścisanie w ierunu poprzecznym do włóien, wytrzymałość na ścinanie w płaszczyźnie warstwy. Projetant znając naprężenia panujące w warstwie porównuje je z odpowiednimi wartościami granicznymi i jest w stanie na tej podstawie oreślić nośność warstwy nie wniając w struturalne mechanizmy zniszczenia. Analogicznie postępuje się przy projetowaniu onstrucji z materiałów onwencjonalnych, taich ja drewno, beton czy stal. 4.. Warstwa w złożonym stanie naprężenia Warstwa ompozytowa w zdecydowanej więszości przypadów obciążeniowych pracuje w złożonym stanie naprężenia. Nawet najprostsze obciążenie, jaim jest jednoierunowe rozciąganie (lub ścisanie), ale o ierunu nie porywającym się z żadną z osi głównych materiałowych wywołuje w warstwie wieloosiowy stan naprężenia (rys 4.). Jest to związane z oniecznością transformacji obciążenia do ierunów głównych osi materiałowych, ponieważ w tych właśnie ierunach zostały oreślone wymienione wyżej charaterystyi wytrzymałościowe.

32 3 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Rys. 4.. Wieloosiowy stan naprężenia w warstwie ompozytowej Odpowiedź na pytanie w jaim stanie wytężenia znajduje się dowolny punt ompozytu, będący pod działaniem złożonego stanu naprężenia, jest możliwa tylo przy użyciu hipotez wytężeniowych, podobnie ja to ma miejsce dla materiałów izotropowych. Oczywiście ryteria wytężeniowe formułowane dla ompozytów muszę uwzględniać występowanie aż pięciu granic niebezpiecznych (lub tylo trzech, jeżeli nie uwzględnia się różnych wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie w ierunach głównych osi materiałowych) Waruni stawiane ryteriom wytężeniowym Kwestia sformułowania w prawidłowy sposób ryterium wytężeniowego wymaga nieco szerszej dysusji. Powinno ono spełniać szereg warunów, z tórych najważniejsze można przedstawić następująco [99]: ) ryterium powinno być niezależne od przyjętego uładu odniesienia, ) powierzchnia graniczna powinna być zamnięta i wypuła, 3) ryterium powinno być alternatywnie wyrażane przez naprężenia i odształcenia, 4) powinno być nieczułe na zna naprężenia stycznego. Wypułość powierzchni granicznej jest waruniem jednoznaczności rozwiązania i oznacza, że zadana trajetoria naprężeń przecina tą powierzchnię doładnie w jednym puncie. Z olei zamnięcie rzywej warunuje ograniczoność wytrzymałości. Ważnym przypadiem stanu naprężenia w warstwie ompozytowej jest stan dwuosiowy, między innymi z powodu możliwości przeprowadzenia weryfiacji doświadczalnej wybranej hipotezy. W dwuosiowym stanie naprężenia obwiednia graniczna przyjmuje ształt rzywej płasiej. Dla przyładu, jeżeli naprężenia styczne 6, to ryterium wadratowe w przestrzeni naprężeń przyjmie następującą ogólną postać: a b c d e (4.) Zależność (4.) przedstawia równanie rzywej stopnia drugiego (ta zwanej rzywej stożowej). Współczynnii a, b, c, d i e tego równania zależą od charaterysty wytrzymałościowych warstwy i dla ażdego ryterium są liczbami rzeczywistymi. Wielość: δ b a c (4.) jest niezmienna (dla postaci równania 4.) przy przesunięciu początu uładu współrzędnych i przy jego obrocie. W zależności od znau wyrażenia δ równanie (4.) może przedstawiać elipsę, hiperbolę, a nawet parę prostych. pełnienie postulatu mówiącego, że obwiednia graniczna ma być rzywą zamniętą sprawia, że aby wyrażenie (4.) mogło być przyjęte jao

33 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 33 ryterium wytężeniowe dla danego materiału, musi przedstawiać sobą równanie elipsy, co jest równoznaczne ze spełnieniem warunu: δ < (4.3) Ogromna różnorodność materiałów ompozytowych, ta pod względem materiału, ja również sposobu i stopnia wzmocnienia, powoduje, że wartości charaterysty wytrzymałościowych X i, Y i i mogą przybierać pratycznie dowolne wartości. Ponieważ wyrażenie (4.) jest funcją tych charaterysty, może się oazać, że dla pewnych ich ombinacji warune (4.3) nie będzie spełniony, co oznacza, że dane ryterium nie opisuje zniszczenia taiego materiału. Dysusja na ten temat jest przeprowadzona w puncie 4.4. niniejszego rozdziału Kryteria wytężeniowe dla warstwy ompozytowej Kryteria wytężeniowe opisują powierzchnię graniczną materiału, czyli granicę stanu niebezpiecznego w danym puncie. Dla materiałów ompozytowych jao stan niebezpieczny oreśla się oniec liniowej sprężystości. Kryteria wytężeniowe są fenomenologiczne, to znaczy nie oreślają fizycznych przyczyn zniszczenia, podając jedynie przy jaiej ombinacji naprężeń to zniszczenie nastąpi. Więszość ryteriów opisuje granice niebezpieczne jao powierzchnie drugiego stopnia sformułowane w przestrzeni naprężeń (,, 6 ) lub w przestrzeni odształceń, co z uwagi na odwrotność równań fizycznych powinno prowadzić do tych samych rozwiązań. Doładna liczba ryteriów wytężeniowych sformułowanych dla materiałów ompozytowych jest pratycznie nie do ustalenia, gdyż wciąż pojawiają się w literaturze nowe propozycje. pośród prac na ten temat, jaie uazały się w ostatnim dziesięcioleciu można wymienić [7], [8], [5], [53], [67], [7], []. M u c [63] szacuje, że różnych ryteriów wytężeniowych dla ompozytów może być nawet ilaset. Przegląd ryteriów wytężeniowych stosowanych dla materiałów ompozytowych wraz z ich analizą można znaleźć na przyład w pracach Dąbrowsiego [9], N e i m i t - z a [66] i T h o m a [89]. J e m i o ł o [4] przedstawia w oparciu o przegląd literatury hipotezy wytężeniowe dla materiałów o symetrii ortotropowej, transwersalnie izotropowej i ubicznej. Poniżej zostaną przedstawione wybrane ryteria wytężeniowe, mające zastosowanie dla materiałów ortotropowych. Wybrane zostały ryteria najczęściej stosowane w pratyce projetowej (wyorzystywane w omercyjnych programach inżyniersich), a taże często omawiane w podręczniach ([3], [45], [47], [97]) i artyułach z zaresu mechanii ompozytów ([8], [], [46], [68], [83], [89]). Kolejność prezentacji została przyjęta zgodnie z chronologią ich publiacji Kryterium Tsaia-Hilla (965) H i l l [34] uogólnił ryterium wytężenia Hubera-Misesa-Hency ego na materiały ortotropowe w 95 rou, natomiast T s a i [93] przedstawił go w postaci zawierającej wytrzymałości warstwy w ierunach głównych osi materiałowych. Kryterium to dla płasiego stanu naprężenia przyjmuje postać: X 6 Y X (4.4) Kryterium to uwzględnia interację naprężeń i, nie uwzględnia jedna w sposób bezpośredni różnych wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie w tych samych ie-

34 34 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH runach. Tsai i Azzi wyazali jedna, że można używać wytrzymałości na rozciąganie lub ścisanie jao funcji atualnego stanu naprężenia. Oznacza to że jeżeli warstwa jest ścisana wzdłuż i rozciągana w poprze włóien to do równania (4.4) należy podstawić X c i Y t. Kryterium Tsaia-Hilla należy do najbardziej rozpowszechnionych i powszechnie aceptowanych ryteriów Kryterium Hoffmana (967) By uwzględnić w sposób bezpośredni różnice w wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie w tych samych ierunach Hoffman [35] dodał do ryterium Tsaia- Hilla człony liniowe, przy czym wytrzymałości na ścisanie w obu ierunach należy uwzględniać z odpowiednim znaiem, to znaczy przyjmować - X c i -Y c. Dla płasiego stanu naprężenia ryterium to przyjmuje postać: X X c X t Yc Yt 6 c X t X c X t Yc Yt X c X t Yc Yt (4.5) Dla przypadu, gdy ryterium Tsaia-Hilla (4.4). X c X X i Y Y Y ryterium to reduuje się do t c t Kryterium MDE (969) Nazwa ryterium to srót od Modified Distortion Energy (MDE) failure criterion. Kryterium to jest bowiem modyfiacją energetycznego ryterium Tsaia-Hilla (4.4). Zostało opracowane w NAA przez Christosa C. Chamisa [9]. Kryterium to zapisane dla płasiego stanu naprężenia ma postać: X 6 K Y X Y (4.6) gdzie: ( 4ν ν3) E ( ν 3) E E E ( ν ν )( ν ν ) K (4.7) 3 3 Wspomniana modyfiacja ryterium Tsaia-Hilla dotyczy sposobu uwzględnienia interacji naprężeń i. W ryterium (4.4) była ona odniesiona do wadratu wytrzymałości na rozciąganie (ścisanie) w ierunu włóien, tutaj zaś do iloczynu wytrzymałości wzdłuż i w poprze włóien. Dodatowo występuje współczynni K, tóry jest funcją charaterysty sztywnościowych materiału. Ja widać K zależy nie tylo od mniejszego i więszego współczynnia Poissona ν i ν, ale taże od współczynniów ν 3 i ν 3, związanych z płaszczyznami prostopadłymi do płaszczyzny warstwy (, ). Kryterium MDE nie jest ta rozpowszechnione w pratyce projetowej i literaturze ja ryterium Tsaia-Hilla czy Hoffmana, zostało jedna tutaj przytoczone ze względu na swoje podobieństwo do wyspecyfiowanego w niniejszej pracy ryterium zniszczenia warstwy, opartego na ogólnym sformułowaniu Rychlewsiego. Będzie to poazane szczegółowo w rozdziale 7. W obu tych przypadach, w ryterium sformułowanym w przestrzeni naprężeń obo charaterysty wytrzymałościowych X i, Y i, występują taże charaterystyi sztywnościowe w postaci stałych inżyniersich. Ta sformułowane ryteria wytężeniowe są spoty-

35 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 35 ane stosunowo rzado. Obo ryterium MDE można do nich zaliczyć ryterium energetyczne andhu [78] i ryterium Chang-Chang []. Kryterium Chamisa zostało wyorzystane w systemie omputerowym CAN (ntegrated Composite ANalyzer), służącym do projetowania i analizy onstrucji wyonanych z materiałów ompozytowych. ystem ten został stworzony w NAA w 985 rou [63] Kryterium Tsaia-Wu (97) W 967 Malmaister [58] sformułował ryterium w postaci niesończonego wielomianu tensorowego, tórego postać, przy uwzględnieniu notacji Voigta jest następująca: F F F... (4.8) i i ij i j ij i j Ponieważ wyrażenie oreślające funcję wytężenia materiału musi być sończone, oraz z powodu trudności jaie wyniają ze stosowania tensorów wyższych rzędów niż czwartego, Tsai i Wu [9] zaproponowali ryterium, w tórym ograniczyli się tylo do dwóch pierwszych wyrazów wielomianu (4.8). Kryterium to dla płasiego stanu naprężenia w warstwie ompozytu reduuje się do postaci: F F F F F F F (4.9) Wszystie sładowe tensorów wytrzymałości, występujące w (4.9) za wyjątiem F da się wyznaczyć w prostych próbach wytrzymałościowych. Otrzymamy wówczas: F F X t X c X t X c F Y Y F t c Y t Yc F 66 F 6 (4.) ładowa F związana z interacją naprężeń i jest możliwa do wyznaczenia jedynie w teście dwuosiowym. Jeżeli przyjąć 6, / B to z równania (4.9) otrzymamy: F BF F BF F (4.) B o wartościach różniących się w granicach błędu pomiaru, otrzymamy współczynnii F, dla tórych rzywe graniczne będą znacznie różnić się od siebie. Przyład esperymentalnego wyznaczenia wartość współczynnia F, dla nietórych materiałów ompozytowych przedstawiają w swoich pracach B e n- zeggagh i in. [4] oraz Gołasi [4]. Wspomniany test jest jedna bardzo trudny do przeprowadzenia, przez duży wpływ F na stabilność ryterium i na zamnięcie się rzywej granicznej w dwuosiowym stanie naprężenia. Niewielie różnice w wartościach tego współczynnia mogą powodować bardzo istotne zmiany w ształcie rzywej granicznej, od zbyt wydłużonej elipsy aż do przejścia w dwie hiperbole. Może się oazać, że dla par ( ),

36 36 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Tsai i Wu podają, że jeżeli parametr: F F F F (4.) mieści się w granicach < F <, to ryterium (4.9) jest stabilne i daje zamniętą obwiednię graniczną, proponują jedna, dla więszości materiałów przyjmować < F. Tsai i Hahn proponują przyjmować F. 5 i ta propozycja jest najbardziej rozpowszechniona w pratyce, wszędzie tam, gdzie bra jest wiarygodnych danych doświadczalnych do oreślenia współczynnia F na drodze esperymentu Kryteria wytężeniowe identyfiujące mechanizm zniszczenia Możliwość identyfiacji sposobu zniszczenia ma istotne znaczenie przy analizie nośności laminatu, czyli ompozytu złożonego z wielu warstw warstw. Analizując laminat warstwa po warstwie atualizuje się macierz podatności przez reduowanie tych jej elementów sładowych, tóre są związane ze sposobem zniszczenia. Kryteria wytężeniowe omówione w tym puncie są sformułowane w sposób umożliwiający odpowiedź na pytanie jai mechanizm uszodzenia, doprowadził do zniszczenia warstwy Kryterium naprężenia / odształcenia masymalnego (9) Kryterium to jest najstarszym z ryteriów stosowanych w analizie wytrzymałościowej ompozytów i jednocześnie najprostszym. Zostało zaproponowane przez Jeninsa [43], tóry niewątpliwie wzorował się na znanej z wytrzymałości materiałów izotropowych hipotezie masymalnych naprężeń głównych (hipoteza Galileusza). Kryterium to sformułowane w przestrzeni naprężeń przybiera następującą postać: X ( ), X ( ) t > ( ) t > c < Y, Y ( ) c < (4.3) 6 W myśl tego ryterium warstwa ulega zniszczeniu, jeżeli tóreolwie z równań (4.3) jest spełnione. Analogicznie można zapisać to ryterium w przestrzeni odształceń. Widać, że jest możliwość identyfiacji sposobu uszodzenia, ponieważ ażde z równań (4.3) przedstawia warune wytrzymałości w jednym z ierunów głównych ortotropii. Jeżeli na przyład spełnione będzie równanie X powiemy, że zniszczenie warstwy nastąpiło t przez pęanie włóien przy rozciąganiu. Jeżeli Y wsazanym przez ryterium mechanizmem zniszczenia będzie pęanie matrycy. Kryterium (4.3) ma jedna zasadniczą wadę, mianowicie nie uwzględnia sprzężenia między poszczególnymi naprężeniami, co może prowadzić do niezgodności prognozowanej przez nie nośności z wyniami badań doświadczalnych. Nietórzy współcześni badacze uważają jedna, że to ryterium wcale nie wypada gorzej pod względem zgodności t

37 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 37 z doświadczeniem niż inne, bardziej wyrafinowane ryteria wytężeniowe, a jego prostota i możliwość identyfiacji mechanizmu zniszczenia mogą stanowić o jego przewadze. Na przyład Zinoviev i in. w pracy [4] zastosowali to ryterium w zaproponowanej przez siebie metodzie analizy zniszczenia laminatu i uzysali bardzo dobrą zgodność z wyniami badań doświadczalnych. wanson i Tras [85] przeprowadzili próby wytrzymałościowe przy dwuosiowym rozciąganiu laminatu z materiału węgiel/eposyd o odzie [/±6]. Porównując wynii doświadczenia z analizą teoretyczną, przeprowadzoną dla ilu ryteriów, uzysali zdecydowanie najlepszą zgodność dla ryterium masymalnych odształceń Kryterium Hashina-Rotema (973/98) Pierwsza wersja tego ryterium została sformułowana przez Hashina i Rotema [7], a później rozwinięta przez Hashina [8]. Dla płasiego stanu naprężenia ryterium to przyjmuje postać: 6 > ( ) X t X ( ) c < 6 > Y t ( ) 4 Yc 6 ( ) 4 3 Yc < 3 (4.4) 6 Ja widać ryterium (4.4) to w zasadzie cztery niezależne ryteria wybierane w zależności od znau naprężeń i. Kryterium to nie uwzględnia interacji między naprężeniami i, a dla przypadu gdy i reduuje się do ryterium masymalnych naprężeń głównych. W równaniu obowiązującym dla < występuje wytrzymałość na ścinanie w płaszczyźnie (, 3), oznaczona 3. Wytrzymałość ta nie wchodzi w sład standardowych charaterysty wytrzymałościowych wyznaczanych dla płasiej warstwy ompozytowej, należy zatem oreślić ją na drodze dodatowego esperymentu. Thom [89] zwraca uwagę, że test tai jest bardzo trudny do przeprowadzenia, podając jednocześnie, że P u c proponuje przy brau danych doświadczalnych przyjmować Y > 3 t Kryterium Puca (996) Kryterium sformułowane przez Puca [7] rozróżnia zniszczenie włóien i zniszczenie osnowy. Załada przy tym, że na uszodzenie włóien mają wpływ tylo naprężenia o ierunu zgodnym z ułożeniem włóien, a więc. Kryterium przyjęte dla tego sposobu zniszczenia jest połączeniem hipotez masymalnego naprężenia i masymalnego odształcenia i przyjmuje postać: ε X ε L (4.5)

38 38 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH gdzie ε L oznacza odształcenie niszczące, przy rozciąganiu (lub ścisaniu) w ierunu włóien. W zależności od znau naprężeń należy przyjąć X t lub X c. W przypadu osnowy Puc przyjął założenie, że niszczy się ona na sute działania naprężeń ścinających oraz poprzecznych do włóien. Formułuje przy tym rzywe graniczne w zależności od trzech przypadów uszodzenia. Pierwszy z nich, oznaczony przez A, dotyczy działania naprężeń ścinających i rozciągających. Przypade drugi, oznaczony przez B, dotyczy działania naprężeń ścinających i ścisających, ale o niewieliej wartości. Wreszcie przypade trzeci, oznaczony przez C, to działanie naprężeń ścinających w połączeniu ze ścisającymi, ale o znacznej wartości. W przypadach A i B zniszczenia osnowa pęa w płaszczyźnie prostopadłej do naprężeń poprzecznych, natomiast w przypadu C w płaszczyźnie nachylonej (rys. 4.). Krzywa graniczna dla przypadu A przedstawia równanie elipsy w postaci: 6 Y t p p Y t > (4.6) W równaniu (4.6) p przedstawia bezwzględną wartość współczynnia nachylenia stycznej do rzywej granicznej w puncie przecięcia się tej rzywej z osią naprężeń stycznych 6. Aby lepiej dopasować ształt rzywej do danego materiału współczynni ten należy wyznaczyć na drodze doświadczalnej. W przypadu brau możliwości przeprowadzenia doświadczenia Puc proponuje przyjmować p.3. Dla przypadu zniszczenia B rzywa graniczna jest równaniem paraboli w postaci: ( p ) p 6 R 3 <, (4.7) 6 p 3 zaś dla przypadu C przedstawia równanie elipsy w postaci: 6 ( p ) Y 3 c Y c R 3 <, (4.8) 6 p 3 Współczynni p ma taą samą interpretację ja p przy czym występuje po stronie naprężeń ścisających, stąd zna minus w indesie górnym. Również ten współczynni należy wyznaczać na drodze esperymentu, natomiast przy brau danych doświadczalnych można przyjmować p.. Wielość R 3 jest nazwana przez Puca odpornością materiału na poślizg przy poprzecznym ścinaniu i wyraża się wzorem:

39 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 39 R 3 p p Y c (4.9) ens przyjętej nazwy dla R 3 jest tłumaczony tym, że jest to wartość naprężenia poprzecznego po przeroczeniu tórego następuje przejście ze sposobu zniszczenia B do sposobu C, a więc pojawienia się poślizgu na powierzchni pęania. Rys. 4.. Obwiednia graniczna dla ryterium Puca w przestrzeni (, 6 ) wg [73] Współczynni p 3 nie ma interpretacji geometrycznej ta ja p czy p, jest natomiast związany ze jednym z nich relacją: R p 3 3 p (4.) Ta więc ryterium Puca w przestrzeni naprężeń (, 6 ) daje obwiednię graniczną w postaci połączenia trzech rzywych, opisanych równaniami ( ). Kształt tej obwiedni, wraz z charaterystycznymi jej puntami podano na rysunu 4.. Na rysunu 4. przyjęto inne oznaczenia niż w niniejszej pracy. Dla jasności podane ( ) A ( ) zostaną odpowiednie relacje: R Yt, R Y c, R A R A R, c p 3 τ., 3 Wadą omawianego ryterium jest bra uwzględniania interacji naprężeń i, podobnie ja to ma miejsce w przypadu ryterium Hashina-Rotema. Przy 6 ryterium to reduuje się do ryterium masymalnych naprężeń.

40 4 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH 4.6. Analiza wybranych ryteriów wytężenia Niniejszy rozdział zawiera oryginalne, autorsie porównanie wymienionych w puncie 4.3 ryteriów wytężeniowych dla ilu różnych materiałów ompozytowych. Przedstawiono w nim też analizę stabilności ryteriów, czyli wpływu współczynnia interacji naprężeń normalnych na postać obwiedni granicznej. Wszystie obliczenia numeryczne w tym rozdziale, ja również w pozostałej części pracy wyonane zostały przy użyciu programu Mathcad Porównanie ryteriów Wymienione w puncie 4.3 ryteria wytężeniowe zostaną porównane ze sobą przez wyreślenie obwiedni granicznych dla warstwy ompozytowej, zbrojonej włónami jednoierunowymi. Dla uproszczenia rozważone zostaną przypadi dwuosiowego stanu naprężenia, dla tórych obwiednie graniczne przyjmują ształt rzywych płasich. Do porównania wybrano ompozyty o osnowie eposydowej zbrojonej trzema rodzajami włóien, a mianowicie włónami aramidowymi Kevlar 49, węglowymi T3 oraz szlanymi ilena E-glass. Charaterystyi wytrzymałościowe i sztywnościowe dla tych materiałów zostały przedstawione w dodatu D.4. Na rysunach 4.3 i 4.4 przedstawiono rzywe graniczne wyznaczone według ryteriów Tsaia-Hilla, Hoffmana, MDE i Tsaia-Wu przestrzeni naprężeń (, ). Równania tych rzywych uzysano z wyrażeń (4.4, 4.5, 4.6, 4.9), podstawiając 6. Ponieważ ryteria Tsaia-Hilla i MDE nie uwzględniają w sposób bezpośredni różnych wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie wzdłuż i w poprze włóien, obwiednie graniczne dla tych ryteriów narysowano w postaci czterech różnych rzywych, ażda w innej ćwiartce uładu (, ). Równania tych rzywych uzysano podstawiając w miejsce X i Y do (4.4) i (4.6) odpowiednio X t dla >, X c dla <, Y t dla > oraz Y c dla <. W przypadu ryterium Tsaia- Wu przyjęto F. 5 według propozycji Tsaia i Hahna. Na rysunu 4.5 przedstawiono rzywe graniczne w przestrzeni (, ) wyznaczone według ryteriów, masymalnych naprężeń (4.3), Hashina-Rotema (4.4) i Puca (4.5), czyli tych, dla tórych możliwa jest identyfiacja sposobu zniszczenia. Ja widać wszystie te ryteria dają identyczne obwiednie graniczne w postaci czterech prostych równoległych do osi uładu współrzędnych i przechodzących przez punty charaterystycznych wytrzymałości X i, Y i. Ta bardzo prosta postać obwiedni jest onsewencją nieuwzględniania przez te ryteria interacji naprężeń i. Dla porównania przedstawiono obwiednię wyznaczoną dla tych samych danych według ryterium Tsaia-Wu.

41 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 4 Rys Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału aramid / eposyd (Kevlar 49 / Epoxy) Rys Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału węgiel / eposyd (T3 / 934)

42 4 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Rys Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału szło / eposyd (ilena E-Glass / MY75) Rys Obwiednie graniczne dla warstwy z materiału aramid / eposyd (Kevlar 49 / Epoxy) Kształt obwiedni granicznych w przestrzeni (, 6 ) przedstawia rysune 4.6. W przestrzeni tej wyznaczono rzywe według ryteriów Tsaia-Hilla, Hoffmana, MDE, Tsaia- Wu oraz Hashina-Rotema. Ponieważ w tym przypadu i zniają człony związane z interacją naprężeń normalnych, to ryteria Tsaia-Hilla i MDE oraz ryteria Hoffmana i Tsaia-Wu przyjmują odpowiednio taie same postacie. Kryterium Hashina-Rotema porywa się z ryteriami Tsaia-Hilla i MDE dla >, czyli w pierwszej i trzeciej ćwiartce uładu

43 4. WY TR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 43 (, 6 ) natomiast przyjmuje niezależną postać dla dla <. Wyznaczając obwiednię według ryterium Hashina-Rotema przyjęto, zgodnie z zaleceniem Puca 3 Y t. Analiza przedstawionych wyresów poazuje, że ryteria wytężeniowe stosowane w analizie wytrzymałościowej ompozytów mogą dawać dla tego samego materiału obwiednie graniczne dość istotnie różniące się między sobą. W przypadu przestrzeni (, ) różnice te są szczególnie widoczne w ćwiartce i, czyli dla interacji naprężeń o tym samym znau. W przypadu interacji ścisania wzdłuż z rozciąganiem w poprze włóien (ćwiarta ) różnice te są natomiast bardzo małe. Daje się również zauważyć odmienny ształt rzywych uzysanych według tych samych ryteriów, ale dla różnych materiałów. Przyładowo elipsa uzysana z ryterium Tsaia- Hilla dla materiału aramid/eposyd jest bardziej wydłużona w ćwiartce aniżeli w uładu (, ), natomiast w przypadu materiału węgiel/eposyd występuje sytuacja odwrotna. Podobna sytuacja występuje dla tego materiału w przypadu ryterium MDE. Należy tutaj zauważyć, że wydłużenie rzywej jaie obserwujemy dla tego ryterium w ćwiartce i wydaje się być zbyt duże aby poprawnie opisywało wytrzymałość warstwy (rys. 4.3). Dla przestrzeni naprężeń (, 6 ) i (, 6 ) poszczególne ryteria zazwyczaj dość zgodnie prognozują zniszczenie materiału, chociaż w przypadu przedstawionym na rys. 4.6 dla zaresu < występuje dość znaczna różnica między ryteriami Tsaia-Hilla i MDE, a pozostałymi Wpływ współczynnia interacji na ształt rzywej granicznej Współczynni interacji F występuje w równaniach poszczególnych ryteriów wytężeniowych jao mnożni przy członie oreślającym interację naprężeń normalnych i. Wyrażenia oreślające współczynni interacji dla wymienionych w tej pracy ryteriów wytężeniowych zestawiono w tabeli 4.. Dla ryterium Tsaia-Wu podano współczynni proponowany przez Tsaia i Hahna natomiast w ogólności dla tego ryterium współczynni interacji powinien być oreślony doświadczalnie. Tabela 4.. Współczynni interacji F dla różnych ryteriów wytężeniowych Kryterium Tsai-Hill Hoffman MDE Tsai-Wu F X X c X t K X Y X t X Y Y c t c Ja się oazuje wartość współczynnia F może mieć istotny wpływ na ształt rzywej granicznej, decydując o przydatności ryterium dla danego materiału. Współczynni ten występuje bowiem w warunu (4.3) oreślającym ształt wyresu. Wpływ współczynnia interacji na stabilność nietórych ryteriów zostanie przedysutowany w olejnych puntach. Kryterium Tsaia-Wu Kryterium Tsaia-Wu jest najbardziej rozpowszechnione w analizie wytrzymałościowej ompozytów, a taże wielu innych materiałów anizotropowych. Badając stabilność ryterium dla przypadu dwuosiowego stanu naprężenia w przestrzeni naprężeń (, ) sprawdzamy warune (4.3). Ponieważ współczynnii równania (4.) wynoszą dla ryterium Tsaia- Wu odpowiednio: a F (4.) b F c F

44 44 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH to warune (4.3) można zapisać następująco: co po wprowadzeniu współczynnia < F F F (4.) F według wzoru (4.) prowadzi do nierówności: < F < (4.3) Tai właśnie warune podają Tsai i Wu jao gwarantujący zamnięcie się obwiedni granicznej. Widać więc, że na stabilność ryterium ma wpływ współczynni wytrzymałości F, tóry powinno się oreślić na drodze esperymentu w teście dwuosiowym. Dla pary naprężeń (, ) niszczących materiał oreśla się F z równania (4.) po przyjęciu / B. Ustalenie wartości parametru B, oreślającego stosune przyładanych obciążeń w dwuosiowej próbie wytrzymałościowej, jest sprawą niezwyle trudną, co może obrazować poniższy przyład. Kompozyt ilena E-glass/MY759 epoxy poddano działaniu dwuosiowego stanu naprężenia (rozciąganie wzdłuż ze ścisaniem w poprze włóien). Doświadczenie opisano w [8], a jego wynii w postaci graficznej i liczbowej poazuje rysune 4.7. Rys Rezultaty dwuosiowego testu dla warstwy szło/eposyd wg [8] Charaterystyi wytrzymałościowe analizowanego ompozytu są następujące: X t 8 MPa, X c 8 MPa, Y t 4 MPa, Y c 45 MPa. Celem wyreślenia obwiedni granicznej według ryterium Tsaia-Wu wyznaczono z równań (4.) wartości współczynniów wytrzymałości F, F, F i F, a następnie dla ażdej pary naprężeń niszczących ( x, y ) wyznaczonych doświadczalnie obliczono wartości parametru B i współczynnia F z równania (4.). Dla ażdej z wyznaczonych wartości F otrzymujemy różne rzywe graniczne, przy czym różnice między tymi rzywymi są znaczące. Na rysunu 4.8 poazano rzywe otrzymane z trzech wybranych puntów pomiarowych. Punty i odpowiadające im rzywe zaznaczono na rysunach 4.7 i 4.8 tymi samymi olorami. Dla porównania narysowano też rzywą graniczną (olor czerwony) dla współczynnia F.5 według zaleceń Tsaia i Hahna.

45 4. WYTR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 45 Rys Krzywe graniczne wg ryterium Tsaia-Wu dla różnych wartości F Przyład powyższy poazuje trudności w doświadczalnym wyznaczeniu współczynnia wytrzymałości F oraz jego duży wpływ na stabilność ryterium. Podobną czułość na zmiany współczynnia interacji naprężeń i wyazują też inne ryteria sformułowane w postaci powierzchni i rzywych stożowych. Dysusję na temat wpływu współczynnia F na ształt obwiedni granicznej dla ryterium Tsaia-Wu można znaleźć w pracach [89] i [96]. Kryterium MDE (Chamisa) Warune (4.3) na zamnięcie rzywej granicznej przyjmuje dla ryterium MDE następującą postać: K δ < (4.4) 4 X Y X Y Ponieważ iloczyn wadratów wytrzymałości X Y jest zawsze więszy od zera warune (4.4) upraszcza się do postaci: K < (4.5) 4 z czego wynia, że ryterium MDE będzie dawało rzywą graniczną w postaci elipsy jeżeli współczynni K będzie przyjmował wartości z zaresu: < K < (4.6) Współczynni K jest funcją charaterysty sztywnościowych materiału i obliczany jest z zależności (4.7). Obo standardowych charaterysty sztywnościowych, wyznaczanych w próbach wytrzymałościowych dla płasiego stanu naprężenia, występują w (4.7) również współczynnii Poissona związane z ieruniem prostopadłym do płaszczy-

46 46 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH zny warstwy, czyli ν 3 i ν 3. Współczynnii te nie zawsze są podawane przez producenta ompozytu w specyfiacji materiału. W taim przypadu można przyjąć: ν 3 ν (4.7) Współczynni ν 3 należy wówczas wyznaczyć jedną z metod miromechanii ompozytów, tóre pozwalają oreślać parametry ompozytu na podstawie właściwości jego sładniów. ą to ta zwane teorie wzmocnienia ompozytów, tórych w literaturze można spotać bardzo dużą ilość. Przyładem może być rozwiązanie opracowane przez Wilczyńsiego [99], z tórego można wyznaczyć: G m Gm ( v f ) G f v f [ v ( v ) ] G v ( v ) 3 Gm (4.8) G f gdzie: G m moduł ścinania osnowy, G f moduł ścinania włóien, v f objętościowy udział włóien, a następnie dalej z zależności między stałymi inżyniersimi w liniowej sprężystości: f f f E ν 3 (4.9) G Oreślanie współczynnia ν 3 ze wzorów (4.8) i (4.9) może być obarczone błędem dochodzącym do % w stosunu do wartości wyznaczonej doświadczalnie. Poniżej zostanie przedstawiony wpływ przyjęcia różnych wartości tego współczynnia na ształt rzywej granicznej wyznaczonej według ryterium MDE. Dla ompozytu o osnowie eposydowej zbrojonej włónami węglowymi o nazwie handlowej GY7/934 zostały wyznaczone rzywe graniczne dla dwóch różnych wartości współczynnia ν 3. Charaterystyi sztywnościowe i wytrzymałościowe dla tego materiału przyjęte według [5] wynoszą: X t 589 MPa, X c 49 MPa, Y t 9.4 MPa, Y c 98. MPa, E 94 GPa, E 6.4 GPa, G 4.9 GPa, v.3. W cytowanym źródle bra jest danych dotyczących wpółczynnia ν 3. Przyjęto zatem wartość tego współczynnia przez analogię do podobnych materiałów. Dla więszości ompozytów o osnowie eposydowej zbrojonych włónami węglowymi współczynni ν 3 przyjmuje wartości od.4 (ompozyty A4/35-6, T3/BL94C, wg [8]) do.6 (ompozyty T3/934, T3/58 wg [47]). Przyjęto zatem te dwie graniczne wartości i dla nich narysowano rzywe wytrzymałości. Krzywe te przedstawiono na rysunu 4.9. Kryterium MDE nie uwzględnia w sposób bezpośredni różnych wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie w tych samych ierunach. tosując je, wstawiamy odpowiednio wytrzymałość na rozciąganie lub ścisanie w zależności od znau naprężeń, analogicznie ja dla ryterium Tsaia-Hilla. Prowadzi to do czterech różnych rzywych rysowanych w poszczególnych ćwiartach uładu (, ). Otrzymane rezultaty poazują dużą czułość ryterium MDE na wartości współczynnia interacji F. Kształty rzywych granicznych wyznaczonych dla dwóch różnych wartości ν 3 istotnie różnią się od siebie. Krzywa pomarańczowa jest zbyt wydłużona w ćwiartce i aby poprawnie opisywała zniszczenie tego ompozytu. Należy zaznaczyć, że różnice pomiędzy przyjętymi tutaj wartościami współczynnia ν 3 mieszczą się w granicach podanego wyżej błędu % pomiędzy wartością obliczoną, a wyznaczoną doświadczalnie. Również wynii doświadczeń mogą być obarczone pewnym błędem. Wszysto to sprawia, że dla pewnych materiałów ryterium MDE może dawać wynii niezgodne z doświadczeniem lub 3 f

47 4. WYTR ZYM AŁ OŚĆ WAR TWY KOM P O ZY TOWEJ 47 w ogóle nie opisywać ich wytrzymałości, w przypadu niezamyania się rzywej granicznej (dla < K < ). Rys Krzywe graniczne wg ryterium MDE dla różnych wartości ν 3 Pozostałe ryteria Współczynni interacji F dla pozostałych ryteriów wytężeniowych wymienionych w niniejszej pracy nie wpływa w istotny sposób na ich stabilność. Dla ryterium Tsaia- Hilla (4.4) warune (4.3), gwarantujący zamnięcie się rzywej granicznej przyjmuje postać: natomiast dla ryterium Hoffmana (4.5): c Y < X (4.3) Y Y < 4 X X (4.3) t Ponieważ dla ompozytów włónistych wytrzymałość X w ierunu włóien jest zawsze więsza od wytrzymałości Y w poprze włóien (dla mat zbrojonych dwuierunowo wytrzymałości te mogą być co najwyżej równe), to waruni (4.3) i (4.3) są zawsze spełnione. W przypadu ryteriów identyfiujących mechanizm zniszczenia współczynni F w ogóle nie występuje, ponieważ ryteria te nie uwzględniają interacji naprężeń normalnych. W literaturze można znaleźć inne przyłady ryteriów wrażliwych na współczynni interacji. Na przyład Dąbrowsi [8] opisuje przypade dużej czułości ryterium Malmeistra na wartość wytrzymałości na ścinanie, tóra wchodzi do wzoru oreślającego w tym ryterium wartość F. Dla wartości tego współczynnia różniących się na poziomie błędu pomiarowego otrzymuje się rzywe o nieporównywalnie innym wydłużeniu. c t

48 48 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH 4.7. Ogólne uwagi o stosowaniu ryteriów wytężeniowych Przedstawione powyżej porównanie ryteriów wytężeniowych oraz analiza ich stabilności poazują, że o żadnym z nich nie można powiedzieć, że jest ogólnie dobre lub złe. Różnice pomiędzy poszczególnymi ryteriami są na tyle duże, że przed ich zastosowaniem do obliczenia nośności warstwy ompozytowej z onretnego materiału należy sprawdzić ich przydatność na drodze esperymentalnej. Kryterium, tóre dla jednego materiału daje wynii zgodne z doświadczeniem, dla drugiego może błędnie prognozować wytrzymałość lub wręcz uniemożliwiać jej wyznaczenie (w przypadu niezamyania się obwiedni granicznej). Duża różnorodność typów materiałów ompozytowych (a taże innych materiałów o cechach anizotropowych) uzasadnia występowanie w pratyce obliczeniowej ta dużej liczby ryteriów wytężeniowych. Uzasadnione jest również, wspomniane na wstępie niniejszego rozdziału, poszuiwanie nowych ryteriów, a taże całych teorii zniszczenia ompozytów. Między innymi temu właśnie poświęcona jest dalsza część pracy.

49 5. NOŚN OŚĆ KOM PO ZYTU WARTWO WE GO Nośność ompozytu warstwowego 5.. Wstęp W przypadu laminatu nie funcjonuje pojęcie wytrzymałości. Jest on bowiem onstrucją złożoną z pojedynczych warstw i ta ja w przypadu ażdej onstrucji inżyniersiej można mówić tylo o jej nośności. Pojęcie wytrzymałość ma natomiast sens w przypadu pojedynczej warstwy ompozytowej, tóra jest sładniiem budowy laminatu. W atualnym stanie wiedzy nie istnieje teoria, pozwalająca na analizę wytrzymałościową ompozytu warstwowego jao całości. Konieczne jest zejście z poziomem obserwacji do pojedynczych warstw sładowych i w oparciu o ich wytrzymałość zbudowanie algorytmu analizy wytrzymałościowej całego ompozytu. Podstawowym roiem do wyznaczenia nośności laminatu będzie zatem sprawdzenie wytrzymałości ażdej warstwy z osobna i oreślenie, tóra z nich niszczy się jao pierwsza. Naprężenia i odształcenia w poszczególnych warstwach wyznacza się przy zastosowaniu lasycznej teorii laminatów, opisanej w dodatu D.3. Po wyznaczeniu naprężeń, działających w ażdej warstwie i przetransformowaniu ich do głównych osi materiałowych, oreśla się wytężenie warstw, przy zastosowaniu jednego z wybranych ryteriów wytężeniowych (rozdział 4). 5.. Metody analizy 5.. Metoda FPF Metoda FPF (First Ply Failure), czyli metoda zniszczenia pierwszej warstwy jest najprostszą w analizie nośności ompozytu warstwowego. W metodzie tej uznaje się, że cały ompozyt ulega zniszczeniu, jeżeli zniszczy się choć jedna z jego warstw sładowych. Metoda ta nie daje możliwości wyorzystania w pełni nośności ompozytu, tóry po zniszczeniu jednej, a nawet więszej liczby warstw, może z reguły przenosić jeszcze więsze obciążenia. Wyorzystuje się ją jedna w pratyce, szczególnie w odpowiedzialnych onstrucjach, mając na uwadze zapas bezpieczeństwa. 5.. Metoda LPF Druga metoda stosowana do oreślania nośności ompozytu to metoda zniszczenia ostatniej warstwy LPF (Last Ply Failure). W metodzie tej eliminuje się z ompozytu warstwę, tóra uległa zniszczeniu i obliczenia prowadzi się dalej, aż do wyczerpania nośności ostatniej warstwy. Metoda LPF może występować w ilu odmianach, w zależności od sposobu postępowania z warstwą, tóra uległa uszodzeniu. Pierwszy sposób postępowania polega na całowitym pominięciu w dalszej analizie warstwy uszodzonej poprzez wyzerowanie wszystich elementów macierzy sztywności tej warstwy. Drugi sposób uwzględnia mechanizm uszodzenia warstwy. Przyjmuje się w nim jao zerowe tylo te elementy tensora sztywności, tóre są związane z danym mechanizmem. Bardziej złożone modele uwzględniają stopień zniszczenia i w jego funcji częściowo degradują odpowiednie elementy tensora

50 5 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH sztywności. posób modyfiacji macierzy sztywności ma podstawowe znaczenie dla oceny nośności laminatów. Warto dodać, że metoda LPF może dawać w porównaniu z FPF nośność wyższą nawet o ilaset procent [3] Analiza laminatu po uszodzeniu pierwszej warstwy 5.3. posoby postępowania z warstwą uszodzoną Zastosowanie do wyznaczenia nośności laminatu metody zniszczenia ostatniej warstwy oznacza, że zadanie musi być wielorotnie redefiniowane poprzez uatualnianie macierzy sztywności dla całego laminatu. Uatualnienie to polega na modyfiacji macierzy sztywności w warstwie, tóra w danym cylu obliczeniowym została uznana za uszodzoną. Macierz sztywności warstwy w funcji stałych materiałowych przedstawia równanie (3.). Można wyróżnić trzy sposoby postępowania z warstwą uszodzoną:. Wyzerowanie wszystich elementów macierzy.. Wyzerowanie tylo tych elementów macierzy, tóre są związane ze sposobem uszodzenia. 3. Częściowe zmniejszenie elementów macierzy związanych ze sposobem uszodzenia, uwzględniające stopień uszodzenia. Pierwszy z wymienionych sposobów sprowadza się do całowitej eliminacji uszodzonej warstwy z dalszej analizy laminatu i jao tai nie nastręcza żadnych łopotów obliczeniowych. Dwa następne sposoby wymagają znajomości sposobu uszodzenia warstwy. Jeżeli uszodzeniu ulega osnowa na sute rozciągania lub ścisania to wyzerowaniu bądź zmniejszeniu ulegają elementy i, czyli te, tóre są zależne od poprzecznego modułu Younga. Jeżeli osnowa uszadza się pod działaniem naprężeń ścinających degradacji ulega element 66. W przypadu zniszczenia warstwy na sute pęania włóien lub ich wyboczenia degraduje się element, zależny od podłużnego modułu Younga dentyfiacja sposobu zniszczenia Kryteria wytężeniowe, omówione w puncie 4., stosowane do wyznaczenia nośności pojedynczych warstw nie pozwalają na identyfiację mechanizmu ich zniszczenia. Prognozują one jedynie przy jaiej ombinacji obciążeń, a nie w jai sposób dochodzi do zniszczenia materiału. Pewnym rozwiązaniem jest w tym przypadu stosowanie ryteriów identyfiujących sposób zniszczenia. ą to ta zwane ryteria struturalne, do tórych, obo wymienionych w puncie 4.3 można taże zaliczyć ryterium Cuntze a [7] i struturalno statystyczne ryterium Dąbrowsiego [8], w tórym dodatowo bierze się pod uwagę losowo zmienny rozład wytrzymałości włóien. Wadą tego typu ryteriów jest bra uwzględniania interacji naprężeń normalnych i, co sprowadza je do ryterium masymalnych naprężeń (por. rys. 4.5). Jeżeli zatem degradację macierzy sztywności prowadzi się w sposób lub 3, przy użyciu fenomenologicznych ryteriów wytężenia z grupy wymienionych w puncie 4., do oreślenia sposobu zniszczenia należy używać dodatowych warunów. Waruni te są w zasadzie również ryteriami, przyjętymi w sposób arbitralny, nie mającymi fizycznego uzasadnienia. Przyładem mogą być waruni podane w [6]:

51 5. NOŚN OŚĆ KOM PO ZYTU WARTWO WE GO 5 6 > > X Y X (5.) (5.) gdzie X i Y przybierają wartości X t, X c, Y t i Y c w zależności od znau naprężeń i. Jeżeli zachodzą obie nierówności warstwa niszczy się w wyniu uszodzenia włóien. Jeżeli spełniona jest tylo pierwsza nierówność - zniszczenie następuje w wyniu ścinania w płaszczyźnie warstwy. Jeżeli spełniona jest wyłącznie druga nierówność, to za uszodzenie warstwy odpowiedzialne jest zniszczenie osnowy. Wreszcie, gdy obydwie nierówności nie są spełnione uszodzenie następuje w wyniu ombinacji ścinania i pęania osnowy. Po oreśleniu sposobu zniszczenia mamy podstawę do tego aby wyzerować bądź częściowo zreduować odpowiednie elementy macierzy podatności w warstwie Modele degradacji sztywności - przegląd literatury Teorie zniszczenia laminatu, uwzględniające jego zachowanie się po zniszczeniu pierwszej warstwy, muszą zawierać oprócz ryterium wytężeniowego do wyznaczania olejno uszadzających się warstw taże model opisujący sposób degradacji macierzy sztywności w zniszczonej warstwie. Zazwyczaj stosuje się tóreś z powszechnie stosowanych ryteriów, najczęściej taie tóre daje możliwość identyfiacji sposobu zniszczenia. Przy jej brau wprowadza się dodatowe waruni za pomocą tórych identyfiowane są sposoby zniszczenia warstwy. Poniżej zostaną przedstawione przyładowe modele degradacji sztywności, tóre podzielono na trzy grupy. Do pierwszej zaliczono model najczęściej stosowany, polegający na wyzerowaniu elementów macierzy sztywności związanych ze sposobem zniszczenia. Druga grupa to modele tóre obniżają wartości odpowiednich parametrów sztywnościowych o pewną stałą wartość, niezależną od stopnia uszodzenia. Wreszcie trzecia grupa to modele w tórym wielość degradacji jest uzależniona od stopnia uszodzenia Zerowanie modułów sztywności W więszości teorii stosowany jest model degradacji polegający na wyzerowaniu elementów macierzy sztywności związanych ze sposobem zniszczenia. Podejście taie zastosowali na przyład C h a n g i C h a n g [], T a n [86], T o l s o n i Z a b a r a s [9], R e d d y i R e d d y [75], W o l f e [], G o t s i s i i n. [5], a w ostatnich latach B o g e t t i i in. [7], H u a n g [36] i M a y e s i H a n s e n [59]. W przypadu pracy [59] wyzerowaniu podlega moduł Younga osnowy E m, natomiast stałe inżyniersie dla laminatu, czyli E i G są obliczane metodami miromechanii Obniżenie sztywności o stałą wartość Wśród modeli degradacji przyjmujących częściową reducję sztywności można wyróżnić dwa podejścia. Pierwsze polega na obniżeniu wartości odpowiednich elementów macierzy o jednaową wartość niezależnie od stopnia uszodzenia i drugie w tórym wielość degradacji jest uzależniona od stopnia uszodzenia (np. coraz więsza gęstość szczelin wewnątrzwarstwowych).

52 5 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Przyład pierwszego podejścia można znaleźć w pracy P e t i t a i W a d d o u p s a [69]. W swojej teorii zniszczenia laminatów również wprowadzają metodę soowej degradacji sztywności. Metoda ta nazwana później metodą ujemnego modułu stycznego [6] polega na założeniu, że warstwa po osiągnięciu granicy plastyczności ulega odciążeniu. Jeżeli przyładowo warstwa ulega zniszczeniu na sute uszodzenia osnowy przyjmuje się: E d ( MRF) E (5.3) gdzie MRF (Modulus Reduction Factor), MRF <. m więsze uszodzenie tym wartość tego współczynnia powinna być więsza. Współczynni nie ma ustalonej wartości, co jest wadą tej metody o czym pisze C r a d d o c, tóry w przeprowadzonych przez siebie przyładach obliczeniowych [6] przyjmował MRF.. Przyjęcie taie oznacza założenie, że doszło do całowitego uszodzenia. Craddoc zwraca też uwagę, że przyjmowanie ujemnego modułu sztywności w warstwie po degradacji może w efecie dawać wzrost modułu sztywności laminatu, co nie jest obserwowane doświadczalnie. Degradację o ustaloną z góry wartość zastosowali też L i u i T s a i [56]. Wprowadzony przez nich sposób degradacji jest związany ze zjawisiem powstawania ta zwanych miropęnięć lub szczelin wewnątrzwarstwowych. zczeliny te pojawiają się w osnowie i przebiegają po całej grubości warstwy, a ich płaszczyzna środowa jest mniej więcej równoległa do włóien. Liu i Tsai załadają, że warstwa niszczy się przez powstanie miropęnięć w osnowie tylo wtedy, gdy odształcenia w ierunu poprzecznym do włóien są nieujemne (co oznacza rozciąganie). Jeżeli w warstwie uszodzonej odształcenia te są równe zeru lub ujemne (ścisanie) to osnowa pozostaje nienaruszona, a mechanizm zniszczenia jest związany z uszodzeniem włóien. W pierwszym przypadu degradowana jest sztywność osnowy, a w drugim sztywność włóien, przy czym przypade uszadzania się włóien jest równoznaczny z ostatecznym zniszczeniem warstwy. Zmiana sztywności osnowy polega na przyjęciu współczynnia degradacji E m, wyrażającego stopień uszodzenia osnowy: d m * E E m (5.4) E d gdzie: Em - moduł sztywności osnowy nieuszodzonej, E m - moduł sztywności osnowy uszodzonej. Współczynni degradacji E m wyorzystuje się do obliczenia zdegradowanych charaterysty sztywnościowych warstwy, to jest poprzecznego modułu Young a E, modułu ścinania G i więszego współczynnia Poissona ν, za pomocą jednej z teorii wzmocnienia ompozytu. Wartość współczynnia E m należy oreślić doświadczalnie, przy czym załada się, że dla osnowy wyonanej z tego samego materiału, współczynni ten jest stały, niezależnie od rodzaju włóien i stopnia wzmocnienia. Liu i Tsai wyorzystali badania prowadzone przez H i g h s m i t h a i R e i f s n i d e r a [33], tórzy badając laminaty węglowo-eposydowe i szlano-eposydowe o różnych onfiguracjach warstw, ustalili, że najlepszą zgodność z doświadczeniem uzysuje się przyjmując E m w zaresie od... tąd Liu i Tsai przyjęli w [56] E m. 5. Degradację o stałą wartość przyjmuje też M c C a r t h y [6], tóry zmniejsza odpowiednie charaterystyi inżyniersie uszodzonej warstwy do poziomu % wartości początowej. W odróżnieniu od podejścia Liu i Tsaia zmniejsza do tego samego poziomu, a więc do m

53 5. NOŚN OŚĆ KOM PO ZYTU WARTWO WE GO 53 %, również podłużny moduł Younga E, podczas gdy ci drudzy w przypadu uszodzenia włóien przyjmują wartość tego modułu równą zero (formalnie przyjmują % wartości początowej ze względu na matematyczne ograniczenia związane z odwracaniem macierzy) Uwzględnienie stopnia zniszczenia Jeden z pierwszych sposobów degradacji, polegających na stopniowym obniżaniu sztywności, zaproponował C h i u []. Jeżeli warstwa ulega zniszczeniu na sute uszodzenia włóien to moduł odształcenia podłużnego jest reduowany do wartości: gdzie: X E d E (5.5) X X X (5.6) W przypadu zniszczenia warstwy na sute uszodzenia osnowy, moduł odształcenia poprzecznego reduuje się do wartości: gdzie: Y E d E (5.7) Y Y Y (5.8) Zniszczenie warstwy na sute ścinania w jej płaszczyźnie powoduje reducję modułu ścinania do wartości: gdzie: G d G (5.9) 6 (5.) We wzorach (5.5 5.) należy podstawiać w miejsce X i Y odpowiednio X t dla >, X c dla <, Y t dla > oraz Y c dla <. W przypadu tego modelu należałoby mówić nie o degradacji uwzględniającej stopień uszodzenia ale raczej stopień wytężenia. posób degradacji uwzględniający stopień zniszczenia jest też przyjęty w pracy C a - z e n e u v e a i in. [8], przy czym parametr degradacji jest ustalany doświadczalnie. Doświadczenie polega na prostych testach wytrzymałościowych, przeprowadzanych w głównych osiach materiałowych pojedynczej warstwy. W ramach doświadczenia sporządza się wyresy zależności zmian charaterysty inżyniersich (E, E, G ) od wartości naprężeń. Wyresy taie dają podstawę do wyznaczania stopnia degradacji podczas analizy laminatu. Można je tratować jao swego rodzaju charaterystyi materiałowe wyznaczane dla danego laminatu. Analogiczny sposób postępowania przyjmuje też E d g e []. Wadą tego podejścia jest onieczność wyonania dodatowych doświadczeń dla warstw sładowych laminatu. Model degradacji zastosowany przez u n a i T a o [8] jest związany z pęaniem wewnątrzwarstwowym osnowy. Wyorzystują oni związe pomiędzy gęstością szczelin

54 54 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH a reducją sztywności wyprowadzony przez tych samych autorów w [87]. Związe ten oparty jest na metodzie elementów sończonych. Wprowadzają następujące definicje współczynniów degradacji E E * (- λ ) α E exp (5.) G G * (- λ ) α G exp (5.) gdzie E i G moduły sztywności poprzeczny i ścinania po uszodzeniu, E i G moduły początowe, λ * - znormalizowana gęstość szczelin, α E i α G współczynnii wyznaczane metodą elementów sończonych. Znormalizowaną gęstość szczelin jest wyznaczana przy zastosowaniu podejścia L e e i D a n i e l a [54], tóre jest oparte na modelu shear-lag. P u c i c h ü r m a n n [73] w swojej teorii zniszczenia laminatu również wprowadzają stopniową reducję sztywności. ch teoria wyorzystuje ryterium wytężeniowe Puca [7], zaś degradacja sztywności zależy od przypadu zniszczenia. Dla przypadu A (por. rozdział 4.5.3) czyli dla rozciągania osnowy przyjmuje się: η E, G η G, ν ην E (5.3) natomiast dla przypadu B i C, czyli zniszczenia osnowy przez ścisanie: η G, ν ην G (5.4) Parametry degradacji η i η przyjmują wartości od. do. przy czym η jest więsze od η, ponieważ uszodzenie osnowy przy ścisaniu obniża sztywność warstwy w mniejszym stopniu niż przy rozciąganiu. Parametry te są funcją zdefiniowanego w [73] współczynnia bezpieczeństwa związanego z ryterium wytężeniowym. Można zatem powiedzieć, że degradacji jest tutaj zależna od stopnia wytężenia, podobnie ja w modelu Chiu. Zinoviev i in. [4] do opisu degradacji sztywności wprowadzają pojęcia najwięszych wartości naprężeń poprzecznych * i stycznych τ * oraz odpowiadających im odształceń liniowych ε * i ątowych γ *, jaie występują podczas procesu deformacji warstwy zachodzącego podczas jej pracy w laminacie. Parametry degradacji są definiowane następująco: E ~ ψ E G G ~ ψ (5.5) - ta zwane mo- gdzie: E, G - modułu sztywności dla warstwy nieuszodzonej, E ~, G ~ duły sieczne przy odciążeniu, obliczane z następujących zależności: hear-lag: model służący do wyznacza parametrów sztywności laminatu, zawierającego pęnięcia wewnątrzwarstwowe osnowy. Model ten załada, że granica faz pomiędzy dwiema sąsiednimi warstwami o włónach różnie zorientowanych stanowi zaporę dla propagacji szczelin. Zatem warstwy sąsiednie do tej, tóra zawiera pęnięcia, pozostają nieuszodzone. Przyjmuje się cały laminat jao materiał homogeniczny z wtrąceniami, tórymi są szczeliny. Przyjmując jao parametry grubość szczelin i odległość między dwiema sąsiednimi szczelinami, oblicza się moduły sztywności poprzecznej i ścinania dla materiału homogenicznego metodami miromechanii.

55 5. NOŚN OŚĆ KOM PO ZYTU WARTWO WE GO 55 E ~ ε ν / E (5.6) τ G ~ (5.7) γ Współczynnii (5.5) służą do degradacji odpowiednich elementów macierzy sztywności w warstwie, przy czym rozróżnia się następujące możliwe sytuacje obliczeniowe: pęnięcia otwarte, > : dla < γ γ : ε ε < ε ψ E / E ψ G / G ε ψ ψ G / G dla γ γ : ε < ε ψ E / E ψ ε > ψ ψ pęnięcia zamnięte, < : dla ε < : γ > ψ ψ γ < γ ψ ψ G / G W pracy [4] do oreślenia wytrzymałości warstwy stosowane jest ryterium masymalnych naprężeń co umożliwia identyfiację sposobu zniszczenia. Do modeli degradacji uwzględniających stopień uszodzenia można zaliczyć również model zaproponowany przez Germana []. Do opisu zmiany sztywności laminatów wyorzystano tutaj mechanię pęania i mechanię uszodzeń. Zamodelowano zjawiso pęania wewnątrzwarstwowego osnowy za pomocą tensora uszodzeń rzędu zaproponowanego przez Vaulenę i Kaczanowa [95]. Aby wyznaczyć w wielowarstwowych laminatach wetor nieciągłości przemieszczenia brzegów szczeliny, tóry mechania pęania wprowadza dla materiałów jednorodnych, zaproponowano oncepcję podziału laminatu na pasma zastępcze.

56

57 6. POD TAWY KRYTER U M RYCHLE W K E GO Podstawy ryterium Rychlewsiego 6.. Wstęp Gęstość energii w ciele liniowo-sprężystym, przy małych odształceniach ε, równa jest pracy naprężeń na odształceniach ε i może być zapisana jao: Φ ( ) ε( ) Jeżeli ciało jest izotropowe to gęstość energii sprężystej można przedstawić jao sumę energii odształcenia objętościowego i energii odształcenia postaciowego. Wyorzystuje się przy tym standardowy rozład tensora naprężenia na asjator i dewiator s: Φ ( ) s s (6.) (6.) K 4G gdzie: s,, K moduł odształcenia objętościowego, G moduł ścinania. 3 Możemy zatem zapisać: Φ( s) Φ( ) Φ( s) (6.3) Powyższy rozład energii sprężystej jest energetycznie niezależny, co oznacza, że naprężenia asjatora nie wyonują pracy na odształceniach wywołanych przez dewiator i odwrotnie naprężenia dewiatora nie wyonują pracy na odształceniach spowodowanych przez asjator. W 94 rou M. T. Huber [37] zaproponował ryterium wytężeniowe, w tórym stawia hipotezę, że o wytężeniu materiału decyduje ilość nagromadzonej w nim energii odształcenia postaciowego. tan naprężenia reprezentowany przez asjator tensora naprężenia, czyli ta zwany stan hydrostatyczny uznaje się przy tym za bezpieczny. Niezależność energetyczna stanów objętościowego i postaciowego pozwoliła Huberowi zapisać ryterium wytężeniowe w postaci: Φ ( s) (6.4) Φ ( s) r gdzie: Φ( s) - gęstość energii odształcenia objętościowego zgromadzonej pod wpływem działającego obciążenia, Φ ( s) - rytyczna wartość energii. r Od czasu uazania się pracy Hubera wielorotnie podejmowano próby uatualnienia jego ryterium na liniowo-sprężyste ciała anizotropowe. Próbowano między innymi zastosować dla taich ciał standardowy rozład tensora naprężenia na asjator i dewiator. Rozważmy anizotropowe ciało sprężyste, dla tórego gęstość energii sprężystej można zapisać przy wyorzystaniu związu fizycznego Hooe a, jao: Zmieniono tutaj oryginalny zapis Hubera celem powiązania merytorycznego z omawianym ryterium energetycznym Rychlewsiego.

58 58 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Φ ε ε C ε tosując rozład tensora naprężenia na asjator i dewiator otrzymujemy: (6.5) Φ Pierwszy wyraz w równaniu (6.6) (6.6) ( ) ( s) ( s) s s s Φ ( ) (6.7) to praca hydrostatycznego naprężenia na odpowiadającej mu deformacji, trzeci s s Φ to praca dewiatora s na odpowiadającej mu deformacji (6.6) ( s) (6.8) s. Natomiast wyraz drugi równania s (6.9) przedstawia sumę pracy na deformacji s lub ewiwalentnie równej jej pracy s na deformacji. Widać zatem, że naprężenia asjatora pracują nie tylo na wywołanych przez siebie odształceniach, ale również na odształceniach wywołanych przez dewiator. Analogiczna sytuacja występuje w przypadu naprężeń dewiatorowych. Ta więc rozład tensora naprężenia na asjator i dewiator nie jest w ogólnym przypadu ciała anizotropowego, na sute wspomnianego sprzężenia rozładem energetycznie niezależnym i nie można wyorzystać gęstości energii odształcenia postaciowego Φ ( s) jao miary wytężenia. Powstaje zatem pytanie, czy dla liniowo-sprężystego ciała anizotropowego istnieje energetycznie niezależny rozład tensora naprężenia, a jeżeli ta, to ja go wyznaczyć. Rychlewsi w pracach [76], [77] wyazał, że rozład tai istnieje, a wyznaczyć go można przez wartości własne tensora podatności lub sztywności C. rót jego rozumowanie wraz ze sformułowaniem energetycznego ryterium wytężenia przytoczono w następnych puntach. 6.. tany energetycznie ortogonalne Załóżmy, że naprężenia są odniesione do jaiegoś naprężenia charaterystycznego i dlatego mogą być tratowane jao bezwymiarowe. Możemy więc rozważać i ε ja elementy przestrzeni symetrycznych tensorów eulidesowych drugiego rzędu. Dwa stany naprężeń α i β są energetycznie niezależne dla danego ciała sprężystego, jeżeli energia jest addytywną funcją tych stanów: ( α β) Φ( α) Φ( β) Przedstawmy energię sprężystą (6.5) w następującej postaci: Φ (6.) ( α β) ( α β) α α β β α β Φ (6.)

59 6. POD TAWY KRYTER U M RYCHLE W K E GO 59 Widać, że warune energetycznej niezależności przyjmuje postać: α β (6.) Dla liniowej sprężystości energetyczna niezależność α, β oznacza, że naprężenie α nie wyonuje pracy na deformacji β wywołanej naprężeniem β i, na odwrót, β nie wyonuje pracy na deformacji α. Przestrzeń symetrycznych tensorów eulidesowych drugiego rzędu można rozpatrywać jao 6-cio wymiarową przestrzeń z iloczynem salarnym ( α, β) α β Uład dwóch liniowo niezależnych tensorów drugiego rzędu ν G, (6.3) µ L G, L,,... V (6.4) tworzy bazę w. W przestrzeni T bazą jest uład 36 tensorów czwartego rzędu Dowolny tensor νg µ L G, L,,... V (6.5) L T jednoznacznie można zapisać w postaci: V L L νg µ GL G,L L (6.6) można rozpatrywać ja liniowy operator z przestrzeni w, działa- Dowolny tensor L T jący według prawa: α L α (6.7) Wróćmy teraz do idei rozładu energii i rozpatrzmy biliniową formę α β. Odwzorowanie ( α, β) α β β α (6.8) jest formą symetryczną i dodatnio oreśloną, może być zatem przyjęte jao definicja iloczynu salarnego, tóry został nazwany przez Rychlewsiego energetycznym iloczynem salarnym i zapisany w postaci: ( α, β) α β α β (6.9) Warune energetycznej rozdzielności α β otrzymuje geometryczny sens warunu energetycznej ortogonalności co oznaczamy α & β, czyli α β. Energia sprężysta dla tensora wyraża się wówczas jao energetyczna norma : Φ ( ) C (6.) Każdy rozład przestrzeni na sumę prostą E,..., E ρ, ρ V (6.) tórej dowolne dwa sładnii są energetycznie ortogonalne

60 6 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Eα & E β, dla α β, (6.) nazywamy rozładem energetycznie ortogonalnym przestrzeni naprężeń dla rozpatrywanego ciała sprężystego. Rozładając dowolne naprężenie na podprzestrzenie (6.) otrzymujemy... ρ, α α i energia sprężysta daje się rozłożyć na sumę prostą: E (6.3) α β, dla α β, (6.4) ( ) Φ( ) Φ( ) Φ (6.5) ρ ρ 6.3. Główny rozład energii sprężystej Dla dowolnego ciała sprężystego, oreślonego tensorem podatności, istnieje doładnie jeden ortogonalny i zarazem energetycznie ortogonalny rozład w postaci: P..., ρ V (6.6) P ρ P α & P β, α Pβ i doładnie jeden ciąg parami różnych stałych taich, że λ,...,λ ρ α β P, dla α β (6.7) λ λ, dla α β (6.8) λ P... P (6.9) gdzie P α projetor ortogonalny na P α, α,..., ρ. Rozład (6.6) nazywa się głównym rozładem energetycznym dla rozpatrywanego ciała. Ponieważ jest symetrycznym operatorem liniowym działającym w przestrzeni z iloczynem salarnym (6.9), to równanie λ ρ ρ ω λω (6.3) wyniające z definicji stanu własnego dla tensora, posiada ortonormalny omplet rozwiązań ω,..., ω K ω L δ KL (6.3) ω V przy czym ω K odpowiada wartości własnej λ K. Jeżeli równanie (6.3) zapiszemy w postaci i pomnożymy przez ω L, L K to ω K λ ω (6.3) K K

61 6. POD TAWY KRYTER U M RYCHLE W K E GO 6 ω ω λ ω ω (6.33) L K α A zatem stany własne są energetycznie ortogonalne. Rozwiązania ω równania (6.3) nazywamy sprężystymi stanami własnymi rozpatrywanego ciała sprężystego, a parametry λ jego modułami sztywności. Przestrzenie P sładają się ze sprężystych stanów własnych, przy czym ażdej z tych przestrzeni odpowiada jeden moduł sztywności λ α. K K L 6.4. Energetyczne ryterium wytężenia Poddajmy dowolny stan naprężenia opisany tensorem głównemu rozładowi (6.6):... ρ α Pα Pα (6.35) dla α β (6.36) Energia sprężysta, odpowiadająca α -tej części tensora naprężenia (6.35) wynosi: λα α Φ( α ) α α α,..., V (6.37) tąd główny rozład energii sprężystej przyjmuje następującą postać: λ λ ( ) ρ ρ Φ... ρ V (6.38) Energetyczna niezależność rozładu (6.35) pozwala przyjąć dla ciała anizotropowego następujące ryterium wytężeniowe: Φ ( ) Φ( ) Φ... r Φ ρ ρ r ρ V (6.39) Licznii w relacji (6.39) przedstawiają gęstości energii sprężystej w poszczególnych stanach własnych w funcji rzutów tensora naprężenia na te stany, czyli są funcją obciążenia. ch wartości można policzyć z równania (6.37). Z olei mianownii w (6.39) to wartości rytycznych energii sprężystych w poszczególnych stanach własnych. Wartości te należy wyznaczyć dla danego materiału na drodze esperymentu w próbach wytrzymałościowych. Zauważmy, że równanie (6.39) jest uogólnieniem ryterium Hubera (6.4) na ciała anizotropowe Wyznaczanie modułów sztywności i projetorów Celem zastosowania energetycznego ryterium wytężenia (6.39) dla liniowo-sprężystego ciała oreślonego tensorem podatności należy rozwiązać problem własny w postaci ω λω ( λ ) ω (6.4) Jest to jednorodny uład algebraicznych równań liniowych, tóry posiada niezerowe rozwiązanie wtedy i tylo wtedy, gdy

62 6 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH ( λ) det (6.4) Powstaje pytanie ja policzyć wyznaczni dla tensora podatności, tóry jest tensorem Vego rzędu. Przestrzeń symetrycznych tensorów -ego rzędu ma wszystie własności 6-cio wymiarowej przestrzeni eulidesowej z iloczynem salarnym gdzie α ij, ij ( β) α β α ij βij α, (6.4) β, i, j,, 3 są sładowymi tensorów α i β w pewnej ortonormalnej bazie { e i } w 3-wymiarowej przestrzeni. Dzięi temu dowolny tensor symetryczny przestrzeni ma wszystie własności wetora w 6-cio wymiarowej przestrzeni eulidesowej. Dzięi tej własności przestrzeni możliwe jest wybranie w tej przestrzeni podzbioru 6-ciu wzajemnie ortogonalnych i znormalizowanych tensorów { v K }, K,..., V tóre tworzą bazę. W bazie tej dowolny tensor symetryczny -ego rzędy jest opisany w następujący sposób α α e e α v, K,,... V (6.43) ij i j K W onsewencji liniowe odwzorowanie z przestrzeni w tratowanej jao 6-cio wymiarowa przestrzeń eulidesowa będzie opisane przez tensor drugiego rzędu należący do iloczynu tensorowego. Rozumowanie to prowadzi do wniosu, że tensor, będący tensorem V-ego rzędu działającym jao liniowy operator z przestrzeni symetrycznych tensorów eulidesowych -ego rzędu w tę samą ma wszystie własności tensora -ego rzędu w 6- cio wymiarowej przestrzeni eulidesowej. Należy tylo jego współrzędne przedstawić w ba- v. Poniżej przedstawiono za [5] jedną z możliwych baz. zie { } K v v e e v K e e e 3 e 3 v ( e e e e ) v V 3 3 (6.44) V ( e e3 e3 e) vv ( e e e e ) Tensor podatności przedstawiamy w powyższej bazie następująco ijl i j l e e e e v v (6.45) KL K L Poszczególne elementy macierzy KL v v mają postać K L KL L L L L L L L L L L L L L L L (6.46)

63 6. POD TAWY KRYTER U M RYCHLE W K E GO 63 Dla macierzy dwuwymiarowej (6.46) bez trudu znajdujemy wartości własne, czyli moduły sztywności λ. Projetory ortogonalne P K występujące w zależności (6.35) są tensorami V-ego rzędu. Dla jednorotnych modułów sztywności λ K projetory P K mają postać diady stanów własnych P K ω ω (6.47) K K Projetory służą do wyznaczania rzutów tensora naprężenia na poszczególne ieruni własne według zależności (6.35), zaś moduły sztywności pozwalają obliczyć gęstość energii sprężystej w poszczególnych stanach własnych według (6.37) Kryteria wytężeniowe oparte na rozładzie spetralnym tensora podatności R y c h l e w s i opubliował swoje prace dotyczące energetycznego ryterium sprężystych stanów własnych w 984 [76] i w 995 [77] rou. Niezależnie od niego w 99 i w 995 prace dotyczące tego samego tematu opubliowali C o w i n i M e h r a b a d i [3], [4]. Od tego czasu idee te są rozwijane, a na ich bazie powstają teorie zniszczenia dla różnych materiałów, wyazujących cechy anizotropowe. Jao przyład można podać prace B i e g l e r a i M e h r a b a d i e g o [5], A r r a m o n a i in. [], M a h n e n a [57]. Kryterium energetyczne dla materiałów o struturze omórowej zostało sformułowane przez Pęchers i e g o, J a n u s - M i c h a l s ą i K o r d z i o w s i e g o [39], [48], [49]. Pęchersi i N a l e p a [65] podali fizyczne podstawy energetycznego wytężenia dla monoryształów. dee rozładu spetralnego tensora podatności w odniesieniu do ryteriów wytężeniowych dla materiałów anizotropowych można też znaleźć w pracach Jemioły i Kowalczy [4], [4] oraz K o w a l c z y i O s t r o w s i e j [5]. W niniejszej pracy z ogólnego sformułowania R y c h l e w s i e g o zostanie wyspecyfiowane ryterium wytężeniowe dla ortotropowej warstwy ompozytowej, a następnie w oparciu o rozład spetralny tensora sztywności sformułowana zostanie nowa metoda degradacji macierzy sztywności.

64

65 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY Wyznaczenie energetycznego ryterium wytężeniowego 7.. Postawienie zadania Przedmiotem rozważań tego rozdziału będzie wyznaczenie energetycznego ryterium wytężeniowego dla pojedynczej ortotropowej warstwy ompozytowej. Kryterium to zostanie wyspecyfiowane z ogólnego sformułowania Rychlewsiego (6.39) w oparciu o charaterystyi sztywnościowe i wytrzymałościowe warstwy, znajdującej się w płasim stanie naprężenia. ztywność warstwy ompozytowej jest opisana za pomocą zreduowanej macierzy sztywności w postaci (3.) lub za pomocą macierzy podatności (3.), natomiast jej charaterystyi wytrzymałościowe X i, Y i i zdefiniowano w puncie tany własne tensora podatności Kryterium Rychlewsiego oparte jest na problemie własnym tensora podatności. Energetycznie niezależny rozład tensora naprężenia to rozład na stany wyznaczone przez wartości główne tensora. Tylo tai rozład daje możliwość sformułowania ryterium w postaci (6.39) dla materiałów ogólnie anizotropowych. Pierwszym roiem w wyznaczeniu ryterium wytężeniowego z ogólnego sformułowania (6.39) jest wyznaczenie wartości własnych tensora podatności, czyli rozwiązanie problemu własnego w postaci: ( ) ω λ (7.) Zależność (7.) to jednorodny uład równań liniowych, tóry posiada niezerowe rozwiązanie wtedy i tylo wtedy, gdy ( λ) det (7.) Ja poazano w puncie 5.5 obliczenie wyznacznia tensora, jest możliwe po zapisaniu go w postaci (6.46). Biorąc pod uwagę płasi stan naprężenia w warstwie oraz sposób macierzowego zapisu Voigta, tensor KL (6.46) przyjmie postać: KL (7.3) 66 Uład równań (7.) możemy teraz zapisać następująco: λ λ λ 66 ω ω ω 6 (7.4)

66 66 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Występowanie mnożnia w postaci pierwiasta z dwóch przy sładowej ω 6 jest onsewencją przedstawienia tensora -go rzędu jaim jest tensor własny ω w postaci wetora w przestrzeni sześciowymiarowej (tutaj przestrzeń trzywymiarowa w onsewencji płasiej ortotropii). zczegóły tego przedstawienia można znaleźć w [5] i w dodatu D.5. Rozwiązaniem równania (7.4) są trzy wartości własne (nazywane też modułami sztywności): λ ( ) 4 λ ( ) 4 (7.5) λ 66 Wartości własne (7.5) są nieujemne co wynia z fatu, że tensor podatności jest macierzą dodatnio oreśloną. Każdej z tych wartości odpowiada stan własny scharateryzowany przez jednostowe tensory własne ω i. Dzięi reprezentacji wetorowej tych tensorów, widocznej w (7.4), sposób wyznaczenia ich sładowych jest formalnie tai sam, ja wyznaczenie wetorów własnych dla macierzy -go rzędu. Dla pierwszej wartości własnej otrzymujemy zatem: ( λ ) ω ω ( λ ) (7.6) ω ω ( ) ω 66 λ 6 Trzecie równanie z uładu (7.6) jest spełnione dla ω 6, natomiast dwa pozostałe są liniowo zależne. Wybieramy pierwsze z nich i przyjmując ω otrzymujemy pierwszy wetor własny w postaci: co po unormowaniu daje wersor tego ierunu: gdzie: [ ( ) / ] w λ (7.7),, [ a, b, ] e (7.8) a λ b ( λ ) λ (7.9) Przechodząc teraz z postaci wetorowej (7.8) do pierwotnej postaci tensorowej otrzymamy jednostowy tensor własny wyznaczający ierune pierwszego stanu własnego:

67 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 67 a ω b (7.) Analogiczne rozumowanie prowadzi do dwóch następnych tensorów własnych: a ω b (7.) ω (7.) gdzie: a λ b ( λ ) λ (7.3) Wyznaczenie modułów sztywności i tensorów własnych dla materiałów o innej symetrii niż przedstawiona tutaj płasa ortotropia można znaleźć między innymi w pracach [5], [5], [88]. Otrzymaliśmy zatem dla warstwy ortotropowej trzy wartości własne i odpowiadające im trzy stany własne. Energetycznie ortogonalny rozład tensora podatności (6.9) przyjmuje postać: λ P λ P λ P (7.4) Projetory ortogonalne P α na poszczególne stany własne otrzymujemy z zależności (6.47) jao iloczyny diadyczne tensorów własnych: a a b P ω ω a b b (7.5) a a b P ω ω a b b (7.6) P ω ω (7.7)

68 68 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Przy pomocy projetorów można doonać rozładu tensora naprężenia, otrzymując równocześnie rozład całowitego obciążenia na poszczególne stany własne. Otrzymamy wówczas następujące równanie: P P P (7.8a) 6 6 b b a b a a b b a b a a (7.8b) Ja widać sładowa 6 przedstawiająca naprężenie styczne w całości jest zawarta w trzecim stanie własnym. Można zatem powiedzieć, że stan ten przedstawia czyste ścinanie. Pozostałe sładowe tensora naprężenia, czyli i rozdzielają się na pierwszy i drugi stan własny. W obu tych stanach jednocześnie występują naprężenia w ierunach i, czyli wzdłuż i w poprze włóien. Naprężenia te mogą przyjmować różne znai, przy czym daje się wyróżnić cztery charaterystyczne przypadi, tóre przedstawiono graficznie w tabeli 7., na podstawie opisanego poniżej rozumowania. Oznaczmy sładowe tensora naprężenia w dwóch pierwszych stanach własnych przez: (7.9) Można wyazać (dowód przedstawiony jest w dodatu D.6), że dla współczynniów a ρ, b ρ, opisanych równaniami (7.9) i (7.3) zachodzą następujące związi: b a i b b a b a < <,,, (7.) co pozwala zapisać sładowe tensorów naprężenia (7.9) w postaci: b b a b a a (7.a) a b a b a b (7.b) Biorąc pod uwagę (7.), wyznaczono relacje między sładowymi tensorów naprężenia w poszczególnych stanach własnych w zależności od znaów naprężeń i. Wynii przedstawiono w tabeli 7..

69 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 69 Tabela 7.. Rozład obciążenia na stany własne Obciążenie stan własny stan własny > < > > > > > > > < < > < > < < < < < < < > > < Analizując rysuni przedstawione w tabeli 7. można zauważyć, że naprężenia wzdłuż i w poprze włóien mają w pierwszym stanie własnym przeciwne znai, natomiast jednaowe w drugim stanie własnym. W przypadu pierwszego stanu rozciąganie w jednym ierunu występuje zawsze w parze ze ścisaniem w drugim ierunu, natomiast w przypadu stanu drugiego rozciągania i ścisania występują jednocześnie Ogólna postać ryterium Rychlewsiego Ja poazano w puncie 7., ortotropową warstwę ompozytową, znajdującą się w płasim stanie naprężenia, charateryzują trzy stany własne. Wartości własne wyrażone są zależnościami (7.5) natomiast ieruni własne wyznaczają jednostowe tensory (7.)- (7.). Ogólna postać ryterium Rychlewsiego (6.39) przyjmuje zatem dla pojedynczej warstwy ompozytowej następującą postać: Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ Φ Φ r r r (7.) Każdy z trzech wyrazów ryterium (7.) oreśla część gęstości energii sprężystej jaa jest zgromadzona w danym stanie własnym w stosunu do gęstości energii rytycznej w tym stanie. Gęstość energii sprężystej dla zadanego obciążenia obliczymy z relacji (6.37).

70 7 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Krytyczne wartości energii, czyli mianownii w (7.) podlegają wyznaczeniu na drodze esperymentalnej Gęstość energii sprężystej w poszczególnych stanach własnych Gęstość energii sprężystej dla ażdego stanu własnego obliczamy z zależności (6.37), jao funcję wartości własnej i wadratu rzutu tensora naprężenia na dany stan własny: ( ) λ Φ α α α (7.3) Tensory naprężenia w poszczególnych stanach własnych, obliczone z relacji (6.35) wynoszą odpowiednio: a ab ab b (7.4a) a a b a b b (7.4b) (7.4c) 6 Rzuty tensorów naprężenia na poszczególne stany własne obliczamy jao długości wetorów (7.4): [( a ) ( ) ] / a b a b b [( a ) ( ) ] / a b a b b (7.5a) (7.5b) 6 (7.5c) Możemy teraz wyznaczyć gęstości energii sprężystej w poszczególnych stanach własnych: [ ] ( ) λ ( a a b ) ( a b b ) Φ (7.6a) [ ] ( ) λ ( a a b ) ( a b b ) Φ (7.6b)

71 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 7 Φ ( ) λ 6 (7.6c) W powyższych wzorach współczynnii a i, b i, to funcje elementów tensora podatności, wyznaczane z równań (7.9) i (7.3) Wyznaczenie energii rytycznych W poprzednim puncie zostały wyznaczone gęstości energii sprężystej dla poszczególnych stanów własnych, w funcji elementów dowolnego tensora naprężenia. Oreślone zostało zatem, jaa część energii gromadzona jest w ażdym ze stanów własnych, gdy w warstwie ompozytu panuje płasi stan naprężenia. Do pratycznego wyorzystania energetycznego ryterium wytężeniowego (7.) onieczna jest jeszcze znajomość wartości energii rytycznych dla ażdego z trzech stanów własnych. Wartości te zostaną wyznaczone w oparciu o trzy myślowe esperymenty, tóre przedstawiono schematycznie na rysunu 7.. Rys. 7.. Obciążenia niszczące działające na warstwę ompozytu Analizując pojedynczą warstwę ompozytu włónistego, w tórej panują trzy stany naprężenia opisane tensorami: L X 6 T Y 6 (7.7) 6 doprowadzamy ażdorazowo do jej zniszczenia, ponieważ wartości naprężeń X, Y, to odpowiednio wytrzymałość na rozciąganie (lub ścisanie) wzdłuż i w poprze włóien oraz wytrzymałość na ścinanie w płaszczyźnie warstwy. Zatem dla ażdego z obciążeń (7.7) musi być spełnione równanie (7.), co daje możliwość zbudowania uładu trzech równań, w tórych niewiadomymi są wartości rytycznych gęstości energii sprężystej w ażdym z trzech stanów własnych. Podstawiając elementy tensora L do równań (7.6) otrzymujemy odpowiadające mu gęstości energii sprężystych w trzech stanach własnych: 4 ( a a b ) L Φ λ X (7.8a) 4 ( a a b ) L Φ λ X (7.8b)

72 7 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Analogicznie dla tensorów T i otrzymamy: Φ L (7.8c) 4 ( b a b ) T Φ λ Y (7.9a) 4 ( b a b ) T Φ λ Y (7.9b) Otrzymujemy zatem następujący uład równań: Φ T (7.9c) Φ (7.3a) Φ (7.3b) Φ λ (7.3c) Φ Φ Φ Φ Φ Φ L r T r r Φ Φ Φ Φ Φ Φ L r T r r Φ Φ Φ Φ Φ Φ L r T r r (7.3) tóry po podstawieniu związów (7.8), (7.9) i (7.3) przyjmuje postać: λ X λ Y 4 4 ( a a b ) λ X ( a a b ) Φ r r 4 4 ( b a b ) λ Y ( b a b ) Φ r λ Φ r Φ Φ r (7.3) Po uwzględnieniu dwóch pierwszych zależności z (7.), czyli a b i a -b, otrzymamy następujące rozwiązanie uładu równań (7.3): r ( X b Y a ) X Y Φ λ B (7.33a)

73 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 73 gdzie: r ( Y b X a ) X Y Φ λ B (7.33b) Φ r λ (7.33c) B b a a b a b (7.34) Wzory (7.33) przedstawiają rytyczne gęstości energii sprężystej w poszczególnych stanach własnych. ch wartości zależą od charaterysty wytrzymałościowych i sztywnościowych warstwy. Charaterystyi wytrzymałościowe to wytrzymałości wzdłuż i w poprze włóien, tzn. X, Y oraz wytrzymałość na ścinanie w przypadu energii granicznej w trzecim stanie własnym. Funcją charaterysty sztywnościowych. czyli elementów tensora podatności, są natomiast wartości własne λ α (7.5) oraz współczynnii a i b (7.9) Końcowa postać ryterium wytężenia dla warstwy ortotropowej Po podstawieniu do równania (7.) gęstości energii sprężystych wyznaczonych dla dowolnego tensora naprężenia według wzorów (7.6) oraz energii rytycznych według (7.33) otrzymamy, po prostych choć żmudnych przeształceniach (tutaj wyonywanych przy pomocy programu Mathcad), następującą postać energetycznego ryterium wytężenia dla płasiej warstwy ortotropowej ompozytu włónistego: X Y X A Y A 6 (7.35) gdzie: a b A (7.36a) b a Elementy tensora podatności, a zatem również współczynnii a i b można wyrazić przez stałe inżyniersie, wówczas współczynni A przyjmie postać wygodną do pratycznego zastosowania ryterium, a mianowicie: E A ν (7.36b) E E Wyznaczone ryterium przedstawia powierzchnię drugiego stopnia w przestrzeni naprężeń (,, 6 ) należy zatem do tej samej grupy fenomenologicznych ryteriów wytężeniowych co wymienione w puncie 4. ryteria Tsaia-Hilla (4.4), Hoffmana (4.5), MDE (4.6) i Tsaia-Wu (4.9). woją postacią najbardziej przypomina ryterium MDE, w tórym współczynni interacji F jest również funcją stałych inżyniersich. Ja wspomniano w rozdziale 4, niewiele jest ryteriów wytężeniowych sformułowanych w przestrzeni naprę-

74 74 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH żeń, w tórych obo charaterysty wytrzymałościowych występowałyby charaterystyi sztywnościowe. Oprócz ryterium MDE można wymienić na przyład ryterium energetyczne andhu [78] i ryterium Chang-Chang [], tóre jedna charateryzują się znacznie więszym stopniem sompliowania niż to, tóre proponuje się w niniejszej pracy Analiza proponowanego ryterium wytężenia 7.7. Uwzględnienie różnej wytrzymałości na ścisanie i rozciąganie Formułując w puncie 7.5 równania pozwalające na wyznaczenie gęstości energii rytycznych w poszczególnych stanach własnych, przeprowadzono serię myślowych esperymentów, polegających na obciążaniu warstwy olejno naprężeniami o wartościach równych wytrzymałościom w poszczególnych ierunach (X, Y), nie zaznaczając przy tym czy jest to wytrzymałość na rozciąganie czy na ścisanie. Formalnie nie ma przeciwwsazań, aby przyjmować na tym etapie onretne wytrzymałości X t lub X c i Y t lub Y c otrzymując ostatecznie identyczne postacie ryterium energetycznego, różniące się tylo indesem przy odpowiedniej wytrzymałości. Można zatem, przy oreślaniu wytrzymałości ompozytu, postępować analogicznie ja w przypadu ryterium Tsaia-Hilla, czy MDE, to znaczy podstawiać w miejsce X i Y wartości X t lub X c i Y t lub Y c, w zależności od znau naprężeń i. Obwiednia graniczna dla danego materiału będzie zatem wyreślona za pomocą czterech oddzielnych funcji, odpowiadających danej ombinacji znaów naprężeń i. W przypadu dwuosiowego stanu naprężenia, przy 6, otrzymamy cztery różne rzywe położone w czterech ćwiartach uładu współrzędnych. W związu z tym rzywe te łącząc się w puntach charaterystycznych wyresu (granice wytrzymałości w odpowiednich ierunach) nie mają tam ciągłej pochodnej. ytuacja ta nie jest onsewencją zastosowanego w niniejszej pracy sposobu wyznaczenia energii rytycznych, a wynia z ogólnego ryterium Rychlewsiego. Kryterium to nie umożliwia uwzględnienia w jednej formule różnych wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie w tym samym ierunu. Podobne nieciągłości pochodnej można zaobserwować we wszystich ryteriach, tóre nie rozróżniają wytrzymałości na rozciąganie i ścisanie. Wyraźnie widoczne są dla ryterium MDE w przypadu obwiedni dla materiałów przedstawionych na rysunach 4.4, 4.5 i Zares stosowania Rozwiązanie uładu równań (7.3), prowadzącego do wyznaczenia gęstości energii rytycznych, ma sens tylo wtedy, gdy niewiadome tego równania spełniają waruni: Φα, α, (7.37) r, co wynia z fatu ich występowania w mianowniach członów sumacyjnych w ażdym równaniu. Poza tym niewiadome oznaczają z fizycznego puntu widzenia energie, ażda z nich musi być zatem liczbą nieujemną co powoduje, że waruni nałożone na rozwiązanie przybierają postać: Φα >, α, (7.38) r, Gęstość energii rytycznej w trzecim stanie własnym:

75 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 75 r λ Φ (7.39) jest zatem zawsze więsza od zera, gdyż: 66 > G λ (7.4) Warune (7.38) dla gęstości energii rytycznej w pierwszym stanie własnym: ( ) > Φ r a Y b X Y X B λ (7.4) wobec > λ (7.4) > Y X (7.43) prowadzi do zależności: > a Y b X B (7.44) Analogiczna analiza gęstości energii rytycznej w drugim stanie własnym prowadzi do warunu: > a X b Y B (7.45) Waruni (7.44) i (7.45) muszą być spełnione jednocześnie co w zależności od znau współczynnia B prowadzi do następujących warunów: > > > a X b Y a Y b X B (7.46) < < < a X b Y a Y b X B (7.47) Współczynni ( )( ) a b a b b a b a a b B (7.48) jest więszy od zera wtedy i tylo wtedy, gdy b a < (7.49) zaś mniejszy od zera wtedy i tylo wtedy, gdy b a > (7.5) Waruni (7.46) i (7.47) przy założeniach (7.49) i (7.5) można zapisać jao

76 76 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH jeżeli b a < to a b Y X b a Y X < > (7.5) jeżeli b a > to a b Y X b a Y X > < (7.5) Zatem, aby dla danego ompozytu można było zastosować ryterium energetyczne, jego charaterystyi wytrzymałościowe i sztywnościowe muszą spełniać waruni (7.5) i (7.5). Waruni te wiążą ze sobą charaterystyi wytrzymałościowe X, Y z charaterystyami sztywnościowymi E, E i ν ortotropowej warstwy ompozytowej, tórych funcjami są współczynnii a i b Współczynni interacji naprężeń F Analizę wpływu współczynnia interacji naprężeń i dla ilu wybranych ryteriów wytężeniowych przedstawiono w puncie Formuły oreślające ten współczynni zestawiono w tabeli 4.. W przypadu ryterium energetycznego (7.35) współczynnii ogólnego równania rzywej drugiego stopnia (4.) przyjmują następujące postaci: X a X A Y A b Y c (7.53) Warune (4.3), gwarantujący otrzymanie z (7.35) zamniętej rzywej wypułej w postaci elipsy, przyjmuje postać: 4 < Y X X A Y A (7.54) Warune (7.54) jest równoważny warunom (7.5) i (7.5), wyniającym z fizycznego sensu gęstości energii rytycznych. Wynia to z poazanego poniżej rozumowania. Po niewielich przeształceniach i po podstawieniu w miejsce A zależności (7.36a), warune (7.54) przyjmuje postać: b a a b X Y Y X < (7.55) Doonując podstawienia: c Y X d a b (7.66) otrzymamy nierówność: < c d d c (7.67)

77 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 77 Rozwiązaniem równania c d c (7.68) d są dwa pierwiasti: Jeżeli c d i c d (7.69) d < d (7.7) to rozwiązaniem nierówności (7.67) jest zares: d < c < d (7.7) czyli X Y a X b > < (7.7) b Y a Jeżeli natomiast d > d (7.73) to rozwiązaniem nierówności (7.67) jest zares: czyli d < c < (7.74) d X Y a X b < > (7.75) b Y a Ponieważ d < d a < b (7.76) > d d a > b (7.77) to waruni (7.7) i (7.75) są równoważne warunom (7.5) i (7.5). Wyazano zatem, że matematyczny warune (4.3), gwarantujący uzysanie w analizie wytrzymałościowej zamniętej obwiedni granicznej, ma dla ryterium energetycznego sens fizyczny, jest bowiem równoznaczny z warunami, wyniającymi z analizy energii

78 78 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH rytycznych. Z tego powodu, dla materiałów, dla tórych można stosować ryterium Rychlewsiego, to znaczy dla tórych gęstości energii rytycznych (7.33) przyjmują wartości dodatnie, sprawdzanie warunu (4.3) jest zbędne, gdyż jest on zawsze spełniony Zares stosowania ryterium energetycznego dla rzeczywistych materiałów ompozytowych Aby dla danego materiału ompozytowego można było stosować ryterium energetyczne, muszą być spełnione waruni (7.5) i (7.5), wiążące ze sobą wytrzymałości warstwy X i Y z jej charaterystyami materiałowymi E, E i ν. W warunach (7.5) i (7.5), charaterystyi materiałowe występują w postaci uwiłanej we współczynniach a i b. Waruni te są równoważne warunom (7.38), mówiącym, że wartości gęstości energii rytycznych w ażdym ze stanów własnych muszą być więsze od zera. Ponieważ dla więszości ompozytów zbrojonych włónami jednoierunowymi ich wytrzymałości X i Y przy rozciąganiu i ścisaniu w tych samych ierunach zazwyczaj różnią się od siebie, to waruni (7.38) należy sprawdzać w zależności od znau naprężeń, działających wzdłuż i w poprze włóien. Daje to cztery przypadi analizy, tóre można przedstawić graficznie na płaszczyźnie wyznaczonej przez ieruni naprężeń i (rys. 7.). Rys. 7.. Kombinacje wytrzymałości X, Y w zależności od ierunu działania naprężeń Cechą charaterystyczną materiałów ompozytowych jest to, że różnorodność ich budowy powoduje, iż wartości charaterysty wytrzymałościowych i sztywnościowych mogą być pratycznie dowolne. Trudno zatem na podstawie analizy warunów (7.38) wyciągać ogólne wniosi co do możliwości stosowania ryterium energetycznego dla dowolnych materiałów ompozytowych. Oazuje się jedna, że stosowane w pratyce materiały ompozytowe, można podzielić na grupy, dla tórych ryterium to jest lub nie jest spełnione. Tabela 7. przedstawia dopuszczalność stosowania ryterium energetycznego sprężystych stanów własnych dla wybranych materiałów ompozytowych w zależności od sposobu ich obciążenia. oncentrowano się tu tylo na dwuosiowym stanie naprężenia i gdyż energia rytyczna (7.39) związana z naprężeniem 6 jest dodatnia dla dowolnego materiału (7.4) i jao taa nie wpływa na możliwości stosowania ryterium (7.35). Poszczególne gęstości energii rytycznych obliczono ze wzorów (7.33a) i (7.33b) są w tabeli 7. wyrażone w MPa. Wartości charaterysty wytrzymałościowych i sztywnościowych dla analizowanych materiałów, zestawiono w dodatu D.4.

79 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 79 Tabela 7.. Dopuszczalność stosowania ryterium energetycznego dla wybranych materiałów MATERAŁ GY7/934 Carbon/Epoxy [5] T3/58 Carbon/Epoxy [47], [5] T3/934 Carbon/Epoxy [47], [5] T3/BL94C Carbon/Epoxy [8] T3/976 Carbon/Epoxy [6] T3/976 Carbon/Epoxy [79] T3/74B Carbon/Epoxy [3] M6/C8 Carbon/Epoxy [3] M6/W Carbon/Epoxy [55] M7/55-4 Graphite/Epoxy [74] M7/855-7 Graphite/Epoxy [44] POÓB OBCĄŻENA >, > <, > <, < >, < Włóna węglowe / Osnowa polimerowa Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Mod/WRD937 Carbon/Polyimide [44] Φ r NA /NCT3 Carbon/Epoxy [44] A/35 Carbon/Epoxy [47], [5] A/94 Carbon/Epoxy [3] A4/35 Carbon/Epoxy [79] Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r NE NE NE

80 8 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Tabela 7.. cd Dopuszczalność stosowania ryterium energetycznego dla wybranych materiałów MATERAŁ POÓB OBCĄŻENA >, > <, > <, < >, < A4/35-6 Carbon/Epoxy [8], [98] A4/35-6 Carbon/Epoxy [5] A4/35-6 Carbon/Epoxy [84] A4/APC Carbon/PEEK [5] A4/PEEK Carbon/PEEK [4] HTA/6376 Carbon/Epoxy [4] Graphite/Epoxy [45] Carbon/Epoxy [97] Generic E-glass/Epoxy [5] Generic -glass/epoxy [5] /C8 -glass/epoxy [6] Gevetex/LY556 E-glass/Epoxy [8] ilena/my75 E-glass/Epoxy [8] E-glass/884 E-glass/Vinylester [6] /Epoxy [55] Glass/Epoxy [45] Włóna węglowe / Osnowa polimerowa (cd) Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r NE Włóna nieorganiczne / Osnowa polimerowa Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r 8Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE NE

81 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 8 Tabela 7. cd Dopuszczalność stosowania ryterium energetycznego dla wybranych materiałów E-glass/Epoxy [3] Glass/Epoxy [97] MATERAŁ Boron/Epoxy [3], [9] Boron/Epoxy [45] Boron/Epoxy [69] Boron/Epoxy [6] B(4)/555 Boron/Epoxy [47] B(5.6)/555 Boron/Epoxy [47] POÓB OBCĄŻENA >, > <, > <, < >, < Włóna nieorganiczne / Osnowa polimerowa (cd) Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Φ r Kevlar 49/Epoxy Aramid/Epoxy [5] Φ r Aramid/Epoxy [97] NE NE NE NE NE NE NE NE Włóna polimerowe / Osnowa polimerowa Φ r Φ r Φ r Kevlar 49/Epoxy Aramid/Epoxy[3],[47] Φ r Kevlar 49/Epoxy Aramid/Epoxy [6] Al O 3 /Al [3] Al O 3 /Al [6] Boron/Al [3] Φ r Φ r Φ r NE NE Włóna ceramiczne / Osnowa metalowa Φ r Φ r Φ r Φ r NE NE NE NE Włóna organiczne / Osnowa metalowa Φ r Φ r NE NE NE NE NE NE NE NE

82 8 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Ja widać, dla ompozytów o osnowie polimerowej zbrojonej włónami węglowymi w zdecydowanej więszości przypadów otrzymujemy dodatnie wartości energii rytycznych. Ujemną energię uzysano tylo dla ilu ompozytów tej grupy, zawsze w przypadu dwuosiowego rozciągania. Z olei dla ompozytów zbrojonych włónem szlanym w żadnym przypadu nie uzysano dodatnich energii we wszystich ćwiartach uładu (, ), w szczególności energia w ćwiartach i prawie zawsze jest dla tych materiałów ujemna. Nieco lepiej niż dla włóien szlanych wygląda sytuacja w przypadu włóien borowych i aramidowych. Dla włóien borowych otrzymano w ilu przypadach ujemną energię w ćwiartce, a dla włóien aramidowych w ćwiartce uładu (, ). W tabeli 7. zamieszczono tylo trzy przyłady ompozytów o osnowie metalowej, ponieważ tylo dla nich autor odnalazł w literaturze pełen omplet potrzebnych stałych materiałowych, czyli wszystie wytrzymałości X t, X c, Y t, Y c i oraz sztywności E, E, G i ν. Danych taich w ogóle nie udało się znaleźć dla ompozytów z osnową ceramiczną 3. We wszystich przypadach - poza jedną ćwiartą uładu (, ) otrzymano ujemne energie. Trudno jedna, z powodu zbyt małej liczby danych wyciągać ogólne wniosi co do stosowania ryterium energetycznego w tych materiałach. Można zauważyć, że dla wszystich ompozytów z osnową polimerową, niezależnie od rodzaju włóien, dodatnie energie rytyczne otrzymujemy zawsze w ćwiartce i w więszości przypadów w ćwiartce V uładu (, ). Można byłoby więc powiedzieć, że ryterium energetyczne (7.35) może być stosowane dla więszości materiałów do wyznaczania wytrzymałości warstwy przy dwuierunowym ścisaniu lub przy rozciąganiu wzdłuż i ścisaniu w poprze włóien. W pratyce rzado jedna jao element onstrucyjny jest stosowana pojedyncza warstwa (jao warstwę pojedynczą rozumie się tu również laminat złożony z wielu warstw, ale o tym samym ierunu ułożenia włóien). Najczęściej stosowane są laminaty złożone z wielu warstw o różnej orientacji włóien. W warstwach taich przy dowolnym obciążeniu, działającym na laminat, ieruni działania naprężeń w głównych osiach materiałowych mogą obejmować swym zaresem wszystie ćwiarti uładu (, ). Wynia stąd ważny wniose apliacyjny, a mianowicie ten, że do pratycznego wyorzystania ryterium energetycznego do wyznaczania nośności dowolnie obciążonego laminatu, onieczne jest uzysanie dodatnich wartości energii rytycznych, we wszystich ćwiartach. Analiza tabeli 7. oraz powyższe uwagi pozwalają wysnuć następujący wniosi: energetyczne ryterium sprężystych stanów własnych (7.35) może być stosowane dla dowolnego obciążenia w więszości ompozytów o osnowie polimerowej zbrojonych włónami węglowymi, nieco rzadziej można je stosować dla ompozytów zbrojonych włónami borowymi i aramidowymi, dla ompozytów zbrojonych włónem szlanym ryterium energetyczne można stosować w szczególnych przypadach obciążenia warstwy, to jest dwuierunowe ścisanie i rozciąganie wzdłuż, ze ścisaniem w poprze włóien. Należy jedna zwrócić uwagę, że uzysanie dla danego materiału dodatniej energii rytycznej nie musi oznaczać, że ryterium energetyczne będzie poprawnie opisywało jego wytrzymałość. Może się bowiem oazać, że rzywa wytrzymałości, chociaż zamnięta, będzie jedna nadmiernie wydłużona o czym często może nas przeonywać dopiero weryfiacja doświadczalna ryterium. 3 W artyułach na temat badania charaterysty materiałowych w ompozytach o osnowie metalowej i ceramicznej (np. [], [3]) uwaga supia się na badaniu wytrzymałości (lub sztywności) tylo w jednym wybranym ierunu. Najczęściej jest to rozciąganie wzdłuż włóien. Aby w pratyce można było zastosować teorię laminacji w połączeniu z dowolnym ryterium wytężeniowym, onieczny jest pełen omplet charaterysty materiałowych. ch bra w literaturze w odniesieniu do ompozytów z osnową ceramiczną, czy metalową może świadczyć o tym, że materiały te nie są jeszcze powszechnie stosowane w pratyce projetowej.

83 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY Wpływ charaterysty materiałowych na zna i wartość energii rytycznej Wzory (7.33a) i (7.33b) wyrażające gęstości energii rytycznych w pierwszym i drugim stanie własnym, będące jednocześnie warunami oreślającymi możliwość wyorzystania ryterium energetycznego do analizy danego ompozytu, są bardzo czułe na wartości charaterysty materiałowych. Jao przyład mogą posłużyć wynii esperymentu przeprowadzonego przez Cazeneuve a i in. [8], tórzy wyznaczyli charaterystyi materiałowe przy rozciąganiu ompozytu węgiel/eposyd i aramid/eposyd. Wynii tego doświadczenia przedstawiono w tabeli 7.3. Tabela 7.3. tałe materiałowe wyznaczone przez Cazeneuve i in. [8] Materiał X t [MPa] Y t [MPa] E [GPa] E [GPa] G [GPa] ν carbon/epoxy ± ± 6.5±. 8.±. 4.6±.6.5 aramid/epoxy 8± 8± 79.5± 5.±.7 4.6±.6.3 Dla podanych w tabeli 7.3 wartości w przypadu obu materiałów uzysuje się ze wzorów (7.33a) i (7.33b) ujemne energie rytyczne. Otrzymujemy, odpowiednio dla włóien węglowych i aramidowych: Φ 5 MPa Φ MPa (7.78a) r. r Φ 6 MPa Φ MPa (7.78b) r. r Jeżeli jedna zmodyfiuje się wytrzymałości X i Y o wartości podanego w tabeli 7.3 błędu pomiaru, to znaczy przyjmie dla pierwszego materiału X t 8 MPa i Y t MPa, a dla drugiego X t 8 MPa i Y t MPa to odpowiednie energie rytyczne przyjmą wartości: Φ 3 MPa Φ 3. MPa (7.79a) r. r Φ 4 MPa Φ. 978 MPa (7.79b) r. r Zatem w przypadu materiałów przebadanych w [8] o możliwości zastosowania do ich opisu ryterium energetycznego (7.35) decydują różnice w wartościach charaterysty materiałowych, mieszczące się w granicach błędu pomiaru. Podobna sytuacja występuje również dla ilu ompozytów wymienionych w tabeli 7., dla tórych uzysano ujemne energie rytyczne, orzystając z danych zmieszczonych w cytowanych w tabeli pozycjach literatury. Tabela 7.4 przedstawia wartości energii rytycznych obliczone przy zmianie wybranych charaterysty materiałowych. Wielość tej zmiany została dobrana na podobnym poziomie ja w cytowanym wyżej esperymencie [8]. Przyjęto zatem zmianę wytrzymałości i sztywności w ierunu włóien nie więszą niż.%, a w ierunu prostopadłym do włóien nie więszą niż 5.%.

84 84 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Tabela 7.4. Wpływ zmiany stałych materiałowych na wartość energii rytycznej Materiał X t [MPa] Y t [MPa] tałe materiałowe E [GPa] E [GPa] ν Energie rytyczne Φ r [GPa] Φ r [GPa] T3/BL94C według [8] po modyfiacji M6/C8 według [3] po modyfiacji A4/35 według [79] po modyfiacji A4/35-6 według [8], [98] po modyfiacji Widać, że dla materiałów zamieszczonych w tabeli 7.3 niewiela zmiana charaterysty materiałowych powoduje uzysanie dodatnich energii rytycznych, co oznacza możliwość stosowania ryterium energetycznego do opisu wytrzymałości tych materiałów. W rozdziale pracy podano za Germanem [3], że różnice w wartościach wytrzymałości lub sztywności otrzymanych w badaniach laboratoryjnych dwóch identycznych próbe mogą wynosić od ilu do iludziesięciu procent. powodowane jest to dużą niejednorodnością materiału ompozytowego, wyrażającą się na przyład nierównomiernym rozmieszczeniem włóien i zmianą przeroju włóna wzdłuż jego długości. W świetle tych uwag oraz w wyniu przedstawionych powyżej przyładów można sformułować sugestię, że waruni (7.38) otrzymane na drodze rozważań energetycznych mogą być wyorzystane w celu weryfiacji wyniów esperymentalnych dotyczących charaterysty materiałowych warstwy. Wymaga to jedna przeprowadzenia bardziej szczegółowej analizy porównawczej, przeprowadzonej na więszej grupie materiałów. Waruni dotyczące charaterysty materiałowych znane są w teorii sprężystości w odniesieniu do elementów tensorów sztywności lub podatności. Przyłady taich warunów dla materiałów ortotropowych można znaleźć na przyład w [3] i [45]. Waruni (7.38), zapisane w postaci (7.5) i (7.5) wiążą ze sobą charaterystyi wytrzymałościowe ze sztywnościowymi (stałymi inżyniersimi). To różni je od wspomnianych wyżej warunów energetycznych, łączących ze sobą tylo charaterystyi sztywnościowe (moduły Younga, ścinania i współczynnii Poissona) Weryfiacja doświadczalna 7.8. Test off-axis Test typu off-axis polega na rozciąganiu lub ścisaniu pojedynczej warstwy ompozytu siłą przyłożoną pod dowolnym ątem w stosunu do ierunu ułożenia włóien (rys.

85 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY ). Taie obciążenie powoduje powstanie w uładzie głównych osi materiałowych wieloosiowego stanu naprężenia. Rys. 7.3 Rozciąganie i ścisanie warstwy ompozytowej w uładzie off-axis Poniżej przedstawione zostanie porównanie wytrzymałości warstwy w funcji ąta pod jaim przyłożone jest obciążenie, wyznaczonej doświadczalnie i obliczonej według ryterium energetycznego (7.35) i ilu innych, istniejących ryteriów wytężeniowych, to jest ryteriów Tsaia-Hilla (4.4), Hoffmana (4.5) i Tsaia-Wu (4.9). Wynii badań doświadczalnych, użyte do porównania zostały zaczerpnięte z literatury [6], [7], [9] i [93]. Ponieważ analiza wytrzymałościowa warstwy musi być prowadzona w ierunach głównych osi materiałowych, tensory naprężenia dla rozciągania i ścisania z uładu dowolnego (x, y): t x x c (7.8) należy transformować do uładu (, ). tosując prawo transformacji dla tensorów rzędu: otrzymamy dla rozciągania: α α (7.8) ij i jl l x cos α x sin α 6 x sin α cosα (7.8) i dla ścisania: x cos α x sin α 6 x sinα cosα (7.83) Podstawiając elementy tensorów (7.8) i (7.83) do równań przedstawiających poszczególne ryteria wytężeniowe, a następnie przeształcając je do formy wygodnej do sporządzenia wyresów, otrzymamy olejno następujące funcje.

86 86 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Dla ryterium Rychlewsiego: 4 ( ) 4 t ( ) ( ) cos α A A sin α ( ) ( ) x R α sin α cos α (7.84a) X t X t Yt Yt 4 ( ) 4 c ( ) ( ) cos α A A sin α ( ) ( ) x R α sin α cos α (7.84b) X c X c Yc Yc Dla ryterium Tsaia-Hilla: 4 ( ) 4 t ( ) ( ) cos α sin α ( ) ( ) x TH α sin α cos α (7.85a) X t X t Yt 4 ( ) 4 c ( ) ( ) cos α sin α ( ) ( ) x TH α sin α cos α (7.85b) X c X c Yc W przypadu ryterium Hoffmana naprężenie xh (α) otrzymujemy jao rozwiązanie równania wadratowego: xh X c X X c X t xh cos 4 cos X c X t c t ( α ) sin ( α ) 4 ( α ) sin ( α ) t Y c Y Y Y t Y c Y t sin X c X t ( α ) cos ( α ) (7.86) Podobnie w przypadu ryterium Tsaia-Wu naprężenie xt W (α) otrzymujemy jao rozwiązanie równania wadratowego: x TW [ F cos ( α ) F sin ( α )] 4 4 F cos ( α ) F sin ( α ) ( F F ) sin ( α ) cos ( α ) x TW [ ] 66 (7.87) gdzie F i i F ij to elementy tensorów wytrzymałości według (4.), przy czym współczynni F obliczono z (4.), przyjmując F * -.5. Weryfiację doświadczalną przeprowadzono w oparciu o rezultaty uzysane przez różnych autorów w czterech testach off-axis, to jest dla rozciągania ompozytu A/35 (włóna węglowe/eposyd) przeprowadzonego przez Tsaia i Hahna [9], dla rozciągania ompozytu B(4)/555 (włóna borowe/eposyd) według Pipesa i Cole a [7], ścisania dla ompozytu A4/35-6 (włóna węglowe/eposyd) wyonanego przez Binga i una [6], oraz dla ścisania ompozytu szło/eposyd według Tsaia [93]. Wynii tych doświadczeń wraz z rzywymi wytrzymałości uzysanymi z równań ( ) przedstawiono na rysunach

87 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 87 W tabeli 7.5 przedstawiono charaterystyi materiałowe dla ompozytów użytych w omawianych doświadczeniach. Charaterystyi wytrzymałościowe zostały podane w cytowanych pracach [6], [7], [9] i [93], natomiast nie w ażdym przypadu podawano stałe materiałowe warstwy (nie są wymagane w więszości ryteriów wytężeniowych). W Taich sytuacjach stałe te wzięto z podręczniów [45] lub [47]. Tab Charaterystyi materiałowe ompozytów użytych w testach off-axis Materiał X t [MPa] Y t [MPa] X c [MPa] Y c [MPa] [MPa] E [GPa] E [GPa] G [GPa] ν A/35 [9] A4/35-6 [6] B(4)/555 [7] glass/epoxy [93] Esperyment przeprowadzony w [6] dla ompozytu A4/35-6 dotyczył ścisania warstwy, a w taim przypadu wzdłuż i w poprze włóien występują naprężenia ścisające (por. 7.83). W cytowanej pracy nie podano zatem wartości wytrzymałości na rozciąganie w obu ierunach, stąd ich bra w tabeli 7.5. Możliwość zastosowania ryterium energetycznego do analizy ompozytu szło/eposyd według doświadczenia [93] wynia z fatu występowania w badanej próbce naprężeń ścisających w obu ierunach. Jest to zatem przypade ombinacji naprężeń z ćwiarti uładu (, ), dla tórej otrzymujemy dodatnie wartości gęstości energii rytycznych dla tego materiału. Test off axis poazuje podobny przebieg funcji x (α) dla wszystich ryteriów, przy czym podobieństwo to jest więsze w przypadu rozciągania (rys i 7.5.) niż ścisania (rys i 7.7.). W tym drugim przypadu naprężenia niszczące wyznaczone dla ompozytu grafit/eposyd A4/35-6 z ryteriów Tsaia-Hilla i Tsaia-Wu dla ąta α 3 wynoszą odpowiednio x 77.3 MPa i x 44.8 MPa, czyli różnią się o ooło 37%. Daje się też zauważyć podobieństwo rzywych wyznaczonych odpowiednio z ryteriów Tsaia-Hilla i energetycznego oraz Tsaia-Wu i Hoffmana. Dla przypadu ścisania ompozytu grafit/eposyd (rys. 7.6.) rzywe dla tej pierwszej pary wręcz porywają się ze sobą. Wpływ na to podobieństwo może mieć w jednym przypadu występowanie, a w drugim bra w formule ryteriów członów liniowych i. W obu przypadach rozciągania warstwy ompozytowej występuje bardzo dobra zgodność wszystich ryteriów z doświadczeniem, przy czy dla ompozytu boron/eposyd (rys. 7.5.) jest ona nieco lepsza dla rzywych Tsaia-Wu i Hoffmana. Przypade ścisania ompozytu szło/eposyd (rys. 7.7.) wyazuje dużo lepszą zgodność z wyniami badań doświadczalnych dla rzywych wyznaczonych z ryteriów Tsaia-Wu i Hoffmana. Dla ścisania warstwy grafit/eposyd A4/35-6 lepiej dopasowane wydają się być rzywe otrzymane z ryteriów Tsaia-Hilla i energetycznego (rys. 7.6.). Niestety w tym drugim przypadu dane doświadczalne wyznaczono tylo w trzech puntach, to jest dla ątów 5, i 5, nie wiadomo zatem, czy podobna zgodność występowała by również dla zaresu ątów więszych od 5. Z przeprowadzonego porównania można wyprowadzić wniose, że energetyczne ryterium sprężystych stanów własnych (7.35) wyazuje dobrą zgodność z doświadczeniem typu off-axis.

88 88 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH Rys Krzywe wytrzymałości porównane z testem rozciągania wg Tsaia, Hahna [9] Rys Krzywe wytrzymałości porównane z testem rozciągania wg Pipesa, Cole a [7]

89 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 89 Rys Krzywe wytrzymałości porównane z testem ścisania wg Binga, una [6] Rys Krzywe wytrzymałości porównane z testem ścisania wg Tsaia [93]

90 9 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH 7.8. Dwuosiowy stan naprężenia Weryfiację doświadczalną ryterium energetycznego w dwuosiowym stanie naprężenia przeprowadzono w oparciu o rezultaty czterech doświadczeń, tórych wynii zaczerpnięto z literatury [], [44], [8], [8], []. Porównania doonano, wyreślając obwiednie graniczne wytrzymałości, tóre w dwuosiowym stanie naprężenia przyjmują ształt rzywych płasich. Oprócz analizowanego ryterium energetycznego wyreślono również rzywe graniczne według ryteriów Tsaia-Hilla (4.4), Hoffmana (4.5) i Tsaia-Wu (4.9). Charaterystyi materiałowe ompozytów użytych w doświadczeniach zestawiono w tabeli 7.6. Tab Charaterystyi materiałowe ompozytów użytych w testach dwuosiowych Materiał X t [MPa] Y t [MPa] X c [MPa] Y c [MPa] [MPa] E [GPa] E [GPa] G [GPa] ν T3/BL94C [8] Graphite/Epoxy [] M7/855-7 [44] świer [],[7] Na rysunu 7.8 przedstawiono analizę rozciągania (ścisania) wzdłuż włóien ze ścinaniem dla pojedynczej warstwy ompozytu T3/BL94C (włóna węglowe/eposyd). Charaterystyi materiałowe dla tego ompozytu zostały podane przez odena, Hintona i Kaddoura w [8], a rezultaty doświadczenia, przez tych samych autorów w [8]. Rys Obwiednie graniczne porównane z testem wg oden i in. [8] Ponieważ w tym przypadu naprężenia są równe zeru, ryterium energetyczne i ryterium Tsaia-Hilla reduują się do tej samej postaci. Podobnie, identyczne formuły przyjmują ryteria Tsaia-Wu i Hoffmana. Różnice pomiędzy poszczególnymi ryteriami są tu stosunowe niewielie, natomiast ich zgodności z wyniami doświadczeń nie można ocenić jao dobrej. zczególnie dla interacji rozciągania ze ścinaniem, punty doświadczalne leżą daleo poza rzywymi granicznymi. Nieco lepsza zgodność występuje po stronie ścisania.

91 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 9 Rysune 7.9 przedstawia przypade dwuosiowego stanu naprężenia w płaszczyźnie (, ) dla pojedynczej warstwy ompozytu grafit/eposyd. Naniesione na nim punty doświadczalne zostały wyznaczone przez Wu i cheubleina []. Poddali oni ompozyt dwuosiowemu rozciąganiu wzdłuż ze ścisaniem w poprze włóien, a taże przebadali wytrzymałość przy jednoosiowym rozciąganiu i ścisaniu w ierunach głównych osi materiałowych. Ocenę zgodności ryteriów z testem dwuosiowym można zatem przeprowadzić tylo w ćwiartce V uładu (, ). Zgodności tej nie można ocenić jao dobrej. Jedynie ryterium Hoffmana, w przypadu dwóch puntów doświadczalnych, daje dobre rezultaty. Pozostałe punty leżą daleo poza obwiedniami nośności. Różnice między ryteriami Tsaia-Hilla i energetycznym są dla tego materiału bardzo małe, może poza wyjątiem ćwiarti, gdzie ryterium energetyczne daje rzywą nieco bardziej wydłużoną. Obwiednie graniczne wyreślone z ryteriów Tsaia-Wu i Hoffmana są już znacznie różne od siebie i od dwóch pozostałych. Rys Obwiednie graniczne porównane z testem wg Wu i cheubleina [] Warto zwrócić uwagę na wynii testów jednoosiowych, przedstawionych na rys Widoczny jest bardzo duży rozrzut wartości wytrzymałości warstwy w jej głównych ierunach materiałowych. Przyładowo, srajne wartości uzysane przy rozciąganiu w poprze włóien wynoszą 34 i 6 MPa, a w przypadu rozciągania wzdłuż włóien 878 i 95 MPa. Różnią się zatem odpowiednio o 77 i 48 %. Potwierdza to uwagi poczynione w puncie na temat rozrzutu wartości stałych materiałowych. Na rysunu 6. przedstawiono rzywe graniczne na płaszczyźnie (, ) i wynii esperymentu Jianga i Tennysona [44]. Badali oni pojedynczą warstwę ompozytu M7/855-7 (włóna węglowe/eposyd). Dla danych doświadczalnych z ćwiarti najlepszą zgodność wyazuje ryterium Tsaia-Hilla. W przypadu ćwiarti bardzo dobrą zgodność wyazuje ryterium Tsaia-Wu, chociaż pozostałe ryteria dają też dobre wynii. Dla ćwiarti

92 9 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH V, najlepszą zgodność uzysano w przypadu ryterium Tsaia-Hilla i energetycznego. W przypadu pozostałych ryteriów należy mówić o złej zgodności z wyniami doświadczenia dla tej ćwiarti. Rys. 7.. Obwiednie graniczne porównane z testem wg Jianga i Tennysona [44] Rys. 7.. Obwiednie graniczne porównane z testem wg Eberhardsteiner []

93 7. WYZN AC ZEN E KRYTE R UM WY TĘŻE N O WE GO D LA PO JEDYNC ZEJ WARTWY 93 Na rysunu 7. poazano analizę dwuosiowego stanu naprężenia w płaszczyźnie (, ) dla drewna świerowego (sita spruce), dla tórego test wytrzymałościowy przeprowadzili Eberhardsteiner i Macenzie-Helnwein []. Ponieważ w [] nie podano wartości stałych inżyniersich wzięto je z podręcznia [7]. Krzywa graniczna wg Tsaia-Wu w ćwiartce jest zdecydowanie bardziej wydłużona niż dla pozostałych ryteriów. Podobnie w ćwiartce więsze wydłużenie wyazują rzywe Tsia-Wu i energetycznego. Najgorzej dopasowana do rezultatów doświadczenia jest rzywa Tsaia-Wu, pozostałe rzywe leżą dość bliso puntów doświadczalnych, przy czym można stwierdzić, że w ćwiartce najlepszą zgodność wyazuje ryterium energetyczne, w ćwiartce ryterium Tsaia-Hilla, a w ryterium Hoffmana Wniosi z weryfiacji doświadczalnej Przeprowadzona analiza nie pozwala jednoznacznie stwierdzić w jaim stopniu proponowane ryterium sprężystych stanów własnych poprawnie opisuje wytrzymałość ompozytów włónistych. W równym stopniu uwaga ta dotyczy jedna taże istniejących i powszechnie aceptowanych ryteriów, zależy to bowiem od rodzaju materiału, a taże od sposobu obciążenia. Każdorazowo, przed wyborem ryterium do opisu wytrzymałości oreślonego materiału ompozytowego trzeba doonać weryfiacji doświadczalnej, ta aby dobrać ryterium możliwie najlepsze. Dla przypadów obciążenia warstwy ompozytowej przez rozciąganie lub ścisanie w uładzie off-axis, wszystie analizowane ryteria dają zbliżone wynii, przy czym lepsze dla rozciągania. Dwuosiowy stan naprężenia wyazuje już jedna, że nośności graniczne obliczone z ilu różnych ryteriów wytężeniowych mogą się od siebie bardzo znacząco różnić. Uzasadnione jest zatem poszuiwanie nowych ryteriów i nowych teorii wytężenia dla materiałów ompozytowych, pomimo że istnieje ich już obecnie ta wiele.

94

95 8. NO WA METO D A DE GR AD ACJ ZTYWN OŚC LAM N ATU Nowa metoda degradacji sztywności laminatu 8.. Wstęp Niniejszy rozdział zawiera opis zaproponowanego przez autora sposobu modyfiacji sztywności laminatu, na sute uszadzających się olejno warstw. posób ten związany jest z wyznaczaniem nośności laminatu przy zastosowaniu metody zniszczenia ostatniej warstwy (LPF). Zaproponowana metoda oparta jest na rozładzie spetralnym tensora sztywności i na energetycznym ryterium wytężeniowym wyspecyfiowanym w rozdziale 7. Przy stosowaniu zaproponowanej metody można reduować elementy macierzy sztywności zniszczonej warstwy z uwzględnieniem stopnia uszodzenia, ale bez onieczności oreślania mechanizmu wywołującego to uszodzenie. Zastosowanie metody zilustrowano przyładami oraz porównano wynii obliczeń z zaczerpniętymi z literatury wyniami badań doświadczalnych. 8.. Podstawy teoretyczne 8.. formułowanie metody Energetyczne ryterium wytężeniowe sprężystych stanów własnych (7.) ma postać sumy trzech wyrażeń, z tórych ażde przedstawia stosune gęstości energii sprężystej zgromadzonej w danym stanie własnym pod wpływem działającego obciążenia, do gęstości energii rytycznej w tym stanie. Można zatem powiedzieć, że wyrażenia te oreślają stopień wytężenia materiału w ażdym stanie własnym. Proponuje się na tej podstawie zdefiniować współczynnii wytężenia ϕ ρ dla ażdego stanu własnego w następującej postaci: ϕ ρ Φ ρ (8.) Φ gdzie: Φ ρ - gęstość energii sprężystej w ρ -tym stanie własnym, Φ ρ r - rytyczna wartość gęstości energii sprężystej w ρ -tym stanie własnym. Występujące w ryterium (7.) trzy stany własne tensora podatności są oreślone przez tensory własne ω ρ i odpowiadające im wartości własne λ ρ. Rozład spetralny tensora, czyli jego rozład na stany własne przyjmuje postać: ρ r λ P λ P λ P (8.) gdzie P ρ - projetory ortogonalne wyznaczane jao iloczyny diadyczne tensorów własnych ω ρ, tzn. P ρ ω ρ ω ρ (por. rozdział 6.3). Rozwiązując problem własny dla macierzy odwrotnej do danej, otrzymujemy te same tensory (ieruni) własne i odwrotne niż dla macierzy danej wartości własne (zob. doda-

96 96 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH te D.8). Zatem analogicznie ja tensor podatności można na te same trzy stany własne rozłożyć tensor sztywności, tóry jest jego odwrotnością: P P P λ λ λ (8.3) Rozład (8.3) oznacza rozdzielenie macierzy sztywności warstwy ompozytowej na poszczególne stany własne. naczej mówiąc ażdy element macierzy,, stanowi pewną część odpowiedniego elementu macierzy, związaną z danym stanem własnym. Proponuje się przyjąć zależność, oreślającą modyfiację sztywności uszodzonej warstwy z użyciem współczynniów (8.) oreślających stopień wytężenia w danym stanie własnym w postaci: d ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) (8.4) W analogiczny sposób można doonać modyfiacji macierzy podatności, przy czym tutaj należałoby mówić nie o degradacji wartości jej elementów, a o ich wzroście: d ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) (8.5) Korzystając z równań ( ) można przedstawić sładowe tensora podatności w ażdym ze stanów własnych: a a b a b b (8.6a) λ a a b a b b (8.6b) λ (8.6c) λ Zaproponowana przez autora niniejszej pracy metoda pozwala na częściową reducję ażdego elementu macierzy sztywności bez wcześniejszej identyfiacji sposobu zniszczenia, co jest jej niewątpliwą zaletą w porównaniu z metodami stosowanymi dotychczas. Ponadto w sposób racjonalny modyfiowana jest cała macierz, a nie - ja to ma miejsce w dotychczasowych modelach - wybrane w oparciu o dość arbitralne ryteria jej elementy. Pomimo iż nie jest to onieczne do analizy nośności laminatu, można przy pomocy tej metody identyfiować w pewnym stopniu mechanizm zniszczenia, co zostanie poazane w dalszej części tego rozdziału.

97 8. NO WA METO D A DE GR AD ACJ ZTYWN OŚC LAM N ATU Algorytm wyznaczania nośności laminatu Poniżej zostanie przedstawiony sposób wyznaczania nośności laminatu z wyorzystaniem wyspecyfiowanego w puncie 7 ryterium wytężeniowego oraz przy użyciu zaproponowanej metody modyfiacji sztywności. Podstawowym elementem wyznaczenia nośności laminatu jest analiza wytrzymałościowa ażdej z jego warstw sładowych z osobna. W pierwszej olejności należy zatem wyznaczyć naprężenia działające w poszczególnych warstwach pod wpływem obciążenia przyłożonego do laminatu. W tym celu wyorzystujemy lasyczną teorię laminatów, obliczając olejno macierze sztywności A, B i D z równań (D.4- D.4), odształcenia laminatu w uładzie globalnym z równań (D.5, D.5) i naprężenia w poszczególnych warstwach z równania (D.5). Następnie naprężenia z uładu globalnego należy transformować do głównych osi materiałowych warstwy, przy użyciu wzorów transformacyjnych (D.6). Po wyznaczeniu naprężeń działających w uładzie osiowym stosujemy dla ażdej warstwy ryterium energetyczne (7.35) i wyznaczamy warstwę, tóra w danym rou obliczeniowym została uznana za uszodzoną. Wpływ uszodzenia warstwy na sztywność uwzględniamy przez modyfiację sztywności w warstwie uszodzonej. W tym celu w pierwszej olejności wyznaczamy parametry rozładu spetralnego tensora podatności, czyli moduły sztywności λ, λ i λ z równań (7.5), sładowe tensorów własnych a, b i a, b odpowiednio z równań (7.9) i (7.3) oraz współczynni B z zależności (7.34). Parametry te pozwalają obliczyć gęstości energii sprężystych(7.5) w poszczególnych stanach własnych w warstwie uszodzonej, gęstości energii rytycznych (7.33) w tych stanach oraz rozład na stany własne (8.6) tensora sztywności. W dalszej olejności wyznaczamy współczynnii wytężenia w ażdym stanie własnym (8.), przy pomocy tórych wyznaczamy zmodyfiowaną macierz sztywności d (7.4). Po wyznaczeniu macierzy d należy doonać atualizacji macierzy sztywności laminatu. Po wyznaczeniu nowych sztywności A, B i D ponownie sprawdzamy naprężenia we wszystich warstwach i postępujemy ta aż do uszodzenia wszystich warstw. W ażdym rou obliczeniowym należy sprawdzić wytrzymałość wszystich warstw, w tym również warstwy uszodzonej, może się bowiem zdarzyć, że warstwa uszodzona jest zdolna do dalszego przenoszenia obciążeń. Dzieje się ta w przypadu gdy zniszczeniu w warstwie ulega osnowa. Aby przy pomocy ryterium energetycznego (7.35) sprawdzić wytrzymałość taiej warstwy lub wyznaczyć obciążenie niszczące ją ostatecznie należy również uatualnić postać ryterium. Uatualnienie to dotyczy współczynnia A, tóry jest zależny od parametrów sztywnościowych (7.36). Jeżeli zatem sztywność warstwy została zmodyfiowana ma to wpływ na tenże współczynni i powinno być uwzględnione w dalszych obliczeniach. Opisany powyżej sposób wyznaczania nośności laminatu został przedstawiony w postaci algorytmu na rys. 8.. Elementy zaznaczone olorem żółtym dotyczą tej części algorytmu, tóre są związane z lasyczną teorią laminatów. Kolor zielony dotyczy części związanej z wyprowadzonym ryterium wytężeniowym, a niebiesi z zaproponowaną metodą degradacji sztywności.

98 98 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH OBCĄŻENE KONFGURACJA LAMNATU CHARAKTERYTYK MATERAŁOWE Zwię szyć obciążenie Wyznaczyć macierze sztywności laminatu A, B, D (D.4-D.4) Obliczyć odształcenia w uładzie globalnym ε x, ε y, γ xy (D.5, D.5) Obliczyć naprężenia warstwowe w uładzie globalnym x, y, xy (D.5) Transformować naprężenia do uładu osiowego,, 6 (D.6) Uatualnić szty wność laminatu Uatualnić współczy nni A Obliczyć współczynni A do ryterium (7.36) Obliczyć gęstości energii sprężystej w stanach własnych Φ ρ (7.5) Obliczyć współczynnii zależne od sztywności: λ ρ - (7.5), a, b (7.9) a, b (7.3), B (7.34) Obliczyć gęstości energii rytycznych w stanach własnych Φ ρ r (7.33) NE Zastosować ryterium wytężeniowe (7.35) Czy warstwa ulega zniszczeniu? Czy jest to ostatnia warstwa laminatu? NE Wyznaczyć zmodyfiowaną macierz sztywności warstwy d (8.4) Zmodyfiować sztywność Obliczyć współczynnii wytężenia ϕ ρ (8.) Wyznaczyć stany własne tensora sztywności ρ (8.6) KONEC OBLCZEŃ Rys. 8.. Algorytm wyznaczania nośności laminatu 8..3 Możliwość identyfiacji mechanizmu zniszczenia Ja zaznaczono w puncie 8.. do przeprowadzenia modyfiacji sztywności laminatu przy użyciu zaproponowanej metody nie jest onieczna znajomość mechanizmu zniszczenia. Modyfiacji doonuje się bowiem w oparciu o współczynnii wytężenia ϕ ρ tóre oblicza się niejao automatycznie na podstawie panującego w warstwie stanu naprężenia. Oazuje się jedna, że w pewnym stopniu mechanizm ten jest możliwy do zidentyfiowania.

99 8. NO WA METO D A DE GR AD ACJ ZTYWN OŚC LAM N ATU 99 Współczynnii ϕ ρ przedstawiają stopień wytężenia w poszczególnych stanach własnych. Jeżeli potrafilibyśmy powiązać te stany ze sposobami zniszczenia, można by identyfiować je na podstawie wartości tych współczynniów. Przeprowadzona w puncie 7. analiza tensorów naprężenia w poszczególnych stanach własnych (7.8) wyazała, że trzeci stan własny związany jest ze ścinaniem w płaszczyźnie warstwy. Potwierdzeniem tego fatu jest również postać tensora sztywności w trzecim stanie własnym (8.6c), w tórym zgromadzona jest cała sztywność warstwy związana z modułem ścinania G. Jeżeli zatem wartość współczynnia ϕ ΙΙΙ będzie zmierzać do jedności, będzie można powiedzieć, że mechanizm zniszczenia związany jest z pęaniem osnowy na sute ścinania. Na podstawie analizy naprężeń w dwóch pozostałych stanach własnych nie można wsazać sposobu zniszczenia. Naprężenia i rozładają się na pierwszy i drugi stan własny. W obu tych stanach jednocześnie występują naprężenia w ierunach i, czyli wzdłuż i w poprze włóien. Jeżeli jedna podda się analizie rozład tensora sztywności (8.6) pewne informacje o mechanizmie zniszczenia uzysa się również i dla tych stanów. Można wyazać (dowód przedstawiony jest w dodatu D.6), że dla współczynniów a ρ, b ρ, opisanych równaniami (7.9) i (7.3) zachodzi następująca zależność: a b a b (8.7a) Dodatowo (por. dodate D.6) dla ompozytów zbrojonych włónami jednoierunowymi, a więc taich, tóre charateryzują się dużą anizotropią cech sztywnościowych w dwóch prostopadłych ierunach, zachodzą zależności: a a << (8.7b) b b >> (8.7c) Zgodnie z rozładem (8.3) element tensora sztywności ma postać: a Biorąc pod uwagę zależność (8.7b) możemy zapisać: a (8.8) λ λ Podobnie analizując element tensora sztywności : << (8.9) b możemy na podstawie zależności (8.7b) zapisać: b (8.) λ λ >> (8.) Widzimy zatem, że prawie cała sztywność związana z ieruniem, czyli ieruniem ułożenia włóien jest zgromadzona w drugim stanie własnym. Z olei w pierwszym stanie własnym zgromadzona jest prawie cała sztywność związana z ieruniem, czyli pro-

100 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH stopadłym do włóien. Można na tej podstawie powiedzieć, że dominująca wartość współczynnia wytężenia ϕ Ι będzie oznaczała uszodzenie osnowy. Z olei jeśli dominujący będzie współczynni ϕ ΙΙ będzie to oznaczać uszodzenie włóien. Do interesujących wniosów może doprowadzić analiza elementu tensora sztywności. Zgodnie z rozładem (8.3) otrzymamy: Uwzględniając warune (8.7a) możemy zapisać: a b a b (8.) λ λ > < (8.3) Z zależności (8.3) wynia, że dla pewnych ombinacji współczynniów wytężenia ϕ ρ można otrzymać wzrost elementu w modyfiowanej macierzy sztywności laminatu. Ponieważ element jest związany ze współczynniiem Poissona w warstwie można w onsewencji, dla nietórych typów onfiguracji warstw, uzysać wzrost tego współczynnia w laminacie. tosowane obecnie metody degradacji macierzy sztywności zmniejszają zawsze wszystie elementy macierzy sztywności, a więc również element przez co w nietórych typach laminatów (na przyład rzyżowych lub innych zawierających warstwy 9 ) można nie uzysać wzrostu współczynnia Poissona po degradacji, co obserwuje się nieiedy w testach. Należy zaznaczyć, że do teoretycznego wyznaczenia wzrostu współczynnia Poissona w laminacie nie zawsze onieczny jest wzrost elementu w degradowanej warstwie. Na przyład w laminacie ±45, a taże innych laminatach ątowych, nawet całowite wyzerowanie elementów macierzy sztywności daje w efecie wzrost tego współczynnia w laminacie. Omówione powyżej zjawiso jest obserwowane doświadczalnie w nietórych typach laminatów czego przyładem może być esperyment wyonany przez Germana []. Poniżej, jao przyład ilustrujący omówione powyżej zależności (8.9, 8., 8.3), zostanie doonany rozład spetralny tensora sztywności dla ompozytu A/94 (włóna węglowe/eposyd). tałe inżyniersie dla tego materiału przyjęte za [3] wynoszą: E 4 GPa, E 6.7 GPa, G 5.3 GPa, ν.3. W wyniu przeprowadzonych obliczeń otrzymano olejno: - macierz podatności (3.): - moduły sztywności (7.5): GPa, (8.4) sładowe tensorów własnych (7.9, 7.3): λ.4986 GPa, (8.5a) λ.7 GPa, (8.5b) a b.574, (8.6a)

101 8. NO WA METO D A DE GR AD ACJ ZTYWN OŚC LAM N ATU b a , (8.6b) rozład spetralny tensora sztywności (8.3, 8.6): [ GPa] (8.7a) [ GPa] (8.7b) [ GPa] (8.7c) [ GPa] (8.8) 5. 3 Ja widać pratycznie cała wartość elementu jest zgromadzona w drugim, a wartość w pierwszym stanie własnym. Można też zauważyć, że jest prawdziwa relacja (8.3) dotycząca elementu. W tabeli 8. podano wartości sładowych tensorów, i wyznaczone dla ilu innych materiałów. Wpływ elementów tensorów sztywności w pierwszym i drugim stanie własnym na całowitą sztywność warstwy podano w tabeli 8.. MATERAŁ Tab. 8.. Rozład spetralny tensora podatności dla wybranych materiałów Tensor sztywności [GPa] stan własny [GPa] stan własny [GPa],,,,,, A/94 [3] /C8 [6] E-glass/884 [6] B(4)/555 [47] Kevlar 49/C8[6] Tab. 8.. Udział sztywności poszczególnych stanów własnych w sztywności całowitej MATERAŁ,, A/94 [3] /C8 [6] E-glass/884 [6] B(4)/555 [47] Kevlar 49/C8[6] ,,,,

102 ENER GE TYC ZNE KR Y TER UM WY TĘŻE N O WE DLA KOM PO ZYTÓ W WŁÓKN TYCH 8.3. Przyłady zastosowań 8.3. Rozciąganie laminatu [/9] s Pierwszy przyład ilustrujący zaproponowaną metodę degradacji polega na wyznaczeniu nośności laminatu o odzie [/9] s wyonanego z materiału M7/855-7 poddanego jednoosiowemu rozciąganiu. Wyznaczona zostanie również zależność - ε obrazująca zachowanie się laminatu pod wpływem przyłożonego obciążenia. Na rysunu 8. przedstawiony jest schemat obciążenia i onfiguracja laminatu. Rys. 8. chemat obciążenia i onfiguracji laminatu Dla porównania przedstawiono również analizę z wyorzystaniem ryteriów Tsaia- Hilla i Tsaia-Wu. W tym przypadu przyjęto metodę degradacji polegającą na wyzerowaniu tych elementów macierzy sztywności, tóre są związane ze sposobem zniszczenia. W przypadu ryterium Tsaia-Wu przyjęto F *.5. Charaterystyi materiałowe, przyjęte według [44] są następujące: X t MPa, Y t 73.9 MPa, X c MPa, Y c 75.8 MPa, 83.4 MPa, E 6 GPa, E 8.34 GPa, G.7 GPa, ν.339. Przy wyznaczaniu naprężeń w poszczególnych warstwach uwzględniono naprężenia termiczne, wyniające z procesu laminacji. Różnicę pomiędzy temperaturami esploatacji i laminacji przyjęto T C, a współczynnii rozszerzalności termicznej dla warstwy: α i α Grubość pojedynczej warstwy przyjęto.3 mm. Analizę nośności przeprowadzamy zgodnie z algorytmem przedstawionym na rys. 8.. Wynii szczegółowych obliczeń prowadzących do wyznaczenia naprężeń w poszczególnych warstwach nie będą tutaj prezentowane. Zagadnienia te dotyczą lasycznej teorii laminatów, tórej opis można znaleźć w podręczniach. Przyłady obliczeń, między innymi taże laminatu rzyżowego, można znaleźć na przyład w [3]. Po wyznaczeniu naprężeń warstwowych działających w głównych osiach materiałowych, wyznaczano przy użyciu ryteriów wytężeniowych Tsaia-Hilla, Tsaia-Wu i energetycznego wartości obciążeń niszczących warstwach. Celem użycia ryterium energetycznego wyznaczono współczynni A ze wzoru (7.36), tóry dla analizowanego ompozytu przyjmuje wartość A.368. Według wszystich ryteriów jao pierwsza ulega zniszczeniu warstwa 9. Podstawowe wynii obliczeń przedstawiono w tabeli 8.3. Ja widać wszystie ryteria prognozują wartość zniszczenia pierwszej warstwy na podobnym poziomie. W tabeli 8.3 przedstawiono również wartości naprężeń panujących w warstwie uszodzonej w ierunach jej głównych osi materiałowych. Analiza tych naprężeń poazuje, że naprężenie, czyli na ierunu poprzecznym do włóien osiąga wartość blisą wytrzymałości warstwy w tym ierunu. Mamy zatem do czynienia z taim sposobem obciążenia, przy tórym można oreślić sposób zniszczenia w tym przypadu uszodzenie osnowy bez stosowanie dodato-