Wp yw uszkodzeƒ w laminatach na krzywe interakcji si przekrojowych

Transkrypt

1 Wp yw uszkodzeƒ w laminatach na krzywe interakcji si przekrojowych Influence of laminate s damage on failure envelopes in a space of cross-section forces JANUSZ GERMAN ZBIGNIEW MIKULSKI Streszczenie: Praca dotyczy konstruowania krzywych interakcji uogólnionych si przekrojowych N x i N y w laminatowych strukturach kompozytowych. Krzywe takie pozwalajà na ocen noênoêci elementów w z o onych stanach obcià eƒ. Uwzgl dniono stopniowà degradacj w asnoêci spr ystych struktury na skutek przyrostu obcià enia a do zniszczenia elementu. Wykorzystano wybrane kryteria wyt eniowe oraz procedur zniszczenia ostatniej warstwy (ang. LPF). Dzi ki temu mo liwa jest ocena wp ywu uszkodzeƒ na graniczne krzywe noênoêci. Obliczenia wykonano za pomocà w asnych procedur zapisanych w programie Mathcad i MATLAB. S owa kluczowe: kompozyt w óknisty, analiza wytrzyma oêciowa, graniczne krzywe noênoêci Abstract: This paper presents influence of damage on failure envelopes in composite laminates. Load carrying capacity of structural elements may be estimated by utilizing this envelopes in a space of cross-section forces. Progressive stiffness degradation as a consequence of damage was taken into consideration. Last Ply Failure analysis was performed to obtain failure envelopes. Different failure criteria were utilized. Analyses were performed by utilizing author s code written in a frame of Mathcad and MATLAB. Keywords: composite laminate, strength analysis, failure envelopes Dr hab. in. Janusz German, prof. PK Politechnika Krakowska, Zak ad Wytrzyma oêci Materia ów, Wydzia In ynierii Làdowej, ul. Warszawska 24, Kraków, jg@limba.wil.pk.edu.pl; mgr in. Zbigniew Mikulski Politechnika Krakowska, Zak ad Wytrzyma oêci Materia ów, Wydzia In ynierii Làdowej, ul. Warszawska 24, Kraków, zm@limba.wil.pk.edu.pl. W analizie wytrzyma oêciowej konstrukcji wykonanych z klasycznych materia ów konstrukcyjnych, które z regu y sà izotropowe i spr yste w du ym zakresie obcià enia, jak np. metale, stosuje si warunki dotyczàce napr eƒ, które nie mogà przekroczyç odpowiednich charakterystyk wytrzyma oêciowych. Z regu y warunki te sà niezale ne, jakkolwiek w przypadku z o onych stanów obcià eƒ (a zatem i napr eƒ) bardziej odpowiedni jest sposób oceny noênoêci oparty na kryteriach wyt eniowych, uwzgl dniajàcych jednoczeênie wszystkie sk adowe stanu napr enia. Analiza ró nych kombinacji obcià eƒ prowadzàcych do zniszczenia pozwala uzyskaç krzywe interakcji si przekrojowych (lub alternatywnie napr eƒ), zwane tak e krzywymi noênoêci lub krzywymi wyt enia. W przypadku struktur materia owych, jakimi sà laminaty kompozytowe, a w szczególnoêci laminaty w ókniste, pierwszy z wymienionych sposobów jest ca kowicie nieprzydatny, gdy analiza wytrzyma oêciowa prowadzona jest na poziomie warstwy, a nie globalnie dla ca ego laminatu. Nie istnieje bowiem teoria pozwalajàca na analiz zachowania globalnego struktury kompozytowej bez zejêcia na poziom pojedynczej warstwy. Tak wi c, to co w przypadku materia ów izotropowych, a mianowicie ocena noênoêci z u yciem kryteriów wyt eniowych, jest alternatywà dla prostych warunków wytrzyma oêciowych w przypadku laminatów staje si jedynà mo liwà drogà okreêlenia noênoêci. W niniejszej pracy zaj to si opisem noênoêci elementów kompozytowych w stanach tarczowych wywo anych obcià eniem dwuosiowym N x, N y i konstrukcjà krzywych granicznych. SpoÊród wielu dost pnych kryteriów wytrzyma oêciowych dla warstwy kompozytu wybrano w celach porównawczych dwa najcz Êciej stosowane kryteria, a mianowicie kryterium maksymalnego napr enia oraz kryterium Azziego-Tsaia-Hilla (A-T-H). Wybór jest podyktowany tak e tym, e pierwsze z nich nie uwzgl dnia wp ywu interakcji napr eƒ warstwowych na wielkoêç wyt enia, zaê drugie nale y do grupy kryteriów kwadratowych, uwzgl dniajàcych interakcje. Kryterium maksymalnego napr enia ma nast pujàcà postaç: zaê kryterium A-T-H: gdzie: X T wytrzyma oêç na rozciàganie w kierunku w ókien X C wytrzyma oêç na Êciskanie w kierunku w ókien (1) (2) ROK WYD. LXXII ZESZYT 7-8/

2 Y T wytrzyma oêç na rozciàganie w kierunku poprzecznym do w ókien Y C wytrzyma oêç na Êciskanie w kierunku poprzecznym do w ókien S wytrzyma oêç na Êcinanie w p aszczyênie g ównych osi materia owych σ 1, σ 2, σ 6 elementy tensora napr enia w notacji Voigta, odpowiednio σ 11, σ 22, σ 12 w tradycyjnym zapisie macierzowym. Istotnym elementem w analizie opartej na metodzie zniszczenia ostatniej warstwy (Last Ply Failure LPF) jest tak e kryterium identyfikacji uszkodzenia warstwy, która mo e si uszkadzaç przez zniszczenie matrycy lub w ókien. Identyfikacja pozwala na odpowiednie modyfikowanie macierzy sztywnoêci warstw w kolejnych etapach obliczeƒ. W pracy przyj to kryterium Craddocka [1], które ma nast pujàcà postaç: gdzie X i Y przybierajà wartoêci: X T, X C, Y T i Y C w zale noêci od znaku napr eƒ σ 1 i σ 2. W celu zbadania wp ywu struktury na przebieg krzywych wyt enia analizowano dwie typowe orientacje, tzn. laminat krzy owy [0/90] 2s oraz quasi-izotropowy (3) [0/90/±45] s, a tak e laminat [±20/±70] s, który nie zawiera w ókien le àcych na kierunku adnego z obcià eƒ zewn trznych. Schemat analizy wytrzyma oêciowej pokazano na rys. 1. Wyniki przeprowadzonych symulacji Sposób tworzenia krzywych granicznych Numeryczne symulacje zniszczenia wybranych struktur prowadzono, wykorzystujàc standardowà procedur wyznaczania noênoêci laminatów na podstawie klasycznej teorii laminatów. Jako kryterium wyt eniowe dla warstwy kompozytowej wybrano kryterium maksymalnego napr enia oraz kryterium A-T-H. Wyboru takiego dokonano w celu porównania wp ywu kryterium na krzywà granicznà noênoêci laminatu. Kryterium A-T-H uwzgl dnia przy okreêlaniu wyt enia warstwy laminatu interakcj napr eƒ w kierunkach g ównych osi materia- owych. Kryterium maksymalnego napr enia stanowià natomiast trzy niezale ne warunki wytrzyma oêci w kierunkach g ównych ortotropii. Jest to zasadnicza ró nica mi dzy wybranymi kryteriami. Ponadto, w przeciwieƒstwie do kryterium maksymalnego napr enia, kryterium A-T-H nie umo liwia identyfikacji mechanizmu uszkodzenia, wymaga zatem stosowania dodatkowego kryterium identyfikacji. Zastosowano kryterium zaproponowane przez Craddocka [1], które wykorzystuje sposób identyfikacji uszkodzenia warstwy zawarty w kryterium maksymalnego napr enia. Pozwoli o to analizowaç jedynie wp yw stosowanego kryterium wyt eniowego na krzywe graniczne noênoêci. Metod degradacji sztywnoêci uszkodzonej warstwy przyj to na podstawie [2, 3], zmniejszajàc odpowiednie charakterystyki in ynierskie do poziomu 15% wartoêci poczàtkowej w przypadku uszkodzenia matrycy oraz 5% w przypadku uszkodzenia w ókien, co stanowi kompilacj metod opisanych w [2, 3]. Wyznaczenia zdegradowanych charakterystyk dokonano z wykorzystaniem wspó czynnika degradacji E * m wyra ajàcego stopieƒ uszkodzenia osnowy: Rys. 1. Schemat blokowy analizy wyt eniowej dla laminatu gdzie: E m modu sztywnoêci osnowy nieuszkodzonej, E d m modu sztywnoêci osnowy uszkodzonej. Wspó czynnik degradacji E * m wykorzystuje si do obliczenia zdegradowanych charakterystyk sztywnoêciowych warstwy, to jest poprzecznego modu u Younga E 2, modu u Êcinania G 12 i wi kszego wspó czynnika Poissona ν 12, w ramach mikromechaniki kompozytów, np. z wykorzystaniem równania mieszanin i odwrotnego równania mieszanin. Liu i Tsai, wykorzystujàc badania prowadzone przez Highsmitha i Reifsnidera [4], ustalili, e dla laminatów w glowo-epoksydowych i szklano-epoksydowych o ró nych konfiguracjach warstw najlepszà zgodnoêç z doêwiadczeniem uzyskuje si przyjmujàc E * m w zakresie od 0,1 do 0,2. Stàd Liu i Tsai przyj li w [2] E * m = 0,15. McCarthy [3] zmniejsza odpowiednie charakterystyki in ynierskie uszkodzonej warstwy do poziomu 10% wartoêci poczàtkowej. W odró nieniu od podejêcia Liu i Tsaia zmniejsza on do tego samego poziomu, a wi c do 10%, równie modu pod u ny, podczas gdy wspomniani autorzy w przypadku uszkodzenia w ókien przyjmujà wartoêç zerowà dla modu u E 1. Przyj to, e ca kowite zniszczenie laminatu (Ultimate Laminate Failure ULF) nast puje 36 ROK WYD. LXXII ZESZYT 7-8/2013

3 w momencie zniszczenia w ókien w dowolnej warstwie. W analizowanych strukturach, przypadkach obcià enia (stany tarczowe) oraz analizie prowadzonej na poziomie przekroju za o enie takie jest zasadne. Przyj to ponadto, e obcià enie narasta monotonicznie oraz e stosunek odpowiednich si przekrojowych, których interakcj badano, jest sta y w ca ym procesie obcià enia. Oznacza to, e Êcie ka obcià enia jest linià prostà. Krzywe przedstawiono w przestrzeni si przekrojowych. Analizowane struktury W pracy zostanà przedstawione wyniki symulacji dla wybranych struktur o takiej samej liczbie warstw i nast pujàcych kodach: [0/90] 2s, [0/90/±45] s oraz [±20/±70] s. Obliczenia wykonano dla laminatów wykonanych z taêm prepreg w ókno w glowe/epoksyd o nazwie Torayca T300/Vicotex 174B, dla którego charakterystyki sztywnoêciowe, wytrzyma oêciowe i termiczne po laminowaniu sà nast pujàce: GruboÊç pojedynczej warstwy wynosi t 0 = 0,123 mm. Uwzgl dniono wp ywy termiczne wynikajàce z ró nicy temperatury eksploatacji (20 C) oraz temperatury laminowania (120 C). Analiza wyników Na rys. 2 4 przedstawiono graniczne wartoêci par (N x, N y ) otrzymane z symulacji zniszczenia laminatów [0/90] 2s, [0/90/±45] s oraz [±20/±70] s rozciàganych dwuosiowo, przy wykorzystaniu kryterium maksymalnego napr enia. Zbiory te obrazujà graniczne krzywe Rys. 2. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [0/90] 2s Rys. 4. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [±20/±70] s Rys. 3. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [0/90/±45] s Rys. 5. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [0/90] 2s ROK WYD. LXXII ZESZYT 7-8/

4 Rys. 6. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [0/90/±45] s noênoêci (ULF) dla analizowanych laminatów. Na ka dym z wykresów pokazano równie krzywe przedstawiajàce uszkodzenie pierwszej warstwy w laminacie (First Ply Failure FPF). Na rys. 5 7 przedstawiono krzywe graniczne otrzymane przy zastosowaniu kryterium wyt eniowego A-T-H. W grupie rys. 2 7 widoczny jest wp yw konfiguracji laminatu na kszta t krzywych noênoêci uzyskanych metodà analizy do uszkodzenia pierwszej warstwy (metoda FPF) oraz metodà analizy do ca kowitego zniszczenia laminatu (metoda LPF). atwo zauwa yç, e nie zachodzi analogia do krzywych granicznych w materia- ach izotropowych, w których krzywe graniczne muszà byç wypuk e. W przypadku wyników uzyskanych przy u yciu kryterium maksymalnego napr enia widaç, e najbli sze tej analogii sà laminaty krzy owe, zarówno w przypadku metody FPF, jak i LPF. W pozosta ych badanych strukturach analogia ta zachodzi wy àcznie w metodzie FPF. Niezale nie od struktury laminatu oraz wybranego kryterium metoda FPF zawsze prowadzi do uzyskania krzywych wypuk ych, poniewa analiza jest przerywana przed identyfikacjà uszkodzenia i nie jest zarazem uwzgl dniana degradacja sztywnoêci laminatu. W przypadku stosowania kryterium maksymalnego napr enia krzywe graniczne ULF wykazujà niewielkie nieciàg oêci. Znacznie wi ksze nieciàg oêci widoczne na rys. 5 7 zwiàzane sà z tym, e identyfikacja procesu uszkodzenia w przypadku stosowania kryterium A-T-H powoduje skokowy spadek wyt enia uszkodzonej warstwy wynikajàcy z redystrybucji napr eƒ, mi dzy którymi zachodzi w przypadku tego kryterium interakcja. Po o enie tych nieciàg oêci zale y od konfiguracji laminatu. W przypadku stosowania kryterium maksymalnego napr enia, nieuwzgl dniajàcego interakcji napr eƒ, wp yw zachodzàcej w procesie zniszczenia redystrybucji napr eƒ na krzywe graniczne jest zdecydowanie mniejszy. Szczegó owe obliczenia wykaza y, e w okolicach punktów nieciàg oêci dowolnie ma a zmiana obcià enia powoduje zmian mechanizmu uszkodzenia zgodnie z przyj tym kryterium identyfikacji Craddocka. JeÊli kryterium to okreêli, e mechanizm uszkodzenia warstwy zwiàzany jest z uszkodzeniem matrycy, co powoduje mo liwoêç dalszego prowadzenia analizy, to po redystrybucji napr eƒ wywo anej degradacjà charakterystyk sztywnoêciowych warstwy, wartoêç wyt enia tej warstwy znaczàco spada. Spadek wynika wprost z postaci kryterium A-T-H wzór (2). Zatem mo liwy jest jeszcze spory przyrost obcià enia, a do wartoêci, przy której nastàpi uszkodzenie w ókien w tej warstwie. Dopiero wówczas zgodnie z procedurà i kryterium okreêlania noênoêci przerywana jest dalsza analiza. Prace innych autorów [5] wskazujà, e opisane nieciàg oêci, choç sà rezultatem doêç zaskakujàcym, to jednak prawdziwym. Krzywe graniczne dla obu obcià eƒ Êciskajàcych, a w niewielkim stopniu równie dla obcià eƒ ró nych znaków sà niezale ne od zastosowanej metody analizy, FPF bàdê ULF, poniewa pierwszym zachodzàcym uszkodzeniem jest uszkodzenie w ókien. Na rys porównano krzywe graniczne dla wybranej konfiguracji laminatu przy stosowaniu ró nych Rys. 7. Krzywe graniczne (FPF i ULF) dla laminatu [±20/±70] s Rys. 8. Porównanie krzywych granicznych (ULF) dla laminatu [0/90/±45] s 38 ROK WYD. LXXII ZESZYT 7-8/2013

5 Rys. 9. Porównanie krzywych granicznych (ULF) dla laminatu [±20/±70] s Rys. 10. Porównanie krzywych granicznych analizowanych struktur z wykorzystaniem kryterium maksymalnego napr enia kryteriów wyt eniowych oraz przy wybranym kryterium dla ró nych konfiguracji. Na podstawie rys. 8 i rys. 9 mo na oceniç wp yw przyj tego kryterium wytrzyma oêciowego na kszta t krzywych granicznych. Krzywe uzyskane przy wykorzystaniu kryterium A-T-H dajà ni sze oszacowanie noênoêci w stosunku do krzywych uzyskanych z wykorzystaniem kryterium maksymalnego napr enia, sà zatem bardziej bezpieczne ze wzgl du na prac elementu konstrukcyjnego. Na rys. 10 i rys. 11 przedstawiona jest zale noêç krzywych interakcji si przekrojowych wy àcznie od struktury laminatu w przypadku rys. 10 z wykorzystaniem kryterium maksymalnego napr enia, w przypadku rys. 11 z wykorzystaniem kryterium A-T-H oraz kryterium identyfikacji Craddocka. Niezale nie od zastosowanego kryterium najwi ksze wartoêci noênoêci mo na uzyskaç w laminacie krzy owym. To m.in. t umaczy przyczyny cz stego stosowania takich laminatów w praktyce. Uwagi koƒcowe Otrzymane wyniki Êwiadczà, e kryterium identyfikacyjne Craddocka powoduje nieuniknione nieciàg oêci na krzywych granicznych w przypadku analizy metodà do zniszczenia ostatniej warstwy. Bioràc pod uwag postaci innych kryteriów uwzgl dniajàcych interakcj napr eƒ, np. kryteria: Tsai-Wu, Hoffmana, energetyczne [6], nale y si spodziewaç podobnego efektu. W ka dym innym sposobie identyfikacji, który prowadzi do stwierdzenia uszkodzenia matrycy bàdê w ókien, ale nie obu komponentów jednoczeênie, efektów nieciàg oêci nie uda si uniknàç. Alternatywà sà jedynie progresywne modele zniszczenia kompozytów w óknistych. LITERATURA 1. Craddock J. N.: Behavior of composite laminates after First- -Ply-Failure. Composites Structures, Vol. 3, 1985, pp Liu K. S., Tsai S. W.: A progressive quadratic failure criterion for a laminate. Composites Science and Technology, Vol. 58, 1998, pp McCarthy C. T., McCarthy M. A., Lawlor V. P.: Progressive damage analysis of multi-bolt composite joints with variable Rys. 11. Porównanie krzywych granicznych analizowanych struktur z wykorzystaniem kryterium A-T-H bolt hole clearances. Composites: Part B, Vol. 36, 2005, pp Highsmith A. L., Reifsnider K. L.: Stiffness-Reduction Mechanisms in Composite Laminates. Damage in Composite Materials, ASTM STP 775, Ed. Reifsnider K. L., American Society for Testing and Materials, 1982, pp Sun C. T., Tao J.: Prediction of failure envelopes and stress/ strain behavior of composite laminates. Composite Science and Technology, Vol. 58, 1998, pp Hebda M.: Zastosowanie energetycznego kryterium wyt - eniowego do analizy wytrzyma oêciowej kompozytów w óknistych. Praca doktorska, Politechnika Krakowska, Kraków Dávila C. G., Camanho P. P.: Failure criteria for FRP laminates in plane stress. Tech. Rep. NASA/TM , German J.: Podstawy mechaniki kompozytów w óknistych. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków German J., Mikulski Z.: Numeryczna symulacja stopniowego uszkadzania si laminatów kompozytowych. Czasopismo Techniczne, seria Mechanika, 2010, pp ROK WYD. LXXII ZESZYT 7-8/