MODELE WYGŁADZANIA WYKŁADNICZEGO DO KRÓTKOTERMINOWEGO PROGNOZOWANIA OBCIĄŻEŃ SYSTEMÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

Transkrypt

1 Sr. 4 Rynek Energii Nr 3(6) - 23 MODELE WYGŁADZANIA WYKŁADNICZEGO DO KRÓTKOTERMINOWEGO PROGNOZOWANIA OBCIĄŻEŃ SYSTEMÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH Grzegorz Dudek Słowa kluczowe: krókoerminowe rognozowanie zaorzebowania na moc elekryczną wygładzanie wykładnicze dekomozycja zeregów czaowych Srezczenie. Przedawiono modele wygładzania wykładniczego do orządzania krókoerminowych rognoz zaorzebowania na moc. Szeregi czaowe obciążeń charakeryzują ię wieloma wahaniami ezonowymi co komlikuje model rognoyczny. W celu urozczenia roblemu zeregi czaowe zdekomonowano na m zeregów obciążeń w ych amych chwilach doby co ozwoliło zaoować model wygładzania wykładniczego z ojedynczą ezonowością. Inny rodzaj dekomozycji z wykorzyaniem regreji lokalnej (LOESS) umożliwia użycie modelu o mniejzej złożoności bez kładnika ezonowego. Zaoowanie modelu Hola-Winera z odwójną ezonowością zwalnia z orzeby dekomozycji zeregu czaowego. Dokładność roonowanych meod orównano na rzykładach alikacyjnych z dokładnością modeli ARIMA i modelu oarego na ieci neuronowej.. WSTĘP Szeregi czaowe obciążeń elekroenergeycznych rerezenują zeregi nieacjonarne heerokedayczne z rendem wieloma cyklami wahań ezonowych i zakłóceniami loowymi. Proce budowy modelu rognoycznego w akim rzyadku je złożony wymaga wielu zabiegów związanych ze rowadzeniem zeregu do acjonarności uunięciem rendu dekomozycją na kładowe wyrażające ozczególne wahania ezonowe i. Konwencjonalne modele rognoyczne wykorzyują meody analizy ayycznej regreji (auoregreji) i wygładzania. Nowze rozwiązania oare ą na meodach ineligencji obliczeniowej rozoznawania obrazów i uczenia mazynowego []. Zalicza ię do nich ieci neuronowe i neuronowo-rozmye mazyny wekorów wierających meody gruowania danych yemy ekerckie i. Wiele z modeli oracowanych w oanich laach o rozwiązania hybrydowe (znakomia więkzość ublikacji doyczących krókoerminowego rognozowania obciążeń elekroenergeycznych w IEEE Tranacion on Power Syem z oanich la doyczy akich właśnie modeli). Łączy ię uaj meody węnej obróbki danych (n. ranformację falkową) z modelami arokymacyjnymi do rognozy obciążeń (n. ieciami neuronowymi lub neuronowo-rozmyymi) i meodami oymalizacyjnymi do uczenia ych modeli (n. algorymami ewolucyjnymi lub rojowymi). Czaem rognozę koryguje ię w zależności od dodakowych czynników wływających na zaorzebowanie a nie ujęych w modelu odawowym. Konwencjonalne narzędzia rognoyczne ą jednak dalej rozwijane i anowią mocną konkurencję dla meod ineligencji obliczeniowej. W arykule oiano jednowymiarowe modele wygładzania wykładniczego do krókoerminowego rognozowania obciążeń elekroenergeycznych w rzech warianach: z odwójną ezonowością z ojedynczą ezonowością działające na odzeregach odawowego zeregu czaowego oraz bez ezonowości działające na zeregach zdekomonowanych meodą STL (Seaonal and Trend decomoiion uing LOESS). W jednowymiarowych modelach zeregów czaowych o rzebiegu zmiennej wniokuje ię jedynie na odawie hiorycznych oberwacji ej zmiennej. 2. MODELE WYGŁADZANIA WYKŁADNICZEGO Szeregi czaowe zawierają czery komoneny: rend wahania ezonowe wahania cykliczne i zakłócenia loowe. Wahania ezonowe charakeryzują ię ałym okreem naomia cza ełnego cyklu wahań cyklicznych je zmienny. Komoneny zeregu czaowego mogą być ołączone w oób addyywny mulilikaywny lub miezany. W wygładzaniu wykładniczym rend je kombinacją oziomu l i rzyrou b. Te dwa komoneny mogą być ołączone na ięć różnych oobów uwzględniając aramer łumienia φ [ ]. Orzymujemy naęujące yy rendu [2]:

2 Nr 3(6) - 23 Rynek Energii Sr. 5 Brak: Th = l Addyywny: Th = l bh 2 h Addyywny łumiony: Th = l ( φ φ... φ ) b () h Mulilikaywny: Th = lb 2 h ( φ φ... φ ) Mulilika. łumiony Th = lb gdzie T je rendem a h horyzonem rognozy. Uwzględniając rzy wariany kombinacji kładowej ezonowej z rendem: brak ezonowości warian addyywny i warian mulilikaywny orzymujemy 5 modeli wygładzania wykładniczego. Najrozy z nich zakłada brak rendu i ezonowości: y = y α( y y ) = αy ( α ) y (2) gdzie: y i y oznaczają odowiednio warość zmiennej w chwili i jej rognozę a α [ ] je aramerem zwanym wółczynnikiem wygładzania. Warość rognozowana w chwili je umą warości rognozowanej w chwili i ułamka błędu rognozy w chwili lub inaczej średnią ważoną oaniej oberwacji z wagą α i jej rognozy z wagą α. Jeśli y w (2) zaąimy średnią ważoną oberwacji oraz jej rognozy i en roce będziemy konynuować zaęując rognozy dla chwil 2 2 odowiednimi średnimi orzymamy: 2 y = αy α( α ) y α ( α ) y 2 (3)... α ( α ) y ( α ) y. Prognoza dla chwili je więc ważoną średnią ruchomą wzykich wcześniejzych oberwacji z wagami zanikającymi wykładniczo co uzaadnia nazwę ej meody. Jeśli aramer α ma warości bliżze jedynce wływ oaniej oberwacji na rognozę je dominujący. Gdy α rzyjmuje warości bliżze zeru iony wływ mają również oberwacje arze w oniu zależnym od odległości czaowej od chwili. Im odległość a je więkza ym mniejzy wływ. Mniejze warości α kukują więkzym wygładzeniem rognozy. Dla dłużzych horyzonów rognoz h wykonanych w chwili rzyjmuje ię y czyli ały y = oziom rognozy. Jeśli oziom en oznaczymy rzez l y orzymamy: = l = αy α ( α ) l y = l. (4) Równania e wyrażają odawowy model wygładzania wykładniczego dla zeregu czaowego bez rendu i ezonowości. Model Hola ozwala uwzględnić liniowy rend w oaci addyywnej: l = αy ( α b = β ( l l ) ( β ) b y = l b h. b ) (5) gdzie β [ ] je aramerem. Przyro b je średnią ważoną rzyrou w chwili i rzyrou eymowanego na odawie różnicy oziomów w chwilach i. Model Hola z łumionym rendem ma oać: l = αy ( α b y = β ( l l ) ( β ) φb 2 φb ) = l ( φ φ... φ ) b. Jeśli wółczynnik łumienia φ = model en rowadza ię do oaci (5). h (6) Modele Hola-Winera oiują zeregi czaowe z rendem i wahaniami ezonowymi. Sezonowość ujęa je w oaci addyywnej: l = α ( y b = β ( l l = γ ( y l b y = l b h lub mulilikaywnej: m y l = α m b = β ( l l = γ l y = ( l ) ( α ) ( β ) b b h) ) ( γ ) m h m ( α y b ) ( β ) b ( γ ) m h m b b m m ) ) (7) (8) gdzie: je komonenem ezonowym m je okreem wahań ezonowych h = [(h ) mod m] a γ [ ] je aramerem. Jeśli w owyżzych modelach rzyjmiemy: α = orzymamy ały w czaie oziom β = ały w czaie rzyro γ = ały w czaie kładnik ezonowy. Oanio Taylor zaroonował model Hola-Winera z odwójną ezonowością [3]. Trend ujęy je uaj w oób addyywny naomia ezonowości mają charaker mulilikaywny: m

3 Sr. 6 Rynek Energii Nr 3(6) - 23 l = α b = β ( l = γ l m = δ l y = ( l l y m y q y b h) h q λ [ y ( α ) ( β ) b ( γ ) ( δ ) m hm ( l b m q q hq ) b m ) q ] (9) gdzie: je komonenem ezonowym o okreie wahań q δ [ ] je wółczynnikiem wygładzania ego komonenu h = [(h ) mod q] a λ je aramerem. q Wyęujący w (9) kładnik rognozy ze wółczynnikiem λ je orawką uwzględniającą auokorelację rez kóra modelowana je roceem auoregreji AR(). W [4] oiano modele wygładzania wykładniczego zdefiniowane w kaegoriach rzerzeni anów. Równania anu ych modeli mają oać ogólną: y = w( = f ( ) r( ) g( ) ε ) ε () gdzie: = [l b m ] T je wekorem anu w() r() f() i g() ą funkcjami ciągłymi z ciągłymi ochodnymi; w() i r() odwzorowują R u R a f() i g() odwzorowują R u R u u je wymiarem wekora a {ε } je roceem gauowkiego białego zumu o wariancji σ 2 i średniej µ = w( ). Błąd ε może być ujęy w modelu w oób addyywny lub mulilikaywny. W modelu z błędem addyywnym r( ) = co daje y = µ ε. W modelu z błędem mulilikaywnym r( ) = µ co daje y = µ ( ε ). Z ięnau odawowych modeli wygładzania wykładniczego o uwzględnieniu błędu ε orzymujemy więc 3 modeli rzerzeni anów. Przykładowo model Hola (5) oiany je równaniami anu: y = [ = ] ε α ε β gdy błąd ma charaker addyywny i: () y = [ = ] ( ε ) [ ] gdy błąd ma charaker mulilikaywny. α ε β (2) Obydwa yy modeli rodukują jednakowe rognozy unkowe lecz różnią ię rzedziałami redykcji. Użycie modelu wygładzania wykładniczego w konkrenym zadaniu rognoycznym wymaga elekcji jednej z 3 oaci modelu inicjalizacji kładowych wekora i eymacji aramerów θ = [α β γ φ] T. Odowiednie warości i θ dobiera ię minimalizując kryerium [3]: n n 2 F( θ ) = nlog ε 2 log r( ) (3) = = gdzie n je liczbą oberwacji. Jako kryerium elekcji modelu w [2] zaoowano kryerium informacyjne Akaikego (AIC) zależne od dokładności modelu i onia jego złożoności (łącznej liczby aramerów): AIC= F( θ ) 2v (4) gdzie v je umą liczby kładowych wekorów i θ. 3. WYGŁADZANIE WYKŁADNICZE W PROGNOZOWANIU OBCIĄŻEŃ ELEKTROENERGETYCZNYCH Szeregi czaowe obciążeń yemów elekroenergeycznych wykazują rzy cykle ezonowe: roczny ygodniowy i dobowy. Jeśli do eymacji aramerów modelu wygładzania wykładniczego wykorzyamy fragmen zeregu o długości kilku ygodni kóry orzedza okre rognozy cykl roczny można zignorować. Do modelowania zeregu z cyklem ygodniowym i dobowym wykorzyuje ię oiany owyżej model Hola-Winera z odwójną ezonowością (9). Je o model złożony i rudniejzy do oymalizacji niż modele z ojedynczą ezonowością. W badaniach ymulacyjnych oianych w naęnym rozdziale model en oznaczono ymbolem HWPS. Zadanie rognoyczne można urościć dekomonując zereg czaowy na m zeregów obciążeń w ej amej chwili okreu dobowego: {y τ } j gdzie j = 2 m τ = j i m i =. Dzięki emu zabiegowi eliminuje ię ezonowość dobową. Do niezależnego modelowania ych zeregów wykorzyuje ię odowiednie modele wygładzania wykładniczego

4 Nr 3(6) - 23 Rynek Energii Sr. 7 z ojedynczą ezonowością. Warian en oznaczono ymbolem WW. Jezcze więkze urozczenie można uzykać dekomonując zereg czaowy addyywnie na rend kładową ezonową oraz kładową rezową za omocą meody STL oarej na ważonym lokalnym wygładzaniu (LOESS) [5]. Procedura dekomozycji STL eymuje ieracyjnie z coraz więkzą dokładnością rend oraz kładnik ezonowy. Składnik ezonowy rozbijany je na m odzeregów gdzie m je liczbą oberwacji w jednym cyklu. Podzereg i-y złożony je z oberwacji wyęujących na i-ej ozycji w kolejnych cyklach. Podzeregi wygładzane ą niezależnie odobnie jak rend. Soowana do wygładzania meoda LOESS eymuje krzywą regreji w każdym unkcie zeregu czaowego w oarciu o unky chronologicznie najbliżze ważąc ich udziały zależnie od ich odległości czaowej od eymowanego unku. Wagi uzależnia ię akże od warości kładnika rezowego w danym unkcie co kukuje zmniejzeniem wag unków odających i ozwala ograniczyć ich niekorzyny wływ na rognozę. Do arakcyjnych cech STL zalicza ię odorność na dane odające i brakujące możliwość dekomozycji zeregów czaowych z ezonowością o dowolnej częoliwości oraz możliwość imlemenacji z wykorzyaniem meod numerycznych zamia modelowania maemaycznego. Po wykonaniu dekomozycji zereg zdeezonowany (o odjęciu kładowej ezonowej) rognozuje ię na naęny okre (n. dobowy lub ygodniowy) używając nieezonowego modelu wygładzania wykładniczego. Naęnie do ej rognozy dodaje ię wygładzoną kładową ezonową z oaniego okreu danych hiorycznych. Model en oznaczono ymbolem WW2. 4. BADANIA SYMULACYJNE Modele wygładzania wykładniczego rzeeowano w zadaniach rognozowania dobowych rzebiegów godzinowych obciążeń z wyrzedzeniem do 7 dni. Prognozowano naęujące zeregi czaowe: KSE obciążenia godzinowe KSE w laach Próba eowa obejmowała dane z roku 24 z wyjąkiem rzynau dni nieyowych. SL obciążenia godzinowe yemu lokalnego w okreie liiec 2 grudzień 22 (średnie obciążenie ok. 2 MW). Próba eowa obejmowała dane z okreu liiec grudzień 22 z wyjąkiem ośmiu dni nieyowych. SL2 obciążenia godzinowe yemu lokalnego w okreie (średnie obciążenie ok. 3 MW). Próba eowa obejmowała dane z roku 2 z wyjąkiem rzynau dni nieyowych. Szeregi czaowe SL i SL2 ą bardziej nieregularne niż KSE. Miarą nieregularności może być błąd rognozy naiwnej oaci: rzebieg obciążenia w dniu i je aki am jak w dniu i 7. Błędy MAPE rognoz naiwnych wynoiły: dla KSE 343% dla SL 496 a dla SL2 662%. Prognozy zeregów czaowych wykonano w środowiku do obliczeń ayycznych R wykorzyując akie foreca [6]. Modele WW i WW2 dobierane ą auomaycznie ośród 3 warianów na odawie kryerium AIC. Do eymacji aramerów ych modeli wykorzyywano 2-ygodniowe fragmeny zeregów czaowych orzedzające momen rognozy. Dokładność modeli wygładzania wykładniczego orównano z dokładnością modeli ARIMA oraz modelu oarego na ieci neuronowej yu wielowarwowy erceron (WP) [7]. Sieć WP uczona je w rybie lokalnym na obrazach zeregów czaowych obciążeń [8]. W badaniach węnych eowano ieci z różną liczbą neuronów. Jako oymalną wybrano ieć z jednym neuronem z igmoidalną biolarną funkcją akywacji. W abeli zeawiono wyniki rognoz dla horyzonu jednodobowego średni rocenowy błąd aboluny (MAPE) odchylenie andardowe σ MAPE średni błąd rocenowy (MPE) i odchylenie andardowe σ MPE. Symbolem ARIMA oznaczono model z dekomozycją na 24 zeregi czaowe rerezenujące obciążenia w ych amych godzinach doby; je o odowiednik modelu WW. Symbolem ARIMA2 oznaczono model z dekomozycją STL odowiednik modelu WW2. Tłuym drukiem w abeli oznaczono warości MPE nie różniące ię ionie od zera kóre wkazują na nieobciążenie rognoz. Na ryunku okazano dyrybuany błędów. Najmniejze błędy MAPE dla danych KSE i SL3 wykazała ieć neuronowa naomia dla danych SL2 modele ARIMA2 i WW2. Te dwa oanie modele dają zbliżone rezulay we wzykich zadaniach rognoycznych. Różnice omiędzy błędami każdej ary modeli z wyjąkiem ar: ARIMA2 i WW2 oraz ARIMA ARIMA2 i WW2 dla zeregu SL2 ą ayycznie ione co wykazały ey Wilcoona. Błędy rognoz dla horyzonów od do 7 dni okazano na ryunku 2. Przy zwiękzaniu horyzonu rognozy oberwuje ię zybzy wzro błędu modelu WP niż

5 Sr. 8 Rynek Energii Nr 3(6) - 23 modeli WW i ARIMA. Zdecydowanie najgorze rognozy od względem dokładności uzykiwano oując model HWPS. Dla wielu zadań eowych model en oiągał zuełnie nierafione rognozy obarczone błędami owyżej % (wykrey na Model ryunku 2 nie obejmują ych rzyadków). Waro zwrócić uwagę że rzy najdłużzych horyzonach modele rzeają być konkurencyjne w ounku do meod naiwnych. KSE SL SL2 Tabela Wyniki rognoz MAPE σ MAPE MPE σ MPE MAPE σ MAPE MPE σ MPE MAPE σ MAPE MPE σ MPE WW WW HWPS ARIMA ARIMA WP KSE SL SL F(MAPE ).6 ARIMA ARIMA2.4 WP WW.2 WW2 HWPD MAPE Ry.. Dyrybuany błędów 4.5 KSE SL 9 SL MAPE ARIMA 2.5 ARIMA2 2 WP WW.5 WW HWPS Horyzon 5. PODSUMOWANIE W racy oiano modele rognoyczne wykorzyujące wygładzanie wykładnicze do krókoerminowego rognozowania obciążeń yemów elekroenergeycznych. Najbardziej złożony z ych modeli model Hola-Winera z odwójną ezonowością nie wymaga dekomozycji zeregu czaowego obciążeń. Jednak wyniki rognoz generowanych rzez en model ą znacznie gorze od wyników uzykiwanych rzez ozoałe eowane modele. Model WW działa na odzeregach rerezenujących obciążenia w ej amej godzinie doby. Dzięki emu eliminuje ię ezonowość dobową. Definiuje ię odrębny ezonowy model Ry. 2. Błędy w zależności od horyzonu rognozy wygładzania wykładniczego dla każdej godziny. Drugi zaoowany oób dekomozycji na kładową rendu wahania ezonowe i kładową rezową za omocą meody STL ozwala zaoować roy model wygładzania wykładniczego bez ezonowości (WW2). Model WW był dokładniejzy niż jego odowiednik zbudowany z wykorzyaniem auoregreji i średniej ruchomej (ARIMA). Odowiadające obie modele WW2 i ARIMA2 wykorzyujące dekomozycję STL dawały zbliżone rezulay. Należy jednak zauważyć że modele ARIMA ozwalają modelować jedynie liniowe zależności odcza gdy wygładzanie wykładnicze

6 Nr 3(6) - 23 Rynek Energii Sr. 9 można użyć do zadań nieliniowych. Z uwagi na więkza rzerzeń modeli ARIMA w ounku do rzerzeni modeli wygładzania wykładniczego (ylko 3 modeli) elekcja oymalnego modelu ARIMA je rudniejza. W rzyadku zeregów KSE oraz SL2 i rognoz o horyzonach jednodobowych modele wygładzania wykładniczego wykazały gorze rezulay od ieci neuronowej działającej na obrazach dobowych cykli zeregów obciążeń. Przy dłużzych horyzonach dokładność modeli wygładzania wykładniczego orawia ię w ounku do ieci neuronowej a nawe ją rzewyżza. Zaleą meod wygładzania wykładniczego je możliwość modelowania zeregów czaowych nieacjonarnych i heerokedaycznych. Niewąliwą wadą je brak możliwości wrowadzenia zmiennych egzogenicznych do modelu. LITERATURA [] Dudek G.: Syemy uczące ię oare na odobieńwie obrazów do rognozowania zeregów czaowych obciążeń elekroenergeycznych. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warzawa 22. [2] Hyndman R.J. Koehler A.B. Ord J.K. Snyder R.D.: Forecaing wih Eonenial Smoohing: The Sae Sace Aroach. Sringer 28. [3] Taylor J.W.: A Comarion of Univariae Mehod for Forecaing Elecriciy Demand U o a Day Ahead. Inernaional Journal of Forecaing [4] Ord J.K. Koehler A.B. Snyder R.D.: Eimaion and Predicion for a Cla of Dynamic Nonlinear Saiical Model. Journal of he American Saiical Aociaion [5] Cleveland R.B. Cleveland W.S. McRae J.E. Terenning I.: STL: A Seaonal-Trend Decomoiion Procedure Baed on Loe. Journal of Official Saiic 6() [6] Hyndman R.J. Khandakar Y.: Auomaic Time Serie Forecaing: The Foreca Package for R. Journal of Saiical Sofware 27(3) 28. [7] Dudek G.: Modele ARIMA do krókoerminowego rognozowania obciążeń yemów elekroenergeycznych. Rynek Energii 2(99) [8] Dudek G.: Forecaing Time Serie wih Mulile Seaonal Cycle uing Neural Nework wih Local Learning. In: Arificial Inelligence and Sof Comuing LNCS Sringer ICAISC 23 (in rin). EXPONENTIAL SMOOTHING MODELS FOR SHORT-TERM LOAD FORECASTING Key word: hor-erm load forecaing eonenial moohing ime erie decomoiion Summary. Eonenial moohing model for hor-erm load forecaing are reened. Load ime erie how many eaonal aern which comlicae he forecaing model conrucion. To imlify he roblem he load ime erie were decomoed ino m uberie for each hour of a day which allowed he ue of eonenial moohing model wih a ingle eaonaliy. Anoher ye of decomoiion uing local regreion (LOESS) enable he ue of a model wih le comleiy wih no eaonal comonen. Alicaion of he Hol-Winer model wih double eaonaliy doe no require decomoiion of he ime erie. The accuracy of he rooed mehod were comared on alicaion eamle wih an accuracy of he ARIMA model and he model baed on neural nework. Praca naukowa finanowana ze środków na naukę w laach 2-22 jako rojek badawczy nr N N Grzegorz Dudek (ur. w 969 r.) oień magira inżyniera (994 r.) i dokora nauk echnicznych (23 r.) w dziedzinie elekroechniki uzykał na Poliechnice Częochowkiej. Od 994 r. racuje w Inyucie Elekroenergeyki P.Cz. jako racownik naukowo-dydakyczny. Jego zainereowania naukowe kuiają ię na meodach rozoznawania obrazów i zucznej ineligencji oraz ich zaoowaniach w elekroenergeyce (rognozowanie zaorzebowania rozdział obciążeń roblemy oymalizacyjne). Dudek@el.cz.cze.l.