miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze?

Transkrypt

1 miesiące. Postanowił resztę puszek sprzedawać po cenie promocyjnej. Jaka powinna być nowa cena, by sprzedawca odzyskał zainwestowane pieniądze? Zadanie 3.3. Sklepowa cena pewnej lodówki wynosi 9 zł. Sprzedawca proponuje kupno tej lodówki na raty. Dokładna propozycja brzmi: miesięcznych rat po 9 zł. Ile procent prowizji od ceny 9 zł lodówki bierze sklep od osób, które zdecydują się kupić lodówkę na raty? Zadanie 4. W magazynie pewnej restauracji znajduje się ocet -procentowy w butelkach o pojemności, l. Do przyrządzania sałatek kucharz potrzebuje octu 4-procentowego oraz -procentowego. a Ile litrów wody należy zmieszać z, l posiadanego octu, by otrzy - mać ocet 4-procentowy? b Jak z posiadanego octu otrzymać, l octu -procentowego? a Policzmy najpierw, ile jest czystego octu w, l octu -procentowego : % z, l, to, l, l. Oznaczmy literą ilość wody (wyrażoną w litrach), którą należy dolać do, l octu -procentowego, by otrzymać ocet 4-procentowy. Z warunków zadania otrzymujemy równanie 4% (, + ),, równoważne równaniom: Informację ocet -procentowy należy rozumieć następująco: danej objęto ści roztworu (czyli octu -procentowego) stanowi ocet, czysty ocet natomiast reszta to woda. Aby z wodnego roztworu p-procentowego otrzymać roztwór p-procentowy, należy do roztworu p-procentowego dolać tyle wody, ile było tego roztworu. b 4 (, + ), ; 4 (, + ) ; + 4 ; 3 4. SPOSÓB I: tego zadania, jeśli wiemy, że z roztworu p-procentowego roztwór p-procentowy otrzymuje się przez dodanie do roztworu p-procentowego wody w ilości (objętościowo) równej objętości roztworu. Stąd, by otrzymać, l octu -procentowego, należy do, l octu -procentowego dodać, l wody. Dodanie do l octu -pro - centowego litra wody spowo - duje, że otrzymamy l octu -procentowego. Istotnie % z l to to samo co % z l, bo. Podobnie 6% z l to to samo co % z 3 l.

2 SPOSÓB II: Policzymy najpierw, ile jest czystego octu w, l octu -procentowego: % z, l to, l, l. Literą oznaczmy ilość (wyrażoną w litrach) octu -procentowego, w którym jest, l czystego octu. Mamy %, ;, ;,. Aby otrzymać, l octu -procentowego, należy zatem zmieszać, l octu -procentowego z, l czystej wody. Zadanie 4.. Do kiszenia ogórków potrzebny jest roztwór 7 -procentowy soli kuchennej. Ile potrzeba soli, a ile wody do przygotowania kg roztworu do kiszenia ogórków? W tym zadaniu ilość soli i wody warto wyrazić w kilogramach. Ilość roztworu może być wyrażona w litrach lub w kilogramach. Zadanie 4.. Na ćwiczeniach laboratoryjnych uczniowie mają kg solanki o zawartości 8% soli. Do pewnego doświadczenia potrzebują solankę zawierającą % soli. Ile wody powinni odparować, aby otrzymać solankę, której potrzebują? Zadanie 4.3. Ile wody powinna dolać pielęgniarka do litra antyseptycznego roztworu o stężeniu %, aby otrzymać roztwór -procentowy? Zadanie 4.4. Świeże grzyby zawierają około 9% wody, a suche % wody. Ile kg grzybów suchych można otrzymać z kg świeżych? Zadanie. Tabela na następnej stronie przedstawia harmonogram spłaty pierwszych sześciu spośród planowanych rat kredytu o wysokości zł, udzielonego na jeden rok przy rocznym oprocentowaniu %, przy spłacie równych rat kapitałowych co miesiąc. 6

3 Zadanie. Potocznie mówimy: samochód jechał z prędkością 6 km/h. W niektórych podręcznikach do fi zyki informacja ta byłaby sformułowana następująco: chwilowa szybkość samochodu wynosiła 6 km/h. Przyjmijmy, że długość s (liczona w metrach) drogi hamowania samochodu osobowego na suchej nawierzchni, jadącego z prędkością (w kilome- trach na godzinę), można obliczyć ze wzoru s 8, +. 6 a b c Obliczyć długość drogi hamowania samochodu jadącego z prędkością km/h oraz samochodu jadącego z prędkością km/h. Wyniki podać z dokładnością do, m. Czy samochód jadący dwukrotnie szybciej będzie miał drogę hamowania dwukrotnie dłuższą? Z jaką prędkością jechał samochód, który zatrzymał się po 78 m? Ten i podobne wzory opisują zaobserwowane zdarzenia (fakty) w dużym przybliżeniu. Oczywiście, można precyzyjnie rozwiązać zadanie z matematyki, opisujące sytuację realną, ale z wykorzystaniem tych wyników w życiu trzeba uważać. d Przyjmując, że przeciętna długość samochodu osobowego wynosi 3,9 m, wyznaczyć liczbę samochodów, które w jednej minucie mogą z prędkością przejechać przez dany punkt (np. tunel), spełniając następujący warunek bezpieczeństwa: odległości między kolejnymi samochodami muszą być co najmniej równe drodze hamowania. Można (i warto) korzystać z kalkulatora. godzina to 6 minut, a więc 36 sekund. Symbolicznie: h 6min 36s. kilometr to metrów. Symbolicznie km m. 8 a s , 3 3 [ m ] dla prędkości km/h. 6 8 s , 9 [ m ] dla prędkości km/h. b Z rozwiązania zadania a wynika, że nie ma takiej zależności. Np., 9 > 3 3. c Szukana prędkość jest dodatnim rozwiązaniem równania Mamy: , Łatwo obliczyć wartości funkcji, określonej wzorem, dla podanego argumentu. Łatwo (równie łatwo, gdy wzór funkcji nie jest skomplikowany) wyznaczyć argument (lub argumenty), dla których funkcja przyjmu - je daną wartość. 44, 7 8, + 44, , 6 km/h. 3

4 Aby wyrazić szybkość 6 km/h w m/s, postępujemy następująco: 6 km/h 6 m/s 36 m/s 6 m/s 3 6, 7 m/s. d Całkowita droga d blokowana przez jadący samochód jest równa długości drogi hamowania i długości pojazdu. Stąd: d 39, + 8, +. 6 Zatem maksymalna liczba samochodów, które w jednej minucie mogą z prędkością przejechać przez dany punkt, jest częścią całkowitą liczby +, bo w jednej minucie 6 3, 9+, samochód przejeżdża 6 metra. Gdy potrafi my rozwiązać tylko zadania a, b, c, a nie umiemy d, trzeba rozwiązać zadania a, b, c. To przerażająco oczywiste. Zadanie.. W wielu krajach temperaturę mierzy się w stopniach Fahrenheita. Jeżeli C oznacza liczbę stopni w skali Celsjusza, a F liczbę stopni w skali F ahrenheita tego samego ciała w tej samej chwili, to 9 F C+ 3. a Jaka jest temperatura w skali Fahrenheita, gdy w sali Celsjusza jest 3? b Przy jakiej temperaturze termometry, które mają zarówno skalę Celsjusza, jak i salę F ahrenheita, wskażą tę samą liczbę? Zadanie.. Współczynnik α masy ciała człowieka określa się nieraz wzorem α m w, gdzie m oznacza masę ciała wyrażoną w kilogramach, a w oznacza wzrost wyrażony w metrach. Przyjmuje się, że współczynnik ten o wartości poniżej 8, oznacza niedowagę, z przedziału 8, ; ) wagę w normie, z przedziału ; 3 ) nadwagę, z przedziału 3; 3 ) otyłość. a Sprawdzić, czy osoba o wzroście 6 cm i ważąca kg ma prawidłową masę. b Ile, zgodnie z normą, powinna ważyć osoba mająca 7 cm wzrostu? c O ile powinna schudnąć osoba mająca 6 cm i ważąca 7 kg? 33

5 Zadanie. m o niewiadomej w zależ- Określić liczbę rozwiązań równania ności od parametru m R. Dziedziną równania o jednej niewiadomej (gdy dziedzina ta nie jest podana w temacie zadania) jest zbiór tych liczb, dla których wyrażenia występujące w równaniu mają sens. Wykresem funkcji określonej wzorem postaci g( ) m (gdzie m R ) jest prosta przechodząca przez punkt,. ( ) y Dziedziną równania m (które w dalszym ciągu oznaczymy krótko (*)) jest zbiór D (, ) (, ). W zbiorze D równanie (*) jest równoważne równaniom: m, m. Rozważymy teraz dwa przypadki: m, m. Gdy m, to otrzymujemy,. Ponieważ D, więc w tym przypadku równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Próba: Gdy m, otrzymujemy równanie jedno rozwiązanie., które ma Próba: Gdy m 3, otrzymujemy równanie 3, które ma dwa rozwiązania (ponieważ wykresy funkcji określonych wzorami f( ), g( ) 3 przecinają się w dwóch punktach). Wykresem funkcji określonej wzorem f( ) jest hiperbola. Każda prosta przechodząca przez punkt (, ), z wyjątkiem prostej o równaniu, jest wykresem pewnej funkcji określonej wzorem postaci g( ) m (gdzie m R ). y W przypadku odpowiedź jest natychmiastowa, gdy rozważymy równanie lub myślimy o wykresach odpowiednich funkcji. Przyjmijmy teraz, że m. Wtedy równanie m jest równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań zależy od wyróżnika. Mamy 4+ 4m. Gdy <, czyli dla m <, równanie (*) nie ma rozwiązań. Gdy, czyli dla m, równanie m rozwiązanie. ma jedno Gdy >, czyli dla m (, ) \{}, równanie m ma dwa rozwiązania. Należy jeszcze zbadać, czy rozwiązania równania m są rozwiązaniami równania (*). Inaczej mówiąc, należy jeszcze rozstrzygnąć, czy rozwiązania równania m należą do zbioru D. Jedynie D, a łatwo zauważyć, że nie jest rozwiązaniem równania m. Zatem wszyst - kie rozwiązania równania m należą do zbioru D, a więc są rozwiązaniami równania (*). Gdy m <, trudno jest rozstrzygnąć, ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji określonych wzorami f( ), g( ) m (przy ustalonym m), wyobrażając sobie jedynie te wykresy. Ostatecznie: równanie m ma jedno rozwiązanie, gdy m {, } ; ma dwa rozwiązania, gdy m (, ) (, ) ; a nie ma rozwiązań, gdy m (, ). Równania, nierówności, układy równań i nierówności 43