Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 3

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 3

2 Lang: Objętości w wyższych wymiarach Dylatacja koła w dwóch kierunkach. Dylatacja pudełka (prostopadłościanu) w trzech kierunkach. Kłopoty ze wzorem na objętość ostrosłupa: 1/2abh, 1/3abh,, Charlie uzasadnia dlaczego 1/3. Rozkład sześcianu na sześć ostrosłupów. Wzór V = 1 abh. (Ostrosłupy prawidłowe) 3 Ostrosłupy nachylone tłumaczenie za pomocą talii kart. Objętość stożka: V = 1 3 πr2 h.

3 Uogólnienie zadania egzaminacyjnego: K.W., P.Z. Rzucamy n razy monetą, tworząc liczbę n-cyfrową; jeśli wypada orzeł bierzemy cyfrę 1, jeśli reszka cyfrę 2. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba jest podzielna przez 3. = 2 n x ilość 2, n x ilość 1 ; x = 0, 1,, n 3 2x + n x = n + x Ile jest liczb w zbiorze {n, n + 1,, 2n} podzielnych przez 3? 2n n n n n n =k + 1 dla n = 3k =k dla n = 3k + 1 =k + 1 dla n = 3k + 2

4 cd. p n = p n = 3k 0 + 3k 3 3k+1 2 3k k 3k 2 3k dla n = 3k + 3k k k+1 3k 1 2 3k+1 dla n = 3k k+2 3k+1 p n = dla n = 3k k+2 Oblicz p 6, p 7, p 8.

5 Algebra w SP (VII-VIII) 21. Wyrażenia algebraiczne. Jednomiany, sumy algebraiczne. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną zmienną i z wieloma zmiennymi. Uczeń powinien: zapisywać wyniki podanych działań w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych; obliczać wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych; zapisywać zależności przedstawione w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych; zapisywać rozwiązania zadań w postaci wyrażeń algebraicznych. Przykładowe zadania Zapisz liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez liczbę 7 daje iloraz n i resztę 5? Zapisz liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez liczbę 3n daje iloraz 2 i resztę n? Zapisz sumę siedmiu kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejszą jest liczba n? Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5. Bartek i Grześ zbierali kasztany. Bartek zebrał n kasztanów, Grześ zebrał 7 razy więcej. Następnie Grześ w drodze do domu zgubił 10 kasztanów, a połowę pozostałych oddał Bartkowi. Ile kasztanów ma teraz Bartek, a ile ma Grześ? (Odp.: Bartek ma n + (7n 10) : 2, Grześ ma (7n 10) : 2) Janek kupił w cukierni 3 ciastka i 5 bułeczek za 11 złotych. Ciastko kosztowało x złotych. Wyznacz cenę bułeczki. Janek kupił w cukierni 3 ciastka i 5 bułeczek za 11 złotych. Bułeczka kosztowała x złotych. Wyznacz cenę ciastka. Janek kupił 5 zeszytów i 7 ołówków za 41 złotych. Zeszyt jest o złotówkę droższy od ołówka. Ile kosztuje zeszyt? Janek kupił n zeszytów i 7 ołówków za 41 złotych. Zeszyt jest o złotówkę droższy od ołówka. Ile kosztuje zeszyt?

6 Algebra w SP (VII-VII) Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń powinien: porządkować jednomiany i dodawać jednomiany podobne (tzn. różniące się jedynie współczynnikiem liczbowym); dodawać i odejmować sumy algebraiczne, dokonując przy tym redukcji wyrazów podobnych; mnożyć sumy algebraiczne przez jednomian i dodawać wyrażenia powstałe z mnożenia sum algebraicznych przez jednomiany; mnożyć sumy algebraiczne, dokonując redukcji wyrazów podobnych. Przykładowe zadania Oblicz 3a 2 b 2abb + 5bba 7bab 3b 2 a. Oblicz 2a 3ab + 2a 2 5ab 6b 2 5b(3b 2 2ab + 2a 2 6ba). Oblicz (a + b c)(2a b + 3c). Oblicz (3x 2 2x + 1)(2x 2 x + 3). Wykaż, że jeśli liczba n daje resztę 3 przy dzieleniu przez 5, to liczba n jest podzielna przez 5. Wykaż, że jeśli liczba n nie jest podzielna przez 3, to liczba n 2 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.

7 Co odpowiesz? 5j g + 3j + 2g + 3 = 8j + 4g + 7 umowa jabłka do jabłek, gruszki do gruszek, liczby do liczb za literami kryją się liczby lewa strona i prawa strona powyższej równości to funkcje dwóch zmiennych, które mają takie same wartości

8 Co odpowiesz? a + b c 2a b + 3c = 2a 2 + ab + ac + 4bc b 2 3c 2 umowa za literami kryją się liczby lewa strona i prawa strona powyższej równości to funkcje trzech zmiennych, które mają takie same wartości

9 Algebra w SP (VII-VII) Równania z jedną niewiadomą. Uczeń powinien: umieć sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania (dowolnego stopnia) z jedną niewiadomą. rozwiązywać równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych; rozwiązywać równania, które po przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą; rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym także z obliczeniami procentowymi. Przykładowe zadania Sprawdź, które liczby całkowite dodatnie mniejsze od 10 są rozwiązaniami równania x 2 9x = 14. Sprawdź, które liczby całkowite niedodatnie i większe od 8 są rozwiązaniami równania x x2 2 = 0. Rozwiąż równanie 25 7x x = 3x x 5. Rozwiąż równanie 4+x 12 2x = Rozwiąż równanie x 2 x + 1 x 2 = 15. Grześ i jego młodszy brat Bartek zbierali kasztany. Grześ zebrał 7 razy więcej kasztanów niż jego brat. Wtedy Grześ dał bratu 6 kasztanów i teraz ma 5 razy więcej niż Bartek. Ile kasztanów zebrał każdy z braci? Dwukrotnie byłem w cukierni. Za pierwszym razem za 4 bułeczki i 5 ciastek zapłaciłem 13,30 zł. Za drugim razem za 7 bułeczek i 3 ciastka zapłaciłem 13,50 zł. Ile kosztuje bułeczka i ile ciastko? Ile kilogramów solanki (roztwór soli kuchennej w wodzie) trzydziestoprocentowej i ile dziesięcioprocentowej należy zmieszać, by otrzymać 10 kg solanki 24-procentowej?

10 Zadania Z dwóch miast odległych o 210 km wyjeżdżają o tej samej godzinie dwa autobusy, z których jeden w ciągu tej samej godziny przejeżdża 30 km, a drugi 40 km. Kiedy autobusy się spotkają? Z dwu miejscowości leżących przy tej samej szosie w odległości 14 km od siebie wyruszają jednocześnie w tym samym kierunku turysta pieszy i rowerzysta. Pierwszy z nich na godzinę przechodzi 5,5 km, drugi jedzie 16 km na godzinę. Kiedy rowerzysta dogoni turystę? Czy można bez równań? Dlaczego warto pokazywać uczniom różne sposoby?

11 Zadanie domowe o p 8 =? o Zaremba: Algebra o Mój zegarek źle chodzi. Nie wiem jednak, czy się spóźnia, czy śpieszy. Wiem tylko, że wskazówki mojego zegarka pokrywają się co 65 minut. Czy mój zegarek się spóźnia, czy śpieszy, i o ile na dobę? o Przypomnienie: Poszukaj w trzech podręcznikach trzech ciekawych zadań tekstowych związanych z równaniami, rozwiąż te równania. Do oddania za tydzień (dokładne źródła zadań).

12 Zadanie domowe Ile mil przeleci mucha?