Procent (od łac. per centum - na sto) to sposób wyrażenia liczby jako ułamka o mianowniku 100. Procent oznaczamy symbolem %.

Transkrypt

1 1. Co to jest procent? Jak obliczyć procent podanej liczby? Jak znaleźć liczbę, której pewien procent znamy? Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Obliczenia finansowe (lokaty, pożyczki) Mieszaniny, stopy metali Zadania obliczenia procentowe Co to jest procent? Procent (od łac. per centum - na sto) to sposób wyrażenia liczby jako ułamka o mianowniku 100. Procent oznaczamy symbolem %. Jeden procent to setna część całości: 1% = 1/100 = 0,01 Sto procent to całość: 100% = 1 Dziesiąta część procenta to promil ( ), 0,1% = 1 a więc jeden procent to 10 promili, 1% = 10

2 2. Jak obliczyć procent podanej liczby? Jeden procent pewnej liczby a to setna część tej liczby: 1% a = 1/100 a % liczby 35 to 20 setnych liczby 35, 20% 35 = 35 = 35 = % liczby 594 to 18 setnych liczby 594, 18% 594 = 594 = = 106, Aby obliczyć procent podanej liczby - zamieniamy procent na ułamek - mnożymy daną liczbę przez ten ułamek Zad. 7 Oblicz a) 30% liczby 12 b) 45% liczby 56 c) 112,5% liczby 18, 4 Zad. 8 Ile to jest a) 25 % z 64kg b) 65 % z 15km c) 120% z 30dni Zad. 9 Oblicz a) 40% z 28% liczby 38 b) 24% z 25% liczby 27, 4 c) 12,5% z 28% liczby 72 Zad. 10 Działka budowlana ma powierzchnię 1200 m 2. Ogród zajmuje 28 % jej powierzchni. Oblicz powierzchnię ogrodu.

3 Dane (rozwiązanie 1): Wielkość działki m 2 Procent powierzchni zajętej przez ogród - 28% Obliczamy, ile to jest 28% z 1200 m % z 1200m m 100 Dane (rozwiązanie2): Powierzchnia zajęta przez ogród - x m 2-28% Powierzchnia całej działki m 2-100% Układamy proporcję: x Mnożymy na krzyż i obliczamy x: 100 x x 100 Odp.: Ogród zajmuje 336 m Zad. 11 Trzcina cukrowa zawiera około 16 % cukru. Ile kilogramów cukru można otrzymać z 2,6 tony trzciny cukrowej?

4 Dane (rozwiązanie 1): Ilość trzciny - 2,6 t Procent cukru w trzcinie - 16 Obliczamy, ile to jest 16% z 2,6 t 16 16% z 2,6t 16% z 2600 kg kg 100 Dane (rozwiązanie2): Zawartość cukru w trzcinie - x kg - 16% Ilość trzciny - 2,6 t = 2600 kg - 100% Układamy proporcję: x Mnożymy na krzyż i obliczamy x: 100 x x Odp.: Z 2,6 tony trzciny cukrowej można otrzymać 416 kg cukru.

5 Zad. 12 Śmietana może zawierać 13 %, 18 % lub 30 % tłuszczu. Ile gramów tłuszczu znajduje się w 250-gramowym opakowaniu każdego rodzaju śmietany? Odp.: 32,5g; 45g; 75g Zad. 13 Tlen stanowi 21 % objętości powietrza. Ile metrów sześciennych tego gazu znajduje się w pokoju o długości 5 m, szerokości 4,5 m i wysokości 2,5 m? Odp.: 11,8125 m 3 Zad. 14 Szynka zawiera 24 % białka. Ile białka jest w 2,6 kg szynki? Odp.: 624g Zad. 15 Na 0,5 kilogramowym opakowaniu sera umieszczona jest informacja, że zawiera on 22% białka. Oblicz, ile gramów białka jest w tym serze. Zad. 16 Komoda kosztowała 2600zł. Jej cenę obniżono o 20%, a potem ponownie o 20%. Ile kosztuje po tych obniżkach? Dane: Początkowa cena komody [zł] Pierwsza obniżka procentowo - 20% Druga obniżka procentowo - 20% Szukane Cena po dwóch obniżkach -? Rozwiązanie 1 1. Kwota pierwszej obniżki to: 20 20% Cena po pierwszej obniżce: zł zł Rozwiązanie 2 1. Jaki procent poprzedniej ceny stanowi cena po pierwszej zmianie? 100% 20% 80% 2. Cena po pierwszej obniżce to 80% ceny poprzedniej, jest zatem równa: 3. Kwota drugiej obniżki to:

6 20 20% , Cena po drugiej obniżce: zł zł 80 80% zł Jaki procent poprzedniej ceny stanowi cena po drugiej zmianie? 100% 20% 80% 4. Cena po drugiej obniżce to 80% ceny poprzedniej, jest zatem równa: 80 80% ,8 1664zł 100 Odp.: Po obu obniżkach komoda kosztuje 1664zł.

7 3. Jak znaleźć liczbę, której pewien procent znamy? Łatwo jest obliczyć liczbę, gdy znamy jej 50%, 25% czy 10%. Cała liczba to przecież 100%. Jeśli 50% procent liczby wynosi 6, to cała liczba jest dwa razy większa, czyli jest równa 12. Jeśli 25% liczby to 7, wówczas szukaną liczbę obliczamy wykonując mnożenie 7 4 = 28. Liczba, której 10% wynosi 3, będzie dziesięć razy większa, czyli tą liczbą jest 30. Albo tak: Jeśli 5% pewnej liczby jest równe 30, to 1% tej liczby wynosi 30 : 5, czyli 6, a 100% tej liczby (cała liczba) to = 600 Aby znaleźć liczbę, której wartość pewnego procentu znamy - dzielimy wartość procentu przez ten procent - a w tym dzieleniu zamieniamy procent na ułamek o mianowniku 100 Jeśli 20% pewnej liczby to 40, to cała liczba wynosi 40 : = 100 = 40 5 =

8 Jeśli 16% pewnej kwoty to 8640zł, to cała kwota wynosi = = 54000zł Jeśli 130% pewnej odległości to 650km, to cały dystans wynosi 100 = = 500km Zad. 17 Oblicz liczbę, której 32 % wynosi Dane (rozwiązanie 1): Procent liczby - 32% 32% liczby - 46 Szukane Cała liczba -? Rozwiązanie Aby przeprowadzić obliczenia zmieniamy procent na ułamek i wykonujemy działanie: : 32% 46: , (sprawdź, czy 32% liczby 143,75 jest równw 46) Dane (rozwiązanie2): Znana część liczby % Szukana liczba - x - 100% Szukane Cała liczba = x -?

9 Rozwiązanie: Układamy proporcję: 46 x Mnożymy na krzyż i obliczamy x: 32 x x 32 Odp.: Liczbą, której 32 % wynosi 46, jest 143, ,75 Zad. 18 Wyznacz liczbę, której a) 122 % wynosi 28 b) 12,6 % wynosi 96 c) 17% jest równe 61,2 Zad. 19 Cenę pewnego towaru obniżono o 10 %. Jaka była cena tego towaru przed obniżką, jeżeli po obniżce towar kosztuje 36 zł? Odp.: 40 zł Dane (rozwiązanie 1): Procent obniżki - 10% Cena po obniżce - 36zł Cena po obniżce procentowo - 100% - 10% = 90% Szukane Cena początkowa -? Rozwiązanie Cena po obniżce to 90% ceny początkowej, a więc cenę początkową możemy znaleźć jako liczbę, której 90% wynosi 36[zł]:

10 : 90% 36: Dane (rozwiązanie2): Znana część ceny początkowej % - 10% = 90% Cena początkowa - x - 100% Szukane Cena początkowa = x -? Rozwiązanie: Układamy proporcję: 36 x Mnożymy na krzyż i obliczamy x: 90 x x Odp.: Cena początkowa tego towaru to 40zł. Zad. 20 Wyznacz liczbę, której a) 40 % jest równe 12 b) 3 % jest równe 15 c) 1,8% jest równe 360 d) 320 % jest równe 20 Zad. 21 Pracownik otrzymał premię w wysokości 960zł, co stanowiło 15% jego pensji. Jaką otrzymuje pensję za pracę? Odp.: 6400 zł

11 Zad. 22 W pewnej klasie 48 % liczby uczniów całej klasy stanowią chłopcy. Ilu uczniów liczy ta klasa, jeżeli chłopców jest 12? Odp.: 25 Zad. 23 Rowerzysta przejechał 15 km, co stanowi 75 % długości całej trasy. Ile kilometrów ma cała trasa? Zad. 24 W 10 % roztworze wodnym jest 300 g soli. Oblicz masę tego roztworu. Zad. 25 Rower podrożał o 20 % i kosztuje 720 zł. Oblicz, ile kosztował rower przed podwyżką. Zad. 26 Cenę pewnego towaru obniżono o 7 złotych, co stanowi 5 % pierwotnej ceny towaru. Ile kosztował ten towar przed obniżką? Odp.: 20 km Odp.: 3 kg Odp.: 600 zł Odp.: 140 zł

12 4. Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Aby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba -obliczamy, jakim ułamkiem pierwszej liczby jest druga z liczb - ten otrzymany ułamek przedstawiamy w postaci procentu. 7 1 Jakim procentem liczby 35 jest liczba 7? 7 : % = 100% = 100 = 20% Jeśli Jan ma 1680zł, a musi uzbierać 2100zł, to jaki procent potrzebnej kwoty już ma? 100% = 100% = 80% Jadąc w podróż mamy do pokonania trasę 320km. Przejechaliśmy już 240km. Jaki to procent trasy? 100% = 100% = 75% Zad. 27 Jakim procentem liczby x jest liczba y, gdy: a) x 36, y 90 b) x 12,5, y 8, 75 c) x 1420, y 63, d) x 10, y Zad. 28 Oblicz, jakim procentem liczby x jest liczba y, gdy: a) Liczba x stanowi b) Liczba x stanowi 80% liczby y 1 33 % liczby y 3 c) Liczba x stanowi 4 28 % liczby y 7 d) Liczba x stanowi 2 66 % liczby y 3 Zad. 29 W 2000r. w Chinach zebrano 18 mln ton jabłek, a w USA 5 mln ton jabłek. O ile procent więcej jabłek zebrano w Chinach niż w USA? O ile procent mniej jabłek zebrano w USA niż w Chinach?

13 Dane: Ilość jabłek zebrana w Chinach - 18 mln ton Ilość jabłek zebrana w USA - 5 mln ton Szukane O ile więcej jabłek zebrano w Chinach niż w USA procentowo? O ile mniej jabłek zebrano w USA niż w Chinach procentowo? Rozwiązanie 1. O ile więcej zebrano jabłek w Chinach? ton Jaki to procent zbiorów w USA? 2. O ile mniej zebrano jabłek w USA? % 260% ton Jaki to procent zbiorów w Chinach? % 2 72 % 9 2 Odp.: W Chinach zebrano o 260% więcej jabłek niż w USA, a w USA zebrano o 72 % mniej jabłek niż w Chinach. 9 Zad. 30 W klasie jest 25 uczniów, dziewcząt jest 12. Jakim procentem całej klasy są dziewczęta? Odp.: 48% Zad. 31 W gimnazjum jest 450 uczniów. 72 osoby uczy się dwóch języków obcych. Jaki procent uczniów tej szkoły uczy się dwóch języków obcych? Odp.: 16%

14 Zad. 32 Cenę pewnego towaru podwyższono o 8 złotych. Ile procent wynosi podwyżka, jeżeli towar ten przed podwyżką kosztował 72 zł? Odp.: 11,1% Zad. 33 Ania i Kasia zbierają znaczki. Ania ma ich 70, a Kasia 105. O ile procent więcej znaczków ma Kasia niż Ania? O ile procent mniej znaczków ma Ania niż Kasia? Odp.: 50%, 33 1 / 3 % Zad. 34 Jaki procent obwodu kwadratu stanowi długość jednego boku? Odp.: 25% Zad. 35 Jaki procent godziny stanowi minuta, a jaki sekunda? Odp.: 1,67%; 0,0278% Zad. 36 Jakim procentem doby jest godzina? Odp.: 4,17%

15 5. Obliczenia finansowe (lokaty, pożyczki) Zad. 37 W banku złożono kwotę 2000 złotych na jeden rok. Po roku oszczędności wyniosły 2240 zł. Oblicz roczne oprocentowanie lokaty. Odp.: 12% Zad. 38 Ile odsetek dopisze bank do kwoty 2800 zł złożonej na okres jednego roku z oprocentowaniem 10,5 % w skali rocznej? Odp.: 294 zł Zad. 39 Jaką kwotę spłaci kredytobiorca, który pobrał z banku 5000 zł kredytu na okres jednego roku przy stopie procentowej 36 %? Odp.: 6800 zł Zad. 40 Wpłacamy 1000 zł na trzymiesięczną lokatę. Oprocentowanie wynosi 6 % w stosunku rocznym. Ile złotych otrzymamy po trzech miesiącach? Odp.: 1015 zł Zad. 41 Wpłacamy pieniądze na sześciomiesięczną lokatę. Oprocentowanie wynosi 8 % w stosunku rocznym. O ile procent zwiększy się wpłacona kwota po pół roku? Odp.: 4% Zad. 42 Co się bardziej opłaca: wpłacić pieniądze na lokatę półroczną czy na dwie kwartalne po kolei (przy czym po upływie kwartału wpłacamy na drugą lokatę także odsetki)? Ile procent wpłaconej sumy stanowi różnica? Oprocentowanie w stosunku rocznym wynosi dla lokaty kwartalnej 6%, a dla półrocznej 8%. Dane: Oprocentowanie lokaty kwartalnej (roczne) - 6% Oprocentowanie lokaty półrocznej (roczne) - 8% Wpłacona kwota - x[zł] Szukane Jaki procent wpłaconej sumy stanowi różnica zysku uzyskanego z dwóch lokat kwartalnych i z jednej lokaty półrocznej?

16 Rozwiązanie 1. Zysk z oszczędności na lokacie półrocznej procentowo: 1 2 8% po wpłaceniu xzł po pół roku mamy 100 % 4% x 1, 04xzł 4% 2. Zysk z oszczędności na lokacie kwartalnej procentowo: 1 6% 1,5%, 4 100% 1,5% x 1, 015x zł a więc po wpłaceniu xzł po kwartale mamy 3. Po kwartale wpłata na drugą lokatę kwartalną wynosi,015xzł 100 % 1,5% 1,015 x 1,015 1,015 x 1, x 1, 03xzł 1, a po upływie terminu (czyli po drugim kwartale) mamy 4. Zysk przy dwóch lokatach kwartalnych wynosi procentowo: 1,03x x 0,03x 100% x x 100% 0,03 100% 3% 5. Zysk przy jednej lokacie półrocznej jest większy od zysku przy dwóch lokatach kwartalnych o 4% 3% 1% wpłaconej kwoty Odp.: Różnica zysku uzyskanego z dwóch lokat kwartalnych i zysku z jednej lokaty półrocznej to 1% wpłaconej sumy. Korzystniejsza jest jedna lokata na pół roku. Zad. 43 Odsetki na koncie doliczane są na koniec roku. Ile pieniędzy będzie miał na koncie l stycznia ktoś, kto l listopada wpłacił 300 zł? Oprocentowanie wynosi 4 % w stosunku rocznym. Odp.: 302zł

17 Zad. 44 Wpłacamy 100 zł na miesiąc, potem podjętą sumę (wraz z odsetkami) na kolejny miesiąc itd. O ile procent zwiększy się nasza suma po roku, jeżeli oprocentowanie wynosi 6% w stosunku rocznym? Odp.: 6,2% Zad. 45 Pożyczamy z banku 1000 zł na miesiąc. Oprocentowanie kredytu wynosi 36% w stosunku rocznym. Ile musimy oddać po miesiącu? Odp.: 1030zł Dopisz wyjaśnienia do obliczeń i zapisz odpowiedź do zadania 1 36% 3% 12 3% , zł zł

18 6. Mieszaniny, stopy metali Zad. 46 Ile kilogramów wody morskiej o zasoleniu 3% trzeba wziąć, aby otrzymać 1kg soli? Odp.: 33,3 kg Zad. 47 Ile gramów chlorku sodu otrzyma się po odparowaniu do sucha 150 g 5-procentowego roztworu? Zad. 48 Ile litrów octu 10-procentowego i ile litrów octu 3-procentowego należy zmieszać, aby otrzymać 7 litrów octu o stężeniu 6%? Dane: Ilość octu po zmieszaniu - 7[l] Stężenie mieszaniny - 6% Ilość octu 10% (I roztwór) - x[l] Ilość octu 3% (II roztwór) - (7-x)[l] Szukane Ilość octu 10% -? Ilość octu 3% -? Rozwiązanie 1. ilość kwasu octowego w I roztworze: 2. ilość kwasu octowego w II roztworze: 3. ilość kwasu octowego w mieszaninie: 10% x 0, 1x [l] 7 x 0,03 x 3 % 7 [l] 7 x 0,21 0, x 0,1x 0,03 07 [l] 4. Stężenie mieszaniny wynosi:

19 0,21 0,07x 7 100% 6%, zatem 21 7x x x x 21 : 7 3 l 5. Pierwszego roztworu jest 3 l, zatem drugiego roztworu dolano: Odp.: 10% roztworu jest 3 litra, a 3% roztworu - 4 litry l Zad. 49 Nalano wody do trzech szklanek, po 220g do każdej, a następnie w jednej szklance rozpuszczono 10g soli kuchennej, w drugiej szklance 20g, a w trzeciej 30g. Ilu (w przybliżeniu) procentowy roztwór soli powstał w każdej szklance? Odp.: 4,35%; 8,3%; 12%; Zad. 50 Ile kilogramów 2% roztworu wodnego soli kuchennej należy dodać do 1,2kg 5 % roztworu soli, aby otrzymać roztwór o stężeniu 3%? Odp.: 2,4 kg Zad. 51 Do 1,5kg roztworu cukru 20-procentowego dolano 4 kg roztworu 5-procentowego. Powstały roztwór zagęszczono odparowując 10% zawartej w nim wody. Oblicz, iluprocentowy roztwór otrzymano. Dopisz brakujące wyjaśnienia do obliczeń i zapisz odpowiedź do zadania 1. Ile roztworu powstało po zmieszaniu dwóch roztworów? 1,5 4 5,5 kg

20 Ile cukru jest w mieszaninie? 1 20% 1,5 1,5 0,3kg 5 1 5% 4 4 0,2kg 20 0,3 0,2 0,5 kg 5. Ile... jest w mieszaninie? 5,5 0,5 5 kg 6. Ile.. wody? 10% 5 0,1 5 0,5 kg 7. Ile zostało...? 5,5 0,5 5 kg 8. Ile procent cukru ma powstała mieszanina?...? 0,5 100% 10% 5

21 Odp.:... Zad. 52 Zmieszano cztery składniki w stosunku 1 : 2 : 3 : 4. Podaj skład procentowy mieszaniny. Odp.: 10%; 20%; 30%; 40% Zad. 53 Ile litrów octu 2% należy dodać do 3 litrów octu 8%, aby powstała mieszanina miała stężenie 5%? Zad. 54 Zmieszano ze sobą dwa roztwory tej samej substancji: 100g 2-procentowego roztworu z 50g roztworu 0,5-procentowego. Jakie jest stężenie powstałego w ten sposób roztworu? Zad. 55 Do naczynia zawierającego 200 g 4-procentowego roztworu kwasu solnego dodano roztwór tego samego kwasu o innym stężeniu. Jakie było stężenie procentowe dodanego roztworu, jeśli otrzymano 300 g roztworu o stężeniu 5 %? Zad. 56 Do ilu gramów wody należy wlać 150g roztworu 30-procentowego, aby powstał roztwór o stężeniu 22,5%? Zad. 57 Ile gramów wody należy dodać do 400 g 20-procentowego roztworu, aby otrzymać 15-procentowy roztwór? Zad. 58 Stopiono dwie złote obrączki. Jedna ważyła 6g i miała próbę 0,585, druga ważyła 4g i miała próbę 0,375. Jaka próbę ma otrzymany stop? Zad. 59 Stop miedzi i cynku ma masę 225kg. Cynku jest 4 razy mniej niż miedzi. Jaka jest procentowa zawartość cynku?

22 7. Zadania obliczenia procentowe Zad. 60 Cena biletu wejściowego na stadion wynosi 30zł. Po obniżce ceny biletów liczba widzów zwiększyła się o 50%, a dochód wzrósł o 25%. O ile złotych obniżono cenę biletu? Dane: Liczba widzów początkowo - x Dochód na początku - 30 x Liczba widzów po obniżce ceny - (100% + 50%) x = 1,5 x Dochód po obniżce - (100% + 25%) 30 x = 1,25 30 x = 37,5 x Szukane Kwota obniżki ceny biletu -? Rozwiązanie 1. cena biletu po obniżce: 37,5 x 1,5 x zł 2. obniżka wyniosła: zł Odp.: Cenę biletu obniżono o 7zł. Zad. 61 Cenę plecaka podwyższono najpierw o 20%, a następnie o 25%. Ostateczna cena jest równa 90zł. Jaka była cena początkowa? O ile procent podwyższono w efekcie cenę początkową? Dane: Początkowa cena plecaka - x

23 Cena po pierwszej zmianie - (100% + 20%) x = 1,2 x Cena po drugiej zmianie - (100% + 25%) 1,2 x = 1,25 1,2 x = 1,5 x = 90[zł] Szukane cena początkowa= x -? łączna podwyżka ceny -? -? Rozwiązanie 1. Cena po drugiej zmianie: zatem cena początkowa x 1,5 x 90 : 1,5 90zł 60zł 2. Łączny wzrost ceny: 3. Łączny wzrost ceny procentowo: % zł 1 100% 50% 2 Odp.: Początkowa cena wynosiła 60zł. Jej łączny wzrost to 50%. Zad. 62 Cenę piłki obniżono najpierw o 25%, a następnie o 20%. Teraz piłka kosztuje 72zł. Ile kosztowała przed obniżkami? Ile procent ceny początkowej stanowi obniżka? Odp.: 120zł; 40% Zad. 63 Cenę jednostkową pewnego towaru podwyższono o 20% i po pewnym czasie obniżono o 25%. Po tych dwóch zmianach cena jest równa 81zł. Jaka była cena początkowa? O ile procent zmieniła się cena w odniesieniu do ceny początkowej? Odp.: 90zł; 10%

24 Zad. 64 Cenę komody podniesiono o 5%, a potem obniżono o 5%. Cena po tych zmianach wynosi 1596zł. Jaka była cena komody na początku? Zad. 65 Cenę pewnego produktu obniżono o 10%, a potem o 20%. Końcowa cena jest równa 720zł. Ile kosztował ten produkt przed obniżkami? Zad. 66 W ciągu roku pewna cena wzrosła trzy razy po 10%. Jaka była na początku, jeżeli teraz jest równa 133,10zł? Odp.: 100zł Zad. 67 W sklepie AGD ogłoszono 15% przecenę pralek automatycznych. Obecna cena pralki wynosi 1700zł. Oblicz jaką kwotę zaoszczędził klient kupujący tę pralkę po przecenie. Odp.: 300zł Zad. 68 Kilogram towaru kosztował 64zł, a po obniżce cen kosztuje 56zł. O ile procent obniżono cenę? Odp.: 12,5% Zad. 69 O ile procent kwota 200zł jest większa od 160zł? Zad. 70 W gimnazjum nr 1 jest 300 uczniów, a w gimnazjum nr 2 jest o 150% uczniów więcej. Ilu uczniów jest w obu tych szkołach razem? Zad. 71 List protestacyjny do dyrektora fabryki podpisało 20 osób, czyli 40% pracowników. Ile jeszcze osób musi się podpisać pod listem, aby protest poparło 50% pracowników?