Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykład 4

Transkrypt

1 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład Adwekcja Jeśl sbstancja jest przenoszona wzdłż odcnka w wynk przepływ o prędkośc a, przy założen, że jest to jedyne zacodzące zjawsko, otrzymje sę prawo zacowana w postac równana adwekcj: t a Jest to równane perbolczne bo jest równanem perwszego rzęd. Jego rozwązane dla danego warnk początkowego, wyraża przemeszczane sę początkowego profl z prędkoścą a:, t at W ogólnym przypadk równane zapsje sę w postac: a t yfzja Rc sbstancj w skal makroskopowej może być wynkem moleklarnej dyfzj, która powodje przemeszczane sę cząstek sbstancj z obszarów o wększym stężen gęstośc do obszarów o stężen mnejszym. Równane dyfzj: t dla stałej wartośc. W ogólnym przypadk węcej wymarów dla równane dyfzj ma postać:, z t Jest to równane różnczkowe cząstkowe rzęd, parabolczne. Adwekcja dyfzja Jeżel równocześne występje adwekcja dyfzja, otrzymje sę t a Równana dyfzj oraz adwekcj-dyfzj należą do klasy równań parabolcznyc. Równane adwekcj-dyfzj jest wykorzystywane do modelowana transport zaneczyszczeń. W ogólnym przypadk równane zapsje sę w postac: a, z t Jest to równane różnczkowe cząstkowe rzęd drgego, parabolczne. Jednak kedy wartośc współczynnka są małe, w równan może domnować człon adwekcyjn sprawając, że równane nabera cec równana perbolcznego. Składnk źródłowe W nektóryc sytacjac koncentracja ogólne, welkość reprezentowana przez lega zmane z powod występowana źródeł lb pstów sbstancj. Jeśl dzałane takego źródła/pst są wyrażone za pomocą fnkcj, t to otrzymje sę następjące równane: t a gólne: a, z t --

2 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład Reakcja-dyfzja Jednym z powodów pojawana sę składnków źródłowyc są reakcje cemczne. Równana reakcj-dyfzj mają postać: t. W równan może pojawć sę równeż składnk adwekcyjny jeśl reakcja zacodz w przepływe. W ogólnym przypadk równane ma postać: a, z t Warnk brzegowe początkowe Równane różnczkowe cząstkowe ms zostać zpełnone o warnk brzegowe oraz, dla zagadneń ewolcyjnyc, warnk początkowe. Warnek początkowy defnje stan kład w cwl początkowej. Stan ms być znany w każdym pnkce przestrzennym patrz przykłady jednowymarowyc symlacj lstrjącyc procesy adwekcj dyfzj. Warnk brzegowe opsją zacowane sę fnkcj na brzeg obszar. Wyróżna sę trzy rodzaje warnków brzegowyc: Wyróżna sę następjące warnk brzegowe: Warnek rcleta Wartość fnkcj na brzeg jest znana g, g zadana fnkcja Warnek Nemanna kreślona jest nterakcja z brzegem, np. wpływ do obszar, wypływ, przyłożona sła. W szczególnośc warnek Nemanna pozwala zdefnować brzeg neprzepszczalny. Matematyczne warnek Nemanna opsje sę wykorzystjąc strmeń, wyrażany w fnkcj pocodnej normalnej. g, g zadana fnkcja, n n n w szczególnośc neprzepszczalna ścana, warnek symetr n Uwaga: wektor n jest skerowany na zewnątrz. Warnek trzecego rodzaj Robna, Forera n Warnek ten defnje wzajemną zależność neznanej wartośc rozwązana oraz neznanej pocodnej normalnej na brzeg. Przykłady warnków brzegowyc Rozwązjemy równane Laplace a w obszarze Ω: na z różnym warnkam brzegowym. --

3 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład bszar Ω jest naszkcowany ponżej; jego brzeg składa sę z trzec częśc, oznaczonyc C, C oraz C. C C C Przykład : C: rclet, C C: rclet, C C: Nemann, n C Przykład : C: Nemann, n C C: rclet, C C: rclet, C Przykład zolne Przykład zolne Przykład : C: rclet, C C: rclet, C C: rclet, C Przykład : C: rclet, C C: rclet, C C: Nemann,. n C --

4 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład Przykład zolne Przykład zolne Powracamy do naszego porządk: proces modelowana został podzelony na klka etapów. To, o czym mówlśmy ostatno dotyczyło pnkt Model matematyczny, bowem zajmowalśmy sę sposobam matematycznego ops zjawsk. Kolejny krok ma na cel znalezene rozwązana równana/równań opsjącego modelowane zjawsko. ocodzmy w ten sposób do pnkt pośwęconego modelowan nmerycznem. Model nmeryczny Uzasadnenem życa określena model nmeryczn zamast metoda nmeryczna zyskana przyblżonego rozwązana jest fakt, że równeż w tym krok, podobne jak w poprzednc, formłje sę szereg dodatkowyc założeń. W ten sposób można wdzeć model nmeryczny jako kolejną przyblżoną wersję rzeczywstego obekt modelowana. Poneważ modele matematyczne są najczęścej opsywane w postac równań, bądź kładów równań, różnczkowyc zwyczajnyc oraz różnczkowyc cząstkowyc, głównym tematem obecnyc rozważań będą metody nmerycznego rozwązywana równań różnczkowyc cząstkowyc. równanac różnczkowyc zwyczajnyc równeż będzemy mówć, ale neco późnej w neco nny bardzej praktyczny sposób. A zatem temat na dzś to metody nmerycznego rozwązywana równań różnczkowyc cząstkowyc. Temat to nezmerne szerok, ttaj zostaną podane nformacje podstawowe. Wśród metod wykorzystywanyc do nmerycznego rozwązywana równań różnczkowyc cząstkowyc wyróżna sę trzy grpy metod. Są to: metoda różnc skończonyc ang. Fnte fferences metoda elementów skończonyc ang. Fnte Element Metod metoda objętośc skończonyc ang. Fnte Volme Metod Metody te różną sę mędzy sobą dość znaczne, natomast mają wspólną cecę polegającą na tym, że mogą zostać zdefnowane w oparc o dyskretyzację obszar. yskretyzacja, naczej mówąc podzał obszar na satkę oblczenową satkę dyskretyzacj, ang. mes, grd jest bazą, w oparc o którą konstrje sę dyskretny odpowednk orygnalnego równana. W zależnośc od metody zyskje sę różne sformłowana dyskretne, różne są też wymog zwązane z dyskretyzacją natomast tym co łączy jest fakt, że dyskretyzacja oznacza podzał obszar oblczenowego na małe podobszary. --

5 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład kreślena dyskretyzacja, dyskretny model, dyskretne rozwązane podkreślają fakt odejśca od orygnalnego równana oraz jego dokładnego rozwązywana na rzecz wyznaczena rozwązana przyblżonego w skończonej lczbe pnktów. yskretyzacja ma ogromny wpływ na jakość rozwązana przyblżonego. W przypadk korzystana z gotowyc kodów kompterowyc, to właśne dyskretyzacja obszar stanow jedno z głównyc zadań osoby korzystającej z model. W przypadk zadań o złożonej geometr, nawet z pomocą specjalnego oprogramowana, może być to zadanem bardzo pracocłonnym. Uwaga: dla bardzo ogranczonej klasy zagadneń stneją rozwązana analtyczne. Najczęścej mogą być one otrzymane przy wel założenac praszczającyc dotyczącyc reglarnego kształt obszar, prostyc warnków brzegowyc, założena o jednorodnośc, rozważan zadana jednowymarowego. Bez względ na te ogranczena ewentalna możlwość odwołana sę do rozwązana analtycznego jest bardzo cenna w procese weryfkacj rozwązana przyblżonego. yskretyzacja: W przypadk zadań jednowymarowyc bez względ na stosowaną metodę nmeryczną wybór jest newelk: obszar oblczenow jakm w przypadk jest odcnek, dzel sę na małe odcnk. Różnce pojawają sę w zadanac dw- trójwymarowyc. Metoda różnc skończonyc wyróżna sę wśród pozostałyc metod stosnkowo małą elastycznoścą dopszczalnyc dyskretyzacj. W elementam w kontekśce metody różnc skończonyc często mów sę o komórkac ang. cell są prostokąt zaś w przypadk sześcoścany. Ten wymóg reglarnośc sprawa, że odwzorowane obszarów o złożonym kształce ne jest sprawą prostą. Problem ten ne dotyczy metody element skończonego oraz metody różnc skończonyc, które dopszczają szeroką gamę kształtów elementów. Są to: : obszar jest dzelony na odcnk : obszar jest dzelony na trójkąty /lb czworokąty : obszar jest dzelony na czworoścan sześcoścan pryzmaty. Metoda Różnc Skończonyc Metoda różnc skończonyc jest konceptalne najprostsza spośród metod nmerycznyc stosowanyc do przyblżonego rozwązywana równań różnczkowyc cząstkowyc. Bazje na zastąpen pocodnyc występjącyc w równan c dyskretnym odpowednkam, nazywanym lorazam różncowym. Ilorazy różncowe konstrje sę na baze dyskretyzacj. Rozważamy przypadek jednowymarow zakładam że znajdją sę w nm równomerne rozmeszczone węzł oznaczone,,..., n. Poneważ węzły są równomerne rozmeszczone, dla każdej pary sąsadjącyc węzłów zacodz:

6 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład Załóżm że ccemy znaleźć przyblżene pocodnej fnkcj w pnkce. Jednym ze sposobów jest powrót do defncj pocodnej:, gdze. Ten sam wzór można zyskać korzystając z rozwnęca fnkcj w szereg Taylora w otoczen pnkt : zanedbjąc wyrazy począwszy od wyraz zawerającego drgą pocodną. d raz wdać, że zastąpene pocodnej lorazem różncowym wprowadza błąd obcęca. Mejsce obcęca determnje rząd dokładnośc aproksymacj. Mów sę, że jest jednostronną prawostronną aproksymacją pocodnej fnkcj. Rząd dokładnośc aproksymacj wynos. Na margnese: Twerdzene Taylora mów o tym, że znajomość pocodnyc dostateczne gładkej fnkcj w pnkce pozwala przyblżać tę fnkcję w sąsedztwe za pomocą weloman, nazywanego welomanem Taylora:!...!. Pnkt znajdje sę w przedzale,. W analogczny sposób można wyznaczyć lewostronną aproksymację pocodnej, korzystając z rozwnęca: Zacodz:

7 Modelowane kompterowe w ocrone środowska Wykład Aproksymacja za pomocą różncy centralnej: Po odjęc stronam rozwnęca otrzymje sę kolejne wyrażene aproksymjące perwszą pocodną: mns równa sę, a stąd Jest to aproksymacja rzęd drgego