Analiza dyfrakcyjna dwuwymiarowych kwazikryształów

Transkrypt

1 Prc dotors Brtłomiej Kozowsi ierune studiów: fiz cił stłego specjlność: fiz cił stłego Anliz dfrcjn dwuwmirowc wzirsztłów Opieun: prof. dr b. Jnusz Woln Krów czerwiec 7

2

3 Słdm serdeczne podzięowni mojemu promotorowi pnu prof. dr b. Jnuszowi Wolnemu z wszecstronną pomoc (nie tlo nuową) ogromną cierpliwość i długie dsusje tórc efetem jest t prc.

4

5 Wstęp.... Anliz struturln wzirsztłów Wstęp Anliz budow jednowmirowc wzirsztłów Ciąg Fiboncciego Dwuwmirow reprezentcj ciągu Fiboncciego metod cut-nd-project..... Genercj ciągu Fiboncciego Powierzcni tomow Klstr Powierzcni tomow dl lstr Przestrzeń odwrotn widmo dfrcjne ciągu Fiboncciego Podsumownie Anliz sttstczn budow jednowmirowc wzirsztłów Funcj rozłdu sttstcznego - wprowdzenie Zstosownie metod sttstcznej do obliczeni cznni struturlnego dl jednowmirowc wzirsztłów Równowżność metod sttstcznej i cut-nd-project Cznni struturln dowolnie deorownego ciągu Fiboncciego.... Anliz przłdowej deorcji..... Anliz budow wzirsztłów o smetrii degonlnej Zbiór Penrose Pięciowmirow reprezentcj zbioru Penrose metod cut-nd-project Przestrzeń prost - powierzcni tomow Rozłd prwdopodobieństw dowolnego ułdu puntów nleżącc do zbioru Penrose Przerwnie rozłdów prwdopodobieństw Reguł przlegni rombów Przestrzeń odwrotn Cznni struturln dl zbioru Penrose Zstosownie metod sttstcznej do opisu zbioru Penrose Bz wetor flowego w przestrzeni rzeczwistej Średni omór dl zbioru Penrose Średni omór dl zbioru Penrose... 7

6 ... Cznni struturln dl ułdu Penrose połączenie metod sttstcznej i cut-nd-project Cznni struturln dl dowolnie deorownego zbioru Penrose Klstr Crterst geometrczn lstrów Rozłd sttstczn położeń tomów lstr Cznni struturln dl zbioru Penrose model lstrow..... Anlitczne metod bdni strutur cił stłc..... Funcj Ptterson Widmo Ptterson dl monotomowc monorsztłów D Anliz funcji Ptterson dl ciągu Fiboncciego Widmo Ptterson obliczne jo splot gęstości eletronowej ρ() Widmo Ptterson - splot rozłdów prwdopodobieństw P(u) Widmo Ptterson - splot rozłdu prwdopodobieństw P(u v) Widmo Ptterson dl zbioru Penrose Low-densit elimintion metod Zstosownie metod optmlizcjnc do udołdnini strutur wzirsztłów Wstęp do wbrnc metod optmlizcjnc Oreślnie minimum funcji jednowmirowej metodą podziłów Ozncznie minimum Ustlnie ierunu poszuiwni minimum Anliz włsności cznni struturlnego i funcji błędu Szeroość minimum globlnego Szbość zbieżności procedur optmlizcji Zleżność błędu dopsowni wrtości prmetrów od błędu dopsowni widm dfrcjnego Zleżność błędu dopsowni wrtości prmetrów od błędu dopsowni widm dfrcjnego Wpłw błędnego ustleni wrtości jednej grup prmetrów n dopsowną wrtość pozostłc prmetrów Wrżliwość funcji błędu n tp deorującego tomu Minimln możliw wrtość błędu dopsowni Optmlizcj procesu minimlizcji błędu....

7 ...8. Anliz funcji błędu wniosi ońcowe..... Budow tomow stopu Al 7 Ni Co Przegląd litertur poświęconej bdniu strutur Al 7 Ni Co Anliz struturln związu Al 7 Ni Co 8 z worzstniem modelu sttstcznego.... Zończenie.... Litertur utors... List prezentcji n onferencjc nuowc:... Ctown litertur.... 6

8 Wstęp. Kwzirsztł pomimo -letnic bdń nd nimi pozostją ciągle brdzo zgdową mterią. Ciągle toczą się spor o t podstwową włsność ją jest strutur tomow. Ostre tpowo rstliczne pii widm dfrcjnc dowodzą istnieni uporządowni dleiego zsięgu. Z drugiej stron potwierdzonm ftem jest br periodczności strutur. Te dwie cec połączone rzem supił n wzirsztłc do dziś niesłbnące zinteresownie fizów cemiów i mteriłoznwców. Jego wniiem jest utrzmując się od lt strumień ooło publicji rocznie poświęconc wzirsztłom rsune poniżej. 6 Roczn liczb publicji poświęcon wzirsztłom - źródło INSPEC Roczn liczb publicji poświęcon wzirsztłom. Źródło: INSPEC; wszuiwne sło: qusicrstls Dl rsztłów lscznc dobrze znne są metod oprcowwni widm dfrcjnc szeroo opisne w wdnic siążowc dl ułdów periodcznc n przłd [7] i strutur modulownc [8] wspomgne nlizą smetrczną progrm MODY [] oprcown w Ktedrze Fizi Mterii Sondensownej pod ieruniem W. Sior. Wiele ośrodów zjmuje się również uporządowniem blisiego zsięgu obserwownm w rozprszniu dfuzjnm [6]. W przpdu wzirsztłów zstosownie znlzło il metod opisu strutur: cut-nd-project sttstczn cz lstrow. Do dziś jedn żdn z nic nie uzsł pełnej ceptcji cłego środowis rstlogrfów. Celem tej prc jest doonnie nliz struturlnej wzirsztłów o smetrii degonlnej w oprciu o struturę Penrose prz pomoc modelu sttstcznego. Model

9 sttstczn opisuje struturę z pomocą rozłdu prwdopodobieństw położeń tomów względem pewnej periodcznej sieci referencjnej tworzącej tzw. średnią omórę elementrną. Model sttstczn dosonle się sprwdz prz opisie strutur modulownc [] Tue-Morse [] cz ciągu Fiboncciego [8]. W ltc 996- stosown bł tże w wielu ośrodc nuowc prz nlizie strutur wzirsztłów D i D. Model sttstczn wmg jedn zncznego nłdu obliczeniowego b mógł bć poprwnie zstosown. Zbt duże uproszczeni modelu [6] i [] doprowdził do nie njlepszej zgodności wniów teoretcznc i espermentlnc i w onsewencji do zprzestni w więszości ośrodów nuowc dlszego rozwoju tej metod. Prc podzielone jest n rozdził. Pierwsz njobszerniejsz szczegółowo omwi mtemtczną stronę modelu sttstcznego. Wnijące z niego wniosi porównwne są do innc powszecnie stosownc modeli opisu strutur wzirsztłów modelu lstrowego orz wielowmirowego modelu cut-nd-project. Njwżniejszmi wnimi tego rozdziłu są: wzór n cznni struturln dowolnie deorownego ułdu Penrose orz wsznie zleżności pomiędz modelem sttstcznm lstrowm i cut-ndproject. Rozdził drugi poświęcon jest nlitcznm metodom bdni strutur cił stłego orz zstosowniu ic w nlizie struturlnej wzirsztłów. Przedstwion jest nliz Ptterson orz jej now odmin: średni omór rozłdu położeń piów Ptterson. Omówion jest tże rozwijn obecnie reurencjn metod wznczni funcji gęstości wprost z widm dfrcjnego LDEM. Końcow część rozdziłu poświęcon jest udołdniniu prmetrów opisującc struturę są przedstwione lgortm umożliwijące wszunie minimum funcji orz wniosi z zstosowni ic do cznni struturlnego dl strutur Penrose. Osttni trzeci rozdził jest próbą podsumowni współczesnej wiedz n temt budow tomowej njpopulrniejszego obecnie stopu wzirstlicznego Al-Ni-Co. Rozdził ończ się nlizą struturlną oprtą o doświdczlne widmo dfrcjne stopu Al 7 Ni Co 8. Niniejsz prc poz orginlnmi wnimi przedstwijącmi zstosownie metod sttstcznej w nlizie wzirsztłów o smetrii degonlnej relizuje tże cel ddtczn. Pomimo lt rozwoju bdń wzirsztł nie doczeł się wielu oprcowń nuowo-ddtcznc. Zebrn n świecie mterił teoretczn jest corz obszerniejsz. Kżde olejne oprcowni prznoszą wnii bzujące n podstwc

10 tórc opis zwle szczątow i nieuporządown możn znleźć jednie w publicjc nuowc. Z tego powodu żd rozdził tej prc rozpoczn się od podsumowni tulnej wiedz związnej z temtem rozwijnm w rozdzile. Wszstie obliczeni orz mtemtczne zleżności znim zostją zstosowne n ułdzie Penrose przeliczne są n ciągu Fiboncciego tór jo strutur jednowmirow idelnie ndje się do ilustrcji nwet njtrudniejszc zgdnień. Ic zrozumienie jest niezbędne jeśli cce się prcowć i rozwijć mtemtczn model strutur wzirsztłów dwu- i trójwmirowc. 6

11 . Anliz struturln wzirsztłów... Wstęp Strutur wzirsztłów ze wzglądu n nieperiodczne ułożenie tomów w przestrzeni nie doczeł się prostego opisu mtemtcznego. Konsewencją tego jest br jednego uznwnego i stosownego powszecnie cznni struturlnego tórego worzstnie w połączeniu z espermentlnie zmierzonm widmem dfrcjnm pozwoliłob ustlić budowę bdnej próbi wzirstlicznej. Istnieje wiele modeli opisu strutur wzirsztłów; wśród nic: wielowmirow nliz struturln cut-nd-project metod sttstczn opis lstrow. Kżd z wmienionc modeli strutur wzirsztłów m unilne cec zlet tórc nie odnjdujem w pozostłc. N przłd metod cut-nd-project jest brdzo prost mtemtcznie prz tm njstrsz orz njbrdziej doprcown; metod sttstczn opisuje strutur w przestrzeni rzeczwistej; zś metod lstrow umożliwi bezpośrednie porównnie modelu np. z obrzem uzsnm z mirosopu eletronowego. Żden z modeli nie uzsł jedn pełnej ceptcji cłego środowis rstlogrfów zjmującc się problemem strutur wzirsztłów. Kżd z nic posid bowiem wd: wielowmirow nliz jest zbt bstrcjn i często nie dje poprwnej interpretcji zjwis zcodzącc w przestrzeni rzeczwistej (np. drgni termiczne); opis lstrow dje zbt mło swobod prz ustlniu pozcji i tpu tomów; w ońcu metod sttstczn jest złożon mtemtcznie dodtowo brdzo młod nie jest więc powszecnie znn. W rozdzile zostną omówione wszstie wmienione trz sposob opisu budow wzirsztłów. Wielowmirow metod cut-nd-project zostnie omówion n przłdzie njprostszego jednowmirowego wzirsztłu: ciągu Fiboncciego. Tlo bowiem w tm przpdu opis mtemtczn będzie możn zilustrowć rsunmi. W dlszej części 7

12 prc gd będzie on worzstn do obliczeni cznni struturlnego dl strutur Penrose będziem odwołwć się do wniosów wciągniętc z nliz strutur jednowmirowej. Metod sttstczn zostnie wprowdzon z metod cut-nd-project. W ten sposób zostnie udowodnion pełn równoznczność tc dwóc metod w przpdu strutur idelnc. Wprowdzon nstępnie definicj średniej omóri elementrnej rozszerz metodę sttstczną tże n przpdi strutur dowolnie zburzonc. Metod sttstczn zostnie omówion szczegółowo dl przpdu D. W przpdu modelu Penrose zostnie rozszerzon i uzupełnion nowmi zleżnościmi. Definicj lstr identfiownego głównie ze struturmi D pojwi się tże prz nlizie budow jednowmirowc wzirsztłów. To uproszczenie pozwoli nm pozć że metod sttstczn potrfi tże opiswć lstr. Ten wniose zostnie worzstn w dlszej części rozdziłu prz nlizie sttstcznej ułożeni lstrów w przestrzeni. Przjęte modele budow wzirsztłów zostną w ońcu worzstne do wprowdznie wzorów n cznni struturln dl jedno- i dwuwmirowc dowolnie deorownc strutur wzirstlicznc. 8

13 .. Anliz budow jednowmirowc wzirsztłów.... Ciąg Fiboncciego. Ciąg Fiboncciego jest utworzon przez wrz tórc wrtość jest równ sumie wrtości dwóc wrzów stojącc przed nim. Regułę tą możn zpisć z pomocą zleżności reurencjnej: n n n () Dl liczb il pierwszc wrzów tego ciągu jest równe: {8...} Posługując się wzorem () możem utworzć jednowmirow wzirsztł. Ab to zrobić liczb zstępujem dwom rodzjmi odcinów: długim dl tórego przjmiem smbol L orz rótim smbol S. Zerow wrz ciągu niec będzie równ S ( S) pierwsz L ( L). Zstosownie reguł () doprowdzi do wgenerowni zbioru: {S L LS LSL LSLLS LSLLSLSL...} () Grficznm przedstwieniem ciągu () jest rsune. 6 7 Rsune Grficzne zobrzownie zleżności [] powstwnie ciągu Fiboncciego. Kropi smbolizują począti odcinów. 9

14 Zuwżm że olejne wrz możem otrzmć tże podstwijąc w poprzednim wrzie z S L zś z L LS. Jest to nturln onsewencj zleżności (). Z modelow jednowmirow wzirsztł przjmuje się wrz ciągu Fiboncciego o indesie dążącm do niesończoności n. Nie m on wted periodcznej budow jedn dowolną sewencję odcinów możem odnleźć w nim niesończenie wiele rz co jest podstwowm wruniem definiującm wzirsztł. Dodtow br periodczności zpewnim złdjąc że stosune długości dużego odcin do młego będzie niewmiern. W przpdu ciągu Fiboncciego przjmujem długość rótiego odcin równą zś długiego: równą stosunowi liczb dużc odcinów do młc. Wrtość tego stosunu tór oznczm jo X znjdziem worzstując ft że dl brdzo dużego n prtcznie nie zleż on od n: X dl n () n X n Złóżm że dl wrzu n w ciągu znjduje się N L długic odcinów orz N S rótic odcinów czli: N N L X () W nstępnm rou żd róti odcine stnie się długim długi będzie sumą rótiego i długiego z rou poprzedniego: S co przesztłcm do postci: X N N N N N L L S () S L (6) X Równnie to m jedno rozwiąznie dodtnie: X.68 Wielość X jest liczbą niewmierną nzwną tże złotą liczbą. Posid il ciewc włsności tóre wrto zpmiętć b móc szbo nimi się posłużć w dlszc obliczenic. Wszstie te włsności wniją wprost z (6) np.: ) b) - / (7)

15 c) jeśli n b to n (b) d) jeśli / n b to / n b (-b) e) α β gdzie α b f) b ; β b b b b b Worzstując zleżność () możn pozć że dl dużc wrtości n liczb puntów ciągu Fiboncciego w rou n jest -rotnie więsz od liczb puntów w rou n: ) liczb puntów w n-tm rou: N L N S b) liczb puntów w n rou: N L N S (żd duż odcine zstąpion dużm i młm: w sumie dw punt). c) Stosune b) do ) prz worzstniu () jest równ. Jeśli długość dużego odcin przjmiem jo ciąg Fiboncciego stnie się modelowm jednowmirowm wzirsztłem o nieperiodcznm ułożeniu węzłów smbolizującc począte odcin jedn z powtrzlnmi w łńcucu niesończenie wiele rz dowolnmi sewencjmi odcinów budującc go. Ciąg z rsunu to szielet strutur tórą możem dowolnie udeorowć tommi. Jednm wruniem jest b żd duż i mł odcine posidł tą smą deorcję j wszstie pozostłe duże i młe odcini. Pozcję tomów deorującc podjem względem węzł znjdującego się po lewej stronie i oznczm smbolmi s i (dl i-tego tomu deorującego mł odcine) i l j (dl j-tego tomu deorującego duż odcine). Ogrniczenimi dl s i i l j są długości deorownc odcinów tj: s i [) i l j [). W njprostszm przpdu w tórm tom oupują jednie węzł strutur dl żdego tomu współrzędne położeni przjmujem jo: s lub l. Osttecznm potwierdzeniem wzirstliczności ciągu Fiboncciego jest obliczenie widm dfrcjnego ze zbioru tomów leżącc w węzłc ciągu. Pomimo nieperiodczności ułdu widmo posid ostre tpowe dl rsztłów pii dfrcjne (rsune ).

16 I 8 6 Rsune. Widmo dfrcjne obliczone numercznie n zbiorze puntów ciągu Fiboncciego.

17 ... Dwuwmirow reprezentcj ciągu Fiboncciego metod cutnd-project. Ostre pii dfrcjne wzirsztłów t brdzo przpominją pii tpowe dl periodcznie ułożonc w przestrzeni ułdów tomów że zrz po ic odrciu nturlnm stło się ptnie cz istnieje regulrn ułd tomów o wzirstlicznm widmie dfrcjnm. Jo rozwiąznie tego problemu powstł metod cut-nd-project. Jej ideą jest b potrtowć wzirsztł jo wielowmirow regulrn ułd tomów z tórego w przestrzeni fizcznej obserwujem jednie pewien jego zbiór. Obserwowne widmo dfrcjne powinno bć w tim wpdu rzutem wielowmirowego widm n oś przestrzeni odwrotnej związnej z przestrzenią fizczną w tórej znjduje się zbiór tomów tworząc wzirsztł.... Genercj ciągu Fiboncciego. Tlo dl ciągu Fiboncciego możn prosto przestwić n rsunc zstosownie metod cut-nd-project w nlizie dfrcjnej. Według tego modelu ciąg Fiboncciego jest to rzut pewnego zbioru puntów umieszczonc w węzłc regulrnej dwuwmirowej sieci n wbrn ierune. Kierune ten orz stłą sieci regulrnej wbierm w ti sposób b po rzucie odległości pomiędz olejnmi puntmi bł zgodne z przjętmi długościmi rótiego i długiego odcin. Rsune. Genercj ciągu Fiboncciego.

18 Rsune przedstwi omwiną stucję. Ułd związn jest z regulrną dwuwmirową siecią o stłej A w tórej położenie dowolnego puntu możem zpisć jo: ( ˆ ˆ ) A ( ) Z r A (8) Drugi ułd - o osic opisnc jo r orz r jest obrócon o pewien ąt α. Ciąg Fiboncciego jest jednowmirow wobec tego jedn z tc osi - r - smbolizuje przestrzeń rzeczwistą (fizczną) drug - przestrzeń prostopdłą tórej w rzeczwistości się nie obserwuje. Ciąg Fiboncciego powstje jo rzut pewnego zbioru puntów tór w przestrzeni dwuwmirowej wdzielm z pomocą tzw. ps rzutowni. Ten osttni wbier się w ti sposób b jego grnice przecodził przez srjne punt dowolnej dwuwmirowej omóri elementrnej. W nszm przpdu pse rzutowni przecodzi przez punt () orz (-). W ułdzie (r r ) współrzędne () przjmują położeni: r () A cos(α) A sin(α) (9) r () -A sin(α) A cos(α) () Rzut puntów leżącc wewnątrz ps rzutowni n oś r wzdłuż ierunu r w zleżności od ąt α może utworzć strutur różnego tpu: periodczne i nieperiodczne w tm tże ciąg Fiboncciego. Anlizę struturlną ciągów utworzonc dl dowolnej wrtości ąt α możn znleźć w [] []. Niezleżnie jedn od ąt nietrudno zuwżć że odległości pomiędz zrzutownmi puntmi mogą tworzć njwżej dw rodzje odcinów. Jeden powstnie przez rzut dwóc puntów leżącc n ońcc odcin pionowego w przestrzeni D czli oddlonc od siebie o wetor () zś drugi przez rzut ońcowc puntów odcin poziomego (wetor przesunięci międz tmi puntmi: () ). Długość rzutu odcin poziomego () jest równ: r () A cos(α) Długość rzutu odcin pionowego () jest równ: r () A sin(α) Jeśli terz złożm że rzut odcin poziomego m utworzć długi odcine ciągu Fiboncciego rzut odcin pionowego: róti odcine to otrzmm:

19 Asinα () Acosα Rozwiąznie ułdu () prowdzi do obliczeni wrtości stłej sieci A orz ąt α dl tórc rzut tomów z wnętrz ps rzutowni tworz ciąg Fiboncciego. A.9 () tnα α o.7 Zleżności () zstosowne do () pozwlją brdzo uprościć to równnie: r - () r () Korzstjąc z () możem obliczć szeroość ps rzutowni (oznczm ją T). Zuwżm że możem ją znleźć jo różnicę rzutów n przestrzeń prostopdłą dowolnego puntu leżącego n górnm rńcu ps i dowolnego puntu leżącego n dolnm rńcu ps. Poniewż położenie ps t wbrliśm żeb obejmowł omórę elementrną o wierzcołc () orz (-) wrto worzstć te dw punt do ustleni T: T T ( ) r ( ) r ()... Powierzcni tomow Rzut puntów leżącc wewnątrz ps rzutowni n przestrzeń fizczną wzdłuż przestrzeni prostopdłej tworz modelową struturę wzirstliczną. Ten sm rzut le wonn n przestrzeń prostopdłą wzdłuż przestrzeni fizcznej dje tzw. powierzcnię tomową. Podstwową różnicą międz tmi dwom sposobmi rzutowń jest zbiór możliwc wrtości jie rzutowne współrzędne mogą przjąć n osic r orz r. Współrzędn równoległ może przjąć dowolną wrtość rzeczwistą położenie tomu w przestrzeni fizcznej nie jest niczm ogrniczone. Współrzędn prostopdł nie może bć więsz od szeroości ps rzutowni dl niej musi bć spełnion wrune: r [ ) (6)

20 Równnie () po przesztłceniu do postci: - r (7) możn tże zinterpretowć jo próbę przedstwieni liczb cłowitej z pomocą cłowitej wielorotności liczb niewmiernej z resztą. Zbiór reszt musi w tim wpdu wzwć stłą gęstość tzn. w otoczeniu dowolnego puntu r musi leżeć tie r że dl liczb rzutów puntów dążącc do niesończoności różnic r - r dąż do zer. Gęstość ułożeni rzutów n powierzcni tomowej przpdjąc n jednostę długości jest wobec tego stł innmi słow prwdopodobieństwo znlezieni puntu wewnątrz ps rzutowni tórego słdow r przjmuje dowolną wrtość spełnijącą wrune (6) jest tie sme dl żdego r r czli: P(r ) C (C const.) dl [ ) (8) r gdzie C jest stłą normującą dl rozłdu prostoątnego o szeroości równą / : P ( r ) dl r [ ) (9) Powierzcni tomow dje więc sttstczną informcję o ułożeniu puntów leżącc wewnątrz ps rzutowni. W przpdu ciągu Fiboncciego deorownego w węzłc jest prostoątem jedn dl dowolnej deorcji może przjmowć brdzo sompliowne sztłt.... Klstr Klster jo jednost struturln zostł po rz pierwsz mtemtcznie opisn przez Petrę Gummelt [] w 996 i początowo dotczł jednie dwuwmirowc wzirsztłów. Klstrem nzwm żd ułd tomów tórm jesteśm w stnie porć cłą struturę wzirstliczną. Dodtowo lstr mogą się przerwć tzn. ten sm obszr strutur może bć częścią więcej niż jednego lstr. Dl ciągu Fiboncciego tże możem wprowdzić pojęcie lstr - będzie on oczwiście jednowmirow. 6

21 Dl ilustrcji jo przłdow lster wbierzm ułd trzec odcinów: LSL. Gd porjem nim początowc ildziesiąt odcinów ciągu Fiboncciego to otrzmm ułd j n rsunu : Rsune Porcie lstrem LSL początowc odcinów ciągu Fiboncciego. Żółte punt smbolizują począte lstr Kolejnm lstrom nprzemiennie zostł przpisn brw czerwon i niebies efet celow b możn bło odróżnić w tórm miejscu ończ się jeden zczn drugi. J łtwo zuwżć w dwóc miejscc odcine długi ciągu jest przert jednocześnie przez dw lstr. Gdb przedstwić ciąg Fiboncciego w postci D dowoln lster tomów reprezentown błb przez łmn odcine. Poniewż duż odcine powstje przez rzut wetor () mł przez rzut () lster LSL pod psiem rzutowni przjmuje postć linii łmnej: poziom odcine pionow poziom. Porcie tego smego frgmentu ciągu Fiboncciego co n rsunu le w przestrzeni D przestwi rsune. Rsune. Porcie lstrem frgmentu ciągu Fiboncciego w przestrzeni D Klster niezleżnie od jego sztłtu i ilości tomów tóre go deorują (w przpdu lstr LSL są trz) możn oznczć ze pomocą jednego tlo puntu. Jeśli bowiem znm sztłt lstr wstrcz informcj o położeniu jednego z tomów deorującc go b 7

22 utomtcznie uzsć informcje o położeniu pozostłc tomów. Stucj jest nlogiczn do smbolii stosownej prz rsowniu dużego orz młego odcin ciągu Fiboncciego. Ilość tomów deorując odcine jest dowoln le smbolicznie odcine zznczm jednm puntem np. leżącm n jego lewm ońcu. Minimlizcj liczb puntów opisującc wzirsztł j zobczm w nstępnc rozdziłc m duże znczenie prtczne. Im mniejszej liczb prmetrów potrzebujem do jego opisu tm szbciej przeprowdzne są obliczeni numerczne związne z budową wzirsztłu. N rsunu i punt smbolizując lster znjduje się po jego lewej stronie: zostł zznczon z pomocą dużego żółtego puntu. Rzut puntów smbolizującc lstr n powierzcni fizcznej będzie pewnm zbiorem puntów ciągu Fiboncciego (zbiór żółtc puntów z rsunu ). Interesującm jest ft że zbiór ten niezleżnie od budow lstr tże jest ciągiem Fiboncciego. Jest to onsewencj reurencjnej zleżności tór rządzi położeniem puntów tego ciągu. J już zostło wspomnine olejne roi ciągu możem dostć zstępując róti odcine długim długi sumą długiego i rótiego. N ten proces możn jedn spojrzeć nieco inczej. Jego ilustrcj znjduje się n rsunu 6. Pierwsz wiersz n rs. 6 przedstwi frgment ciągu Fiboncciego. Gdbśm terz żd długi odcine udeorowli w odległości równej od lewego ońc odcin (wiersz ) nstępnie cł ciąg Fiboncciego przeslowli -rotnie; tj. położenie dowolnego puntu przemnożli przez (wiersz ) to uzslibśm ponownie ciąg Fiboncciego (wiersz wiersz ). Ponowienie tego procesu (wiersz ) doprowdzi ponownie do ciągu Fiboncciego (wiersz wiersz ). W wierszu zznczono obszr tór zjmuje lster LSL. Czrne punt stnowią lew jego oniec Jest on wpełnion przez niebiesi i czerwon punt tóre zostł dodne do ciągu Fiboncciego w wierszc i. Gdb je usunąć otrzmlibśm z powrotem ciąg Fiboncciego z wiersz ) le przeslown -rotnie. Punt smbolizujące lster tże więc ułdją się w ciąg Fiboncciego. 8

23 Rsune. Inflcjn metod genercji ciągu Fiboncciego. Proces opisn powżej i przedstwion n rsunu 6 nzw się inflcjnm sposobem generowni wzirsztłu. Dje on możliwość szbiego i bezbłędnego zbudowni wzirsztłu o dowolnej wielości. Zostnie on dlej worzstn tże w przpdu generowni ułdu Penrose.... Powierzcni tomow dl lstr Jeżeli lstrmi porjem ciąg Fiboncciego to zbiór puntów smbolizującc lster (np. zbiór pierwszc tomów od lewej w żdm lstrze) ) jest częścią przerwnego ciągu Fiboncciego b) jest ciągiem Fiboncciego le o innej przeslownej długości odcinów. Drugą cecę lstrów możn brdzo łtwo uzsdnić posługując się tże włsnościmi powierzcni tomowej. Jeśli punt smbolizujące lstr są częścią przerwnego ciągu Fiboncciego to w przestrzeni D punt te muszą leżeć wewnątrz ps rzutowni co z tm idzie ic rzut n przestrzeń prostopdłą muszą zjmowć pewną część powierzcni tomowej ciągu Fiboncciego. Ab prwdziw bł cec b) obszr ten powinien bć tże prostoątnm. 9

24 Rsune 8 przedstwi oolice zer ułdu współrzędnc z rsunu. Położeni trzec puntów stnowiącc lster LSL zostł zrzutowne n przestrzeń prostopdłą (niebiesie ropi). Interesuje ns ją część powierzcni tomowej zjmują punt smbolizujące lster. r r Rsune 6. Wzncznie obszru powierzcni tomowej zjmownej przez lster LSL. Ab n powierzcni fizcznej powstł ułd puntów wpełnijąc lster w przestrzeni D wszstie punt muszą leżeć w obszrze ps rzutowni. Poniewż powierzcni tomow jest ciągłą funcją gęstości punt wpełniją przestrzeń pod psiem rzutowni w sposób jednolit. To smo musi odnosić się do puntów smbolizującc lster. Z tego wni że musi istnieć lster leżąc w srjnm górnm położeniu ps rzutowni (zznczon przerwnmi linimi n szro) w srjnie nisim położeniu (zznczon n zielono) orz w dowolnm obszrze pomiędz nimi. Zrzutown n przestrzeń prostopdłą zbiór puntów leżącc pomiędz srjnmi możliwmi położenimi lstr D dje nm grnice powierzcni tomowej dl dnego lstr (n rsunu 7 obszr ten zznczon jest czerwonm pogrubieniem powierzcni tomowej ciągu Fiboncciego).

25 Srjne położeni lstrów pod psiem rzutowni znjdujem przesuwjąc lster w ierunu OY lub OX. Miejsce w tórm tórolwie punt nleżąc do lstr wjdzie poz grnice ps rzutowni jest grnicznm położeniem dl tego lstr. Innm brdziej prtcznm sposobem poszuiwni grnicznc położeń jest obserwcj zrzutownc n przestrzeń prostopdłą puntów nleżącc do lstr (niebiesie punt). Jeśli tórolwie rzut znjdzie się poz grnicmi powierzcni tomowej ciągu Fiboncciego n powierzcni fizcznej nie powstnie oczeiwn lster. Szeroość powierzcni tomowej zjmownej przez punt nleżące do dnego lstr znjdziem przesuwjąc zrzutowne punt wzdłuż powierzcni tomowej. Obszr swobod (czerwon grub odcine) stnowi poszuiwn przez ns obszr. Zielon lster LSL n rsunu 7 zostł wbrn t b łtwo możn bło oreślić szeroość powierzcni tomowej zjmownej przez rzutowne n nią punt smbolizujące lster. Jest on równ różnic szeroości powierzcni tomowej i długości rzutu n przestrzeń prostopdłą prostopdłego odcin znjdującego się pomiędz puntmi () i (). Rzut współrzędnej () n oś r m zgodnie z () długość. Szeroość poszuiwnego obszru m więc długość. Mjąc wznczoną szeroość powierzcni tomowej dl lstr pozostje sprwdzić cz punt smbolizujące lster wpełniją tą część z tą smą gęstością z ją wpełnion jest powierzcni tomow dl cłego ciągu Fiboncciego. Jednie w przpdu gd gęstości te będą równe będzie możn stwierdzić że wznczon część powierzcni tomowej jest utworzon tlo przez rzut puntów smbolizującc lster co z tm idzie że tworzą one ciąg Fiboncciego. Ab to sprwdzić nleż porównć stosune ilości puntów smbolizującc lster do wszstic puntów ciągu Fiboncciego nstępnie porównć ze stosuniem szeroości powierzcni tomowej dl lstr z szeroością powierzcni tomowej dl ciągu Fiboncciego. Dl omwinego lstr LSL stosune liczb lstrów do liczb puntów ciągu Fiboncciego jest równ /. Wrtość t wni wprost z rsunu 6 orz ftu że liczb puntów ciągu Fiboncciego w wniu podziłu zwięsz się -rotnie co zostło udowodnione w rozdzile... Klster ten powstje przez dwurotn podził ciągu Fiboncciego. Wszstic puntów w ciągu (ro n rsunu 6) musi bć wobec tego -rotnie więcej niż puntów smbolizującc lstr (ro n rsunu 6). Część powierzcni tomowej tórą punt tego tpu lstr zjmują m długość co jest równe / części cłowitej długości powierzcni tomowej. Obie liczb są więc sobie równe.

26 Prowdzi to ponownie do niezleżnego wniosu że punt smbolizujące lster tworzą ciąg Fiboncciego tórego rozłd prwdopodobieństw możem wznczć metodą przedstwioną powżej. W nlogiczn sposób j dl lstr możn wznczć obszr powierzcni tomowej zjmownej przez rzut n przestrzeń prostopdłą puntów dużego i młego odcin. Prezentuje to rsune 8. r / r Rsune 7. Wznczeni części powierzcni tomowej zjmownej tlo przez punt rótic odcinów (niebiesi) orz tlo przez punt długic odcinów (zielon) W przestrzeni prostopdłej wbierm dowolną prę sąsidującc w poziomie puntów. Njwgodniej jest wbrć prę o współrzędnc (-) orz () zielon poziom odcine. Ob punt rzutujem n przestrzeń prostopdłą. Rzut () zznczon jest żółtą ropą zś rzut (-) czerwoną. Długie odcini mogą powstć tlo wted gd ob zrzutowne punt znjdą się w obrębie powierzcni tomowej. Może to zjść jednie w obszrze powierzcni tomowej pogrubionm n zielono. Długość tego odcin jest równ /. N podobnej zsdzie wznczm obszr nleżąc do puntów rótic odcinów. Wbierm w przestrzeni D dowolną prę sąsidującc w pionie puntów np. (-) i (-). Rzutujem je czerwon i fioletow rop. Obszr swobod możliwości

27 przesuwni obszru ogrniczonego tmi dwom puntmi znjduje się w obrębie powierzcni tomowej zznczonej grubm niebiesim odciniem. M on długość równą. Powierzcnię tomową możn ztem podzielić n dwie części: doln wpełnion tlo przez rzut puntów tworzącc n powierzcni fizcznej odcini rótie rozciąg się w grnicc r < i górn wpełnion rzutmi puntów tworzącc n powierzcni fizcznej odcini długie zjmuje obszr w grnicc r <. Przedstwion metod wznczni obszrów powierzcni tomowej nleżącc do onretnc grup puntów jest uniwersln. Możn ją stosowć dl dowolnc lstrów. W rozdzile poświęconm zbiorowi Penrose z jej pomocą wreślim obszr powierzcni tomowej związnmi z rombmi budującmi ten zbiór. Potrzeb dzieleni powierzcni tomowej stnie się jsn w olejnc rozdziłc w tórc zostnie wszn zleżność pomiędz powierzcnią tomową rozłdem prwdopodobieństw prz pomoc tórego zostnie obliczon cznni struturln dl dowolnie deorownego ciągu Fiboncciego orz ułdu Penrose.

28 ... Przestrzeń odwrotn widmo dfrcjne ciągu Fiboncciego. Metod cut-nd-project nie tlo podje sposób n wgenerownie w przestrzeni rzeczwistej ciągu Fiboncciego. Konsewentne trtownie tego ciągu jo strutur dwuwmirowej o regulrnej omórce elementrnej pozwl n znlezienie położeni i ntężeni piów dwuwmirowego widm dfrcjnego. Obserwowne w przestrzeni fizcznej widmo jest zgodnie z cut-nd-project rzutem widm D n rzeczwistą oś przestrzeni odwrotnej. Przestrzeń odwrotn dl regulrnej sieci tomów odległc od siebie o A tże jest regulrnm ułdem puntów o stłej sieci równej: K π/a. Położenie piów dfrcjnc w tim przpdu opisuje wetor flow: π ( ) ( ) Z K () A Podobnie j dl przestrzeni rzeczwistej definiujem now ułd w tórm jedn oś będzie stnowił fizczną oś przestrzeni odwrotnej (wzdłuż tórej będziem opiswć obserwowne w rzeczwistości pii dfrcjnego ciągu Fiboncciego) orz prostopdłą słdową przestrzeni odwrotnej: : K cos(α) K sin(α) () - K sin(α) K cos(α) () Worzstnie zleżności () w równnic () i () prowdzi do: π ( ) ( ) π A (6) π A π ( ) ( ) (7) Dowoln wetor flow możem wobec tego przedstwić w dwóc bzc: bzie rtezjńsiej i wted słdowe zpiszem w nwisc orągłc: ( ) K (8) bzie przestrzeni fizcznej i prostopdłej w tórej słdowe będą zpiswne w nwisc wdrtowc: [ ] K (8)

29 Ntężenie obserwownego piu dfrcjnego o współrzędnej obliczm z definicji cznni struturlnego. Dl dowolnego ułdu N tomów cznni struturln jest równ: F ( ) N ( ) ( f ) i ( r ) j j ep (9) j gdzie (r ) j jest położeniem j-tego tomu ciągu Fiboncciego (f ) j tomowm. jego cznniiem Ab weliminowć sumownie po ogromnej liczbie tomów orzstm z metod cut-nd-project. Dl dwuwmirowej periodcznej strutur iloczn slrn wetor flowego K orz położeni tomu r jest cłowitą wielorotnością π (tj. K r π m; m liczb cłowit) wobec tego: ep( ik r) () Przepisujem () zpisując K orz r w ułdzie przestrzeni fizcznej i prostopdłej: co prowdzi do zleżności: ( i( r r ) ep(i π ) ep m ( i r ) ep( - i r ) ep W wniu połączeni () orz (9) otrzmm: F () N ( ) ( f ) (- i ( r ) ) j j j ep () W przpdu identcznc tomów równnie () możn przepisć jo: F N ( ) f (- i ( r ) ) j j ep () W tiej stucji sumownie przecodzi po zmiennej o ogrniczonm zbiorze wrtości. Słdow prostopdł położeni tomu pod psiem rzutowni może przjąć co njwżej wrtość szeroości tego ps. Liczbę tomów zjmującc pozcję: opisuje funcj gęstości n powierzcni tomowej. Mjąc wznczoną powierzcnię tomową dl ciągu Fiboncciego (równnie (9)) sumę po wszstic możliwc wrtościc słdowc prostopdłc położeń tomów możem zstąpić cłą po tej zmiennej: r ± Δr

30 ( ) f P( r ) ep( - ir ) r F d () lub po worzstniu (9): ( ) f ep( - ir ) r F d () Obliczm cłę (): F ( ) f ep (- i r ) - i co osttecznie prowdzi do: f ep i ep i ep i i sin F( ) f ep i (6) Ntężenie piu obliczm jo iloczn cznni struturlnego i jego sprzężeni (IF*F). Dl ciągu Fiboncciego jest ono równe: sin w I ( ) f (7) w gdzie w. Wni (7) jest ntężeniem piu dfrcjnego znjdującego się w pozcji. Ciewm spostrzeżeniem jest że ntężenie to zleż jednie od słdowej prostopdłej zrówno położeni tomów j i wetor flowego. Tlo te pii mją duże ntężenie tórc słdow prostopdł jest blis zeru. Słdowc tc nie obserwujem w rzeczwistości dltego bez metod cut-nd-project tór podnosi ciąg Fiboncciego do drugiego wmiru uzsnie wzoru (7) prz pomoc t elementrnc obliczeń jie przeprowdziliśm jest trudne do uzsni. 6

31 ...6. Podsumownie Zprezentowne użcie metod cut-nd-project dl ciągu Fiboncciego jest brdzo pobieżnm wprowdzniem do niej. Jej prwdziwm zstosowniem jest nliz budow rzeczwistc wzirsztłów dl tórc onstruuje się pomocnicze przestrzenie cztero- pięcio- lub sześciowmirowe. Metod cut-nd-project coć posługuje się bstrcjnmi wielościmi nie jest sompliown mtemtcznie. Prz jej pomoc z niewielim nłdem obliczeń możn wznczć sztłt rozłdu prwdopodobieństw dl dowolnego lstr orz obliczć cznni struturln dl ułdu tomów tór n powierzcni fizcznej nie jest periodczn. Wnii uzsne prz pomoc tej metod są źródłem wniosów tóre możn zwerfiowć doświdczlnie. Odniosł on spore suces prz modelowniu strutur wzirstlicznc. W niniejszej prc zostnie on ponownie zstosown prz obliczenic związnc ze zbiorem Penrose. 7

32 ... Anliz sttstczn budow jednowmirowc wzirsztłów.... Funcj rozłdu sttstcznego - wprowdzenie. Br periodczności w ułożeniu tomów wzirsztłów w przestrzeni uniemożliwi zstosownie do nliz ic strutur metod znnc z rstlogrfii tj. wodrębnieni sieci i bz czli omóri elementrnej i jej deorcji. Z drugiej stron poniewż wzirsztł wzują ostre pii dfrcjne wstępuje dl nic uporządownie dleiego zsięgu. Ab móc je opisć nleż zstosowć sttstczne podejście. Jego ideą jest b n nieperiodczn zbiór tomów nrzucić pewną sieć odniesieni o zdnej stłej sieci λ nstępnie położeni wszstic tomów ( i ) nleżącc do strutur bdnego ułdu wrzić z pomocą odległości dzielącej je od njbliższc węzłów sieci odniesieni (u j ) tj: α λ u (8) j j j gdzie α j to liczb cłowit oreśljąc liczbę węzłów dzielącc j-t tom orz począte ułdu odniesieni. Rsune 9 ilustruje tę metodę: Rsune 8. Położeni puntów regulrnej sieci o stłej względem sieci odniesieni o stłej. Przedstwi on prost przłd sześciu puntów leżącc w odległościc 6 7 od początu ułdu odniesieni. N ten ułd nłożon jest sieć odniesieni o stłej λ. Położeni olejnc puntów względem węzłów sieci odniesieni są równe (podreślone wrtości) : 6 8

33 Gdb ontnuowć obliczeni olejnc pozcji tomów w sieci o stłej względem sieci odniesieni o stłej to ciąg położeń u i b się powtrzł (...). Możn b ztem powiedzieć że % wszstic punów leż w węźle sieci odniesieni % w odległości od węzł sieci odniesieni % w odległości itd. W ten sposób otrzmm sttstczn rozłd położeń puntów względem węzłów sieci odniesieni tór nzw się tże średnią omórą elementrną. Rozłd ti oznczm smbolem P(u). Dl powższego ułdu błb równ: P(u). dl u { } W przpdu ciągu Fiboncciego punt rozmieszczone są wzdłuż osi nieperiodcznie. Wobec tego b móc uzsć rozłd sttstczn o odpowiedniej szczegółowości nleż w wbrnej sieci odniesieni wznczć położeni tsięc puntów nleżącc do ciągu. Wbór stłej sieci odniesieni stnie się oczwist w nstępnm rozdzile. N rzie wrto zrozumieć że nie może bć on dowoln. Gdbśm przjęli z stłą przłdowo liczbę cłowitą to rozłd ze względu n rzutownie liczb niewmiernej n liczbę cłowitą musiłb bć jednorodn i nie przezwłb żdnej onretnej informcji. Gd poprwnie wbierzem stłą sieci i o. - tsięc położeń puntów ciągu Fiboncciego zpiszem względem węzłów tej sieci to otrzmm rozłd j n rsunu. P(u) 7 szeroosc rozldu u / 6 8 Rsune 9. Nienormown rozłd sttstczn położeń 8 puntów ciągu Fiboncciego względem węzłów sieci odniesieni o stłej λ/.8 u 9

34 Rozłd ciągu Fiboncciego jest prostoątn jego szeroość jest równ /. Łudząco przpomin więc swoją powierzcnię tomową. Podobieństwo jest nieprzpdowe. Dlej oże się że rozłd prwdopodobieństw jest rzutem powierzcni tomowej n powierzcnię fizczną wzdłuż ierunu prostopdłego do wetor flowego dl tórego średnią omórę utworzono. To ozncz że prz wborze dowolnej sieci odniesieni spełnijącej odpowiednie wruni rozłd będzie zwsze prostoątn. Jego położenie i szeroość tże będzie możn obliczć teoretcznie.... Zstosownie metod sttstcznej do obliczeni cznni struturlnego dl jednowmirowc wzirsztłów. Cznni struturln dl dowolnego ułdu tomów (złóżm że są tego smego tpu): F N ( ) f ( i ) j ep (9) Dl ciągu Fiboncciego pii dfrcjne pojwiją się dl równego wrtościom obliczonm w (6) tj. dl: ( ) j π (6) Wetor flow jest ombincją liniową dwóc wrtości tórc ilorz jest równ. Ogólnie możn go zpisć jo: n m q (9) prz czm q () Wzorów (9) orz (6) nie nleż porównwć bezpośrednio tj. złdć że π/( ). wetor podstwow - możem wbrć zupełnie dowolnie z widm dfrcjnego tóre nlizujem. Wetor q tzw. wetor modulcji dostjem jo -rotnie rótsz od. Pomiędz (9) orz (6) musi jedn bć liniow zleżność. Gd (9) połączm z (9) otrzmm: N N F j j ( n m) f ep( in j m q j ) f ep( in j ) ep( im q j ) ()

35 Sumownie przebieg po wszstic tomc w struturze. Terz do () wstwim dwurotnie (8) tzn. położeni tomów względem początu rtezjńsiego ułdu odniesieni zstępujem położenimi względem dwóc różnc sieci odniesieni. Konieczność stosowni dwóc sieci stnie się jsn w dlszej części. N rzie zstąpm j stojące prz o wrżeniem zwrtm we wzorze (8) zś prz q j zpiszm jo j β j λ q v j gdzie v j jest odległością od węzł sieci o stłej λ q. F N ( n m) f ep( in ( α j λ u j ) ep( im q ( β j λq v j ) f j N j ep i ( n α λ ) ep( im q β λ ) ep( in u ) ( j j q j ep im q Ab móc zstosowć funcję rozłdu prwdopodobieństw w powższm sumowniu nleż pozbć się esponent zwierjącej α i orz β j - tlo wted sumownie będzie odbwć się po ogrniczonm zbiorze wrtości v j i u i. Jedną zmienną djącą nm swobodę prz wborze jej wrtości jest stł sieci odniesieni. Nleż ją zdefiniowć w ti sposób b rgument esponent bł równ wielorotności πi. Stłe sieci zdefiniujm więc jo: v j ) Wted: F π λ π λq () q N ( n m) f ep( iπα j ) ep( iπβ j ) ep( inu j ) ep( imqv j ) f j N j ep i ( n u ) ep( imq v ) j j Terz stje się jsne dlczego potrzebne bł dwie sieci odniesieni. Inczej nie udłob się weliminowć rzem α i orz β j. Sumownie przebieg po sończonm zresie wrtości v j i u i dltego podobnie j w przłdzie z rozdziłu... możem zstosowć funcję rozłdu prwdopodobieństw: F n j ( n m) f P( u v ) ep( i( n u mq v ) j j j j j ) ()

36 W tm wpdu jedn musim wprowdzić funcję dwóc zmiennc gdż w ogólnm przpdu obie zmienne u i v mogą bć niezleżne. W przpdu rozłdu ciągłego wrtości u i v - sumę nleż zstąpić cłą w tórej grnice cłowni ogrniczone są wrtościmi stłc sieci odniesieni: λ orz λ q. F λ λq ( n m) f P( u v) ep i( n u mq v) ) ( dudv () Stłe sieci odniesieni związne są z długościmi wetorów flowc dl tórc w widmie dfrcjnm możem obserwowć pi. W nlogiczn sposób obliczm odległości międzpłszczznowe dl sieci rstlicznc orz wznczm długości rwędzi omóri elementrnej sieci rombowej. Stł sieci w przłdzie z rozdziłu... w tórm wzliśm że rozłdem sttstcznm ciągu Fiboncciego jest prostoąt wnosił: λ/. Bez trudno możn n podstwie () sprwdzić że stł t odpowid wetorowi π( )/( ) tórego dwuwmirowmi indesmi są: orz. Wrto tże zwrócić uwgę że cznni struturln opisn wzorem () lub () jest funcją periodczną o oresie równm wielości stłej sieci odniesieni (λ dl zmiennej u orz λ q - dl zmiennej v). Opis wzirsztłu jest więc brdzo podobn do opisu rsztłu. Zmist periodcznie rozmieszczonej w przestrzeni omóri elementrnej posługujem się periodczną średnią omórą elementrną; zmist bz mm ntomist rozłd prwdopodobieństw. Wzór () możn bez trudu zresztą przesztłcić do znnego z rstlogrfii wzoru opisującego widmo tpowego rsztłu. Ab to zrobić nleż z m przjąć gdż dowoln pi w widmie jednowmirowego rsztłu oreślm jo n gdzie π/; stł sieci jednowmirowej. Jeśli złożm że prwdopodobieństwo znlezieni tomów bz jest równe to rozłd prwdopodobieństw słd się z delt-dirc funcję P(u) możn pominąć we wzorze. Jeśli dodtowo położeni tomu wrzim jo rotność stłej sieci tj. u j α j zś wsźni n zstąpim tpowm dl rstlogrfii to wszsto rzem sprowdzi wzór () do postci: F n ( ) ep( j ) f iπ α () tór jest niczm innm j cznniiem struturlnm jednowmirowego rsztłu. Średni omór elementrn opisuje więc poprwnie rsztł dl tórc stje się normlną omórą elementrną.

37 Dl ciągu Fiboncciego wrtości zmiennc u i v są zleżne. Obliczeni numerczne prowdzą do wniosu że funcj P(uv) przjmuje niezerowe wrtości jednie wzdłuż prostej: v - u (6) Dowodzi tego rsune wonn podobnie j rsune. Położeni puntów ciągu Fiboncciego zostł zpisne względem węzłów dwóc sieci i zznczone n wresie obrzującm zleżność v(u). Stł sieci dl zmiennej u jest t sm j prz onstrucji rsunu ntomist dl sieci o zmiennej v stł jest rotnie dłuższ. Dopsown prost do obliczonc puntów jest zgodn z (6). Zleżność tę możn obliczć teoretcznie co zostnie zrobione w nstępnm rozdzile. Prwdopodobieństwo znlezieni oreślonej pr współrzędnej wzdłuż odcin jest stłe. Musi t bć gdż rzut tego odcin n oś u lub v musi dć rozłd prostoątn z rsunu. v v - u u Rsune. Zleżność v(u) dl puntów ciągu Fiboncciego Po wstwieniu do wzoru () zleżności (6) i uwzględnieniu zleżności pomiędz długościmi wetorów i q () docodzim do nstępującego wrżeni n cznni struturln: F λ λ q ( n m) f P( u v) ep i u( n m ) ( ) dudv (7)

38 Terz nleż zuwżć że jednm rgumentem esponent jest u. Równnie przesztłcm do postci: F λ q ( n m) f P( u v) dv ep( i u( n m )) du λ (8) Wrżenie w nwisie możem scłowć. Otrzmm rozłd brzegow zmiennej u tj. rozłd sttstczn współrzędnc puntów Fiboncciego względem osi odniesieni u: P(u) ten sm co n rsunu. To doprowdzi równnie (8) do postci: F u ( ) f P( u) ep( iχu) du χ (9) gdzie χ (n-m ). Górn grnic cłi zostł zstąpion szeroością rozłdu gdż dl u>u P(u). Cł (9) jest identczn j (). Wobec tego jej rozwiąznie pominiem i zpiszem ostteczn wzór n ntężenie jo: gdzie w χ u. sin w I ( χ ) f () w Argument () różni się od (7). Pomimo to zostł celowo zstąpion tm smm smbolem: w. W nstępnm rozdzile zostnie udowodnione że te dwie wielości są sobie tożsmościowo równe. Otrzmn metodą sttstczną wzór n ntężenie widm dl ciągu Fiboncciego jest nlitcznie ti sm j obliczon z pomocą modelu cut-nd-project. Jest to duż suces metod sttstcznej gdż w ten sposób udowdni on że wzirsztł możn opisć nie odwołując się do bstrcjnego niezwiąznego z rzeczwistością modelu. Cenę jedn ją się z to płci jest więsz omplicj obliczeń i onieczność częściowego zdni się n numerczne wnii obliczeń sttstcznc.

39 ... Równowżność metod sttstcznej i cut-nd-project. Identczn postć nlitczn wzorów opisującc cznni struturln obliczon z pomocą metod sttstcznej i cut-nd-project sugeruje że pomiędz tmi modelmi musi istnieć zleżność. Dodtowo wszuje n to podobn rozłd prwdopodobieństw ułożeni tomów w przestrzeni prostopdłej powierzcni tomow orz rzeczwistej. W obu wpdc mm do cznieni z rozłdmi prostoątnmi. Niec puntem wjści będzie wzór () przedstwijąc ogólną postć cznni struturlnego uzsnego prz pomoc modelu cut-nd-project : ( ) f P( r ) ep( - ir ) r F d () Wrto od rzu zuwżć że funcj t podobnie j cznni struturln wprowdzon metodą sttstczną jest funcją periodczną jej ores oznczon poniżej jo λ - jest równ: ( r λ ) r π π λ () Uzsn wni jest nlogiczn do (). Tu tże period zleżn jest od tulnie wbrnego wetor flowego. Coć wni ten nie m interpretcji fizcznej to jedn jest olejną mtemtczną cecą tór obie omwine metod upodobni do siebie. B wszć zleżność pomiędz metodą sttstczną cut-nd-project wstrcz ponownie zstosowć wrune () czli: K i( r r ) epi( ) ep( i r) ep π m Stł m może zostć przjęt zupełnie dowolnie. Dl msmlnego uproszczeni rcunów jej wrtość ustlim n zero: m. Robim podstwienie: r r ; r r d r dr ()

40 Górn grnic cłowni w () zmieni się n: u () II W wnii połączeni () () orz () dostjem: F ( ) f P( r ) ep( i r ) dr II () Otrzmn wzór () przedstwi cznni struturln zpisn tlo z pomocą wielości z przestrzeni fizcznej. Jednm wjątiem jest słdow prostopdł wetor flowego. We wzorze () pełni on jedn jednie rolę cznni sli (prz grnic cłowni) i stłej normującej. Wielości te mogą bć wznczone tże innmi metodmi dltego nie stnowią problemu prz fizcznej interpretcji (). Njciewszmi włsnościmi zleżności () są: Cznni struturln jest obliczn n podstwie rozłdu prwdopodobieństw rozmieszczeni tomów w przestrzeni rzeczwistej: P(r ). Rozłd ten jest jednie przeslowną powierzcnią tomową. Jeśli więc dl ciągu Fiboncciego powierzcni tomow jest prostoątn rozłd prwdopodobieństw P(r ) tże jest prostoątem. Cznni sli / determinuje szeroość rozłdu prwdopodobieństw. Wrto zuwżć że dl żdego piu dfrcjnego stosune ten może bć inn co z tm idzie tże szeroość rozłdu prwdopodobieństw. Z tego powodu do prtcznc zstosowń nie stosuje się wzoru (). Gdb ccieć orzstć z () to dl żdego piu nleżłob przeliczć szeroość n nowo więc posługiwć się prostopdłmi słdowmi wetor flowego. W tim wpdu stosownie () nie dwłob żdnc prtcznc orzści w stosunu do cznni uzsnego metodą cut-nd-project Stosune / m ciewą interpretcję geometrczną. Wzncz bowiem ierune prostej tór poprowdzon przez rńce powierzcni tomowej przecin oś przestrzeni rzeczwistej tże w miejscc w tórc m swoje grnice rozłd prwdopodobieństw. Możn więc powiedzieć że rozłd ten jest 6

41 rzutem powierzcni tomowej n przestrzeń rzeczwistą wzdłuż prostej o współcznniu ierunu równm /. Stucję przedstwi rsune : r ( () / () ) r r r α () / () r (- () / () ) r - Rsune. Geometrczn interpretcj zleżności pomiędz rozłdem prwdopodobieństw i powierzcnią tomową. N rsunu przedstwiono trz ułd: przestrzeni prostej (grube czrne osie) przestrzeni odwrotnej (niebiesie osie) orz rtezjńsi (czrne cienie osie). Geometrcznie osie ułdów przestrzeni prostej i odwrotnej są sierowne w tę smą stronę. Punt smbolizują olejne jednosti ułdu rtezjńsiego. Przez punt o współrzędnc () tóre w ułdzie sieci odwrotnej prowdzą do wetor flowego dl tórego wznczono rozłd z rsunu poprowdzon jest prost (zielon) tór w ułdzie przestrzeni prostej m postć: r tg r α Współcznni ierunow możem obliczć orzstjąc ze współrzędnc wetor flowego zpisnc w przestrzeni odwrotnej: 7

42 tg α Co rzem dje: r r Konstruujem terz prostą prostopdłą do powższej przecodzącej przez dowoln punt (r r )w przestrzeni prostej: r r ( r ) r Prostą (olor błęitn) poprowdźm przez górn rniec powierzcni tomowej tórego współrzędne są równe: (r r ) ( ): r r Sprwdźm gdzie prost t przetnie oś r. Oznczm ten punt jo u : u II Co jest rozwiązniem zgodnm z dołdnością do znu z równniem (). Rozłd prwdopodobieństw możem wobec tego trtowć jo rzut powierzcni tomowej wzdłuż ierunu prostopdłego do ierunu wznczonego przez prostą równoległą do wetor flowego dl tórego sonstruown zostł średni omór elementrn. Cznni struturln jest funcją periodczną periodem jest λπ/. To ozncz że dowolną współrzędną r możem zpisć jo: r u π α / (α - liczb cłowit) Zpis ten jest nm już znn z definicji sieci odniesieni i ozncz przpisnie żdemu puntowi współrzędnej względem njbliższego węzł sieci. W () możem więc zstąpić r przez u. Dodtowo grnicę cłowni zstąpm smbolem u. 8

43 F ( ) f P( u) ep( i u)du () u Periodczne zcownie się funcji ozncz ze tże rozłd prwdopodobieństw musi bć funcją oresową. Powższe spostrzeżeni doprowdzją do wniosu ze interpretcj () lub () jest tożsm z interpretcją cznni struturlnego obliczonego metodą sttstczną. Gdb w () przjąć m n i od rzu obliczć rozłd brzegow zmiennej u to otrzmlibśm funcję różniącą się od () jednie przjętą smbolią zmiennc: λ ( ) f P( u) ep( i u) F u (6) W (6) cłownie jest po cłej omórce elementrnej w () tlo po obszrze o niezerowej gęstości. N rsunu 9 zostł przedstwion prostoątn rozłd puntów ciągu Fiboncciego względem węzłów sieci o stłej λ/. Sieć t oprt jest o wetor flow tórego dwuwmirowe indes przjmują wrtości:. Numerczne obliczeni wszł że szeroość rozłdu dl tego wetor flowego jest równ /. Terz możem sprwdzić nlitcznie cz wni ten jest zgodn z teorią. Obliczm u dne wzorem (): u ( ) ( ) d ( ) Wni jest zgodn z numercznmi obliczenimi co potwierdz poprwność interpretcji zleżności (). Wrto zwrócić tże uwgę n to że w sttstcznc obliczenic pozcji puntów ciągu Fiboncciego udło się odzwierciedlić nwet ujemn zn stojąc prz u. Krńcowe punt rozłdu leżą w zerze orz w u. Ujemn wrtość tego osttniego ozncz że rozłd powinien bć dosunięt do prwego ońc średniej omóri elementrnej co ftcznie możn zuwżć n rsunu. Uzsn zleżność () jest szczególnm przpdiem ogólnego wzoru otrzmnego w rozdzile... Dl oreślonego rozłdu sttstcznego podje on poprwnie wnii jednie dl onretnego wetor flowego. B móc zstosowć ją dl cłego widm dl 9

44 żdego piu nleżłob obliczć n nowo rozłd prwdopodobieństw co błob cznnością brdzo żmudną. Istnieje jedn drog od cznni struturlnego obliczonego metodą cut-ndproject do ogólnej jego postci zpisnej cłowicie w przestrzeni fizcznej. Jej podstw leżą w spostrzeżeniu że to co różni obie metod jest zleżnością szeroości rozłdu prwdopodobieństw od wetor flowego. Ksztłt powierzcni tomowej jest niezleżn od tej zmiennej rozłd prwdopodobieństw zmieni się zgodnie z (). Gd wprowdzn bł wzór n cznni struturln metodą sttstczną b ominąć ten problem wrziliśm dowoln wetor flow w bzie wetorów podstwowego dl tórego mieliśm obliczon rozłd prwdopodobieństw i modulcji - -rotnie rótszego od podstwowego. Koniecznm też bło użcie dwóc zmiennc b położenie tomów zpisć w bzie obu wetorów. Jeśli podobn zbieg zrobim już n początu wprowdzeni względem prostopdłej słdowej wetor flowego od rzu dojdziem do ogólnej postci cznni struturlnego czli do (9). Pierwszm roiem musi bć poprwne zdefiniowne bz wetor flowego. Zpiszm słdowe wetor flowego w njbrdziej ogólnej postci zgodnej z (6) i (7): n m m n (7) W równnic (7) indes zostł zstąpione n i m Zostł zcowne tże proporcje pomiędz słdowmi wetor. Wprowdzenie rozpocznm od przepisni cznni struturlnego otrzmnego metodą cut-nd-project : Wetor flow zstępujem zleżnością (7): ( ) f P( r ) ep( - ir ) r F d F d ( ) f P( r ) epi n r mr r (8)

45 Smbol r zstępujem dwom zmiennmi równmi sobie: r r. T zmin wwołuje onieczność wprowdzeni dwuwmirowego rozłdu prwdopodobieństw: P(r r ): Poniższe równnie (9) jest jedn tożsmościowo równe równniu (8) ( ) ( ) d d epi r r r m r n r r P f F (9) Ponownie worzstujem zleżność K r tm rzem zpisną w postci: r m r n v m u n (6) Wiedząc już że wniiem obliczeń będzie funcj oresow o oresie zleżnm od wetor flowego zmienn r zostł zstąpion smbolmi u orz v zmiennmi stosownmi w modelu sttstcznm do opisu położeni względem sieci odniesieni. Terz udowodnim że gd (6) jest równe zeru to: r m v m r n u n (6) Złóżm że (6) jest nieprwdą. Równnie (6) tóre jest prwdziwe dl żdego m i n zpiszm ponownie dl indesu n zwięszonego o n słdnii wniu tc dziłń pogrupujm. ( ) ( ) ' ' ' r u n r m r n v m u n r m r n n v m u n n (6) Pierwsz nwis n moc (6) jest równ zeru. Ab cłość bł równ zeru (6) też musi bć równ zeru co przecz złożeniu i dowodzi prwdziwości równń (6). Dl pełności dowodu obliczeni nleżłob powtórzć dl indesu m. Poniewż jedn przebiegją one dołdnie t smo j dl indesu n pomijm je.

46 Korzstjąc z ułdu równń (6) wonujem podstwienie nowc zmiennc do (9) nstępnie obliczeni nlogiczne do () i (). Wniiem opercji jest: gdzie : F ( n m) f P( u v) v u u v ep i n u m v dudv (6) (6) wznczją szeroości rozłdów prwdopodobieństw dl obu sieci odniesieni. Wrto zuwżć że coć sm szeroość zleżn jest od użtego wetor flowego to jedn nie zleż on od wsźniów n i m. Ozncz to że prz pomoc jednego rozłdu prwdopodobieństw możn opisć nie tlo pi związn z wetorem flowm definiującm stłą sieci odniesieni (λπ/ ) le tże jego wielorotności. Włdni równni () możn b ztem zpisć jo: i n u. Dl żdej wrtości n otrzmlibśm wted poprwną wrtość ntężeni piu dfrcjnego Interpretcj równni (6) jest t sm j () dltego równnie to identfiujem jo cznni struturln opisując dowoln pi dfrcjn ciągu Fiboncciego i obliczon prz pomoc sttstcznego rozłdu położeń tomów w dwóc siecic odniesieni. Równnie to jest ztem tożsme z () tóre otrzmliśm wcodząc bezpośrednio z definicji średniej omóri elementrnej. Do wzni pełnej równowżności pomiędz metodmi cut-nd-project i sttstczną nleż wzć prwdziwość równni: v- u wiążącego współrzędne położeń puntów ciągu Fiboncciego w obu siecic odniesieni. Zleżność tą otrzmm wprost z (6). Podzielm te równni stronmi: v u r r (6) Poniewż r r to (6) prowdzi do poszuiwnej relcji: v - u (66) W ten sposób wzliśm pełną równowżność międz tmi metodmi. Kontnucj wprowdzeni cznni struturlnego od tego miejsc jest identczn j pozn już w rozdzile...