Stany nieustalone maszyn elektrycznych Maria Dems MODELOWANIE MASZYN ELEKTRYCZNYCH

Transkrypt

1 ODEOWANIE ASZYN EEKRYCZNYCH oelem matematycznym mazyny elektycznej nazywamy zetaw ównań opiujących zjawika elektomagnetyczne, elektomechaniczne, temiczne i inne, wytępujące w mazynie elektycznej W celu opiania elektomagnetycznych poceów pzejściowych mazyny elektycznej, tak jak la każego pzetwonika enegii, należy ułożyć ównania ównowagi elektycznej i mechanicznej, oaz ównanie pzetwazania enegii elektomagnetycznej na enegię mechaniczną, lub owotnie oel matematyczny mazyny elektycznej we wpółzęnych azowych Równania moelu matematycznego mazyny elektycznej pąu pzemiennego w ukłazie wpółzęnych azowych wypowaza ię pzy założeniach: ymetii uzwojeń tojana, a la mazyny inukcyjnej ównież winika, pominięciu tat mocy w zeniu, zjawika hiteezy magnetycznej, naycenia obwou magnetycz-nego i wyżzych hamonicznych, zailaniu uzwojeń tojana połączonych w gwiazę bez pzewou zeowego napięciem inuoial-nym o tałej amplituzie i czętotliwości, ymetycznym, paamety uzwojeń winika powazone ą o uzwojenia tojana Równania opiujące nieutalone pocey elektomagnetyczne maja potać: { u} [ R ]{ i} + { Ψ } () t gzie: {u}, {i}, {Ψ} - n-wymiaowe wektoy napięcia, pąu i tumienia magnetycznego kojazonego, [R] - kwaatowa, iagonalana maciez ezytancji uzwojeń o wymiaze [n n] Stumień magnetyczny kojazony okeślony jet zależnością: gzie { Ψ } [ ]{ i } () [] - kwaatowa maciez inukcyjności uzwojeń ik, o wymiaze [n n], pzy czym, la i k inukcyjności włane uzwojeń, a la i k - inukcyjności wzajemne uzwojeń Wytępujące w ównaniach () oaz () wektoy i macieze zależą o typu mazyny elektycznej Dla pąnicy ynchonicznej wektoy napięć, pąów i tumieni kojazonych mają potać: { u} { u, u, u u } A B C, { i} { i, i, i i } A B C, { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ Ψ } A B C, [ R ] iag[ R, R, R, R ] Dla ilnika inukcyjnego bęą one natępujące: { u} { u, u, u,, } A B C, { i} { i, i, i i, i, i } A B C, a b c { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ Ψ, Ψ Ψ } A B C, a b, c [ R ] iag[ R, R, R, R, R, R ] () (4)

2 Inukcyjności uzwojeń mazyny ynchonicznej aciez inukcyjności [] la mazyny ynchonicznej bęzie w potaci: [ ] A B C AA AB AC A BA BB BC B CA CB CC C (5) gzie: AA, BB, CC, - inukcyjności włane uzwojenia tojana, AB BA, AC CA, BC CB - inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana, A A, B B, C C - inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana i winika, - inukcyjność włana uzwojenia winika Inukcyjności włane i wzajemne uzwojeń mazyny ynchonicznej z wytającymi biegunami ą unkcją położenia winika Inukcyjności włane uzwojeń tojana: + AA coγ π (6) BB + co( γ ) 4π CC + co( γ ) gzie kąt γ jet kątem pomięzy oią magnetyczną uzwojenia azy "A", a oią magnetyczną winika (y) γ( t) Ω t + α (7) a więc inukcyjności włane uzwojeń tojana ą unkcjami czau Dla mazyny z cylinycznym winikiem, ze wzglęu na jenakowy ozkła inukcji w zczelinie powietznej, a więc : AA BB CC (8) Inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana:

3 + co( γ + ρ ) AB BA AB + co( γ + ρ ) BC CB BC AC CA + co( γ + ρac ) gzie ρ ik - okeśla położenie winika wzglęem uzwojeń "ik" Inukcyjność wzajemna wóch uzwojeń zależy o ich wzajemnego położenia (9) Jak wynika z y, BC BCmin, gy co(γ + ρ BC ) max, a więc la co(γ + ρ BC ) ; tą: γ + ρ BC, a więc γ, ρ BC Analogicznie, AC ACmin, gy co(γ + ρ AC ) max, a więc la co(γ + ρ AC ) ; tą: γ + ρ AC, a więc γ π/, ρ AC - π/, oaz: AB ABmin, gy co(γ + ρ AB ) max, a więc la co(γ + ρ AB ) ; tą: γ + ρ AB, a więc γ π/, ρ AC - 4π/, Otatecznie otzymujemy: 4π AB BA + co( γ ) + coγ () BC CB π AC CA + co( γ ) Inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana i uzwojenia winika: A A co γ π B B co( γ ) () 4π C C co( γ ) gzie: - inukcyjność wzajemna pomięzy uzwojeniem azy "A" tojana i uzwojeniem winika, la pzypaku, gy oie tych uzwojeń pokywają ię (y4) Inukcyjności uzwojeń mazyny inukcyjnej aciez inukcyjności [] la mazyny inukcyjnej bęzie w potaci: AA AB AC Aa co γ Aa Ab coγ Ab Ac co γ Ac BA BB BC Ba coγ Ba Bb coγ Bb Bc coγ Bc CA CB CC Ca coγ Ca Cb coγ Cb Cc coγ Cc [ ] () aa coγ aa ab co γ ab ac coγ ac aa ab ac ba coγ ba bb coγ bb bc coγ bc ba bb bc ca coγ ca cb coγ cb cc co γ cc ca cb cc gzie: AA BB CC,- inukcyjności włane uzwojenia tojana, AB BA AC CA BC CB - inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana, aa bb cc,- inukcyjności włane uzwojenia winika, ab ba ac ca bc cb - inukcyjności wzajemne uzwojeń winika, Aa Ba Ca,, - inukcyjności wzajemne uzwojeń tojana i winika, Natomiat opowienie kąty wynozą:

4 γ γ γ aa Aa π γ ab γ Ba γ () 4π γ ac γ Ca γ gzie γ - jet to kąt pomięzy oią uzwojenia azy "A" tojana i uzwojenia azy "a" winika (y5) Stą, maciez inukcyjności mazyny inukcyjnej pzyjmie potać: 4π π coγ co( γ ) co( γ ) π 4π co( γ ) co γ co( γ ) 4π π co( γ ) co( γ ) co γ [ A, B, C ] π 4π coγ co( γ ) co( γ ) 4π π co( γ ) coγ co( γ ) π 4π co( γ ) co( γ ) coγ (4) Wpółczynniki inukcyjności włanych i wzajemnych ą unkcjami kąta położenia winika, w związku z tym, ównania () oaz () można pzetawić w potaci: γ { u} [ R]{ i} + [ ( γ)] { i} + [ ( γ )] { i} (5) t t γ Jet to ównanie maciezowe o peioycznie zmiennych wpólczynnikach Równanie uchu mazyny elektycznej Całkowita enegia pola elektomagnetycznego zmagazynowana we wzytkich uzwojeniach mazyny ana jet zależnością: Wem { i} { Ψ } { i} [ ]{ i} (6) oment elektomagnetyczny mazyny elektycznej okeślony jet ównaniem: 4

5 Wem el { i} { } { i} { ( )] { i} Ψ γ (7) γ γ γ Równanie ównowagi mechanicznej jet natępujące: J Ω J n J ω el m π (8) t t p t ponieważ: Ω πn, pn, ω π; ponato ϕ γ p, gzie: ϕ - kąt elektyczny, γ - kąt mechaniczny Ω - pękość kątowa mechaniczna, ω - pękość kątowa elektyczna; ω p Ω Otatecznie, moel matematyczny mazyny elektycznej wyażony w ukłazie wpółzęnych azowych, pzy uwzglęnieniu zmienności wpólczynników inukcyjności uzwojeń w unkcji kąta położenia winika, a więc w unkcji czau, można zapiać jako moel wuliniowy w potaci: { u} [ R]{ i} + [ ( γ)] { i} + Ω [ ( γ)] { i} t γ (9) J Ω el m t zawieający wie omy wuliniowe, kwaatowe, w potaci: ( t) [ ( )] { i} Ω γ γ () el i i { } [ ( γ γ )] { } () W celu uniknięcia zmienności wpółczynników maciezy [] pzy zmianie położenia winika, touje ię pzekztałcenie liniowe, powazające ukła wpółzęnych tójazowych ABC o ukłau wpółzęnych potokątnych wuazowych UV, wiującego w pzetzeni z pękością ω k Pzekztałcenie liniowe ukłau wpółzęnych anomacja ukłąu wpólzęnych jet toowana na ogół w wieloazowych pzetwonikach elektomechanicznych, z jenym mechanicznym topniem woboy, a więc tanomacji poaje ię wpółzęne elektyczne Niezmiennikami okonywanej tanomacji powinny być wielkości enegetyczne, a więc tanomacja powinna być kontagaientna i otogonalna Każy ukła wpółzęnych azowych ABC można pzekztałcić w owolny ukła XYZ, zgonie z natępującymi zależnościami: [ i ] [ A] [ i ] () x, y, z A, B, C A, B, C x, y, z oaz [ i ] [ A] [ i ] gzie maciez [A] ana jet zależnością: () 5

6 [ A] A A A A A A A A A xa xb xc ya yb yc za zb zc () Ponieważ tanomacja mui byc otagonalna, więc powinien być pełniony waunek: [A] [A] - (4) Jet to pzekztałcenie liniowe ukłau wpółzęnych aciez [A] jet wpółczynnikiem pzekztałcenia liniowego; jet to tak zwana maciez tanomacyjna aciez [A] mui być maciezą nieoobliwą, to znaczy, że wyznacznik et[a] Ogólne pzekztałcenie liniowe może być toowane we wzytkich mazynach elektycznych Polega ono na zatąpieniu nieuchomego w pzetzeni, tójazowego ymetycznego ukłau wpółzęnych azowych ABC pzez ukła wuazowy potokątny UV, wiujący w pzetzeni z pękością ω k Dokonując takiej tanomacji, watości chwilowe pąów, napięć i tumieni kojazonych, wyznaczamy la obu ukłaów wpółzęnych z zależności (,, ) W zależności o pzyjętej pękości wiowania potokątnego ukłau wpółzęnych, moele matematyczne mazyn elektycznych mogą być wyażane w natępujących ukłaach wpółzęnych: ukła q; ω k ω - jet to ukła nieuchomy wzglęem winika (Paka); toowany jet o analizy poceów pzejściowych w mazynach poiaających nieymetie w uzwojeniach winika (np w mazynach ynchonicznych), ukła αβ; ω k - jet to ukła nieuchomy wzglęem tojana (Clak'a); toowany w pzypakach, gy wytępują nieymetie w uzwojeniach tojana (np zwacia nieymetyczne), ukła xy; ω k ω - jet to ukła nieuchomy wzglęem pola wiującego tojana; toowany najczęściej o analizy tanów nieutalonych w ymetycznych mazynach aynchonicznych Waą pzekztałceń liniowych jet to, że nie uwzglęniają one zjawik nieliniowych, takich jak naycenie obwou magnetycznego, czy wypieanie pąu w pętach klatek winika ilnika inukcyjnego anomacja moelu matematycznego mazyny elektycznej Itota tanomacji ukłau wpólzęnych polega na zatąpieniu wektoów wpólzęnych elektycznych mazyny elektycznej pewnymi wektoami zatępczymi Spowaza ię to o zatąpienia zeczywitej mazyny elektycznej mazyną iealną, w któej napięcia, pąy i tumienie kojazone związane ą z napięciami, pąami i tumieniami kojazonymi mazyny zeczywitej, zgonie z zależnościami (,, ) Równania óżniczkowe tej iealnej mazyny nie zawieają wpółczynników okeowych, więc można założyć, że winik takiej mazyny jet nieuchomy wzglęem tojana, natomiat tojan i winik iealnej mazyny wiują w pzetzeni z owolna pękością ω k Zakłaa ię ponato, że taka iealna mazyna jet mazyną wuazową i jet ównoważna ze wzglęu na pzepływy wytwazane pzez pąy zaówno tojana jak i winika tójazowej mazynie zeczywitej Powtające w zczelinie powietznej tójazowej mazyny elektycznej pole wiujące magnetyczne, wytwozone ziałaniem pąów w uzwojeniach azowych tojana, można pzetawić za pomocą zatępczego uogólnionego wektoa, wiującego z pękością 6

7 ynchoniczną, popocjonalnego o umaycznego pzepływu wytwazanego pzez pąy we wzytkich uzwojeniach azowych tojana (y ) Za pomocą takiego uogólnionego wektoa można zatąpić ównież inne wielkości izyczne, tzn pąy, napięcia i tumienie kojazone Zgonie z ya, zutując wektoy pąów: I A I Am e jωt I B I Bm e j(ωt - π/) (5) j(ωt - 4π/) I C I Cm e na oś czaową A, otzymujemy watości chwilowe tych pąów, w potaci: i A I Am co δ I Am co ω t i B I Bm co (ω t - π/ ) (6) i C I Cm co (ω t - 4π/) Rzutowanie wektoów na jeną oś czau można zatąpić zutowaniem jenego uogólnionego wektoa pąu I, wiującego z pękością ynchoniczną ω, na oie czaowe, pokywające ię z oiami magnetycznymi uzwojeń mazyny (yb) Rzuty uogólnionego wektoa pąu na oie uzwojeń pozczegolnych az okelają watości chwilowe pąów azowych (y), natomiat zutując uogólniony wekto pąów tojana na oie ukłau wpółzęnych potokątnych UV otzymujemy watości chwilowe pąów tojana w ukłazie tanomowanym 7

8 Pomięzy tymi pąami zachozi związek: oaz [i u,v, ] [A] [i A,B,C] (7) [i A,B,C ] [A] - [i u,v ] (8) Zależności te ą łuzne pzy ymetycznych i nieymetycznych tanach pacy mazyny, po waunkiem, że pełniony jet waunek: i / (i A + i B + i C ) (9) gzie i - kłaowa zeowa pąu W związku z tym, o ównań (7 oaz 8) należy wpowazić watość pąu zeowego Skłaowa zeowa pąu jet jenakoazowa w uzwojeniach mazyny Oś "" jet oią nieumiejcowioną w mazynie, gyż pzepływ pąu i nie wywołuje żanych zjawik elektomagnetycznych Pąy kolejności zeowej nie wytwazają momentu elektomagnetycznego, a jeynie zmieniają tan naycenia obwou magnetycznego mazyny Wówcza opowienie wektoy pąów bęą miały potać: i [ i A, B, C ] ib ; [ iu, v, ] i A C i i i u v () natomiat maciez tanomacyjna [A ] bęzie w potaci: π 4π co γ co( γ ) co( γ ) [ A ] π 4π in γ in( γ ) in( γ ) gzie: γ ω k t ; ω k - pękość kątowa potokątnego ukłau wpółzęnych () 8

9 aciez owotna bęzie w potaci: co γ in γ [ A ] π π co( γ ) in( γ ) 4π 4π co( γ ) in( γ ) () Analogiczne zależności można wypowazić la pąów winika w mazynie inukcyjnej, napięć tojana i winika oaz tumieni magnetycznych kojazonych, a mianowicie: la pąów winika w mazynie inukcyjnej: [ i ] [ A ] [ i ] u, v, a, b, c () [ i ] [ A ] [ i ] a, b, c u, v, gzie maciez [A ] okeślona jet zależnością: π 4π co( γ ϕ) co( γ ϕ ) co( γ ϕ ) [ A ] π 4π in( γ ϕ) in( γ ϕ ) in( γ ϕ ) gzie ϕ ωt ; ω - pękość kątowa winika aciez owotna bęzie w potaci: (4) 9

10 co( γ ϕ) in( γ ϕ) [ A ] π π co( γ ϕ ) in( γ ϕ ) 4π 4π co( γ ϕ ) in( γ ϕ ) la napięć tojana: (5) [ u ] [ A ] [ u ] u, v, A, B, C (6) [ u ] [ A ] [ u ] A, B, C u, v, la napięć winika w ilniku inukcyjnym: [ u ] [ A ] [ u ] u, v, a, b, c (7) [ u ] [ A ] [ u ] a, b, c u, v, la tumieni kojazonych: [ Ψ ] [ A ] [ Ψ ] u, v, A, B, C (8) [ Ψ ] [ A ] [ Ψ ] A, B, C u, v, Wtawiając poane zależności o ównania () otzymujemy la obwoów tojana: a więc: gzie: { ua, B, C } [ R ]{ ia, B, C } + { Ψ A, B, C } (9) t { A } [ A ] { uu, v, } [ R] [ A ] { iu, v, } + [ ] { Ψ u, v, } () t t { Ψu v },, [ A ] [ ] { u v } [ A ] + t t { A Ψ,, } { Ψ } () u, v, Pochona maciezy [A ] - jet natępująca: t [ A ] in γ coγ γ π π in( γ ) co( γ ) t 4π 4π in( γ ) co( γ ) () Równanie () mnożymy lewotonnie pzez maciez [A ]; otzymujemy: { Ψ,, } [ ] [ A ] [ A ] { u,, } [ R ][ A ][ A ] { i,, } [ A ][ A ] [ A A u v u v u v ] + + t t { Ψ }() u, v,

11 a więc: { uu, v, } [ R] { iu, v, } + { Ψu, v, } + [ Aot ]{ Ψ u, v, } (4) t gzie maciez [A ot ] jet lewotonnym iloczynem maciezy [A ] i [A ] - /t i wynoi: : γ t [ Aot ] γ (5) t Uogólniając, możemy ównanie (4) pzetawić w potaci: { uu, v, } [ R] { iu, v, } + { Ψu, v, } + [ Aot ]{ Ψ u, v, } (6) t Jet to ogólne ównanie óżniczkowe opiujące pocey nieutalone elektomagnetyczne mazyn elektycznych w potokątnym ukłazie wpółzęnych UV, wiującym z owolną pękością ω k Dla mazyn ynchonicznych toowany jet najczęściej ukła q (ω k ω ) Wówcza wektoy napięć, pąów i tumieni kojazonych pzybioą potać (la pąnicy ynchonicznej): { u} { u, u, u, u } q { i} { i, i, i, i } q { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ, Ψ } q [ R ] iag[ R, R, R, R ] (7) natomiat maciez otacyjna bęzie w potaci: [ A ot ] ω ω (8) oelowi temu opowiaa chemat mazyny ynchonicznej pzetawiony na y

12 W pzypaku, gy mazyna ynchoniczna poiaa uzwojenie tłumiące, bąź maywne nabiegunniki, w któych inukują ię pąy wiowe, to uzwojenie to owzoowujemy popzez oatkowe obwoy wytępujące w oi "" i oi "q", la któych napięcie jet ówne zeu, gyż jet to uzwojenie klatkowe W pzypaku itnienia klatki tłumiącej, owzoowujemy ją pzez tylko pzez wa obwoy tłumiące (jeen w oi "' i jeen w oi "q"); la maywnych nabiegunników touje ię zwykle więkzą ilość obwoów tłumiących Wektoy napięć, pąów i tumieni kojazonych la pąnicy ynchonicznej poiaającej klatkę tłumiącą bęą natępujące: { u} { u, u, u,,, u } q { i} { i, i, i, i, i, i } q tl tlq { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ } q tl tlq [ R ] iag[ R, R, R, R, R, R ] tl tlq (9) natomiat maciez otacyjna bęzie w potaci: [ A ot ] ω ω () Schemat mazyny ynchonicznej poiaającej obwoy tłumiące poano na y 4

13 W pzypaku nieymetycznych tanów pacy pąnicy ynchonicznej toowany jet czaem ukła wpółzęnych potokątnych, nieuchomych w pzetzeni (γ, ω k ) - ukła αβ W ukłazie tym maciez tanomacyjna [A ] pzybieze potać: [ A ] zaś maciez owotna bęzie w potaci: ()

14 [ A ] () aciez otacyjna w tym ukłazie jet ówna zeu, a więc ównanie (6) zeukuje ię o potaci: { uα, β, } [ R ]{ iα, β, } + { Ψ α, β, } () t Wektoy napięć, pąów i tumieni kojazonych la pąnicy ynchonicznej poiaającej klatkę tłumiącą w ukłazie αβ bęą natępujące: { u} { u, u, u,,, u } α { i} { i, i, i, i, i, i } β α β tlα tlβ { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ } α β tlα tlβ [ R ] iag[ R, R, R, R, R, R ] tlα tlβ (4) Dla ilnika inukcyjnego ównanie (6) zapiujemy w potaci: { uu, v, } [ R ]{ iu, v, } + { Ψu, v, } + [ Aot ]{ Ψ u, v, } (5) t Wektoy napięć, pąów i tumieni kojazonych w ukłazie UV pzybioą potać: { u} { u, u,, } u { i} { i, i, i i } u v u, v { Ψ} { Ψ, Ψ, Ψ Ψ } u v u, v [ R] iag[ R, R, R, R ] v (6) W ównaniach (6) nie wytępuje kłaowa zeowa, ze wzglęu na ymetię tojana i winika oaz połaczenie uzwojeń tojana w gwiazę bez pzewou zeowego aciez otacyjna pzybieze natomiat potać: ω k k [ A ot ] ω ( ω k ω) ( ω k ω) (7) 4

15 Stumień magnetyczny kojazony w ukłazie wpółzęnych natualnych ABC, zgonie z zależnością () ma potać: { } [ ]{ i } (8) Ψ A, B, C A, B, C A, B, C Wtawiając zależności (, 8) o wzou (8) otzymujemy: [ A ] { Ψ } [ ][ A ] { i } (9) u, v, A, B, C u, v, Wyażenie (9) mnożymy lewotonnie pzez maciez [A ] otzymujemy: [ A ][ A ] { Ψ } [ A ][ ][ A ] { i } u, v, A, B, C u, v, { Ψ } [ ]{ i } (4) u, v, u, v, u, v, [ ] [ A ][ ][ A ] u, v, A, B, C Uogólniając, tumień magnetyczny kojazony w ukłazie UV pzyjmie potać: { } [ ]{ i } (4) Ψ u, v, u, v, u, v, aciez inukcyjności uzwojeń mazyny w potokątnym ukłazie wpółzęnych pzyjmuje óżną potać, w zależności o pzyjętego ukłau wpółzęnych oaz typu mazyny Inukcyjności uzwojeń mazyn elektycznych w ukłaach pzekztałconych azyna ynchoniczna aciez inukcyjności mazyny ynchonicznej w ukłazie ABC, okeślona wzoem (5), po uwzglęnieniu zależności (6, 9,, ) oaz po powazeniu paametów uzwojenia winika o uzwojenia tojana, zgonie z zależnościami: 5

16 N k ( u ) N k u R A N k u N k u R ( ) (4) N k u N k u A N k u A N k A A u pzyjmie potać: [ ] A, B, C AA AB AC A AB BB BC B AC BC CC C A B C (4) aciez inukcyjności w ukłazie pzekztałconym wyznaczamy z zależności: [ u, v, ] [ A] [ A, B, C ] [ A] (44) Stą, maciez inukcyjności la mazyny ynchonicznej nie poiaającej obwoów tłumiących w ukłazie q pzybieze potać: q [, q, ] (45) gzie, la mazyny z wytającymi biegunami opowienie inukcyjności ą natępujące: + + q + (46) N k N k q q Dla mazyny z cylinycznym winikiem, a więc q W ukłazie αβ maciez inukcyjności bęzie natępująca: u u 6

17 α αβ α βα β β [ α, β, ] α β (47) gzie, la mazyny z wytającymi biegunami opowienie inukcyjności ą natępujące: α + + β + αβ in γ N k α α N k N k β β N k coγ coγ u u u u co γ in γ (48) Silnik inukcyjny aciez inukcyjności mazyny inukcyjnej, po uwzglęnieniu zależności (44), w ukłazie UV bęzie miała potać: ( ) ( ) [ ] (49) ( ) ( ) gzie: X ω ( ) ω X ω ( ) ω (5) X m ω pzy czym: X - eaktancja ozpozenia uzwojenia tojana, X - eaktancja ozpozenia uzwojenia winika, powazona na tonę tojana, X m - eaktancja magneująca natomiat: 7

18 X + X ω ( ) m X + X m ω ( ) nazywamy eaktancjami całkowitymi tojana i winika (5) oment elektomagnetyczny mazyny w ukłaach pzekztałconych Całkowitą enegię magnetyczną mazyny elektycznej w ukłazie wpółzęnych azowych, okeśloną zależnością (6) można zapiać w potaci: W i { } { Ψ } (5) em A, B, C A, B, C Kozytając z zależności () i (8) otzymujemy: Wem ([ A ] ) { i u, v, } [ A ] { Ψu, v, } { iu, v, } ([ A ] ) [ A ] { Ψ u, v, } (5) tą: ([ A ] ) [ A ] [ W u, v, ] (54) natomiat: Wem { iu, v, } [ Wu, v, ]{ Ψ u, v, } (55) aciez omy wuliniowej [W u,v, ] ma potać: [ W u, v, ] (56) oment elektomagnetyczny mazyny elektycznej w potaci maciezowej w ukłazie wpółzęnych azowych, zgonie z ównaniem (7) ma potać: el i i { } [ ( γ γ )] { } (57) Wykonując óżniczkowanie oaz uwzglęniając zależności mięzy opowienimi wielkościami wyażonymi w ukłazie wpółzęnych azowych i w ukłaach tanomowanych, oaz związek pomięzy kątem elektycznym i mechanicznym, otzymujemy: el p{ Ψu, v,} [ u, v, ]{ iu, v, } (58) aciez [] w potokątnym ukłazie wpółzęnych UV okeślona jet zależnością: [ u, v, ] (59) Zależność (59) łuzna jet zaówno la mazyn ynchonicznych, jak i aynchonicznych, zaówno w ukłazie q, jak i αβ, oaz xy 8

19 Otatecznie, ukła ównań óżniczkowych opiujących tany nieutalone w mazynach elektycznych, w tanomowanym ukłazie wpółzęnych ma potać; { uu, v, } [ R]{ iu, v, } + { Ψu, v, } + [ Aot ]{ Ψu, v, } t J ω el m p t gzie el any jet zaleznościami (58, 59) (6) W ównaniach tych nie ą uwzglęnione takie zjawika nieliniowe wytępujące w mazynie, jak naycenie obwou magnetycznego, czy wypieanie pąu w pętach klatek uzwojenia winika ilnika inukcyjnego Zjawika te można uwzglęnić w poób pośeni, wpowazając w każym koku obliczeń óżne watości paametów mazyny Specyika moelowania mazyn inukcyjnych oel ilnika inukcyjnego w ujęciu kompekoowym Pzy moelowaniu ilników inukcyjnych wpowaza ię częto płazczyznę liczb zepolonych, nauniętą na pzekój popzeczny mazyny, wiującą z pękością ω k, o oiach Re i Im, pokywających ię z oiami wpólzęnych potokątnych UV Wówcza uogólniony wekto pąu tojana I wyażony jet na tej płazczyźnie pzez liczbę zepoloną, zgonie z zależnością: I / [i A + i B e j(π/) + i C e j(4π/) ] () aki wkaz pzetzenny na płazczyźnie zepolonej, pokywającej ię z pzekojem popzecznym mazyny, nazywamy komlekoem Kompleko pąu tojana ma wie kłaowe: I u I u oaz I v j I v, a więc: I I u + j I v () Analogicznie można wpowazić komplekoy pąu winika, napięcia i tumieni magnetycznych kojazonych Wpowazająć, o ogólnego moelu matematycznego mazyny elektycznej w tanomowanym ukłazie wpółzenych UV, anego zależnościami (58, 6), w potaci: { uu, v, } [ R]{ iu, v, } + { Ψu, v, } + [ Aot ]{ Ψu, v, } t J ω el m p t wektoy napięcia, pąu i tumieni kojazonych, któych kłaowe ą komplekoami opowienich wielkości tojana i winika w potaci: U (U, U ) I (I, I ) () Ψ (Ψ, Ψ ) otzymujemy moel mazyny elektycznej w potaci: { U} [ R]{ I} + { Ψ} + [ Aot ]{ Ψ} t J ω (4) el m p t Wytepująca w tym moelu maciez otacyjna [A ot ] bęzie miała potać: 9

20 jω j j ω k ω ω ( ) j k ω jω k k [ Aot ] j( ω k K ω) [ ] [ ] (5) gzie: [] iag (,,,] [K] iag (,,,) W celu wyznaczenia momentu elektomagnetycznego ilnika nalezy wykonac bilan mocy mazyny: * * * * * P Re{ U I } + Re{ U I } Re Ψ I + jωk Ψ I + R I I + t * * * (6) Re Ψ I + j( ωk ω ) Ψ I + R I I t oment elektomagnetyczny mazyny powtaje w wyniku ziałania części mocy związanej z iła elektomotoyczną otacji, a więc: Pot Pot * * el p Re{ jωk Ψ I } + Re{ j( ωk ω ) Ψ I } (7) Ω ω Dla ω k ω otzymamy Pot p * * * el p Re{ jωψ I } p Re{ jψ I } p Re{ jm I I } (8) ω ω Otatecznie, moel ilnika inukcyjnego można pzekztałcić o potaci: { I} [ ] ({ U} ( jω k [ ] jω[ K] )[ ]{ I} [ R]{ I} ) t ω p * p Re{ j m I I } t J J (9) m Pzy obliczaniu tanów pzejściowych wytępujących pocza ozuchu ilnika inukcyjnego ze tanu jałowego pzyjmujemy zeowe waunki początkowe la pąów tojana oaz winika i zeową watość początkową pękości obotowej ilnika Zjawika nieliniowe w moelowaniu ilników inukcyjnych W ilniku inukcyjnym wytępuje zjawiko naycenia obwou magnetycznego, w wyniku czego eaktancje uzwojeń mazyny ą unkcjami pąów w tych uzwojeniach Ponato, w ilniku inukcyjnym klatkowym wytępuje zjawiko wypieania pąu w pętach klatek winika, powoując zmianę jego paametów w unkcji poślizgu Zjawika te mają itotny wpływ na pzebiegi nieutalone ilnika etoy uwzglęnienia zjawika wypieania pąu w pętach winika etoa klayczna: Zatępcze paamety uzwojenia winika ilnika klatkowego można pzetawić w potaci: R R + R a p X X + X a p ()

21 gzie: R a, X a - część ezytancji i eaktancji uzwojenia winika niezależna o poślizgu, R p, X p - ezytancja i eaktancja części pęta, w któej wytępuje wypieanie pąu (zależna o poślizgu) ożna pzyjąć, że: R p k R () X k X p x gzie wpółczynniki k oaz k x ą unkcjami zeukowanej wyokości pęta ξ i zależą o kztałtu pęta oaz poślizgu ilnika ξ α h b γ α ω µ b () p z + αt ( ϑ ) gzie: b p, b ż - zeokość pęta i żłobka, γ - pzewoność właściwa mateiału pęta w tempeatuze C, α t - cieplny wpółczynnik ezytancji mateiału pęta, ϑ - tempeatua uzwojenia winika, µ - pzenikalność magnetyczna mateiału pzewoowego Dla pętów o pzekoju potokątnym wpółczynniki k i k x zotały wypowazone pzez Fiela i wyażają ię zależnościami: inh ξ + in ξ k ξ ϕ( ξ) coh ξ co ξ () inh ξ in ξ k x ψ( ξ) ξ coh ξ co ξ Dla pętów o pzekoju tapezowym wpółczynniki te zotały wypowazone pzy założeniu, że linie pola w żłobku ą liniami ównoległymi o potawy pęta i zależą o zbieżności pęta β: k ϕ( ξ) b ( β, ξ) (4) k ψ( ξ) b ( β, ξ) x x Wpółczynniki te mogą być apokymowane zależnościami: + β k [ ϕ( ξ )] β + β ϕ( ξ ) gzie: ε lnε + β k 4 ε x ε β ln β + 4 β β ε ( β ) ψ ( ξ ) + β Dla innych kztałtów pęta wpółczynników tych nie można wyznaczyć metoami analitycznymi W tym pzypaku toowane ą metoy numeyczne, z któych najbaziej okłaną jet metoa pzewoów elementanych

22 etoa pzewoów elementanych etoa pzewoów elementanych polega na tym, że pęt wypełniający żłobek zieli ię zgonie z pzebiegiem linii pola elektomagnetycznego na otatecznie użą liczbę pzewoów elementanych, z któych każy ma powiezchnię pzekoju S i, pzewoność elektyczną γ i, oaz wpółczynnik pzewoności magnetycznej λ i Zakłaa ię, że pzewoy w żłobku ą ozielone o iebie znikomo cienkimi watwami izolacji i połączone poza zeniem Gętość pąu w każym pzewozie elementanym jet tała Ry Poział pęta na pzewoy elementane Ukła pzewoów elementanych można taktować jak ieć elektyczną o "n" gałęziach ównoległych, pzężonych magnetycznie Ry Schemat zatępczy ieci pzewoów elementanych Rezytancja i wpółczynnik pzewoności magnetycznej i - go pzewou elementanego ane ą zależnościami: S i Ri ; λi (5) γ isi ci gzie c i - ługość śokowej linii pola mięzy ściankami żłobka Dla linii pola bęącymi łukami okęgów : gzie: R i γ i S π α i i α i λ π α n i α π inα α n i Znając paamety pzewoów możemy obliczyć całkowitą impeancję ieci opowiaającą impeancji pęta

23 U I R + jω µ λ I + jω µ λ ( I + I ) + + jω µ λ I n i i U I R + jω µ λ ( I + I ) + + jω µ λ I n i i U I R + jω µ λ I n n n i i n Zgonie ze chematem ieci, i - ty pą okeślony jet zależnością: R I R I j X i i i i i + I k, i X i k i,,, n (6) pzy czym: I + j I A + jb k k k I A + jb n n n Całkowity pą I I A + jb t n i i t t n n (7) natomiat napięcie R R n p U I n + jx n I t I t ( + jx p ) (8) tą ezytancja i eaktancja zatępcza pęta wynoi: R A R X B R ' ' n p n n, p n + ω µ λ n (9) gzie: ' AnAt + BnBt ' At Bn AnBt An Bn () At + Bt At + Bt Opowienią okłaność wyników można uzykać pzy poziale pęta na otatecznie użą liczbę pzewoów elementanych (n > ) Otatecznie R X w w R p X ' w 4m ph Q 4m Q l ph l N k kk w N k k k w Pzetawione metoy umożliwiały wyznaczenie zatępczej impeancji pęta z uwzglęnieniem zjawika wypieania pąu Zatoowanie tej impeancji w obliczeniach ynamicznych pozwala uzykać możliwie okłane pzebiegi nieutalone pąów w uzwojeniach mazyny, natomiat powouje uzykanie znacznie zawyżonych watości nieutalonego momentu elektomagnetycznego Jet to powoowane tym, że pzy obliczaniu momentu w tanie nieutalonym nie zotają uwzglęnione zeczywite pzężenia tumienia magnetycznego tojana ze tumieniami pozczególnych watw pęta winika, któe na

24 kutek pzeunięcia azowego wzglęem iebie pąów w pozczególnych watwach pęta, ą łabze, niż wyznaczone pzy pominięciu tego pzeunięcia Znacznie lepze wyniki można uzykać toując moel matematyczny ilnika inukcyjnego z wieloobwoowym owzoowaniem klatki winika Stany ynamiczne ilnika inukcyjnego klatkowego można opiać ukłaem ównań óżniczkowych Dla obwoów elektycznych tojana, któe można taktować jako obwoy o tałych kupionych ą to ównania óżniczkowe zwyczajne Obwoy winika, w któych wytępuje wypieanie pąu taktuje ię jako obwoy o tałych ozłożonych, opianych ównaniami óżniczkowymi czątkowymi, w któych zmiennymi niezależnymi jet cza i wpółzęna pzetzenna x, miezona o na żłobka Pzewó wzłuż jego wyokości zieli ię na otatecznie użą liczbę elementów, w obębie któych nie wytępuje wypieanie pąu aki moel opiuje okłanie pzebiegi ynamiczne w ilniku klatkowym, gy liczba obwoów zatępczych winika ąży o niekończoności (N ) Zatępcza impeancja części żłobkowej pęta jet ówna impeancji wejściowej linii ługiej, któą można apokymować za pomocą wójnika złożonego ze kończonej liczby gałęzi R Owzoowanie klatki winika pzez wójnik złożony ze kończonej liczby gałęzi R można nazwać wieloobwoowym owzoowaniem uzwojenia klatkowego winika akie owzoowanie ukazuje chemat zatępczy pzetawiony na yunku Ry Schemat zatępczy ilnika klatkowego z wieloobwoowym owzoowaniem klatek winika Pzetawionemu chematowi zatępczemu opowiaa moel matematyczny ilnika inukcyjnego z wieloobwoowym owzoowaniem klatek winika, zapiany w potokątnym ukłazie wpółzęnych XY: gzie: U ( U,,,) I ( I, I,, I ) I [ ] { U ( jω [] jω[ K])[ ] I [ R] I} t N ω p * p Re{ j( I i ) I } m t J J N m i () W moelu tym wytaczającą okłaność można uzykać już la tzech obwoów zatępczych klatki winika Wówcza wektoy napięć i pąów maja potać: U ( U,,,) - wekto napięć ( I, I, I, I ) I - wekto pąów 4

25 5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m a σ - maciez inukcyjności () gzie: [ m ] - maciez inukcyjności magneującej (o tumienia głównego) [ ] m m [ a ] - maciez inukcyjności ozpozenia elementów winika wpólnych la wzytkich klatek (inukcyjność ozpozenia zczelinowego, połączeń czołowych, o kou żłobków winika oaz część inukcyjności ozpozenia żłobkowego części żłobka na pętem), [ ] a a [ ] - maciez inukcyjności ozpozenia i-go obwou zatępczego winika, [ ] N pzy czym i k i i p ( ) ( ) () [ σ ] - maciez inukcyjności ozpozenia uzwojenia tojana oaz inukcyjności ozpozeń wielokotnych pomięzy pozczególnym obwoami zatępczymi winika [ ] N S σ σ σ σ σ σ σ σ aciez ezytancji ma potać: [ ] [ ] [ ] [ ] R R R R a + + σ (4) gzie: [R ] - maciez ezytancji uzwojenia tojana oaz ezytancji pozczególnych obwoów zatępczych winika, [ ] N S R R R R R

26 [R a ] - maciez ezytancji elementów winika wpólnych la wzytkich klatek (pieścieni zwieających i części pętów poza żelazem ), [ ] R a R a [R σ ] - maciez ezytancji wielokotnych i - go obwou zatępczego pęta winika, pzy czym [ ] Rσ Rσ R Rσi Rai Rσ ( i ) σ R σ Rσ Rai [( i ) k ( i ) ] Rp Rσ Rσ Rσ N [] iag (,,,) - maciez jenotkowa, [K] iag (,,,) W zależności o pzyjętego poobu apokymacji chematu zatępczego winika, niektóe elementy chematu zatępczego (a więc i opowienie elementy maciezy [R] oaz []) mogą pzyjmować watości zeowe Paamety R,, R a, a uzykuje ię w wyniku obliczeń kontukcyjnych obwou elektomagnetycznego ilnika, natomiat paamety R i, i, R ai, ai (la i,,n), epezentujące elementy klatki winika, w któych wytępuje wypieanie pąu można wyznaczyć metoą polegającą na ozwiązaniu ównania Riccatiego, okeślającą impeancję opeatoową pęta winika owolnego kztałtu jako unkcję zmiennej pzetzennej x W tym pzypaku, w celu wyznaczenia paametów zatępczych obwoów winika należy ozwiązać ukła ównań óżniczkowych w potaci:: η ( x) Φ( x) x η( x) Φ ( x) η ( x) x (5) η ( x) Φ ( x) η( x) η( x) x η( x) Φ ( x)[ η ( x) + η ( x) η ( x)] x wynikający z uogólnionego ównania Riccatiego [] Wytępujące w tym ukłazie ównań unkcje Φ oaz Φ okeślone ą zależnościami: Sx λ x Φ( x) γ ; Φ( x) (6) x γ x i zależą tylko o kztałtu pęta winika i jego wymiaów Wpółczynniki k i k wyznaczamy z zalezności: k η η η η k ( ηη η ) ( η η η ) η oelowi temu opowiaa chemat zatępczy ilnika pzetawiony na y 6

27 Ry Schemat zatępczy ilnika inukcyjnego la obwoów zatępczych klatki winika Uwzglęnienie zjawika naycenia obwou magnetycznego ilnika Zjawiko naycenia obwou magnetycznego ilnika powouje zmiany inukcyjności magneującej oaz inukcyjności ozpozenia uzwojeń, zwłazcza w nieutalonych tanach pacy, gy wytępują znaczne watości pąów w uzwojeniach tojana i winika Zmiany inukcyjności magneującej mają jeynie wpływ na pzebiegi nieutalone ilnika inukcyjnego pacującego pzy powyżzonym napięciu zailającym W tanach pacy, gy napięcie zailające ilnik nie pzekacza watości znamionowej, zmiany inukcyjności magneującej nawet w zeokich ganicach nie mają itotnego wpływu na pzebiegi ynamiczne ilnika Dotyczy to takich waunków pacy, gy tumień główny jet tounkowo niewielki, np pzy ozuchu ilnika W tych tanach itotną ole ogywają zmiany tumienia ozpozenia Stumień ozpozenia wokół połączeń czołowych uzwojenia tojana oaz pieścieni zwieających winik pzebiega głównie w powietzu, zatem można pzyjąć, że nie polega on wpływowi naycenia Po wpływem tumieni ozpozenia żłobkowego i zczelinowego (óżnicowego) naycają ię części zębów w pobliżu zczeliny powietznej oaz klepienia żłobków, co powouje ikcyjne powiękzenie zczebiny żłobka oaz zczeliny powietznej, gyż pzenikalność magnetyczna w obzaach nayconych taje ię ówna pzenikalności magnetycznej póżni[] Dla ilników o żłobkach otwatych i półzamkniętych itnieje wiele pzybliżonych meto obliczania nayconych eaktancji ozpozenia uzwojeń Ogólnie, metoy te można pozielić na metoy analityczne, opate bezpośenio na chaakteytyce magneowania blachy elektotechnicznej, oaz metoy yntetyczne, opate na wyznaczonym oświaczalnie, lub apokymowanym pewnymi unkcjami wpółczynniku naycenia, najczęściej wpólnym la tojana i winika ak okeślony wpółczynnik otyczy w zaazie gupy ilników, o okeślonej kontukcji i wielkości Dla tanu utalonego obe wyniki uzykuje ię toując metoę Nomana Zmoyikowaną pzez A Głowackiego etoa ta zotała pawzona oświaczalnie la ilników nikonapięciowych o mocach w zakeie o kw o kw Weług tej metoy wpółczynnik naycenia wyznaczony jet w zależności o obliczeniowej inukcji w zczelinie powietznej B δ i apokymowany wzoem: 55 χ gzie: θ B δ µ θ qm B δ δ zq k wq I ( + 75y a a Q qm + q 45) 7

28 natomiat: B δ - obliczeniowa inukcja w zczelinie powietznej, I - watość kuteczna utalonego pąu w uzwojeniu tojana θ qm makymalna watość wypakowego pzepływu pzypaającego na poziałkę żłobkową (śeni pzepływ żłobka tojana i powazonego żłobka winika) δ - zeokość zczeliny powietznej z q liczba utów w żłobku tojana i winika y wzglęny pokok uzwojenia tojana Dla ilników inukcyjnych o ozzezonym zakeie mocy ( o kw o W ), zaówno nikonapięciowych jak i wyokonapięciowych o óżnej kontukcji i óżnej liczbie pa biegunów i w wyniku poównania wyników tych obliczeń z wynikami pomiaów paametów ozuchowych zotał zmoyikowany, pzyjmując potać:[] 55 χ + 5 ab δ + 7 gzie: a wpółczynnik koekcyjny zależny o kontukcji ilnika, jego wielkości i liczby pa biegunów Reaktancja ozpozenia uzwojenia tojana naycona okeślona jet zależnością: X X + χx + χx + X X na qna c X q R λq ( ) λ pzy czym: X eaktancja ozpozenia uzwojenia tojana, naycona, X c, X R, X k, eaktancja ozpozenia połączeń czołowych, ozpozenia óżnicowego, ozpozenia o kou żłobków tojana w tanie nienayconym, X qna eaktancja ozpozenia żłobkowego uzwojenia tojana, naycona, λ q zmiana wpółczynnika pzewoności magnetycznej żłobkowej tojana powoowana nayceniem obwou magnetycznego Pzy okeśleniu zmiany wpółczynnika pzewoności magnetycznej żłobkowej itotne jet okeślenie zeokości tey naycającej ię Dla ilników małej mocy i śeniej mocy (o kw) pzyjęto: b 5( b b )( χ ) gzie: b zeokość zczebiny żłobkowej b zeokość żłobka u potawy klepienia Zmiana wpółczynnika pzewoności magnetycznej okeślona jet zależnością: h b 5( t b )( χ) λq ( + ) b 5b + b (4b b ) + 5( b b )( χ) Dla ilników inukcyjnych o mocy o o kw i owolnych kztałtów żłobków (z wyjątkiem żłobków zamkniętych), pzy tounku wymiaów h i zeokość żłobka u potawy klepienia b 5 mm, a więc paktycznie w całym toowanym zakeie popocji wymiaowych, zmianę pzewoności żłobkowej okeśla ię ze wzou wyznaczonego q k qna b 6 8

29 na potawie wyników baań pzepowazonych pzez Głowackiego la około ilników w potaci: h b 5( t b )( χ) λq ( + ) b 5b + b b + b + ( t b )( χ) gzie: t poziałka żłobkowa tojana lub winika Dla moelu z jenoobwoowym owzoowaniem klatek winika, nayconą eaktancję uzwojenia winika oblicza ię z zależności: X X c + X R χ + X k χ + X q X a + X w (6) gzie: X a X c + X R χ + X k χ + X qa X q X qa + X w pzy czym: l N kw X 4 qa X qa ω µ λqa mph Q kk pzy czym X eaktancja ozpozenia uzwojenia winika, naycona, X c, X R, X k eaktancja ozpozenia połączeń czołowych, ozpozenia óżnicowego i ozpozenia o kou żłobków winika uzwojenia winika w tanie nienayconym, X q eaktancja ozpozenia żłobkowego winika w tanie nayconym X qa, X qa eaktancja ozpozenia żłobkowego winika części żłobka na pętem ( lub gónym pętem la ilnika wuklatkowego ) nienaycona i naycona, λ qa zmiana wpółczynnika pzewoności magnetycznej żłobkowej części żłobka winika na gónym pętem powoowana nayceniem obwou magnetycznego W pzypaku uzwojeń winika, zakłaa ię, że eaktancja X w części żłobka zawieającej pęt, zmienna w kutek wypieania pąu, nie ulega zmianie na kutek naycenia obwou magnetycznego o tumienia ozpozenia Jet to zgone z założeniem, że w kutek naycenia natępuje jeynie wzot eektywnej zeokości zczebiny, co powouje zmianę pzewoności ozpozenia żłobka Zgonie z paca Śliwińkiego i Głowackiego pzyjmuje ię, że zmiana ta jet zlokalizowana w gónych częściach żłobka, to jet w klepieniu i w zczebinie, a pzewoność części położonej niżej zotaje bez zmian Pzetawiona metoa uwzglęnienia zjawika naycenia obwou magnetycznego tumienia ozpozenia ilnika zotała opacowana i pawzona pzez Śliwińkiego i Głowackiego la waunków tanu utalonego, na pzykła zwacia utalonego W waunkach nieutalonych metoa ta mogłaby być zatoowana po waunkiem uwzglęnienia wytępowania w pąach w uzwojeniach ilnika nie tylko kłaowych okeowo-zmiennych, ale także kłaowych apeioycznych, któe mają wpływ na ogólny tan naycenia obwou magnetycznego Stumień wywołany pzez pąy apeioyczne jet nieuchomy w pzetzeni i jego położenie na obwozie mazyny zależy o chwili czaowej powtania tanu utalonego Stą w waunkach tanu nieutalonego można mówić o śenim tanie naycenia obwou magnetycznego wywołanego pzez watości chwilowe pąów w pozczególnych uzwojeniach azowych W związku z tym, w celu wyznaczenia obliczeniowej inukcji B δ wpowaza ię tzw Zatępczą watość pąu, okeśloną zależnością:[] B δ ( I ); I i A ( t) + i B ( t) + i C ( t) 9

30 gzie: i A (t), i B (t), i C (t) watości chwilowe pąów w uzwojeniach azowych tojana Dokłane utalenie wpływu zjawika naycenia na tumienie ozpozenia wymaga toowania meto polowych, któe mogą być ównież wykozytane o weyikacji wpółczynników naycenia 4 oel matematyczny mazyny pąu tałego W mazynie pąu tałego zczotki zielą uzwojenie twonika na wie gałęzie ównoległe, któych położenie w pzetzeni pozotaje tałe Pocza wiowania twonika zmienia ię tylko pzynależność pozczególnych zwojów o óżnych gałęzi Jeli w uzwojeniu twonika płynie pą, to wytwaza on włane pole, pawie nieuchome w pzetzeni, któego geometyczną oią bęzie oś zczotek jet to oś popzeczna mazyny q Oś połużna mazyny jet wyznaczona oią biegunów głównych W związku z tym, pzy buowie moelu matematycznego mazyny uzwojenie twonika można zatąpić jeną zatępczą cewką w oi q W ozważaniach otyczących ynamiki mazyn pąu tałego należy ozóżnić wa pzypaki: zczotki ą wyunięte ze tey geometycznie obojętnej zczotki znajują ię w teie geometycznie obojętnej W piewzy pzypaku uzwojenie twonika zatępujemy woma cewkami umiezczonymi w oi q oaz, pzy czym uzwojenie znajujące ię w oi popzecznej mazyny opowiaa części zeczywitego uzwojenia ozłożonego na łuku o ługości τ (π - α)/π gzie: τ - poziałka biegunowa ilnika α - kąt wyunięcia zczotek ze tey geometycznie obojętnej, natomiat uzwojenie w oi połużnej mazyny opowiaa części zeczywitego uzwojenia ozłożonego na łuku o ługości (τ α)/π Dla takiej mazyny ogólny moel matematyczny ma potać analogiczną o ównania (6): { u} [ R]{ i} + { ψ} + [ Aot ]{ ψ} t Ω (4) el m J t gzie: {u} {u, u q, u, u k } {i} {i, i q, i, i k } [R] iag [R, R q, R, R k ] Stumień kojazony: {ψ} []{i} gzie maciez inukcyjności ma potać: q qk [ ] (4) kq k aciez otacyjna bęzie, zgonie z (8) w potaci

31 [ A ot ] Ω (4) natomiat iloczyn: [A ot ]{ψ} [A ot ] []{i} [ ot ] {i} (44) gzie maciez [ ot ]:ma potać: [ ot ] Ω q q k q (45) gzie: x y - wpólczynnik inukcyjności o uzwojenia y wytwazającego pole w oi x q q q k q qk ; ; ; (46) k - uzwojenie biegunów komutacyjnych połączone w zeeg z uzwojeniem twonika oment elektomagnetyczny, zgonie z zależnościami (58, 59) ma ogólną potać: el ± { ψ} [ ]{ i} (47) (znak + otyczy ilnika, - pąnicy), gzie maciez [] okeślona jet zależnością: [ ] Stą, po pzekztałceniach otzymamy: el ± { ( q q - ) i i q + k q i k i - i i q } (48) Ponieważ oba uzwojenia twonika ą połączone zeegowo i twozą jeen obwó, więć obowiązują natępujące zalezności: u u q ; i i q ; q Wówcza, wektoy i macieze pzyjmą potać: {u} {u q, u, u k } {i} {i q, i, i k } [R] iag [(R + R q ), R, R k ] aciez inukcyjności upości ię o potaci:: ( + ) [ ] kq k aciez [ ot } bęzie natomiat w potaci: q qk (49)

32 q k ( q ) q [ ot ] Ω (4) oment elektomagnetyczny upości ię o potaci: el ± { ( q q - ) i q + q k i k i q - i i q } (4) W pzypaku gy zczotki utawione ą w teie geometycznie obojętnej, uzwojenie twonika jet zoientowane wzłuż oi popzecznej q Wówcza obowiązują zależności: u ; i ; ; ; R ; ; q q q k a wektoy i macieze pzyjmą potać: {u} {u q, u } {i} {i q, i } [R] iag [(R k + R q ), R ] aciez inukcyjności upości ię o potaci:: ( q qk k ) [ ] (4) aciez [ ot } bęzie natomiat w potaci: [ ] ot Ω (4) oment elektomagnetyczny pzyjmie wtey potać: : el ± i i q (44) Pomijając uzwojenie biegunów komutacyjnych otzymamy: [R] iag [R q, R ] oaz maciez inukcyjności w potaci:: q [ ] (45) W tym pzypaku, po ozwinięciu maciezy i pzyjęciu, że uzwojenie twonika owzoowane jet jenym obwoem zatępczym w oi q (i q i t ) otzymujemy ukła ównań ilnika obcowzbunego pąu tałego w potaci: it ut Rtit + t + Ω i t i u R i + t (46) Ω J e + m t gzie moment elektomagnetyczny any jet zależnością: el i i q c Φ(t) i t (47) Wytępujący w ównaniu la obwou twonika kłanik Ω i c e Φ(t) n (t) e (48) jet iła elektomotooczną otacji

33 Φ(t) - chwilowa watość tumienia magnetycznego na pzetzeni jenej poziałki biegunowej twonika c e c π N p/a Na pzebiegi nieutalone w mazynie pąu tałego wpływają natępujące zjawika nieliniowe: oziaływanie twonika pąy wiowe i pąy w zezwojach komutujących naycenie obwou magnetycznego Uwzglęnienie tych zjawik natęcza poważne tuności