Egzamin z GAL-u (Informatyka) 2. termin 18/02/2020 CzÍúÊ teoretyczna I

Transkrypt

1 ImiÍ i nazwisko: Numer albumu: CzÍúÊ teoretyczna I Instrukcja: Odpowiedzi naleøy pisaê na arkuszu z pytaniami. W zadaniach 1-10 naleøy udzielaê odpowiedzi TAK lub NIE, przy czym nawet jedna niepoprawna odpowiedü oznacza 0 pkt. za ca e zadanie, a w innym przypadku: dok adnie jedna poprawna odpowiedü to 1 pkt za ca e zadanie, dok adnie dwie poprawne odpowiedzi to 2 pkt za ca e zadanie 3 poprawne odpowiedzi to 3 punkty za ca e zadanie, brak odpowiedzi nie jest traktowany jako niepoprawna odpowiedü. 1. Niech (G, ù,e) bídzie grupπ, a, b, c œ G oraz a ù c = e. Wynika z tego, øe a ù b = b ù a; (b ù c) ù (a ù b) =b ù b; jeúli c ù b = e, tob = a. 2. Liczba zespolona 1 Ô 2 (1 + i) jest pierwiastkiem zespolonym z liczby 1; pierwiastkiem zespolonym z liczby i; pierwiastkiem zespolonym z liczby cos fi 8 + i sin fi X jest przestrzeniπ liniowπ nad cia em R i wektory x 1,x 2,x 3,x 4 sπ liniowo niezaleøne. Wówczas dim X ˇ 4; wektory x 1 + x 2,x 2 + x 3,x 3 + x 4,x 4 + x 1 sπ liniowo zaleøne; wektory x 1 + x 2,x 2 + x 3,x 3 + x 4,x 4 + x 1 sπ liniowo niezaleøne. 4. X jest przestrzeniπ liniowπ wymiaru 10 i V,W µ X sπ podprzestrzeniami liniowymi takimi, øe X = V + W. Wynika z tego, øe dim V +dimw = 10; jeúli V fl W = {0}, todim V +dimw = 10; jeúli dim V +dimw = 10, tov fl W = {0}. 5. Macierze A, B œ R n,n sπ nieosobliwe. Wynika z tego, øe im (AB) =R n ; ker(a + B) ={0}; im A =imb;

2 6. Niech A œ R n,n oraz im A = span(ų 1,ų 2,...,ų k ), gdzie ų 1,ų 2,...,ų k œ R n. Wówczas jeúli k = n to macierz A jest nieosobliwa; jeúli k < nto macierz A jest osobliwa; jeúli macierz A jest nieosobliwa, to k = n. 7. X i Y sπ przestrzeniami liniowymi skoòczonego wymiaru nad cia em R, dim X = 10, dim Y = 12 i f œ L(X, Y ). Wynika z tego, øe dim(im f) < dim Y ; dim(ker f) < dim Y ; f nie jest monomorfizmem. 8. Macierze A, B œ C n,n sπ podobne. Wynika z tego, øe im A =imb; det n (A +3I n )=det n (B +3I n ); rank(a 2 ) = rank(b 2 ). 9. Macierz symetryczna A =[a i,j ] n i,j=1 œ Rn,n jest dodatnio okreúlona. Wynika z tego, øe det n (A) > 0; a 1,1 + a 2, a n,n > 0; macierz A ma n róønych dodatnich wartoúci w asnych. 10. (A, È, Í) jest przestrzeniπ euklidesowπ, x, y œ X oraz ÎxÎ = ÎyÎ =1. Wówczas Èx, yí 1; jeúli Èx, yí < 1, todim X ˇ 2; Èx, yí =0.

3 ImiÍ i nazwisko: Numer albumu: CzÍúÊ teoretyczna II 1. (2 pkt) Czy zbiór liczb zespolonych {a + bi œ C : a, b œ Z,a 2 + b 2 =0} jest grupπ z dzia aniem mnoøenia liczb zespolonych? Uzasadnij odpowiedü. 2. (2 pkt) Zapisz w postaci trygonometrycznej wszystkie pierwiastki zespolone stopnia 5 z liczby (3 pkt) Niech p œ R[z] bídzie wielomianem zmiennej zespolonej z o wspó czynnikach rzeczywistych i p(z 0 )=0dla pewnej liczby zespolonej z 0. Wykaø, øe p(z 0 )=0.

4 4. (2 pkt.) Podaj definicje bazy i wymiaru przestrzeni liniowej X nad cia em K 5. (4 pkt.) Za óømy, øe X jest przestrzeniπ liniowπ nad cia em K i x 1,x 2,...,x n œ X. Wykaø, øe nastípujπce warunki sπ równowaøne: (i) Uk ad x 1,...,x n jest bazπ przestrzeni X. (ii) Dla kaødego x œ X istniejπ jednoznacznie wyznaczone skalary 1,..., n z cia a K takie, øe x = 1 x x n x n. 6. (2 pkt.) X jest przestrzeniπ liniowπ wymiaru 7, U, V µ X to podprzestrzenie liniowe takie, øe X = U + V oraz dim U =dimv =5. Jakie wartoúci moøe przyjπê dim(u fl V )?

5 ImiÍ i nazwisko: Numer albumu: CzÍúÊ teoretyczna III 1. (4 pkt.) Za óømy, øe A œ K m,n, dim ker A = k i uk ad wektorów ų 1,...,ų k œ K n jest bazπ podprzestrzeni ker A. Uk ad ten uzupe niamy wektorami ų k+1,...,ų n do bazy ca ej przestrzeni K n. Wykaø, øe uk ad n k wektorów jest bazπ podprzestrzeni im A. y k+1 = Aų k+1,..., y n = Aų n œ K m 2. (4 pkt.) Wykaø, øe niesprzeczny uk ad równaò liniowych A x = b jest oznaczony wtedy i tylko wtedy, gdy ker A = {0}.

6 3. (2 pkt.) Przekszta cenie liniowe f œ L(R[x] 3, R 3 ) spe nia warunki: f(1 + x) =0, f(1 + x 2 )= f(1 x 2 ), f(x 3 )=[1, 1, 1] T. Wyznacz f(1 + x + x 2 + x 3 ). S W T X 4. (2 pkt.) Rozstrzygnij, czy macierz symetryczna A = U1 1 2V jest dodatnio lub ujemnie okreúlona. Uzasadnij odpowiedü. S T W X 5. (3 pkt.) Wyznacz wektory i wartoúci w asne macierzy A = U 1 2 3V

7 Zadania Kaøde zadanie naleøy rozwiπzywaê na oddzielnej kartce. Kaødπ kartkí proszí podpisaê na górze imieniem, nazwiskiem i numerem albumu. Kaøde zadanie bídzie oceniane w skali Na ocení majπ wp yw zarówno poprawnoúê odpowiedzi jak i uzasadnienia formu owanych tez. W przypadku korzystania ze stwierdzeò, które nie zosta y podane na Êwiczeniach, wyk adzie lub w skrypcie, naleøy podaê ich dowód. ZADANIE 1. Róøne liczby zespolone z 1,z 2,z 3,z 4 sπ pierwiastkami wielomianu z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d, gdzie a, b, c, d œ R, przy czym z 1 = z 2 = z 3 = z 4 =1 oraz Im(z 1 z 2 ) = Im(z 3 z 4 )=0. Udowodnij, øe a = c =0, d =1oraz 2 <b<2. ZADANIE 4. Dana jest macierz A = S W U T X V œ R 4,4. (a) (5 pkt.) Znajdü bazí podprzestrzeni ima µ R 4 i uzupe nij jπ do bazy ca ej przestrzeni R 4. (b) (5 pkt.) Zapisz funkcjona liniowy g ú œ (R 4 ) ú dany wzorem g ú ( x) = [1, 1, 1, 1] x, gdzie x œ R 4, jako kombinacjí liniowπ funkcjona ów f ú 1,f ú 2,f ú 3,f ú 4 œ (R 4 ) ú, które tworzπ bazí dualnπ do bazy przestrzeni R 4 wyznaczonej w podpunkcie (a). (c) (5 pkt.) Rozstrzygnij, czy R 4 = ima ü ker A. ZADANIE 2. Rozstrzygnij dla jakich wartoúci parametrów a, b œ R uk ad równaò liniowych x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = b Y_] x 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 = 1 ax 1 + ax 2 + ax 3 x 4 = 1 _[ x 1 x 2 + x 3 x 4 = b jest (a) oznaczony, (b) niesprzeczny, (c) nieoznaczony. ZADANIE 3. Endomorfizm F œ L(R[x] 3 ) jest dany wzorem F (p)(x) =p Õ ( 1) + p Õ (0) x p Õ (0) x 2 + p Õ (1) x 3, gdzie x œ R. (a) (8 pkt.) Wyznacz bazy obrazu i jπdra endomorfizmu F. (b) (7 pkt.) Rozstrzygnij, czy endomorfizmy F oraz F F sπ diagonalizowalne. ZADANIE 5. Niech ų œ R n to ustalony wektor. Odwzorowanie : R m,n R m,n æ R jest dane wzorem (A, B) =ų T A T Bų, gdzie A, B œ R m,n. (a) (5 pkt.) Wykaø, øe jest formπ dwuliniowπ symetrycznπ na przestrzeni R m,n. (b) (5 pkt.) Udowodnij, øe forma jest nieujemnie okreúlona. (c) (5 pkt.) Niech A œ R m,n. Wykaø, øe (A, A) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ų/œ ker A. ZADANIE 6. W przestrzeni euklidesowej R 5 ze standardowym iloczynem skalarnym (È x, yí = x T y) dana jest podprzestrzeò liniowa V = { x œ R 5 : x 1 + x 2 + x 3 = x 2 x 3 + x 4 = x 3 + x 4 + x 5 =0}, gdzie x =[x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ] T. (a) (8 pkt.) Znajdü bazí ortogonalnπ podprzestrzeni V. (b) (7 pkt.) Oblicz rzuty ortogonalne wektora w = [3, 1, 1, 5, 3] T na podprzestrzenie V i V.