Rachunek prawdopodobieństwa Wykład

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Wykład Margareta Wiciak Instytut Matematyki WFMIS Politechnika Krakowska

2 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Andriej Nikołajewicz Kołmogorow rosyjski matematyk, twórca współczesnej teorii prawdopodobieństwa

3 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Paradoks Kawalera de Mere Antoine Gombaud, Chevalier de Méré pisarz francuski Rzucamy trzema kostkami do gry. Jaka jest szansa, że suma oczek wynosi 11? A jaka, że 12?

4 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać na tyle samo sposobów, co 12: 11 = = = = = = = = = = = = Wszystkich możliwości ( ) ( ) 6 = 56 3

5 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Po uwzględnieniu kolejności Wszystkich możliwości: 6 3 = : (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 1, 6), (4, 6, 1), (1, 4, 6), (1, 6, 4), (6, 3, 2), (6, 2, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 3, 6), (5, 5, 1), (5, 1, 5), (1, 5, 5), (5, 4, 2), (5, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 5, 2), (2, 4, 5), (2, 5, 4), (5, 3, 3), (3, 5, 3), (3, 3, 5), (4, 4, 3), (4, 3, 4), (3, 4, 4) 27 możliwości 12 : (6, 5, 1), (6, 1, 5), (5, 1, 6), (5, 6, 1), (1, 5, 6), (1, 6, 5), (6, 4, 2), (6, 2, 4), (4, 2, 6), (4, 6, 2), (2, 6, 4), (2, 4, 6), (6, 3, 3), (3, 6, 3), (3, 3, 6), (5, 5, 2), (5, 2, 5), (2, 5, 5), (5, 4, 3), (5, 3, 4), (4, 3, 5), (4, 5, 3), (3, 4, 5), (3, 5, 4), (4, 4, 4) 25 możliwości

6 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Blaise Pascal francuski filozof, matematyk, pisarz i fizyk Pierre de Fermat matematyk francuski, z wykształcenia prawnik

7 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Przykład W przypadkowych momentach mogą nadejść do odbiornika dwa sygnały. Odbiornik zostaje uszkodzony, gdy różnica w czasie pomiędzy dwoma sygnałami jest mniejsza od τ (τ > 0). Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia odbiornika w czasie T (T > τ).

8 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Joseph Louis François Bertrand matematyk i ekonomista francuski Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

9 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda I rozwiązanie Ω = [0, π] A = [ π 3, 2 3 π] P (A) = 1 3

10 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda II rozwiązanie Ω = [0, 1] A = [0, 1 2 ] P (A) = 1 2

11 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda III rozwiązanie Ω = K(0, 1) A = K(0, 1 2 ) P (A) = 1 4

12 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Ciekawe strony dotyczące paradoksu Bertranda:

13 Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Dylemat więźnia Spośród trzech więźniów, Mateusza, Marka i Łukasza, dwóch ma być straconych. Mateusz nie wie jednak którzy to, zwraca się przeto do strażnika: Z pewnością zostanie stracony Marek lub Łukasz, tak więc jeżeli podasz mi imię jednego z nich, Marka lub Łukasza, który będzie stracony, to nic mi nie powiesz o mym losie. Po chwili namysłu strażnik odpowiedział: Marek będzie stracony. Wtedy Mateusz poczuł się bardziej spokojny, ponieważ prawdopodobieństwo jego stracenia wynosiło uprzednio 2/3, a teraz po odpowiedzi udzielonej przez strażnika, pozostawało już tylko dwóch więźniów, Łukasz i on sam, z których jeden nie będzie stracony, prawdopodobieństwo stracenia zmalało więc do 1/2. Czy słusznie Mateusz mógł się poczuć spokojniejszy?