Ekonomicko-statistický návrh regulačního diagramu

Transkrypt

1 Ekonomicko-statistický návrh regulačního diagramu Eliška Cézová Centrum pro jakost a spolehlivost výroby, Ústav technické matematiky, Fakulta strojní Robust září 2012, Němčičky

2 Obsah Úvod Základní model Rozšířený model Model s údržbou

3 Úvod Tn. Symbolem Základní Tf označíme čas potřebný k nalezení příčiny, která způsobila posun ve model Rozšířený model výrobním procesu. Pátý časový úsek Tr představuje dobu potřebnou k opravě výrobního Model s údržbou procesu a jeho navrácení do stavu pod kontrolou. Tato doba se do celkové délky cyklu započítává pouze tehdy, pokud výrobní proces vyrábí v průběhu opravy. Pokud proces po dobu opravy stojí, čas Tr = 0 a do celkové délky cyklu se nezapočítává. Na obr je Celková doba zobrazena celková procesu délka cyklu výrobního procesu. V dalším textu budeme předpokládat, že časový interval h mezi inspekcemi se po dobu řízení nemění. Dále předpokládejme, že známe rozdělení doby do vzniku vymezitelné příčiny (doby do poruchy). Začátek Poslední Nastává První Inspekce Detekce Nalezení Odstranění procesu inspekce zjistitelnáinspekce signalizujíctelné příčiny příčiny zjisti- zjistitelné zjistitelné pod před zjistitelnotelné zjistitel- příčiny příčina po zjisti- kontrolou příčinou příčině nou příčinu h Ts TIn Td TOut Tn T Cyklus obnovy Tf Obrázek 2.11: Celková délka cyklu procesu T In délka doby procesu pod kontrolou Použité symboly: T Out délka doby procesu mimo kontrolu Ts doba od počátku běhu procesu do s-té inspekce, kdy je proces pod kontrolou [hod] Td doba od s-té inspekce do n-té inspekce při níž je posun detekován [hod] Tn doba potřebná pro odebrání n vzorků a zakreslení výsledků měření do regulačního diagramu při inspekci [hod] 87 Tr

4 Celková doba procesu je součet středních hodnot délek jednotlivých období: E(T ) = E(T s ) + E(T d ) + E(T n ) + E(T f ) + γe(t r ), T s doba od počátku běhu procesu do s-té inspekce, kdy je proces pod kontrolou [hod] T d doba od s-té inspekce do n-té inspekce při níž je posun detekován [hod] T n doba potřebná pro odebrání n vzorků a zakreslení výsledků měření do regulačního diagramu při inspekci [hod] T f doba potřebná k nalezení zjistitelné příčiny, která způsobila posun v procesu [hod] T r doba potřebná k opravení zjistitelné příčiny [hod] γ = 1 proces pracuje po dobu opravy (mimo statistickou kontrolu) a γ = 0 pokud proces po dobu opravy stojí.

5 Úvod hodnotou sledované Základní model veličiny W na požadované úrovni Rozšířený µ0. Inspekce model provádíme po h hodinách. Model s údržbou Po určitém čase nastane zjistitelná příčina, která způsobí posunutí střední hod- noty. Posun ve střední hodnotě je δσw, zatímco µ0 ± δσw je hodnota procesu po té, co nastala zjistitelná příčina. V uvažovaném modelu je sledovanou veličinou aritmetický průměr n měření provedených při jedné inspekci a tedy CL je rovna µ0, UCL, resp. LCL, Délka cyklu je rovno procesu pro Duncanův model µ0 + k(σ/ n) resp. µ0 k(σ/ n). Při hledání zjistitelné příčiny výrobní proces nezastavujeme, snažíme se pouze upravovat parametry daného procesu. Předpokládáme, že známe parametry µ0, δ a σ, zatímco n, h a k jsou neznámými parametry, které optimalizujeme, viz [28], [62], [79], [30], [29]. Začátek Poslední Nastává První Inspekce Detekce Nalezení Odstranění procesu inspekce zjistitelnáinspekce signalizujíctelné zjisti- zjistitelné zjistitelné pod před zjistitelnotelné příčina po zjisti- příčiny příčiny kontrolou zjistitel- příčiny příčinou příčině nou příčinu 1/λ (h/(1 β)) τ proces τ posunutí procesu pod mimo kontrolu kontrolou (h/(1 β)) TIn TOut gn TA hledání příčiny oprava procesu T Cyklus obnovy Obrázek 2.12: Délka cyklu procesu pro Duncanův model Použité symboly: h doba mezi inspekcemi [hod] n je rozsah výběru vzorku [-] 91

6 Duncanův model Příklad: Vypočítejme minimální náklady pro daný výrobní proces regulovaný pomocí Shewhartova regulačního diagramu. Posun ve střední hodnotě δ = 2. Pravděpodobnost vzniku poruchy λ = Náklady za hodinu procesu ve stavu pod kontrolou a mimo kontrolu M = 100 Kč. Inspekce jsou prováděny každé tři minuty tj. g = 0.05 hod. Doba k nalezení zjistitelné příčiny T A = 2 hod. Náklady na falešný signál C f = 50 Kč. Náklady na hledání zjistitelné příčiny C r = 25 Kč. Náklady na odebírání vzorků a zakreslení výběrového bodu do regulačního digramu C F = 0.50 Kč. Náklady na měření odebraného vzorku C V = 0.10 Kč. L = λmb + αc f h + λc r 1 + λb + C s h (1)

7 λh B ( M αc f n h λh 2 B ( M αc f h h λ B k λc r ( M αc f h λc r ) + C V (1 + λb) 2 = 0 (2) ) αc f (1 + λb) C s (1 + λb) 2 = 0 (3) λc r ) + C f h λh2 M P P 2 n + C V ( 1 λh 2 M P 1 2 λh2 M P 2 α (1 + λb) = 0 (4) k. = 0, (5) ) αc f C s. = 0, (6) P k + C α f k. = 0. (7)

8 Duncanův model Dopočítané hodnoty k, h a L. n volíme od k = 2 log C V 2πn. (8) δc f h =. αcf + C s λm ( 1 P 1 ). (9) 2 n k α P h B L

9 Výsledek získaný pomocí Nelder-Meadovy metody: L = , n = , h = , k = Výsledek získaný prohledáváním v dvojrozměrné oblasti pro h a k s krokem při různých volbách n = 1,..., 25 L = n = 5, h = , k =

10 Průběh ztrátové funkce v Duncanově modelu pro různé hodnoty n = 4, 5 a Nákladová funkce n = 6 n = n = 4 4 h k

11 Lorenzen-Vancův model V roce 1986 T. J. Lorenzen a L. C. Vance uvedli ekonomický model, který v sobě zahrnuje náklady: náklady na vyhledání falešného signálu, náklady na hledání zjistitelné příčiny, náklady na opravu procesu, náklady na inspekce (na odběr vzorků). Dobu mezi odebíráním vzorků h bereme jako parametr, který optimalizujeme. T0 průměrná doba potřebná na vyhledání falešného signálu, T1 a T 2 očekávaná doba na odhalení a opravení zjistitelné příčiny. E(T In ) = 1 λ + (1 γ 1 )st 0, (10) ARL 0 střední doba do poruchy běžícího procesu, prodlužuje dobu, kdy je proces pod kontrolou o intervaly, ve kterých proces stojí a my detekujeme falešný signál. Parametr γ 1 = 1, pokud proces po dobu detekce běží jinak 0. E(T Out ) = τ + ng + h(arl δ ) + T 1 + T 2. (11) nastane zjistitelná příčina v procesu, aniž by byla detekována regulačním diagramem. (h τ), kde τ je doba, kdy nastane zjistitelná příčina mezi i-tým a (i + 1)-ním vzorkem. doba signalizující stav mimo kontrolu h(arlδ 1). doba potřebná na odebírání a zakreslení vzorků do diagramu je gn. doba k detekování zjistitelné příčiny T1 doba k odstranění zjistitelné příčiny a opravy procesu T2.

12 Úvod Celková doba, Základní kdy je model proces mimo kontrolu v sobě zahrnuje Rozšířený čtyři části. model První je doba, kdy Model s údržbou nastane zjistitelná příčina v procesu, aniž by byla detekována regulačním diagramem. Jde o dobu mezi prvním odběrem vzorku a okamžikem vzniku zjistitelné příčiny v procesu, která je rovna (h τ), kde τ je doba, kdy se nastane zjistitelná příčina mezi i-tým a (i + 1)-ním vzorkem. Druhou část tvoří doba, která signalizuje stav mimo kontrolu je Délka cyklu pro Lorenzen a Vancův model h(arlδ 1). Třetí část obsahuje dobu potřebnou na odebírání a zakreslení vzorků do diagramu je gn. Konečně čtvrtá část je složena z doby k detekování zjistitelné příčiny T1 a doby k odstranění zjistitelné příčiny a opravy procesu T2, viz. [2], [46], [49], [50]. Začátek Poslední Nastává První Inspekce Detekce Nalezení Odstranění procesu inspekce zjistitelnáinspekce signalizujíctelné příčiny příčiny zjisti- zjistitelné zjistitelné pod před zjistitelnotelné zjistitel- příčiny příčina po zjisti- kontrolou příčinou příčině nou příčinu vznik zjistitelné příčiny mezi dvěmi vzorky h TIn 1/λ + st0/arl0 τ h(arlδ 1) záznam hledání oprava dat do RD příčiny procesu TOut ng T1 T2 1/λ + st0/arl0+h τ +h(arlδ 1)+ng +T1 +T2 Obrázek 2.14: Délka cyklu procesu pro Lorenzen a Vancův model Použité symboly: h doba mezi inspekcemi [hod] n počet měření v rámci jedné inspekce (rozsah výběru vzorku) [-] Ekonomicko-statistický návrh regulačního g doba potřebná diagramu k provedení jednoho měření a jeho zakreslení při inspekci [hod]

13 Lorenzen Vancův model Střední ztráta plynoucí z nekvalitní výroby za cyklus je rovna E(C Q ) = C ( ) I λ + C O τ + ng + h(arl δ ) + γ 1 T 1 + γ 2 T 2. Náklady na detekci a opravu zjistitelné příčiny zahrnují i náklady na vyšetřování falešného signálu: E(C D ) = sc f ARL 0 + C r. Náklady na odběr vzorků za cyklus vyjádříme jako: E(C S ) = C ( 1 s λ τ + ng + h(arl ) δ) + γ 1 T 1 + γ 2 T 2. h Celkové náklady za jednotku času E(L) vyjádříme jako: E(L) = E(C Q) + E(C D ) + E(C S ) E(T )

14 Lorenzen Vancův model Příklad: Uvažujme proces řízený Shewhartovým regulačním diagramem X s těmito parametry: zjistitelná příčina způsobí posunutí ve střední hodnotě δ = 2, pravděpodobnost doby do vzniku poruchy má exponenciální rozdělení s parametrem λ = 0.01, náklady za hodinu v procesu pod kontrolou jsou C I = 0 Kč, náklady za hodinu v procesu mimo kontrolu činí C O = 100 Kč. náklady na vyšetření falešného signálu C f = 50 Kč, náklady na vyhledání zjistitelné příčiny a její odstranění C r = 25 Kč, variabilní náklady za vzorek C V = 0.10 Kč, fixní náklady za vzorek C F = 0.50 Kč, doba mezi odebíráním vzorků g = 0.05 hod, dobu k nalezení zjistitelné příčiny T 2 = 2 hod. Dobu na hledání falešného signálu T 0 a dobu na odhalení zjistitelné příčiny T 1 neuvažujeme. a) Výsledek pomocí Nelder-Meadovy simplexové metody je nejminimálnější hodnota ztrátové funkce L = pro hodnoty n = , h = , k = b) Výsledek pomocí prohledávání v dvojrozměrné oblasti pro h a k s krokem při různých volbách n = 1,..., 25, je minimální hodnota ztrátové funkce L = pro hodnoty n = 5, h = 1.408, k = 3.08.

15 Průběh ztrátové funkce v Lorenzově-Vancově modelu pro hodnotu n = Nákladová funkce k h

16 4.2.3 Ekonomická analýza statistické regulace výrobního procesu s údržbou (scénáře S 1 - S 3 ) Model s údržbou Integrované přístupy k systému řízení procesu a údržby Systém řízení procesu a údržby vychází ze tří scénářů. Průběh procesu zaznamenáváme do Jak je vidět z obr , systém řízení procesu a údržby vychází ze tří scénářů. Průběh regulačníchprocesu diagramů, zaznamenáváme kterýchdo zjišťujeme, regulačníchzda diagramů, je proces z kterých pod statistickou zjišt ujeme, zda kontrolou je proces nebo mimo statistickoupod kontrolu. statistickou Pokud kontrolou je ve stavu nebo není. pod kontrolou, Pokud je veprovedeme stavu pod kontrolou, v plánovaném provedeme časev údržbu procesu, která plánovaném předchází čase údržbu porušeprocesu, v procesu kteráa předchází reaktivníporuše údržbě. v procesu Reaktivní a reaktivní údržbuúdržbě. provádíme tehdy, kdy regulační Reaktivní diagram údržbu detekuje provádíme proces tehdy, mimo kdy regulační kontrolu. diagram Po provedení detekujereaktivní proces mimo nebo kontrolu. Po vrací provedení do stavu reaktivní pod nebo statistickou plánované kontrolu. údržby se proces vrací do stavu pod statis- plánované údržby se proces tickou kontrolu, viz. [43], [44]. Monitorování pomocí RD Proces mimo kontrolu Detekování procesu mimo kontrolu Nedetekování procesu mimo kontrolu Reaktivní údržba Reaktivní údržba S 1 S 2 Proces pod kontrolou Proces pod kontrolou Plánovaná údržba S 3 Obrázek 2.15: Integrovaný model regulačního diagramu a řízení údržby pro tři scénáře Použité symboly: h je doba mezi vzorkováním [hod] Ekonomicko-statistický návrh n je regulačního rozsah výběru diagramu vzorků (měření) při jedné inspekci [-]

17 Úvod Začátek Poslední Základní procesu model inspekce Nastává První Inspekce zjistitelnáinspekce signalizujíctelné Detekce Nalezení Odstranění zjisti- Rozšířený zjistitelné model zjistitelné Model s údržbou pod před zjistitelnotelné příčina po zjisti- příčiny příčiny kontrolou zjistitel- příčiny příčinou příčině nou příčinu Ve všech třech scénářích předpokládáme, že začínáme ve stavu pod kontrolou, inspekce provádíme po h hodinách h a poj údržbě se proces (j + 1) vrací (j + i) do stavureaktivní jako nový. inspekce údržba TIn TOut Začátek Poslední Nastává První Inspekce Detekce Nalezení Odstranění procesu inspekce zjistitelnáinspekce signalizující procesu telné mimo příčiny kontrolu) příčiny zjisti- zjistitelné zjistitelné pod Obrázek před zjistitelnotelné zjistitel- příčiny 2.16: příčina Scénář (S1) po zjisti- (detekování kontrolou příčinou příčině nou příčinu Ve scénáři (S2) dojde k posunu procesu v intervalu mezi j-tou a (j + 1)-ní inspekcí, nicméně proces pokračuje, protože regulační diagram nedetekoval posun v procesu, a tudížhnevyslal signál, že je proces mimo kontrolu před plánovanou údržbou. V (m + 1)- j (j + 1) (j + i) Reaktivní ním intervalu by měla začít plánovaná preventivní údržba nicméně, protože je indikován inspekce údržba stav mimo kontrolu bude provedena reaktivní údržba, která odstraní problém na zařízení TIn TOut a uvede jej do stejného stavu jako plánová preventivní údržba. Začátek Poslední Nastává První Inspekce Nalezení Odstranění procesu Obrázek inspekce 2.16: zjistitelná Scénář (S1) inspekce (detekování signalizující příčiny příčiny procesu mimo zjistitelné kontrolu) zjistitelné pod před zjistitelnou (S2) dojde k posunutelné procesu vzjistitel- intervalu mezi j-tou a (j + 1)-ní inspekcí, příčina po zjisti- Ve kontrolou scénáři nicméně proces příčinou pokračuje, protožepříčině regulační nou diagram příčinunedetekoval posun v procesu, a tudíž nevyslal signál, že je proces mimo kontrolu před plánovanou údržbou. V (m + 1)- ním intervalu by měla začít plánovaná preventivní údržba nicméně, protože je indikován stav mimo h kontrolu j bude provedena(j reaktivní + 1) údržba, která m odstraní m + 1problém na zařízení a uvedeinspekce jej do stejného stavu jako plánová preventivní údržba. Reaktivní TIn TOut údržba Začátek Poslední Nastává První Inspekce Nalezení Odstranění procesu inspekce zjistitelnáinspekce signalizující procesu mimo příčiny kontrolu) příčiny zjistitelné zjistitelné podzačátek Obrázek před zjistitelné zjistitel- 2.17: příčina Scénář (S2) po zjisti- (nedetekování kontrolou procesutelnou pod příčinou příčině nou příčinu Ve scénáři kontrolou (S3) začínáme ve stavu pod kontrolou a jsme ve stavu pod kontrolou i před provedením plánované údržby. Plánovaná údržba se uskutečňuje v (m + 1)-ním vzorkovacím h intervalu, tato údržba zabrání poruše v procesu. Plánovaná údržba je méně j (j + 1) m m + 1 nákladná než reaktivní údržba, protože přípravné práce mohou být provedeny za běhu inspekce Reaktivní procesu 1 před zahájením této údržby. TIn 2 TOut m údržba m + 1 inspekce Plánovaná TIn údržba Obrázek 2.17: Scénář (S2) (nedetekování procesu mimo kontrolu) Obrázek 2.18: Scénář (S3) (Proces 105pod kontrolou před plánovanou údržbou) Ekonomicko-statistický návrh regulačního Vediagramu scénáři (S3) začínáme ve stavu pod kontrolou a jsme ve stavu pod kontroloučeské i vysoké učení technické v Praze Figure:

18 Hodnota ztrátové funkce: Celková průměrná délka cyklu: E(L) = E(C)/E(T ) Celkové průměrné náklady: E(T ) = E[T S 1 ]P(S 1 ) + E[T S 2 ]P(S 2 ) + E[T S 3 ]P(S 3 ). E(C) = E[C S 1 ]P(S 1 ) + E[C S 2 ]P(S 2 ) + E[C S 3 ]P(S 3 ). Proces začíná ve stavu pod kontrolou s mechanismem poruchy, které má Weibullovo rozdělení s hustotou f (t) = λ ν νt ν 1 e (λt)ν, kde λ, ν, t 0 a distribuční funkcí, kterou označíme F(t). Pravděpodobnosti jednotlivých scénářů vyjádříme těmito vztahy: P[S 1 ] = F (mh)p(signál stav mimo kontrolu) P[S 2 ] = F ((m + 1)h) F (mh)p(signál stav mimo kontrolu) P[S 3 ] = 1 F((m + 1)h) V době pod kontrolou počítáme s průměrnou dobou do poruchy a počtem zjištěných falešných poplachů, které vyjádříme pomocí useknutého Weibullova rozdělení na intervalu 0, (m + 1)h s hustotou f Tr (t; m + 1) = λν νt ν 1 e (λt) ν, 0 t (m + 1)h. 1 e (λ(m+1)h)ν

19 Ve scénáři (S 1 ) předpokládáme detekci zjistitelné příčiny, která posune proces do stavu mimo kontrolu, po které následuje provedení reaktivní údržby. Střední dobu cyklu obnovy za předpokladu scénáře (S1), lze vyjádřit jako součet doby pod kontrolou a doby mimo kontrolu: E[T S 1 ] = E[T in S 1 ] + E[T out S 1 ]. Vezmeme-li do úvahy možnost zastavení procesu v dobách identifikace falešných poplachů (viz. (10)), dostáváme mh E[T in S 1 ] = tf Tr (t; m + 1)dt + (1 γ A ) st 0, 0 ARL 0 kde s je počet inspekcí, které proběhnou, když je proces pod kontrolou ve scénáři (S 1 ). V době, kdy je proces mimo kontrolu ve scénáři (S 1 ), detekujeme zjistitelnou příčinu, kterou vypočítáme následovně: E[T out S 1 ] = harl δ τ + gn + T A + T R, kde τ = m (i+1)h (t ih)f ih Tr (t; m + 1)dt. Celkové náklady ze scénáře (S 1 ) jsou součtem nákladů ze ztráty kvality, nákladů na i=0 vzorkování a nákladů na hledání falešného poplachu a údržbu: Náklady ze ztráty kvality ve scénáři (S1) jsou: E[C Q S 1 ] = C I mh Náklady na vzorkování ve scénáři (S1) jsou: E[C S S 1 ] = Cs Náklady na hledání falešného poplachu a údržbu jsou: E[C S 1 ] = E[C Q S 1 ] + E[C S S 1 ] + E[C D S 1 ]. 0 tf Tr (t; m + 1)dt + C O [ harl δ τ + gn + γ A T A + γ R T R ]. mh 0 tf Tr (t; m + 1)dt + h(arl δ ) τ + gn + γ A T A + γ R T R h E[C D S 1 ] = sc f ARL 0 + C R

20 Ve scénáři (S 2 ) předpokládáme, že zjistitelná příčina není detekována a proces je mimo kontrolu, provádíme reaktivní údržbu. Celková doba ze scénáře (S 2 ), která součtem doby pod kontrolou a dobou mimo kontrolu ze scénáře (S 2 ), je: E[T S 2 ] = E[T in S 2 ] + E[T out S 2 ] (m+1)h E[T in S 2 ] = tf Tr (t; m + 1)dt + (1 γ A ) st 0 0 ARL 0 (m+1)h E[T out S 2 ] = (m + 1)h tf Tr (t; m + 1)dt + T R 0 Celkové náklady ze scénáře (S 2 ) jsou součtem nákladů ze ztráty kvality, nákladů na vzorkování a nákladů na hledání falešného poplachu a údržbu: E[C S 2 ] = E[C Q S 2 ] + E[C S S 2 ] + E[C D S 2 ] Náklady ze ztráty kvality ve scénáři (S 2 ) jsou: (m+1)h E[C Q S 2 ] = C I tf Tr ] (m+1)h (t; m + 1)dt + C O [(m + 1)h tf (t)dt + γ R T R 0 0 Náklady na vzorkování ve scénáři (S 2 ) jsou: E[C S S 2 ] = mcs Náklady na hledání falešného poplachu a provedení reaktivní údržby ve scénáři (S 2 ) jsou: E[C D S 2 ] = sc f ARL 0 + C R

21 Ve scénáři (S 3 ) předpokládáme stav pod kontrolou, provedeme pouze plánovanou údržbu, která předchází zjistitelné příčině. Dobu potřebnou pro realizaci plánované údržby budeme dále označovat symbolem T P. Celková doba ve scénáři (S 3 ) je: E[T S3] = (m + 1)h + (1 γ A ) mt 0 ARL 0 + T P Celkové náklady ze scénáře S 3 jsou součtem nákladů ze ztráty kvality, nákladů na vzorkování a nákladů na hledání falešného poplachu a údržbu: E[C S 3 ] = E[C Q S 3 ] + E[C S S 3 ] + E[C D S 3 ] Náklady ze ztráty kvality ve scénáři (S 3 ) jsou (γ P je indikátor běhu procesu v průběhu plánované údržby): E[C Q S 3 ] = C I [(m + 1)h + γ P T P ] Náklady na vzorkování ve scénáři (S 3 ) jsou: E[C S S 3 ] = mcs Náklady na plánovanou údržbu ve scénáři (S 3 ) jsou: E[C D S 3 ] = mc f ARL 0 + C P

22 Příklad: Uvažujme proces řízený Shewhartovým diagramem X s těmito parametry: zjistitelná příčina způsobí posunutí ve střední hodnotě δ = 2, pravděpodobnost doby vzniku do poruchy má weibullovo rozdělení s parametrem měřítka λ = 0.05 a tvaru ν = 1, náklady za hodinu v procesu pod kontrolou C I = 0 Kč, náklady za hodinu v procesu mimo kontrolu činí C O = 100 Kč, náklady na vyšetření falešného poplachu C f = 5 Kč, náklady na provedení reaktivní údržby C R = 50 Kč, náklady na provedení plánované údržby C P = 75 Kč, variabilní náklady na odebírání vzorku jsou C V = 1Kč, fixní náklady za vzorek jsou C F = 5 Kč, počet vzorků před plánovanou údržbou m = 300, doba na odběr a jejich zakreslení do diagramu g = 0.05 hod, doba strávená hledáním falešného signálu T 0 = 1 hod, doba k určení výskytu zjistitelné příčiny T A = 1 hod, doba k provedení reaktivní údržby T R = 3, dobu k provedení plánované údržby T P = 8. Proces běží během hledání příčiny, reaktivní údržby a plánované údržby stanovíme parametr γ A = γ R = γ P = 1. Průběh ztrátové funkce pro n = 5 je na následujícím obrázku. Minimální hodnoty L = je dosaženo při h = 2.7 a k = 0.7.

23 Nákladová funkce k h Figure: Průběh ztrátové funkce pro tři scénáře pro hodnotu n = 5.

24 Nákladová funkce h n Figure: Průběh ztrátové funkce pro tři scénáře pro hodnotu k = Samotná ekonomická optimalizace nevede vždy k nejlepším výsledkům. V daném případě by nízká hodnota k vedla k nepřijatelně nízké hodnotě ARL 0 = 3.621, tedy k velmi četným falešným poplachům. provedeme ekonomicko-statistickou optimalizaci, kde určíme optimální hodnotu k0 pro požadovanou minimální hodnotu ARL 0, provedeme ekonomickou optimalizaci pro tuto optimální hodnotu k0 = pro požadovanou hodnotu ARL 0 = 400, výsledkem ekonomické optimalizace je: L = , n = 11, h = 2.4, výsledná hodnota ARL0 =

25 Použitá literatura: Cézová, E. (2008) Ekonomicko-statistický návrh regulačního diagramu, Request 08, CQR VUT Brno Duncan, A. J. (1956), The economic design of X-charts used to maintain current control of a process. Journal of the American Statistical Association, Vol. 51, No. 274, pp Linderman K., Anderson J. C., McKone-Sweet K.E. (2005), An integrated systems approach to process control and maintenance. Europen Journal of Operational Research 164, pp Lorenzen, T. J. and Vance, L.C. (1986), The economic design of control charts: a unified approach. Technometrics 28, pp McWilliams P. T., (1994), Economic, statistical and economic-statistical X chart designs. Journal of Quality Technology, vol. 26, No.3, pp

26 Děkuji za pozornost.