Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. rizik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkrypt

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Milena Benešová Aktuárský přístup k modelování kreditních rizik Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Mgr. Markéta Benková Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika 2010

2 Na tomto místě bych ráda poděkovala své vedoucí za rady, připomínky a hlavně za trpělivost, se kterou odpovídala na mé dotazy. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Milena Benešová 2

3 Obsah 1 Úvod 5 2 Teoretická část - model CreditRisk Kreditní riziko CreditRisk CreditRisk+ model Výpočet ekonomického kapitálu Aplikace modelu Shrnutí a srovnání obou variant modelu Jiné přístupy Praktická část Úvod Data Náhodné pravděpodobnosti selhání Výpočet současné hodnoty portfolia Výpočet Rekurzivní výpočet rozdělení ztrát Výpočet pomocí simulací Závěr 49 Literatura 51 A Korelace 53 3

4 Název práce: Aktuárský přístup k modelování kreditních rizik Autor: Bc. Milena Benešová Katedra (ústav): KPMS Vedoucí diplomové práce: Mgr. Markéta Benková vedoucího: marketabenkova@seznam.cz Abstrakt: Předmětem této práce je jeden z modelů pro měření kreditního rizika - model CreditRisk+. Cílem je přehledně popsat teorii, na které je tento model založen, a ve druhé části předvést praktický příklad výpočtu rozdělení ztrát. Model používá Poissonovo rozdělení jako rozdělení počtu selhání, z čehož se poté určí právě rozdělení ztrát. Toto rozdělení je výstupem z modelu. Model má dvě varianty, kterými se práce ve své teoretické části zabývá. První je výpočet rozdělení ztrát v případě, že je míra selhání každého dlužníka konstantní. Základním přínosem tohoto modelu pro měření kreditního rizika je ale varianta druhá, která počítá s variabilními mírami selhání. Předmětem praktické části je rekurzivní výpočet rozdělení ztrát, který je nabízen tvůrci modelu. Práce se ale zabývá také spojením modelu CreditRisk+ s jiným modelem pro měření kreditního rizika, známém pod názvem CreditMetrics. Výpočet využívá Monte Carlo simulace z tohoto modelu. Cílem praktické části je ukázat, jak se model dá aplikovat v praxi. Klíčová slova: CreditRisk+, pravděpodobnost selhání, kreditní riziko Title: Actuarial approach to credit risk modelling Author: Bc. Milena Benešová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Markéta Benková Supervisor s address: marketabenkova@seznam.cz Abstract:This thesis deals with one of the models for the credit risk measurement - the model CreditRisk+. The theoretical part describes the theory which is the basis for this model. Further, the thesis demonstrates an applicative example of calculation distribution of default losses. The model uses Poisson distribution as the distribution of the number of defaults from this we can proceed to the distribution of default losses which is output from this model. The theoretical part also presents two variants of this model. The first of this variant is the calculation of the distribution of default losses with fixed default rates. The main asset of this model is the second variant which calculates with the variable default rates. The applied part deals with the recurrence relation which is described with the model-makers. This thesis deals with the combination of CreditRisk+ with the another model known as CreditMetrics, too. The calculation is realized on the basis of Monte Carlo s simulation of the future portfolio. The aim of this part is to demonstrate how this model is applicable in practise. Keywords: CreditRisk+, probability of default, credit risk 4

5 Kapitola 1 Úvod Kreditní riziko je jedním z mnoha finančních rizik, které je nutné nějakým způsobem sledovat a řídit. Stále se rozvíjí matematické aparáty, pomocí kterých je toto riziko možné měřit a následně regulovat. Správné měření kreditního rizika je pro každou finanční instituci v dnešní době důležité. V této práci se zabývám jedním z modelů pro měření kreditního rizika - modelem CreditRisk+. Model byl představen společností Credit Suisse First Boston v roce 1997, kdy byl vydán technický dokument s názvem Credit- Risk+, a credit risk management framework. Tento materiál je základním zdrojem pro moji práci. Celá práce je rozdělena na teoretickou a praktickou část. V teoretické části se zabývám popisem modelu CreditRisk+. Cílem modelu je určit rozdělení ztrát z kreditního rizika. Pro výpočet tohoto rozdělení využívá model techniky známé z pojišt ovnictví. Jedná se v podstatě o modelování kreditního rizika založeného na použití Poissonova procesu, který zde modeluje počet náhodných událostí, kterými jsou nedodržení závazků klientů (neboli selhání). Parametr λ Poissonova rozdělení může být jak konstantní, tak variabilní. Pomocí rozdělení počtu selhání se poté přejde k rozdělení ztrát, které je navíc závislé na dalším parametru - expozici jednotlivých úvěrů. V této práci jsou popsány obě varianty modelu. Technický dokument k modelu CreditRisk+ nabízí rekurzivní výpočet rozdělení ztrát. V praktické části je tato rekurzivní formule k výpočtu použita. Pro srovnání se také zabývám výpočtem rozdělení hodnoty portfolia na 5

6 základě použití dalšího modelu - CreditMetrics. Model CreditMetrics byl představen společností JP Morgan v roce Do tohoto modelu jsou vneseny základní rysy modelu CreditRisk+. Prvním takovým rysem je použití náhodné míry selhání. Druhým významným rozdílem modelu CreditRisk+ oproti modelu CreditMetrics je, že pro modelování kreditního rizika používá pouze dva stavy, kterými jsou selhání nebo neselhání klienta. CreditMetrics na rozdíl od toho modeluje i změny kreditní kvality dlužníka. Na závěr je pomocí charakteristik popsáno výsledné rozdělení hodnoty portfolia a porovnání obou variant výpočtu. 6

7 Kapitola 2 Teoretická část - model CreditRisk+ 2.1 Kreditní riziko Každá společnost poskytující úvěry (nebo jiné podobné produkty) podstupuje riziko toho, že protistrana nesplní své závazky. Nesplnění závazků může mít různou formu - v této práci tím rozumíme neschopnost nebo nevůli splatit své závazky. Této neschonosti říkáme selhání dlužníka. Kreditní riziko (neboli úvěrové riziko) chápeme jako riziko selhání protistrany a měříme ho pomocí tzv. míry selhání. Mírou selhání zde rozumíme pravděpodobnost selhání, neboli pravděpodobnost, že daná protistrana nesplní své závazky. V modelu CreditRisk+ je míra selhání náhodná veličina, proto ji pro přehlednost nebudeme označovat názvem pravděpodobnost selhání. Tuto míru můžeme modelovat bud jako diskrétní nebo jako spojitou náhodnou veličinu. Model CreditRisk+ ji modeluje spojitě. Míru selhání modelujeme přes daný časový horizont, který obvykle bývá nastaven bud jako jeden rok nebo jako doba do splacení závazku. V této práci uvažujeme časový horizont jeden rok. Při posuzování kreditního rizika hraje důležitou roli tzv. kreditní rating. Ten je poskytován specializovanými ratingovými agenturami, banky si také mohou samy vytvořit tzv. interní rating. Každá agentura poskytuje určitou škálu ratingů, každému potom přiřadí míru selhání a přechodové 7

8 pravděpodobnosti mezi jednotlivými ratingy. Míra selhání potom tedy bývá úvěru přiřazena na základě ratingového hodnocení daného dlužníka. Některé modely považují za kreditní riziko také riziko snížení kreditního ratingu (např. CreditMetrics), model CreditRisk+ toto ale neuvažuje. Pro kvantifikaci úvěrového rizika máme dva základní přístupy: Prvním je přístup, kde na konci daného rizikového horizontu se dlužník nachází v kterémkoliv z definovaných ratingových stupňů, mezi které řadíme i selhání. Tento přístup je označovaný jako market-to-market a zahrnuje i případ, kdy jako kreditní riziko bereme i snížení kreditního ratingu. Druhým přístupem je přístup označovaný jako default-mode (default = selhání), ve kterém předpokládáme, že každý dlužník se může na konci horizontu nacházet pouze ve dvou stavech: selhání nebo neselhání. Model CreditRisk+ patří do skupiny default-mode. Kreditní riziko bývá řízeno pomocí statistických metod (využitelných za běžných podmínek na trhu) doplněných o stresové testování pro modelování katastrofických rizik. Cílem každého modelu je určit rozdělení ztrát. 2.2 CreditRisk+ Základními vstupy jsou: expozice banky vůči jednotlivým dlužníkům, míry selhání dlužníků, volatility těchto měr a výtěžnost. Úvěrová expozice (Credit exposure) je částka vystavená úvěrovému riziku. V případě úvěru je to obvykle nesplacená částka v okamžiku selhání mínus to, co od dlužníka dostaneme zpět i v případě selhání. Míra selhání (Default rate) bývá k danému úvěru přiřazena na základě kreditního ohodnocení dlužníka. V [9] na straně 115 se můžeme dočíst:,,četné statistické studie provedené na základě historických dat potvrzují, že mezi ratingovým hodnocením a pravděpodobností úvěrového selhání je opravdu statisticky významná korelace, což zvyšuje důvěryhodnost takových ratingových hodnocení. Například pro firmy s vysokým ratingovým hodnocením je pak již obvykle zbytečné provádět nákladné úvěrové analýzy... Nutno ale poznamenat, že během ekonomické krize v roce 2009 bylo hodnocení ratingových agentur do jisté míry zpochybňováno. 8

9 Volatilita míry selhání - statistiky ratingových agentur uvádějí průměrné míry selhání. Model CreditRisk+ ale potřebuje jako vstup volatilitu těchto měr, což je nutno dopočítat. Výtěžnost (Recovery rate) neboli míra vymahatelnosti - je to např. % z nominální hodnoty - je to částka, kterou je dlužník schopen vrátit v případě bankrotu. Čím je výtěžnost vyšší, tím nižší je úvěrové riziko. V [7] je výtěžnost modelována také jako náhodná veličina, používá se zde pro ni beta rozdělení. Výstupem z modelu je odhad rozdělení ztrát během určitého časového horizontu a velikost neočekávané ztráty (definice: viz kapitola 2.2.2). Základní předpoklad: nebere v úvahu příčiny selhání a jednotlivá selhání klientů jsou posloupností náhodných událostí, takže je nelze předvídat (jsou na sobě nezávislá). Ve velkém portfoliu jsou jednotlivé míry selhání dlužníků malé. Toto je nejlépe reprezentováno pomocí Poissonova rozdělení - Poissonovo rozdělení má náhodná veličina, která reprezentuje počet nějakých událostí v daném časovém intervalu, tyto události jsou většinou málo pravděpodobné, proto toto rozdělení bývá označováno jako rozdělení řídkých jevů. Je aproximací binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. n, a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. p 0. Parametr Poissonova rozdělení λ = np. Míra selhání jednoho dlužníka může být ovlivněna mírami selhání jiných dlužníků. Tomuto ovlivňování se navzájem říkáme riziko koncentrace. Běžně se měří pomocí korelací. Do modelu CreditRisk+ je riziko koncentrace zahrnuto pomocí sektorové analýzy a volatilit jednotlivých měr selhání. Pro kvantifikaci dělíme riziko na systematické a specifické. Systematické riziko je obecné, jsou jím ovlivněny všichni dlužníci v daném sektoru, specifické je riziko pouze toho daného dlužníka. Specifický faktor může být dostatečně potlačen diverzifikací. Pro měření rizika koncentrace tedy dělíme jednotlivé dlužníky do sektorů, v každém jsou dlužníci ovlivňováni stejným systematickým faktorem. Diverzifikované portfolio je potom takové, kde každý dlužník je zařazen ve správném sektoru. 9

10 2.2.1 CreditRisk+ model Jak bylo zmíněno dříve, výstupem z modelu je rozdělení ztrát. Rozdělení ztrát je určeno rozdělením počtu selhání, ale ztráta závisí ještě na expozici jednotlivých dlužníků. Pro odvození rozdělení ztrát musíme proto odvodit prvně rozdělení počtu selhání. V tomto modelu jsou míry selhání stochastické náhodné veličiny, což může vést k odhalení vyšších ztrát. Pro odvození ale nejprve uvažujme, že míra selhání je konstantní. Dostaneme dvě varianty modelu: 1. stálé míry selhání 2. měnící se míry selhání Následující definice a příklad, tak, jak jsou uvedené v [5], se zabývají vytvořující funkcí, kterou budeme dále v modelu potřebovat: Definice Necht {a n, n N 0 } je posloupnost reálných čísel. Jestliže mocninná řada A(s) = n=0 a n s n konverguje pro s < s 0, s 0 > 0, potom A(s) nazveme vytvořující funkcí posloupnosti a n. Definice Necht X je nezáporná celočíselná náhodná veličina s rozdělením {p n, n N 0 }. Vytvořující funkci posloupnosti {p n } nazýváme vytvořující funkcí náhodné veličiny X, značíme P X (s). Příklad Vytvořující funkce Poissonova rozdělení s parametrem λ e λ λ n P X (s) = s n = e λ (λs) n n! n! n=0 n=0 = e λ(s 1) (2.1) 1. Stálé míry selhání Uvažujme tedy, že pro každého dlužníka jsou tyto míry selhání konstantní a malé. Pokud přihlédneme k předpokladu, že není žádný vztah 10

11 mezi jednotlivými selháními dlužníků, můžeme říci, že jsou tyto události na sobě nezávislé a také počty těchto událostí jsou navzájem nezávislé. Nyní ukážeme, že pravděpodobnostní rozdělení, podle kterého se modeluje počet selhání, je opravdu Poissonovo (viz [1]): Necht máme N dlužníků. Každý dlužník má definovanou vlastní známou míru selhání (jako časový horizont volme jeden rok). Předpokládáme, že dlužník bud splatí závazek nebo ne, označme náhodnou veličinu D A = 1 v případě, že dojde k selhání dlužníka a D A = 0 v případě neselhání. Potom p A = P[D A = 1] je míra selhání dlužníka A. Jeho vytvořující funkce je P X (s) = 1 p A + p A s (2.2) Jelikož počty událostí jsou na sobě navzájem nezávislé, vytvořující funkce celého portfolia je součinem vytvořujících funkcí jednotlivých dlužníků, tedy P(s) = (1 + p A (s 1) (2.3) A A po zlogaritmování log P(s) = A log(1 + p A (s 1)) (2.4) Nyní využijeme Taylorova rozvoje logaritmu: log(x + 1) = k=1 ( 1) k 1xk k (2.5) Protože předpokládáme, že míry selhání jsou velmi malé, stačí nám použít rozvoj prvního řádu (tedy už druhý člen můžeme zanedbat), čímž vyjde: P(s) = e A pa(s 1) = e λ(s 1), kde λ = p A (2.6) A Porovnáním s rovnicí 2.1 vidíme, že rozdělení je opravdu Poissonovo. Rozdělení má jeden parametr, který reprezentuje očekávaný počet selhání. 11

12 Jak známo, střední hodnota i rozptyl Poissonova rozdělení jsou rovny parametru λ. V úvodním přehledu jsem uvedla, že výstupem z modelu je rozdělení ztrát. Nyní tedy uvedu, jak lze od rozdělení počtu selhání přejít právě k rozložení ztrát. Stejná ztráta může vzniknout z jednoho selhání (u většího klienta) nebo z více selhání menších dlužníků, z čehož vidíme, že rozložení ztrát bude jiné než rozložení počtu selhání - bude záviset na expozici dlužníků. Rozdělíme dlužníky do různých pásem tak, že každé pásmo obsahuje dlužníky se stejným úvěrovým rizikem (tj. se stejnou expozicí). Necht tedy je portfolio rozděleno do m pásem a definujme následující veličiny: Definice Definujme proměnné ν j, ǫ j a λ j jako společnou expozici v pásmu j, očekávanou ztrátu v pásmu j a očekávaný počet selhání dlužníků v pásmu j pro j = 1,..., m. Pro tyto proměnné platí vztah ǫ j = λ j ν j (2.7) Definice Definujme ν A jako expozici dlužníka A a ǫ A necht je očekávaná ztráta dlužníka A. Potom platí z 2.7 : λ j = ǫ j ν j = A:ν A =ν j ǫ A ν A (2.8) neboli je stejné, když uděláme podíl veličin, které odpovídají danému pásmu, nebo sečteme takové podíly všech dlužníků, kteří do tohoto pásma spadají. Abychom dlužníky mohli do pásem rozdělit, je ν A zaokrouhleno na nejbližší přirozené číslo, které je potom společné pro několik dlužníků. Tyto dlužníky dáme do stejného pásma j a danému pásmu přiřadíme společnou expozici ν j. Zaokrouhlením vznikne chyba v modelu. V [1] na str. 39 je ukázáno, že je tato chyba zanedbatelná. Expozice v portfoliu se předpokládají 12

13 nezávislé, proto i daná pásma jsou mezi sebou nezávislá. Expozice jsou většinou definovány v závislosti na nějakou jednotku. Pokud zvolíme L jako danou jednotku, je celková očekávaná ztráta dlužníka A = L ǫ A a L A = L ν A je celková expozice dlužníka A. Označme λ jako celkový počet selhání v portfoliu za časový horizont jednoho roku. Potom platí vztah: m m ǫ j λ = λ j = (2.9) j=1 j=1 ν j Nyní přejdeme k rozdělení ztrát. Jak již bylo řečeno dříve, není toto rozdělení stejné jako rozdělení počtu selhání dlužníků, nebot v něm hraje roli ještě další prvek. Rozdělení ztrát odvodíme opět pomocí vytvořující funkce (a opět podle [1]): Předpokládáme, že expozice banky vůčí jednotlivým dlužníkům (velikost vystaveni riziku) jsou navzájem nezávislé, proto vytvořující funkce je součinem vytvořujících funkcí pro každé pásmo (v každém pásmu mají dlužníci stejnou expozici), které vypadají takto (P(n) značí pravděpodobnost, že nastane n selhání): G j (s) = P(n)s nν j = n=0 n=0 e λ j λ n j n! s nν j = e λ j+λ j s ν j (2.10) A tedy pro celé portfolio platí: m G(s) = e λ j+λ j s ν j j=1 = e m j=1 λ j+ m j=1 λ js ν j (2.11) Nyní definujme polynom Q(s) = mj=1 λ j s ν j λ (2.12) 13

14 Máme tedy vytvořující funkci, která závisí pouze na parametrech λ a ǫ, kde ǫ je druhým náhodným prvkem: G(s) = e λ(q(s) 1) = P(Q(s)) (2.13) Odvodili jsme rozdělení počtu selhání a rozdělení ztrát, které jsme uvedli jako výstup z tohoto modelu. Předpokladem ale byly fixní míry selhání. Toto lze rozšířit pomocí sektorové analýzy a zahrnutí rozptylu míry selhání (a tedy dalšího náhodného prvku) do modelu. 2. Měnící se míry selhání Statistiky ukazují, že míry selhání stálé nejsou - má na ně vliv například stav ekonomiky. Je proto nutné tuto náhodnost do modelu zahrnout. Může nastat případ, kdy popsaná nejistota měr selhání může mít stejný vliv na větší počet klientů. Rozdělíme klienty do sektorů, do každého sektoru dáme klienty, na které má vliv stejný faktor. Sektorová analýza tedy rozdělí dlužníky do sektorů podle závislosti. Danému sektoru se přiřadí náhodná veličina - míra selhání - a spočítá se její střední hodnota a rozptyl. Zavedeme následující značení: Necht S k, 1 k n, je n sektorů. Průměrná míra selhání v každém sektoru je náhodná veličina X k, která závisí na faktoru, který tento sektor ovlivňuje. Tato náhodná veličina má střední hodnotu λ k a rozptyl σ k. ν j a ǫ j reprezentují stejné veličiny jako dříve, pouze dostávají nově index daného sektoru. Potom platí vztah: λ k = m(k) j=1 ǫ (k) j ν (k) j = A k ǫ A ν A kde 1 k n; 1 j m(k) (2.14) Máme tedy dánu střední hodnotu. Pro potřeby modelu musíme dále určit směrodatnou odchylku. Nyní uvedeme odhad tak, jak je popsán v [1] na str : 14

15 Uvědomme si, že ǫ A ν A = p A (2.15) Tím máme stanovenu míru selhání každého dlužníka přes daný časový horizont (zde 1 rok). Můžeme stanovit směrodatnou odchylku této míry pro každého dlužníka. Tu můžeme určit např. v závislosti na stanovení kreditní kvality daného dlužníka. Na základě směrodatných odchylek jednotlivých dlužníků určíme směrodatnou odchylku celého sektoru. Máme ale pouze náhodné veličiny X k, z nichž odhadem určíme veličinu, která reprezentuje průměrnou míru selhání dlužníka A. Její odhad je v [1] určen takto: A pro odhad směrodatné odchylky potom platí: σ A = A A X A = ǫ A ν A X k λ k (2.16) ǫ A σ k 1 ǫ A = σ k = σ k (2.17) ν A λ k λ k ν A kde suma jde přes všechny dlužníky v daném sektoru. Dalším krokem je určení rozdělení počtu selhání s měnící se mírou selhání. Rozdělení počtu selhání se stálou mírou selhání jsme počítali pomocí vytvořující funkce. Tento postup použijeme i zde (opět je vyložen v [1], str ). Necht P k (s) jsou vytvořující funkce jednotlivých sektorů a P(s) celková vytvořující funkce. Protože sektory jsou navzájem nezávislé, můžeme psát: n P(s) = P k (s) (2.18) k=1 A Potřebujeme určit P k (s). Z předchozího víme, jak vypadá podmíněná vytvořující funkce. P(n) opět značí pravděpodobnost, že nastane n selhání: P Xk (s) [X k = x] = e x(s 1) (2.19) 15

16 Předpokládejme dále, že náhodná veličina X k má hustotu f k (x), potom platí: P k (s) = P(n)s n = s n P(n x)f(x)dx = (2.20) n=0 n=0 0 = 0 e x(s 1) f(x)dx Necht náhodná veličina X k má gama rozdělení. Uved me prvně některé základní vlastnosti tohoto rozdělení: Značíme X Γ(a, q), kde a > 0 a q > 0 jsou parametry a X (0; ) Hustota: f(x) = aq Γ(q) xq 1 e ax I (0; ) (x), kde x R (2.21) Obrázek 2.1 Γ-funkce: Γ(q) = 0 y q 1 e y dy (2.22) Dále platí, že: Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π a obecně Γ(q+1) = qγ(q), spec. pro q N platí Γ(q + 1) = q! 16

17 Určíme k-tý moment: EX k = 0 x k aq Γq xq 1 e ax dx = aq x k+q 1 e ax dx =... (2.23) Γ(q) 0 Po substituci y = ax, dy = adx... = a k y yk+q 1 e y dy = Γ(q) 0 Γ(q + k) a k Γ(q) = = (q + k 1)(q + k 2)...qΓ(q) a k Γ(q) ki=1 (q + k i) = V předchozí rovnosti jsou použity vlastnosti Γ-funkce. Z k-tého momentu jednoduše určíme střední hodnotu a rozptyl jako první moment a druhý centrální moment: a k EX = q a (2.24) V arx = q(q + 1) a 2 Z toho lze odvodit, že pro k-tý sektor tedy platí: q2 a 2 = q a 2 (2.25) a k = λ k σ 2 k a q k = λ2 k σ 2 k (2.26) Dosadíme-li hustotu do 2.20, můžeme určit výslednou vytvořující funkci P k (s) pro každý sektor a tím získáme i požadovanou celkovou vytvořující funkci: P k (s) = x=0 e x(s 1) a q k k Γ(q k ) xq k 1 e akx dx = aqk k Γ(q k ) a po zavedení substituce y = x(a k s + 1) vychází = = aq k Γ(q k ) y=0 x=0 y ( a k s + 1 )q k 1 e y dy a k s + 1 = a q k k y qk 1 e y dy = Γ(q k )(a k s + 1) q k y=0 17 x q k 1 e x(a k s+1) dx = a q k k (a k s + 1) q k

18 Výsledkem je: P k (s) = a q k k (a k s + 1) q k (2.27) V následujícím odstavci je ukázáno, že toto je vytvořující funkce negativně binomického rozdělení počtu selhání v jednotlivých sektorech. Při výpočtu vytvořující funkce negativně binomického rozdělení je použita zobecněná binomická věta: Es x = k=0 s k ( q + k 1 k ) p k (1 p) q = (1 p) q k=0 ( ) q s k p k = k (1 p)q (1 sp) q (2.28) Jestliže v 2.27 zavedeme substituci p k = 1 1+a k, vyjde: 1 p k k ( ) qk p k q 1 pk p = (2.29) k p k s 1 p k s Celkové rozdělení počtu selhání je potom součinem těchto negativně binomických. V případě stálých měr selhání jsme od rozdělení počtu selhání přešli k rozdělení ztrát. V případě měnících se měr selhání je postup analogický. (Podrobně viz [1] str ). Opět máme vytvořující funkci G(s), která vznikne součinem jednotlivých funkcí G k (s) pro jednotlivé sektory (využíváme nezávislosti) a zbývá tedy určit právě tyto G k (s). Tak jako v případě stálých měr selhání se pro výpočet definuje polynom Q k (s) = m(k) j=1 m(k) j=1 ǫ (k) j ν (k) j s ν(k) j ǫ (k) j ν (k) j = 1 m(k) λ k j=1 ǫ (k) j ν (k) j s ν(k) j (2.30) a dá se ukázat, že vztah mezi rozdělením počtu defaultů a rozdělením ztrát je následující: G k (s) = P k (Q k (s)) (2.31) 18

19 Protože výsledná vytvořující funkce je součinem vytvořujících funkcí jednotlivých sektorů, lze psát: n G(s) = k=1 1 p k 1 p k m(k) λ k j=1 ǫ k ν (k) j s ν(k) j (2.32) qk Je možné dokázat (viz [1], str ), že vytvořující funkce rozdělení ztrát z druhého případu konverguje k vytvořující funkci, kterou jsme spočítali v prvním případě a to za předpokladu, že směrodatná odchylka míry selhání konverguje k nule nebo počet sektorů konverguje k nekonečnu. Každého dlužníka jsme zařadili do daného sektoru podle toho, jaký faktor ho nejvíc ovlivňuje. Tato problematika se dá rozšířit tak, že uvažujeme všechny faktory, kterými je ovlivněn, a do každého sektoru ho zařadíme daným poměrem. Navodím pouze základní myšlenku, více je ukázáno v [1] na straně 51-52: V předchozích odstavcích jsme určili vytvořující funkci G(s): n n G(s) = G k (s) = e x k(q k (s 1)) f k (x k )dx k = (2.33) k=1 k=1 x k =0 = x 1 =0 Exponent můžeme rozepsat: e n k=1 x k(q k (s 1)) x n=0 n f k (x k )dx k (2.34) k=1 n n x k ǫ A x k (Q k (s 1)) = (s ν A 1) (2.35) k=1 k=1 A k λ k ν A a pokud uvažujeme původní předpoklad, že každý dlužník patří právě do jednoho sektoru podle toho, který faktor ho ovlivňuje nejvíce, můžeme tuto rovnost přepsat takto: = A,k δ Ak x k λ k ǫ A ν A (s ν A 1) (2.36) 19

20 δ = 0, pokud A / k a δ = 1, pokud A k. Nyní parametr δ nahradíme parametrem θ Ak, který každého dlužníka přiřadí do sektorů v poměru, v jakém tam patří. Musí tedy platit: n θ Ak = 1 (2.37) k=1 a z toho je zřejmé, že případ, který jsme uvažovali předtím, je speciálním případem. Poznámka Rekurzivní vztah pro výpočet rozdělení ztrát Technický dokument k modelu CreditRisk+ [1] nabízí k výpočtu rozdělení ztrát rekurzivní vztah. Tento vztah je odvozen z vytvořující funkce rozdělení ztrát. Na straně 38 je uveden vztah pro výpočet rozdělení ztrát s konstantním mírami selhání. A n zde značí pravděpodobnost ztáty n jednotek z portfolia: A n = j:ν j n ǫ j n A n ν j (2.38) A 0 = G(0) = P(Q(0)) = e λ = e m ǫ j j=1 ν j (2.39) Výhodou tohoto vztahu je rychlost výpočtu rozdělení ztrát. Rekurzivní vztah pro rozdělení ztrát s měnícími se mírami selhání je uveden na straně 48-49, naznačím zde odvození: Předpokládáme opět, že G(s) = A n s n (2.40) n=0 Důkaz vychází z toho, že G (s) (derivace logaritmu) je racionální funkcí, a G(s) tedy podílem dvou polynomů A(s), můžeme psát: B(s) Necht B(s)G (s) = A(s)G(s) (2.41) A(s) = a a q s q a B(s) = b b r s r (2.42) 20

21 2.41 můžeme tedy přepsat takto: ( r ) ( b j s j q ) ( (n + 1)A n+1 s n ) = a i s i A n s n j=0 n=0 i=0 n=0 (2.43) Porovnáním koeficientů u s n dostaneme: b 0 (n + 1)A n+1 + min(r,n) j=1 A z toho plyne rekurzivní vztah: A n+1 = 1 b 0 (n + 1) b j (n + 1 j)a n+1 j = min(q,n) a i A n i i=0 min(r 1,n 1) j=0 min(q,n) i=0 a i A n i (2.44) b j+1 (n j)a n j (2.45) Ještě je potřeba určit koeficienty obou polynomů. To lze tak, že do 2.41 dosadíme vzorec pro G k (s) vyjde: A(s) B(s) = n k=1 p k q k λ k 1 p k λk m(k) j=1 ǫ (k) j s ν(k) j 1 m(k) j=1 ǫ (k) j ν (k) j s ν(k) j (2.46) Názorný výpočet rozdělení ztrát pomocí rekurzivního vzorce jsem našla v [4]. 1 Poznámka Korelace V úvodní kapitole bylo zmíněno, že riziko koncentrace se obyčejně měří pomocí korelací, ale v modelu CreditRisk+ je toto riziko řízeno pomocí sektorové analýzy a volatility měr selhání. Závislost mezi jednotlivými dlužníky může rozdělení ztrát ovlivňovat. Např. může zůstat nezměněna očekávaná ztráta, rozptyl tohoto rozdělení se může změnit. Korelace mezi jednotlivými dlužníky nejsou v tomto modelu opomenuty, jsou v něm pouze zabudovány tak, že nejsou explicitním vstupem do modelu. Necht platí: I A = { 1 v případě selhání 0 v případě neselhání 1 model 89.htm 21

22 Potom korelace ρ AB = ρ(i A, I B ). Tato korelace je odvozena v [1] na straně Ve výsledném vzorci je vidět závislost na σ k 2 λ k. Se změnou rozptylu daného sektoru se změní i korelace. Pokud rozptyl míry selhání v modelu neuvažujeme (neboli uvažujeme konstantní míry selhání, tj. rozptyl je nulový), korelace mezi jednotlivými dlužníky jsou také nulové, což značí nezávislost mezi jednotlivými dlužníky. Dále je vidět závislost na θ Ak θ Bk. Pokud nemají dlužníci ani jeden sektor společný, korelace mezi nimi je také rovna nule. Poznámka souvislost s pojištěním Metoda výpočtu použitá v modelu CreditRisk+ je odvozená z technik používaných v neživotním pojištění. Pro n pojistných událostí se většinou jako rozdělení počtu škod bere rozdělení Poissonovo. Pokud v modelu Poissonova rozdělení pro počet škod je parametr náhodný a jeho rozdělení je gama, dostaneme pro počet pojistných událostí negativně-binomické rozdělení (více viz [6]) Výpočet ekonomického kapitálu Očekávaná ztráta je ta, kterou odhadujeme. Neočekávanou ztrátou rozumíme výjimečné fluktuace, chápeme ji jako volatilitu očekávané ztráty. Dá se měřit také pomocí jiných měr rizika. Ekonomický kapitál je kapitál pro krytí neočekávané ztráty vyplývající z možného rizika CreditRisk+ model vypočítá rozdělení ztrát, z výsledků modelu můžeme spočítat ekonomický kapitál. 22

23 Obrázek 2.2 Doplněním statistického modelu je stresové testování, pomocí kterého modelujeme katastrofická rizika. Stresovány jsou vstupy do modelu (např. simulujeme recesi ekonomiky zvýšením míry selhání) Aplikace modelu Pomocí výsledků lze spočítat velikost ekonomického kapitálu. Každá finanční instituce se ale snaží ekonomický kapitál pro krytí kreditního rizika co nejvíce redukovat, čehož docílí, pokud toto riziko sníží. Toto riziko lze snížit různými způsoby, např.: 1. Zajištěním úvěrů 2. Nastavením limitů. Kreditní limity bývají nastaveny individuálně pro každého dlužníka a jsou závislé na pravděpodobnosti selhání. Limity mohou být stanoveny např. na výši půjčené částky. 3. Portfolio management by měl kreditní riziko sledovat a rozhodovat o jeho řízení. Zajímavým nástrojem je například zkoumání tzv. příspěvku rizika (Risk contribution), který je definován jako marginální příspěvek 23

24 daného úvěru ke směrodatné odchylce nebo jiné míře rizika. Marginální riziko aktiva je definováno jako parciální derivace rizika porfolia vzhledem k hodnotě daného aktiva. V [1] na straně 53 je příspěvek rizika definován pomocí směrodatné odchylky rozdělení ztrát: Necht E A je celková expozice dlužníka A, potom příspěvek rizika je marginální efekt chování E A na směrodatnou odchylku rozdělení ztrát.: RC A = E A 2σ a protože (dlužníci A a B, ρ je jejich korelace) σ 2 E A (2.47) σ 2 = A,B ρ AB E A E B σ A σb (2.48) potom platí RC A = σ (2.49) A Obecně akceptovatelnou mírou rizika pro určení neočekávané ztráty je VaR (Value at Risk = hodnota v riziku). Definuje se jako maximální možná ztráta za dané období při zvolené hladině spolehlivosti a firma CSFB uvádí, že 99 procentní hladina je vhodnou definicí pro měření ekonomického kapitálu (máme daný horizont jednoho roku). V materiálu [3] na str. 3 je příspěvek rizika měřen právě pomocí Value at Risk, které je pro danou hladinu δ (0, 1) definováno takto: ρ(l) = inf{l R : P[L l] δ} (2.50) kde L je ztráta portfolia a platí: ρ(l) = A ρ A (L) (2.51) kde ρ A (L) je příspěvek rizika dlužníka A. 24

25 V [9] na straně je vliv jednotlivých úvěrů na volatilitu celkového portfolia popsán pomocí koeficientu, který je zde nazýván citlivost relativních změn volatility na změnu jednotlivých nástrojů v portfoliu: β A = 1 σ Příspěvek rizika je potom vyjádřen jako σ E A (2.52) RC A = σ β A E A (2.53) Uvádí zde také vztah pro maticové vyjádření: kde E je vektor expozic. β = ΣE E T ΣE (2.54) Shrnutí a srovnání obou variant modelu CreditRisk+ má tři základní části: CreditRisk+ Model je založen na portfoliovém přístupu modelování kreditního rizika. Je to statistický model, který nezohledňuje příčiny selhání klienta. Je vhodný pro výpočet úvěrového rizika pro portfolia obsahující velký počet dlužníků, z nichž každý je charakterizován nízkou mírou selhání, tato míra je spojitou náhodnou veličinou. Přístup přebírá metody používané v pojišt ovnictví. Metoda pro výpočet ekonomického kapitálu - výstup z modelu je poté použit k výpočtu ekonomického kapitálu Aplikace výsledků modelu na snížení kreditního rizika Model má dvě varianty - první je varianta s konstantními mírami selhání, druhá s variabilními mírami selhání. Vzhledem k tomu, že závislost mezi dlužníky je do modelu zahrnuta použitím sektorové analýzy a volatility míry selhání, vnímám první variantu spíše jako část, která by měla vést k lepšímu porozumění modelu - teoretický základ této varianty je jednodužší, při pochopení tohoto je potom snažší porozumět variantě druhé. Na obrázku je 25

26 vidět rozdíl mezi rozdělením ztrát v první a druhé variantě. Obrázek je převzat z [1] (strana 19): Obrázek 2.3 Černě je vyznačeno rozdělení ztrát se zahrnutím voaltility míry selhání, bíle je rozdělení ztrát bez zahrnutí volatility míry selhání. Očekávaná ztráta může být stejná, ale v případě zahrnutí volatility má rozdělení těžší chvost, což lépe charakterizuje kreditní riziko. Pomocí zvyšování nebo snižování volatility lze reagovat např. na změny v ekonomickém cyklu. 2.3 Jiné přístupy V této kapitole pouze stručně představím jiné přístupy k měření kreditního rizika. Tato sekce čerpá informace převážně z [2], kde se lze dozvědět více. Informace o historickém vývoji regulace kreditního rizika jsou čerpány z [9]. Bankovní instituce se neustále snaží kreditní riziko zmírňovat. Nejen to, s dobou rostla potřeba i mezinárodní regulace finančních institucí - byl vytvořen tzv. regulatorní přístup k měření kreditního rizika - v roce

27 byly Basilejským výborem pro bankovní dohled 2 zavedeny mezinárodní standardy, známé jako Basel I. Základem byla myšlenka, že banky by měly držet ekonomický kapitál (část vlastního kapitálu) pro krytí neočekávaných ztrát. Minimum vlastního kapitálu, který musí bank pro tyto účely držet, je nazýváno kapitálovým požadavkem. Banky se snaží eliminovat riziko, aby mohly držet menší množství kapitálu. Původní návrh, podepsán nejsilnějšími ekonomikami světa, se brzy stal celosvětově uznávaným standardem. Basel I ale zahrnoval pouze úvěrové riziko, postupem času bylo přidáno tržní riziko. Novějším materiálem je Nová basilejská dohoda (tzv. Basel II) 3, platná od roku 2007, která přidává ještě operační riziko. Struktura Basel II je rozdělena do tří pilířů. První pilíř definuje minimální kapitálový požadavek - řeší způsoby měření kreditního, tržního a operačního rizika. Druhý pilíř řeší proces dohledu - proces hodnocení dostatečnosti kapitálu dané banky regulátorem. Pilíř III - tržní disciplína, popisuje základní doporučení na uveřejňování informací. Jsou navrhnuty dva postupy pro měření kreditního rizika: Standardní přístup (The Standardised Approach) a IRB přístup (The Internal Rating- Based Approach, Metoda vnitřních ratingů). Základem pro obě metody je stanovení rizikově vážených aktiv (ozn. RVA, každé aktivum má dánu nějakou váhu podle rizikovosti) - kapitálový požadavek je potom dán jako kapitál na rizikově vážená aktiva. Je stanoveno, že musí být nejméně 8%. Standardní přístup přiděluje rizikové váhy podle stupně ratingu, používá se rating externích ratingových agentur. RVA jsou potom dána jako součin vah a expozice. Oproti tomu, základní metoda vnitřních ratingů je založena na tom, že banky provádějí interní odhady pro míru selhání dlužníka. Systém ratingů ale musí splňovat požadavky dané regulátorem. Nižší míra selhání potom znamená nižší rizikovou váhu. Základními rizikovými prvky, s nimiž tento přístup pracuje, jsou: míra selhání, expozice v době selhání, ztráta způsobená selháním klienta (LGD, Loss given default, podíl aktiv, který banka není schopna od dlužníka získat v případě, že nastane selhání). Pokročilý přístup této metody potom znamená, že banka stanovuje odhady pro všechny prvky, nejen pro pravděpodobnost selhání. Vedle regulatorního přístupu je stále více vyvíjen tzv. modelový přístup pro měření kreditního rizika. Tak jako instituce Credit Suisse First Bos- 2 Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) 3 The New Basel Capital Accord (NBCA) 27

28 ton zveřejnila model CreditRisk+, různé jiné finanční instituce představují své modely. V roce 1997 byl společností JP Morgan představen model CreditMetrics (viz [7]). Tento model zde stručně popíšeme, nebot to budeme potřebovat v praktické části: Model CreditMetrics patří mezi tzv. market-to-market modely, je založen na odhadu budoucích hodnot portfolia. Důležitým vstupem do tohoto modelu je matice přechodů z jedné ratingové kategorie do druhé. Tento model tedy nemodeluje pouze riziko selhání klienta, ale také riziko snížení ratingové kategorie. Model je portfoliový a závislost mezi jednotlivými dlužníky je dána pomocí korelační matice. Každý dlužník má na počátku výpočtu přiřazenu ratingovou kategorii a zkoumá se přechod do ostatních kategorií, většinou v horizontu jednoho roku. Na základě nového ratingu je danému úvěru přiřazena nová hodnota. V dokumentu [7] je popsán analytický přístup, který ale pro větší počet úvěrů nelze aplikovat. Pro velká portfolia je použita Monte Carlo simulace (více o této metodě lze nalézt v následující kapitole), na základě které se určí budoucí rating všech úvěrů. Poté můžeme přiřadit každému úvěru hodnotu, která odpovídá danému ratingu nebo selhání, a určit rozdělení hodnoty portfolia. Budoucí hodnota daného instrumentu se počítá metodou diskontování budoucích peněžních toků, v případě selhání klienta na základě výtěžnosti. Podrobnější postup bude nastíněn v další části. 28

29 Kapitola 3 Praktická část 3.1 Úvod V této kapitole předvedeme praktický výpočet rozdělení ztrát na základě rekurzivní metody modelu CreditRisk+, která byla popsána v teoretické části. Protože vstupem do modelu jsou volatility měr selhání, které nejsou běžně ve statistikách uváděny, bude nutné navrhnout výpočet těchto volatilit. Dále bude vyzkoušen výpočet rozdělení hodnoty portfolia za pomoci modelu CreditMetrics. Model CreditMetrics pro velké portfolio využívá pro výpočet Monte Carlo simulaci, na základě které modeluje budoucí stavy úvěru (budoucí stav znamená budoucí ratingovou kategorii). V modelu CreditRisk+ máme stavy pouze dva - toto je první změna oproti CreditMetrics. Další změnou je to, že budeme počítat s náhodnou mírou selhání (kterou budu v této kapitole nazývat pravděpodobnost selhání). Vedle budoucích stavů budeme tedy muset generovat ještě další náhodné veličiny. V jednotlivých podkapitolách prvně popíši nástroje, které budeme k výpočtu potřebovat. Poté přejdu k samotnému výpočtu pomocí rekurzivní metody a na závěr vyzkoušíme, zda je vhodné použít simulace Monte Carlo z modelu Credit- Metrics. 3.2 Data Pro každý úvěr byla zadána tato data (data k ): Čerpaná částka (velikost jistiny v čase 0) Datum otevření a datum splatnosti úvěru 29

30 Typ splátkového kalendáře (J pro jednorázově splatný úvěr, P pro postupně splatný) Ratingová kategorie, do které úvěr spadá 1 Úroková sazba použitá pro daný úvěr LGD (Loss given default)...ztáta způsobená selháním klienta, LGD = 1-výtěžnost Region a odvětví, do kterého daný úvěr patří Dále byla zadána matice korelací mezi jednotlivými odvětvími a regiony. Tyto korelace jsou uvedeny v Dodatku A. Regionů je 6 a odvětví 16, celkem tedy 96 různých kombinací region/odvětví. Na diagonále těchto matic jsou dány korelace mezi jednotlivými úvěry ve stejném regionu nebo odvětví. Pro simulaci budou potřeba korelace mezi jednotlivými úvěry (do simulací je nutné nějakým způsobem závislosti zahrnout, i když korelace nejsou explicitním vstupem do modelu CreditRisk+. Závislosti tam nejsou zanedbány, pouze jsou zohledněny jiným způsobem). Závislost je do modelu CreditRisk+ zanesena pomocí sektorové analýzy a volatility pravděpodobností selhání. Tento druh závislosti tedy použijeme při rekurzivním výpočtu. Kritériem pro dělení úvěrů do sektorů bude pro nás kreditiní rating - úvěry se stejnou střední hodnotou pravděpodobnosti selhání budou zařazeny do stejného sektoru. Připomínám, že model potom předpokládá nezávislost mezi jednotlivými sektory, což v reálném světě nebude nikdy splněno. 3.3 Náhodné pravděpodobnosti selhání Jak již bylo zmíněno výše, model CreditRisk+ počítá s náhodnými pravděpodobnostmi selhání. Na internetových stránkách ratingových agentur lze získat průměrné roční pravděpodobnosti selhání pro jednotlivé ratingové kategorie. Pro náš výpočet jsem zvolila agenturu Standard & Poors, která na svých stránkách (zdroj [8]) uvedla aktuální matici pravděpodobností přechodu 1 byl zadán rating dvou agentur: Standars & Poors a Moodys 30

31 mezi jednotlivými ratingovými kategoriemi. Tyto údaje jsem použila pro výpočet odhadu střední hodnoty a rozptylu těchto pravděpodobností pro každou ratingovou kategorii. Přechodová matice vypadá takto: Obrázek Ze střední hodnoty a rozptylu lze určit parametry gama rozdělení, jejichž výpočet byl popsán v teoretické části na straně 17. Toto rozdělení je nejen použito v rekurzivní metodě, bude použito i při simulaci náhodných pravděpodobností selhání. Sloupec NR v matici znamená úvěry, které nemají přiřazen rating. Tento sloupec pro náš výpočet nepotřebujeme, vydělíme tedy každý řádek matice číslem (1 NR(i)) kde i znamená hodnotu NR v daném řádku. Náhodnou veličinu, kterou je zde pravděpodobnost selhání, označme X. Z matice poté spočteme pro i-tou ratingovou kategorii střední hodnotu pravděpodobnosti selhání a směrodatnou odchylku této pravděpodobnosti tímto způsobem: EX i = p i1 X 1 + p i2 X p i7 X 7 (3.1) kde p ij jsou pravděpodobnosti z matice přechodu a X j je pravděpodobnost selhání (jako náhodná veličina) pro daný rating. EX 2 i = p i1 X p i2 X p i7 X 2 7 (3.2) 31

32 Výpočet směrodatné odchylky pro každý rating je poté proveden pomocí základního vzorce: σ = EX 2 (EX) 2. Výsledné hodnoty jsou uvedeny v následující tabulce: ratingová kategorie střední hodnota směrodatná odchylka AAA AA A BBB BB B CCC/C Tabulka Jak je vidět, oba údaje - střední hodnota i směrodatná odchylka - jsou velmi malé. Směrodatná odchylka roste se zhoršujícím se ratingem. 3.4 Výpočet současné hodnoty portfolia Vstupem do rekurzivního výpočtu je expozice v době selhání úvěru snížená o případnou výtěžnost. Stejně tak pro výpočet pomocí simulací musíme určit současnou budoucí hodnotu každého úvěru (hodnota, jakou bude mít úvěr za jeden rok, diskontovaná k dnešnímu dni). Současnou hodnotu každého úvěru můžeme počítat jako současnou hodnotu všech budoucích peněžních toků. Budoucí peněžní toky jednotlivých úvěrů jsou splátky úvěru a úroky. Ke každému úvěru byla zadána úroková sazba - pomocí té lze spočítat výši úroků každého úvěru. Předpokládáme měsíční úročení. Abychom mohli určit současnou hodnotu, potřebujeme vhodnou diskontní sazbu pro diskontování budoucích toků. Ta je určena takto: ds = LGD RN + riskfree (3.3) 32

33 kde RN jsou rizikové náklady pro daný úvěr (rizikové náklady jsou závislé na parametrech úvěru, je to přirážka za riziko), risk free je bezriziková úroková míra. Rizikové náklady násobíme očekávanou LGD, nebot v tom je promítnuta míra zajištění daného úvěru - při selhání klienta neztratíme celou částku, proto není nutné rizikové náklady zahrnout celé. Jako risk free sazbu jsem zvolila 2.85% - 1Y PRIBOR z října Rizikové náklady jsou závislé na pravděpodobnosti selhání. Pro jejich výpočet jsem zvolila zjednodušující vzorce, kde se předpokládá časový horizont jednoho roku a rovnoměrné rozdělení doby do selhání úvěru. Tyto vzorce byly odvozeny v přednášce konané na MFF UK - Kreditní riziko v bankovnictví. První vzorec je pro jednorázově splatný úvěr, druhý pro postupně splatný, PD značí pravděpodobnost selhání: RN J = PD 1 PD 2, RN P = PD 1 PD 3 (3.4) Pravděpodobnost selhání je pro nás náhodná veličina. Pro zjednodušení jsem rizikové náklady pro každý úvěr počítala tak, že místo pravděpodobnosti selhání jsem brala střední hodnotu této pravděpodobnosti pro daný úvěr, jinak by také rizikové náklady byly náhodnou veličinou. V případě jednorázově splatného úvěru se během doby trvání úvěru splácí pouze úroky a na konci se jednorázově splatí jistina. V případě postupně splatného se kromě úroků navíc měsíčně splácí pevná část jistiny. Pokud K je počet měsíců, na které je úvěr nastaven, jistina v čase t se spočte takto: ( X(t) = X(0) 1 t ) K (3.5) Lze tedy spočítat současnou hodnotu - peněžní toky diskontujeme sazbou ds. Peněžní toky jsou tedy úroky a celá jistina na konci v případě

34 jednorázového úvěru a úroky ze zbytku a splátka jistiny v případě postupně splatného úvěru. Pro každý úvěr si určím hodnotu v čase, který mě zajímá (zde bereme časový horizont jeden rok), v případě selhání i v případě neselhání. Při simulacích bude poté stačit po vygenerování stavů jednu z těchto hodnot danému úvěru přiřadit, čímž získáme celkovou hodnotu portfolia. V případě neselhání spočítáme hodnotu pomocí diskontování budoucích peněžních toků. V případě selhání mohu počítat pouze s částkou, kterou budeme schopni od dlužníka získat, tedy výtěžnost krát dlužná částka. Výslednou hodnotu portfolia pak ještě diskontujeme k dnešnímu dni. Expozice je samozřejmě vstupem i do rekurzivního výpočtu. Tuto expozici jsem získala jako rozdíl hodnoty v případě neselhání a hodnoty v případě selhání. 3.5 Výpočet Rekurzivní výpočet rozdělení ztrát V této podkapitole použiji pro výpočet rozdělení ztrát techniku, kterou nabízí technický dokument k modelu CreditRisk+ ([1]). Postupem času byly vyvinuty i jiné metody, které je možné použít, jako například výpočet pomocí Fourierovy transformace, který je prakticky předveden např. v [4]. Vstupy do modelu jsou pouze čtyři, což je základní výhodou této metody. Expozice, od které odečteme výtěžnost, nám dá případnou ztrátu při selhání. Expozicí tedy budu v této podkapitole myslet vždy původní expozici sníženou o případnou výtěžnost. Toto je spočítáno v předchozí podkapitole. Dalšími vstupy jsou střední hodnota a směrodatná odchylka náhodné pravděpodobnosti selhání. I tyto hodnoty již máme připraveny. Výpočet bude probíhat v programu Mathematica 6.0. Zbývá rozdělit jednotlivé dlužníky do sektorů. Pro tento výpočet jsme jako sektory zvolili jednotlivé ratingové kategorie. Každý sektor reperezentuje náhodná veličina s gama rozdělením, která má střední hodnotu danou (viz vzorce v teoretické části na straně 14-15) součtem jednotlivých pravděpodobností selhání v daném sektoru - v našem případě tedy střední hodnota pravděpodobnsti selhání v dané ratingové kategorii krát počet úvěrů 34

35 v daném sektoru. Tato střední hodnota reprezentuje střední počet selhání v sektoru. Směrodatnou odchylku také získáme pouhým součtem. V teoretické části bylo uvedeno, jak lze z těchto údajů spočítat parametry gama rozdělení. Pro každý sektor jsou parametry uvedeny v následující tabulce. V datech, která byla k dispozici, nebyl ani jeden úvěr ratingové kategorie AAA a AA, proto sektory 1 a 2 nejsou zastoupeny. Nejčastější ratingovou kategorií bylo BB. sektor λ k σ k q k a k p k A BBB BB B CCC/C Tabulka Nyní máme data rozdělená do jednotlivých sektorů, máme také parametry těchto sektorů. Důležitým krokem při výpočtu rozdělení ztrát pomocí modelu CreditRisk+ je volba vhodné jednotky a následné zaokrouhlení expozic, nebot model počítá s celočíselnými expozicemi. V našem příkladě jsem jako jednotku zvolila L = Expozice vydělíme danou jednotkou. Každou takovou expozici zaokrouhlíme na nejbližší vyšší přirozené číslo. Tím rozdělíme každý sektor do pásem podle expozic. Napíši ilustrativní příklad: úvěr má expozici ve výši Po vydělení danou jednotkou dostanu a po zaokrouhlení dostanu expozici ve výši 1. V [1] na straně 39 je ukázáno, že chyba, která vznikne tímto zaokrouhlením, je zanedbatelná. Dalším krokem je výpočet koeficientů pro rekurzivní metodu (viz. 2.46). V našem případě máme 5 sektorů, tedy suma bude mít pět sčítanců. Sečtením těchto pěti zlomků získáme koeficienty pro oba polynomy. Koeficientů polynomu A(s) vyšlo v našem případě 929, kouficientů polynomu B(s) vyšlo 930. Zde je již vidět, proč je zaokrouhlení expozic tak důležité - s v polynomech je umocněno právě na ν j, což je expozice v daném pásmu a daném sektoru. ǫ j získáme jako ǫ A přes všechny dlužníky v daném sektoru a daném pásmu. Použitím rekurzivního vztahu získáme pravděpodobnosti ztráty n jednotek portfolia (A n v 2.45). Tento vztah už není složité použít, když máme 35

36 koeficienty spočítané, jen je třeba vypočítat počáteční A 0 - to určíme takto: podle 2.31: n A(0) = G(0) = G k (0) (3.6) k=1 G k (0) = P k (Q k (0)) = P k (0) = ( ) qk 1 pk (3.7) 1 p k 0 Stačí tedy pro každý sektor spočítat P k (0)a tyto hodnoty mezi sebou vynásobit. Už tedy nic nebrání v použití rekurze, tedy vztahu 2.45 na straně 21. Program Mathematica 6.0 tuto rekurzi spočítal během několika málo minut, výpočet byl tedy velice rychlý. Tímto výpočtem získáme pravděpodobnosti ztráty n jednotek portfolia, neboli celé rozdělení ztrát. Z toho potom základními statistickými vztahy pro výpočet charakteristik rozdělení vypočítáme střední hodnotu, směrodatnou odchylku a 99% kvantil. Pro srovnání jsem počítala také rozdělení ztrát v případě, že pravděpodobnosti selhání nebyly náhodné, což znamenalo pouhé dosazení vypočtených parametrů do vzorců 2.39 a Obrázek ukazuje výsledný graf rozdělení ztrát v případě náhodných pravděpodobností selhání. Je zde vidět těžký konec rozdělení, který je typický pro kreditní riziko. Na Obrázku můžeme vidět graf rozdělení ztrát v případě stálých pravděpodobností selhání. Je vidět, že v tomto případě mohou být podceněny vysoké ztráty: 36

37 Obrázek Obrázek Pokud tedy použijeme nenáhodné pravděpodobnosti selhání, pak touto metodou zanedbáme těžký konec rozdělení ztrát. V následující tabulce vidíme další charakteristiky - výsledné hodnoty jsou již vynásobené danou jednotkou: 37

38 náhodné nenáhodné střední hodnota směrodatná odchylka kvantil (99%) Tabulka V tabulce jsou vidět celkem významné rozdíly jak v rozptylu, tak v kvantilu. Naopak výsledná očekávaná ztráta (tj. střední hodnota) je u obou variant téměř shodná. Neočekávaná ztráta je potom dána rozdílem hodnoty kvantilu a očekávané ztráty. Jak je vidět, i toto v případě použití nenáhodných pravděpodobností selhání podceňuje kreditní riziko vyšších ztrát Výpočet pomocí simulací Monte Carlo simulace v modelu CreditMetrics Strukturovaná metoda Monte Carlo používá k výpočtu velké množství simulací vývoje daného instrumentu. Musíme zvolit vhodný model pro popis chování jednotlivých nástrojů. Při simulaci v modelu CreditMetrics se využívá předpokladu, že výnosy aktiv dobře popisují chování firem. Výnosy aktiv se simulují pomocí standardního normálního rozdělení. Pro nás tedy bude stačit vygenerovat veličiny s rozdělením N(0, 1) a určit tak prahové hodnoty pro změnu ratingu: Předpokládáme, že R N(0, 1) jsou výnosy aktiv a v případě, že R < Z def, dlužník není schopen splácet: P[selhani] = P[R < Z def ] = Φ(Z def ) (3.8) 38

39 Obrázek V případě modelu CreditMetrics je nutné stanovit všechny hranice pro změny ratingu. Model CreditRisk+ ale nebere v úvahu změny ratingu, jako kreditní riziko bere pouze selhání klienta. Proto pro nás bude důležité stanovit práh pouze pro stav selhání: Z def = Φ 1 (P[selhani]) (3.9) Poté se porovnávají vygenerované hodnoty s touto prahovou hodnotou - pokud vygenerovaná hodnota spadne pod prahovou hodnotu, přiřadíme danému úvěru selhání. V případě, že by nás zajímala i změna ratingu, dívali bychom se, mezi které prahové hodnoty vygenerovaná hodnota spadla a podle toho bychom přiřadili rating. Uvedený postup byl popsán pro jeden úvěr. Pro více úvěrů je potřeba generovat náhodné veličiny, které mají vícerozměrné normální rozdělení - závislost mezi jednotlivými úvěry je dána korelační maticí. Výpočet této matice bude popsán dále. Existují různé postupy pro generování náhodných veličin z vícerozměrného normálního rozdělení, my jsme použili tzv. Choleského rozklad (viz [9], strana 134): 39

40 Necht X jsou náhodné hodnoty z N n (µ, Σ) (n- rozměrného normálního rozdělení), kde µ je vektor středních hodnot a Σ kovarianční matice. Potom lze psát: X = LZ + µ (3.10) kde L je dolní trojúhelníková matice získaná z kovarianční matice Choleského dekompozicí a Z je vektor náhodných hodnot, kde jednotlivé složky mají N(0, 1) rozdělení (jednorozměrné). Choleského dekompozice je metoda rozložení symetrické pozitivně definitní 3 čtvercové matice na součin dolní a horní trojúhelníkové, kde jedna je transpozicí druhé: Σ = L.L T (3.11) Potom platí: EX = µ + LZ = µ (3.12) V arx = V ar(lz) = LV arzl T = LL T = Σ (3.13) Výhodou je, že pokud je Choleského rozklad již jednou vytvořen, je možné opakovaně generovat pouze vektor náhodných hodnot z jednorozměrného normálního rozdělení. Poznámka Rekapitulace - kombinace dvou modelů Spočítat rozdělení hodnoty portfolia za pomoci modelu CreditMetrics - neboli výše popsané Monte Carlo simulace - znamená s pomocí prahových hodnot určit, v jakém stavu se jednotlivé úvěry budou nacházet za daný časový horizont, který byl zvolen jako jeden rok. Jak již bylo zmíněno dříve, model CreditRisk+ je specifický tím, že bere v úvahu pouze selhání klienta, proto jsme simulovali pouze stavy slehání/neselhání. Dalším rozdílem oproti modelu CreditMetrics je to, že CreditRisk+ k výpočtu používá náhodné pravděpodobnosti selhání (v teoretické části byla tato pravděpodobnost pro přehlednost nazývána mírou selhání), které bylo tedy nutné také modelovat. Prahové hodnoty byly pak určeny pro jednotlivé nasimulované pravděpodobnosti selhání. 3 pozitivně definitní matice má všechna vlastní čísla kladná 40

41 Výpočet korelační matice Další důležitou částí je výpočet korelační matice. Máme zadány korelace mezi odvětvími a regiony, ale potřebujeme znát korelace mezi jednotlivými dlužníky. Inspirací se stal výpočet korelační matice v [7] na straně Představme si, že máme pouze dva úvěry. Každý úvěr má přiřazen region a odvětví, ve kterém 100% působí. Např. první dlužník patří do prvního regionu a prvního odvětví a druhý do třetího regionu a druhého odvětví. Potom korelace mezi regiony vypadá takto: C 2 = ( 1 3 ) (3.14) A korelace mezi odvětvími: C 1 = ( 1 2 ) (3.15) Podle [7] se nyní utvoří C matice indexů, C je potom celková matice, ve které se počítá také se specifickým faktorem každého dlužníka. Matice W je potom matice vah jednotlivých indexů. Jako indexy zde máme regiony a odvětví. C = ( C1 0 0 C 2 ) (3.16) 41

42 C = C (3.17) Nuly jsou v matici na místech, kde předpokládáme nezávislost, tzn. regiony jsou nezávislé na odvětvích a specifický faktor není závislý ani na regionu, ani na odvětví, ani na jiném specifickém faktoru. W = w w 2 (3.18) w 1 a w 2 značí váhy specifického faktoru prvního a druhého dlužníka. Celková korelační matice se potom spočítá jako W T CW. Protože na diagonále musí být jedničky 4, dokážeme dopočítat váhy jednotlivých specifických faktorů: w 1 = a w (3.19) Celková korelační matice pro tuto dvojici: ( 1 ) (3.20) 4 po vynásobení W T CW vyjdou rovnice pro w 1 a w 2 42

43 Protože výsledná korelační matice má mít rozměry n n, kde n je počet smluv v portfoliu, je třeba místo C 1 zadat celou matici korelací mezi odvětvími a místo C 2 celou matici korelací mezi regiony. Jednotková matice v celková matici C bude potom tak velká, kolik je úvěrů pro simulaci. Simulace V našem příkladě bylo nutné generovat budoucí stav každého úvěru (tj. selhání/neselhání) a vedle toho pravděpodobnost selhání. Budoucí stavy byly generovány pomocí Choleského dekompozice. Rozdělení pravděpodobnosti selhání, které bylo pro tuto simulaci vybráno, bylo rozdělení gama. Jak známo, simulací je třeba provést určitý počet, aby byly výsledky důvěryhodné. V našem případě bylo takových simulací provedeno Výpočet probíhal v programu Mathematica 6.0, simulací trvalo okolo tří hodin, z čehož nejdéle trval výpočet inverzí distribuční funkce normálního rozdělení pro výpočet hranic pro určení stavů. Jak je vidět, tento výpočet byl časově mnohem náročnější než rekurzivní výpočet rozdělení ztrát. Jakmile máme nasimulován dostatečný počet dat, můžeme určit rozdělení hodnoty portfolia. Pro odhad momentů z reálných dat se používají tzv. empirické odhady (N je počet pozorování). Tyto charakteristiky samozřejmě spočítá každý matematický software. Průměr: λ = 1 N N x i (3.21) i=1 Směrodatná odchylka: σ = 1 N 1 N (x i λ) 2 (3.22) i=1 Koeficient šikmosti: γ = 1 N N (x i λ) 3 (3.23) i=1 σ 3 43

44 Koeficient špičatosti: κ = 1 N N i=1 (x i λ) 4 σ 4 (3.24) Empirický α-kvantil je definován jako: q α = inf{x : F(x) α} (3.25) kde F(x) je empirická distribuční funkce příslušného rozdělení. Výběrové kvantily lze potom určit např. tak, že seřadíme výsledné hodnoty podle velikosti, q α je potom α-empirický kvantil, pokud 100α% pozorování je q α. Z nasimulovaných hodnot můžeme určit četnosti pozorovaných hodnot na daných intervalech a z toho sestavit histogram, který je potom empirickým odhadem hustoty rozdělení. Na obrázku vidíme výsledný graf četností jednotlivých hodnot portfolia z našeho příkladu. V grafu je vidět těžký chvost, který je charakteristický pro kreditní riziko. Obrázek

45 Všechny hodnoty, které nyní uvedu, jsou již diskontované k dnešnímu dni. Připomínám, že v hodnotách se jako riziko projeví pouze selhání protistrany. K jednotlivým položkám jsou poznámky pod tabulkou. V Střední hodnota µ Směrodatná odchylka Kvantil(0.01) (ozn. q(0.01)) Šikmost Špičatost Tabulka V znamená hodnotu portfolia za 1 rok v případě, že žádný z dlužníků nezbankrotuje (tj. všem je na konci horizontu přidělen stav neselhání). Šikmost měří asymetrii daného rozdělení - rozdělení symetrické kolem průměru má šikmost rovnu nule. Záporná šikmost znamená zešikmení rozdělení vpravo. Špičatost je vztažena ke špičatosti normálního rozdělení. Pokud je tedy tato hodnota kladná, je rozdělení špičatější než normální. Z těchto údajů můžeme dále určit výši očekávané ztráty (EL): EL = V µ = (3.26) Z údajů můžeme určit také výši ekonomického kapitálu (EK): EK = µ q(0.01) = (3.27) Simulace jsem zkoušela také v případě nulových rozptylů pravděpodobností selhání (tzn. simulovaly se pouze stavy, pravděpodobnost zůstala konstantní). Rozdíly v grafu nebyly na první pohled patrné. Zůstal zachován i těžký chvost daného rozdělení. V následujícím grafu je vidět výsledné rozdělení hodnoty portfolia v tomto případě, v další tabulce potom porovnané hodnoty v obou případech. 45

46 Obrázek Střední hodnota směrodatná odchylka Nulový rozptyl Nenulový rozptyl Tabulka 3.2 Je vidět, že rozdíly ve směrodatné odchylce nejsou tak patrné jako při výpočtu pomocí rekurzivní metody. V následujícím odstavci je odůvodnění toho, že tato simulace nebyla zvolena nejvhodněji, nebot náhodné pravděpodobnosti selhání nemají vliv na výsledek. V odůvodnění je uveden pouze nejjednodušší případ. Simulace potom ukazují, že toto platí i ve složitějším případě. Věta Mějme náhodnou veličinu X s následujícím rozdělením: P(X = 1) = π, P(X = 0) = 1 π. Necht π je také náhodná veličina, která má gama rozdělení. Rozptyl této náhodné veličiny označme σ 2. Pak platí: V arx není funkcí σ. Důkaz: Náhodná veličina X nabývá hodnoty 1 v případě selhání klienta a hodnoty 0 v případě neselhání. Uvažujme nejprve, že selhání nastane s konstantní pravděpodobností p. Potom střední hodnota a rozptyl takové 46

47 náhodné veličiny vypadají takto: EX = 0 (1 p) + 1 p = p (3.28) V arx = E(X) 2 (EX) 2 = p(1 p) (3.29) π): Necht nyní je pravděpodobnost selhání náhodná veličina (označme ji E(π) = p (3.30) V ar(π) = σ 2 (3.31) Pro náhodnou veličinu X potom platí: P(X = 1 π = p) = p (3.32) P(X = 0 π = p) = 1 p (3.33) Střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny potom vypadají takto (vztah pro rozptyl, který je použit ve výpočtu, lze nalézt např. v [11] na str. 60): EX = E[E(X π)] = E(π) = p (3.34) V arx = EV ar(x π) + V are(x π) = E(π(1 π)) + V ar(π) = (3.35) = E(π) E(π 2 ) + V ar(π) = p (V ar(π) + (Eπ) 2 ) + V ar(π) = p p 2 = p(1 p) Je vidět, že rozptyl náhodné veličiny X nezávisí na rozptylu náhodné pravděpodobnosti selhání. Q.E.D. 47

48 Těžký chvost ve výsledném rozdělení zachovávají korelace. Použili jsme zde jiný druh závislosti, než který je použit v původním modelu Credit- Risk+. To, že jsme simulovali náhodné pravděpodobnosti selhání, nemělo žádný vliv na výsledek. Rozptyl výsledného rozdělení hodnoty portfolia je závislý spíše na korelacích mezi jednotlivými dlužníky. V modelu CreditRisk+ jsou pravděpodobnosti selhání náhodné. Tento přínos je ovšem způsob, jak zahrnout do modelu závislost mezi jednotlivými úvěry. Z výsledků jsou zřejmé výhody rekurzivního řešení výpočtu rozdělení ztrát, které je nabízeno tvůrci modelu CreditRisk+. Tento výpočet je velmi rychlý. Vstupy do modelu jsou pouze čtyři, což je další výhodou. Použitím náhodných pravděpodobností selhání zohledníme závislosti mezi jednotlivými dlužníky. Použitím náhodných pravděpodobností selhání při simulacích jsme neovlivnili výsledek. Simulace byly navíc oproti rekurzivnímu výpočtu časově náročné. 48

49 Kapitola 4 Závěr V této práci byl popsán jeden z modelů pro měření kreditního rizika - model CreditRisk+. Kreditní riziko se (například oproti tržnímu riziku) vyznačuje rozdělením s těžkým chvostem - není proto vhodné pro jeho měření používat normální rozdělení. Technický dokument modelu CreditRisk+ nabízí rekurzivní výpočet rozdělení ztrát - tedy výpočet bez simulací. Tuto metodu jsem v praktické části použila i já. Protože ratingové agentury nabízejí pouze střední pravděpodobnosti selhání pro jednotlivé ratingové kategorie, bylo nutné volatility těchto pravděpodobností spočítat. To se podařilo použitím matice pravděpodobností přechodu. Největší výhodou této rekurzivní metody byla rychlost řešení. Ve výsledcích je vidět rozdíl mezi použitím náhodných pravděpodobností selhání a stálých pravděpodobností selhání. Volatility těchto pravděpodobností jsou do modelu zabudovány tak, aby odrážely závislosti mezi jednotlivými dlužníky a tedy například stav ekonomiky. Ve výsledném rozdělení ztrát byl zřetelný charakteristický znak kreditního rizika - těžký chvost. Pro srovnání jsem výpočet provedla ještě i jinak. Byla navržena metoda, která spojovala myšlenku CreditRisk+ a výpočetní aparát modelu CreditMetrics. Základem pro výpočet byly simulace Monte Carlo. Navíc se simulovaly náhodné pravděpodobnosti selhání. Zjednodušení oproti modelu CreditMetrics bylo v tom, že se modelovaly pouze dva stavy. Závislosti mezi jednotlivými dlužníky se podobně jako v CreditMetrics modelovaly pomocí korelačních matic. Dokázala jsem, nejdříve pomocí simulací a pak pro nej- 49

50 jednodušší výsledek i analyticky, že toto spojení nezohledňuje náhodnost měr selhání. Nevýhodou tohoto modelu byla také časová náročnost výpočtu. V každém případě, spojení obou modelů bylo zajímavou aplikací, která vyžadovala porozumění oběma těmto modelům. 50

51 Literatura [1] CreditRisk+: risk.shtml [2] International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: [3] Calculating Value-at-Risk contributions in CreditRisk+: [4] Melchiori,M. R.: CreditRisk+ by Fast Fourier Transform, working paper, July 2004 [5] Prášková,Z. ; Lachout,P.: Základy náhodných procesů, Praha 2005 [6] Mandl,P. ; Mazurová,L.: Matematické základy neživotního pojištění, Matfyzpress, Praha 1999 [7] RiskMetrics Group: CreditMetrics - Technical Document, 2007 [8] Standard Poor s Global Fixed Income Research and Standard Poor s CreditPro R : [9] Cipra,T.: Kapitálová přiměřenost ve financích a solventnost v pojišt ovnictví, Ekopress, Praha

52 [10] Anděl,J.: Základy matematické statistiky, Matfyzpress, Praha

53 Dodatek A Korelace Na obrázku A.1 vidíte korelace mezi úvěry patřícími do jednotlivých regionů, na obrázku A.2 korelace mezi úvěry patřícími do jedotlivých odvětví. Na diagonále jsou uvedeny korelace mezi úvěry ve stejném regionu nebo odvětví. Obrázek A.1 53

54 Obrázek A.2 54