Środowisko programowe do symulacji zjawiska tunelowania

Transkrypt

1 Wydził Podstwowych Problemów Technii Środowiso progrmowe do symulcji zjwis tunelowni Prc dyplomow inŝyniers ichł Chomet Opieun: dr hb. inŝ. Włodzimierz Slejd prof. PWr. Wrocłw 6

2 Opieunowi prof. Włodzimierzowi Slejdzie serdecznie dzięuję z pomoc, cenne rdy i dysusję. Bez Jego cierpliwości niniejsz prc by nie powstł.

3 Spis Treści. Wprowdzenie Równnie Schrödinger Tunelownie nliz ilościow zjwis cierze przejść cierz przejści cierz przejści cierz przejści cierz przejści cierz przejści cierz przejści cierz trnsmisji Opis środowis progrmowego Wybrne wynii Brier prostoątn Podwójn symetryczn brier Podwójn prostoątn brier niesymetryczn Wielorotne studnie potencjłu Tunelownie cząste o róŝnych msch Wniosi Podsumownie Litertur...4 3

4 . Wprowdzenie Celem prcy było oprcownie środowis obliczeniowego pozwljącego uŝytowniowi n projetownie ułdu prostoątnych brier potencjlnych (ich wysoości i szeroości) orz wyzncznie, dl zprojetownego ułdu brier, współczynni tunelowni i trnsmisji cząste wntowych. Przeninie cząste przez briery potencjłu o sończonej grubości jest efetem czysto wntowym, nie djącym się uzsdnić n gruncie fizyi lsycznej. W fizyce tomowej jedn wyryto zjwis nie djące się wytłumczyć inczej niŝ jo przeninie przez briery potencjłu, co zostło nzwne efetem tunelowym [], []. Jądr tomów utrzymywne są w cłości silnym potencjłem przypominjącym zwęŝjący się n szczycie wł. Energie nuleonów, z tórych są zbudowne jądr nwet w stnch wzbudzonych mją energie mniejszą od wysoości tego włu potencjłu. Pomimo tego obserwujemy przeninie cząste α n zewnątrz pol oddziływń jądrowych [3]. W ten sposób moŝn rozumieć zjwiso promieniotwórczości, smorzutne rozszczepinie się nietórych jąder, tzw. zimną emisję eletronów z metlu, zjwis onttowe w ciłch stłych i inne. Ft, Ŝe cząsti o energii wyŝszej od briery potencjłu równieŝ ulegją rozproszeniu jest tłumczony znczną zminą pędu (zleŝnego od potencjłu ) [4]. W nstępnym rozdzile przedstwimy rótie wprowdzenie do zjwis tunelowni w rmch mechnii wntowej. Rozdził trzeci zwier nlizę ilościową zjwis tunelowni w przypdu jednowymirowym, orz przyłd tunelowni obserwowny w miroeletronice. W rozdzile czwrtym przedstwimy niezbędne przesztłceni numeryczne wyorzystywne w zprojetownym środowisu progrmowym. Rozdził piąty zwier opis środowis progrmowego. Rozdził szósty jest poświęcony prezentcji wybrnych wyniów i ich porównniu z wynimi nlitycznymi. W rozdzile siódmym i ósmym przedstwiono odpowiednio wniosi ońcowe i podsumownie prcy. Osttni rozdził zwier spis litertury. 4

5 . Równnie Schrödinger Przełom wieów XIX i XX zowocowł esperymentmi, tóre uzywły dulność ntury n poziomie tomowym. Flowe włsności cząste i orpusulrność promieniowni wynijące z tych doświdczeń stły w jwnej sprzeczności z ówczesną wiedzą. Fizy lsyczn precyzyjnie oreślł połoŝeni cząste. Pondto widomo było Ŝe cząsti elementrne są niepodzielne nie moŝn zobserwowć lub uzysć połówi eletronu. Ntomist fle moŝn dzielić, le nie moŝn ich precyzyjnie zlolizowć. Fle posidją długość λ i częstotliwość υ i są rozciągnięte w czsoprzestrzeni. T dulność stwi ns przed dylemtem: opis cząsti zdje się być nieomptybilny z opisem fli, w szczególności, w przypdu zjwis interferencji. Relcje de Broglie, p h / λ, orz Bohr, E h υ, oreślją dynmiczne włsności cząsti, włśnie dzięi zjwisu interferencji. Równnie Schrödinger dl cząsti poruszjącej się pod wpływem niezleŝnej od czsu siły potencjlnej [5]: h Ψ i t h Ψ VΨ HΨ m moŝe zostć przesztłcone n niezleŝne od czsu równnie funcji ( x, y, z) sąd otrzymujemy ( t) ψ ( x, y z) (.) ψ złdjąc, Ŝe Ψ f,, (.) h f h ψ Vψ f i t ψ m ψ { Hψ } const. (.3) PoniewŜ musi to być prwdziwe dl wszystich wrtości t orz x, y, z, lew i prw stron równni muszą być równe stłej. Fizyczne znczenie stłej moŝe być rozumine jo energi E orz f Et h ( t) e, h ψ Vψ Eψ m i (.4). (.5) 5

6 W szczególności dl jednego wymiru inetyczn d ψ m ψ dx h ( E V ( x) ). (.6) ZłóŜmy, Ŝe potencjł orz energi cłowit cząsti E są stłe. Wtedy energi ogólne rozwiąznie równni (.6) m postć gdzie A i B są stłymi cłowni [6]. i T E V p / m (.7) i m( EV ) x m( EV )x h h ψ Ae Be (.8) Widzimy, Ŝe stnowi ono superpozycję dwóch fl biegnących w przeciwnych ierunch. Długość tych fl odpowid długości fli de Broglie πh h h λ. (.9) m E ( V ) mt p 6

7 3. Tunelownie nliz ilościow zjwis Wyobrźmy sobie terz strumień cząste pdjących z x - n brierę potencjłu zdną wzorem, x < lub x > V. (3.) V, x Esperymentlnie moŝemy zuwŝyć, Ŝe nie wszystie cząsti o energii więszej niŝ wysoość briery potencjłu są rejestrowne po drugiej stronie briery, gdzie wyrywmy cząsti o energii niŝszej od briery. Tunelownie moŝn opisć jo zjwiso wntowe polegjące n przejści cząsti wntowej pomiędzy dwom obszrmi dozwolonymi, o jednowej energii, poprzez oddzieljącą je brierę potencjłu o więszej energii. Przyłdem omwinego zjwis moŝe być tunelownie eletronów poprzez briery tlenowe [4], co bezpośrednio prowdzi do wycieu prądu w trnzystorch polowych (OSFET). Jest to podstwowym ogrniczeniem w postępującej minituryzcji ułdów eletronicznych. Dl ścieŝe nnosopowych rozmirch, trnzystor nie moŝe poprwnie funcjonowć poniewŝ obserwujemy znczne i niepoŝądne efety tunelowni nośniów prądu przez nnoelementy ułdu eletronicznego. Anliz ilościow jednowymirowego zjwis tunelowni jest prowdzon w rmch równni Schrödinger h Ψ m ( V E ) Ψ, tóre rozwiązujemy po obu stronch orz wewnątrz briery. (3.) Wyobrźmy sobie cząstę o energii E opisywną funcją flową Ψ(x) pdjącą n brierę potencjłu opisną (3.), o wysoości V > E. Wtedy funcj flow m postć: Ψ ( x) ϕ ϕ ϕ 3 gdzie ( x) ( x) ( x) Ae Ce Ee me i x i x i x 3 Be De i x i x m V x x x ( E ),. h h (3.3) 7

8 8 Nszym zdniem będzie obliczenie prwdopodobieństw (sznsy) n zjście zjwis tunelowni przy oreślonych prmetrch modelu (energi i ms cząsti; szeroość i wysoość briery). W tym celu obliczmy współczynnii trnsmisji T i odbici R. A B R i A E T (3.4) Funcj flow musi być lsy C, więc ciągł wrz ze swoją pochodną. W szczególności ciągłość musi być zchown w miejscch zszyci funcji, więc n grnicy brier ( ) ( ) ( ) i i Ee i De Ce Ee De Ce D C B A i D C B A. (3.5) Dw osttnie równni pozwlją wyznczyć wrtości współczynniów C i D ( ) ( ),, i i e i E D e i E C (3.6) co po podstwieniu do dwóch pierwszych równń dje ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). sh ch, sh ch sh i e A E i i A B i (3.7) Znjąc zleŝności (3.7) moŝn przystąpić do wyznczni współczynniów (3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sh 4 sh 4 sh 4ch 4 sh 4ch sh T T R A E T A B R x sh x ch (3.8)

9 9 Współczynnii odbici i trnsmisji moŝn przedstwić n il sposobów. Korzystjąc z zleŝności ( ) E V E V (3.9) uzysujemy ( ) ( ) ( ) ( ) sh 4 sh 4 E m V E V E V T E m V E V E T V R h h (3.) podstwijąc do (3.) V E mv ε λ i h (3.) osttecznie otrzymujemy ( ) ( ) ( ) ( ) R ε λ ε ε T ε λ ε ε T R sh 4 sh 4 (3.) PowyŜsze wzory (3.8, 3., 3.) są nlitycznymi formułmi dl pojedynczej prostoątnej briery przy złoŝeniu, Ŝe energi cząsti jest mniejsz od wysoości briery. JeŜeli energi cząsti jest więsz od wysoości briery nlityczny wzór n współczynni przejści przyjmuje nstępującą postć: ( ) ( ) R T sin 4 ε λ ε ε (3.3) PoniŜej opisne środowiso obliczeniowe orzyst z metod numerycznych, opisnych w nstępnym rozdzile, pozwljących n oblicznie współczynni trnsmisji przez il rodzjów brier potencjłu, zprojetownych przez uŝytowni z lwitury PC lub po wczytniu prmetrów modelu.

10 4. cierze przejść cierze przejści wyliczm orzystjąc z wrunów ciągłości funcji flowej i jej pierwszej pochodnej w puntch chrterystycznych potencjłu. Zprezentuję mcierze dl wszystich rozptrywnych rodzjów przejść cząsti wntowej przez grnice brier potencjlnych. Njprostszy wrint to brier prostoątn. Do opisni wszystich moŝliwych przypdów wystrczą cztery mcierze przejści:,, 3, 4 (ptrz rys.4.). 3 4 Rys.4.. Prostoątn brier potencjłu z zznczonymi 4 róŝnymi mcierzmi przejści. JeŜeli pójdziemy ro dlej, to uzysmy brierę schodową. By rozptrzyć wszystie przypdi potrzeb sześciu mcierzy: czterech przedstwionych wyŝej, orz 5, 6 (ptrz rys.4.) Rys.4.. Prostoątn brier potencjłu z zznczonymi 6 mcierzmi przejści.

11 We wszystich rozptrywnych w prcy przypdch cząsti wntowe pdją z lewej strony n briery potencjlne. PoniŜej przedstwimy olejno jwne postcie mcierzy przejść odpowidjących przypdom: cząst wchodzi do obszru o wyŝszym potencjle ( ); cząst wchodzi do obszru o niŝszym potencjle ( ). 4.. cierz przejści W tym przypdu cząsti mją energię E więszą od wysoości briery (rys.4.3), wetor flowy jest rzeczywisty po obu stronch briery. Rys.4.3. So potencjłu; cząst wntow m energię więszą od wysoości briery. Dwie pierwsze mcierze dotyczą przypdu E > V > V. Stosujemy nstępujące oznczeni: m E, (4..) h ( V ) Z wrunów ciągłości otrzymujemy iae i Ae i ibe ' m E. (4..) h Be i i ( V ) Ce i' Ce i ' i' De i ' i' De i ' / : i'. (4..3) PoniŜej prezentujemy ( ) wyprowdzenie elementów mcierzy przejści. Przytczmy jedynie wzory bez zbytecznych omentrzy. ' i i i ' i ' ( Ae Be ) Ce De, (4..4)

12 Ae i Ce i ' ' i i i ' ( Ae Be ) De, (4..5) ' i i i ' i ' ( Ae Be ) De De i Be, (4..6) De D i ' Ae Be ' i i Ae i( ') i( ' ) Be ', (4..7) ' ', (4..8) Ce i ' ' i ( ) i i i Ae Be Ae Be ' ', (4..9) Ce i ' Ae Be ' i i ', (4..) C Ae Be ' i( ') i( ' ). (4..) ' Słdmy (4..) i (4..8) w mcierz C A, (4..) D B gdzie e e ' ' ( ') i( ') i ( ') i( ') i e e '. ' (4..3) 4.. cierz przejści Oznczeni (4..) i (4..) ndl są tulne, le tym rzem mmy do czynieni z wychodzeniem cząsti wntowej z obszru podwyŝszonego potencjłu (rys.4.4).

13 Rys.4.4 So potencjłu; cząst wntow m energię więszą od stopni briery. J w poprzednim przypdu wychodzimy z wrunów ciągłości funcji flowej i jej pierwszej pochodnej i dlej prowdzimy obliczeni nlogicznie do przedstwionych wcześniej Ce i ' b i ' b Ce De i ' b i' Ce i' De ' Ee i ' b i ' b Ee ib i' Ee Fe ib i ' b i ' b ib ib ( Ce De ) Ee Fe ib De Fe ib ' i ' b i ' b i ' b ib ( Ce De ) Fe ' Ce ib i' Fe ib, (4..), (4..), (4..3) i ' b i ' b ib ib ( Ce De ) Fe Fe i ' b i ' b ' De ', (4..4), (4..5) Ee ib ' F Ce i ' ' De ( ' ) b i( ) b ', (4..6) ( ) i ' b i ' b i ' b ' i ' b ' Ce De Ce De Ee Ce ib i' b i ' b ' De ', (4..7), (4..8) 3

14 gdzie E Ce i ' ' De ( ' ) b i( ) E F C D b ', (4..9), (4..) e e ' ' ( ' ) b i( ' ) i ( ' ) b i( ' ) i e e b b '. ' (4..) 4.3. cierz przejści 3 E V Terz rozptrzymy przypde, gdy cząst znjduje się pod brierą, V < < (ptrz rys.4.5). Wprowdzmy nowe oznczenie m( V ), (4.3.) h E dl wetor flowego, gdy x > ; dl x < dlej obowiązuje (4..). Spełnion jest relcj i. (4.3.) Rys.4.5. So potencjłu; cząst wntow m energię mniejszą od wysoości briery. PoniŜej prezentujemy jwne przesztłceni prowdzące do elementów mcierzy 3 iae i Ae i ibe Be i i Ce Ce De De / : i i ( Ae Be ) Ce De i, (4.3.3), (4.3.4) 4

15 i i i ( Ae Be ) De Ce, (4.3.5) i i i ( Ae Be ) De De, (4.3.6) i i Ae Be i i i i De Ae Be, (4.3.7) D Ae i i Be ( i ) ( i ), (4.3.8) Ce i i ( ) i i i i i Ae Be Ae Be Ce i i i i Ae Be, (4.3.9), (4.3.) gdzie C Ae 3 i i Be e e ( i ) ( i ) C D i i A B ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) e e, (4.3.) 3, (4.3.) i i. (4.3.3) 4.4. cierz przejści 4 Stosujemy oznczeni (4..) orz (4.3.). Rozptrujemy przypde tunelownie, tóry ilustruje rysune

16 Rys.4.6. So potencjłu; cząst wntow m energię mniejszą od wysoości briery. gdzie Ee Wyprowdzenie wyrŝeń n elementy mcierzy 4 Ce i Ce Ce i b b De b De b Ee ib iee Fe ib ib ife b b ib ib ( Ce De ) Ee Fe Ee ib i b b ib ( Ce De ) Fe i b b De Fe F Ce ib, (4.4.), (4.4.), (4.4.3) b b ib ib ( Ce De ) Fe Fe i De i ib b b Ce i De ( ) b ( i ) i i b, (4.4.4), (4.4.5), (4.4.6) ( ) Ce De b b b b Ce De i i ib Ee E Ce i De i ib b b Ce i De ( ) b ( i ) i i b E F C D,(4.4.7), (4.4.8), (4.4.9) 4, (4.4.) 6

17 4 e e i i ( i ) b ( i ) ( i ) b ( i ) e e b b i i. (4.4.) 4.5. cierz przejści 5 Dwie osttnie mcierze opisują przypde cząste, przechodzących przez grnicę dwóch potencjłów, o energich mniejszych od wysoości potencjłu: E < V < V (rys.4.7). Stosujemy oznczeni m( V E ), (4.5.) h m( V ), (4.5.) h E tóre będą obowiązywć w tym i nstępnym podrozdzile. Rys.4.7. So potencjłu; cząst wntow m energię mniejszą od wrtości potencjłu n dnie briery. Wyprowdzenie wyrŝeń n elementy mcierzy 5 Ae Ae Be Be Ce De Ce De / : ( Ae Be ) Ce De, (4.5.3), (4.5.4) 7

18 8 ( ) De Be Ae Ce, (4.5.5) ( ) De De Be Ae Be Ae, (4.5.6) Be Ae De, (4.5.7) ( ) ( ) Be Ae D, (4.5.8) ( ) Be Ae Be Ae Ce,(4.5.9) Be Ae Ce, (4.5.) ( ) ( ) Be Ae C, (4.5.) B A D C 5, (4.5.) gdzie ( ) ( ) ( ) ( ). 5 e e e e (4.5.3)

19 4.6. cierz przejści 6 Zjmiemy się zjwisiem przejści cząsti przez obszr przedstwiony n rys.4.8. Rys.4.8. So potencjłu; cząst wntow m energię mniejszą od wrtości potencjłu n dnie briery. Wyprowdzenie wyrŝeń n elementy mcierzy 6 b b Ce De Ee b b Ce De Ee b b Fe b Fe b / :, (4.6.) Ee Ce b b b b ( Ce De ) Ee Fe Ee b b b b ( Ce De ) Fe b b De Ce b b b b ( Ce De ) Fe Fe De, (4.6.), (4.6.3), (4.6.4) b b b Fe, (4.6.5) ( ) ( ) b F Ce b De, (4.6.6) ( ) b b b b Ce De Ce De b Ce De,(4.6.7) b b b Ee, (4.6.8) 9

20 ( ) ( ) b b De Ce E, (4.6.9) D C F E 6, (4.6.) gdzie ( ) ( ) ( ) ( ). 6 b b b b e e e e (4.6.) 4.7. cierz trnsmisji KŜd z mcierzy przejści ( 6 ) opisuje tŝe zminy fzy funcji flowej w trcie propgcji cząsti przez odcine stłego potencjłu. Dysponując mcierzowym opisem współczynniów funcji flowych w Ŝdym moŝliwym (dl jednowymirowych brier) przypdu moŝemy przystąpić do wyznczni współczynni trnsmisji. Dl briery przedstwionej n rysunu 4. mcierz trnsmisji wygląd nstępująco:, B A B A D C E (4.7.) gdzie to mcierz dn wzorem (4..) lub (4.4.), definiują formuły (4..3) lub (4.3.3). cierz trnsmisji powstje poprzez wymnoŝenie wszystich mcierzy przejści opisujących dny przypde. Współczynni trnsmisji T przez brierę potencjlną opisną mcierzą jest równy, T (4.7.) gdzie to element pierwszego wiersz z pierwszej olumny mcierzy. Otrzymny współczynni trnsmisji opisuje prwdopodobieństwo przejści przez ułd brier (bezpośrednio z osttnią brierą).

21 Korzystm z powyŝszego wzoru przy rysowniu mp trnsmisji dl rozwŝnych w prcy ułdów brier, np. dl ułdu z rysunu 4.9 Rys.4.9. Przyłdowy ułd brier prostoątnych. mcierz trnsmisji opisn jest zleŝnością (4.7.3) B A B A D C F E H G I (4.7.3) Wynii obliczeń numerycznych (ptrz rozdził 6) zprezentujemy w postci dwuwymirowych mp trnsmisji, tóre przedstwiją wyznczone wrtości współczynniów dl dnych wrtości prmetrów modelu (nniesionych n osich). Dl Ŝdego pisel, tóremu odpowid oreślon wrtość prmetrów modelu odłdnych n osich OX i OY, obliczn jest mcierz trnsmisji. T więc Ŝdy pisel n mpie ozncz inne prmetry briery (w olumnch prmetry brier są stłe) lub prmetry cząsti (energi jest stł w wierszch). Z tego teŝ powodu obliczeni dl sompliownych brier (złoŝonych z wielu loców * ) są czsochłonne. Ale dzięi tiemu podejściu otrzymujemy brdzo dobrą dołdność wyniów. * słowo loce ozncz brierę lub studnię potencjlną.

22 5. Opis środowis progrmowego Po uruchomieniu progrmu n ernie pojwi się ern powitlny Rys.5. Ern powitlny. W lewym górnym rogu widzimy trzy złdi, z tórych pierwsz jest tywn. Rys.5. Złdi widoczne po uruchomieniu progrmu. Aby uruchomić środowiso obliczeniowe nleŝy przejść n złdę Ustwieni, co czynimy poprzez linięcie n jej nzwie. UŜe się nowy ern zmieszczony n rys.5.3.

23 Rys.5.3 Ern, n tórym ustlne są prmetry brier. my tutj moŝliwość ustleni msy cząste będących wielorotnością msy eletronu, orz sonstruowni ułdu brier potencjlnych (lub wczytni juŝ gotowego z pliu testowego). Budow pliu jest brdzo prost: w Ŝdej linii powinny znjdowć się dw prmetry loc oddzielone spcjmi. Pierwsz olumn dnych to wysoości briery w ev, drug to grubość dnej części w Å (Å - m). Aby sonstruowć brierę w środowisu progrmowym nleŝy wprowdzić prmetry briery do odpowiednich pól edycyjnych i ztwierdzić je przez linięcie n przycisu Dodj wrstwę Rys.5.4 Pol do wprowdznie prmetrów loc Wprowdzenie nowych prmetrów i ponowne linięcie Dodj wrstwę spowoduje umieszczenie nowego loc po prwej stronie juŝ utworzonej briery. Aby bdć zjwiso 3

24 tunelowni cząste przez dwie prostoątne briery potencjłu nleŝy umieścić między nimi wrstwę, o Ŝądnej szeroości i wysoości V ev. Wprowdzoną brierę moŝn modyfiowć n dw sposoby. oŝn usunąć wybrną wrstwę, co spowoduje przesunięcie nstępnych wrstw (tych po prwej stronie) n jej miejsce. oŝn równieŝ zmienić prmetry wrstwy. W obu przypdch nleŝy wybrć numer wrstwy (są numerowne od jedyni począwszy od lewej strony briery) i linąć n wybrny przycis (przy zminie prmetrów nleŝy njpierw wprowdzić nowe wrtości do pól przedstwionych n rysunu 5.4). Rys.5.5 Pole do wpisni nr zmieninego loc Utworzon, lub wczytn z pliu, brier zostnie nreślon w polu n dole ernu. Rys.5.6 Wyres pozujący wygląd przyłdowej briery potencjlnej Po ustleniu sztłtu briery i msy tunelującej cząsti moŝn przejść do trzeciej, osttniej złdi progrmu czyli py trnsmisji. Po linięciu n złdce z jej nzwą uŝe się nieml pusty ern, n tórym ustlmy zres energii pdjącej cząsti od E min do E mx ; wrtości te wpisujemy z lwitury w pol edycyjne ozncznone symbolmi in i x. UŜytowni m moŝliwość slowni wymirów liniowych ułdu brier poprzez wpisnie minimlnej i msymlnej sli do pól edycyjnych umieszczonych n dole ernu (ptrz rys.5.7). 4

25 Rys5.7 Ern, n tórym moŝe zostć nrysown mp trnsmisji WŜnym ftem jest to, Ŝe ustlmy wielorotność szeroości stworzonej briery, nie jej szeroość. Jednostą energii jest ev, szeroości Å. Dodtowo moŝemy zdecydowć tutj czy mp trnsmisji m być wyreślon w sli szrości czy przy uŝyciu pełnej plety brw. Domyślnie jest tworzon mp olorow. Aby uzysć wyres w sli szrości nleŝy odznczyć pole przy npisie Kolorow mp. Rys.5.8 Kontrol wybierjąc typ olorystyczny rysownej mpy trnsmisji 5

26 Po linięciu przycisu Rysuj mpę i odczeniu chwili niezbędnej n obliczeni moŝn otrzymć podobny do widocznego n rys.5.9 obrz. Rys.5.9 Współczynni trnsmisji T(E, ) przez brierę widoczną n rysunu 5.3, gdzie E energi cząsti, szeroość briery. Po prwej stronie wyresu widnieje sl, n tórej brwom są przypisne odpowidjące im wrtości współczynni trnsmisji (w procentch). Dodtowo pojwiją się opisne osie energii cząsti (rzędn) i szeroości briery (odcięt). JeŜeli chcemy poznć dołdne prmetry jiegoś puntu n mpie trnsmisji wystrczy, Ŝe liniemy i przytrzymmy lewy przycis myszy nd wybrnym puntem. Pojwią się prowdnice, tóre moŝn przesuwć po mpie ruszjąc myszą, prmetry wyświetlą się w górnej części wyresu (Rys.5.). 6

27 Rys.5. Prowdnice orz szeroość briery, energi cząsti i współczynni trnsmisji Trzy wyświetlne liczby, oddzielone od siebie zniem /, oznczją, olejno, szeroość briery, energię cząsti i procentowo wyrŝony współczynni trnsmisji. jąc juŝ wyreśloną mpę trnsmisji moŝn sorzystć z drugiego przycisu widocznego n rysunu 5.8: Zpisz mpę. Klinięcie n nim zowocuje pojwieniem się on dilogowego, w tórym nleŝy wszć miejsce docelowe dl pliu, w tórym zostnie zpisn mp trnsmisji w formcie.bmp. Brdzo wŝne jest by system Windows mił ustwioną 3 bitową głębię olorów, w przeciwnym przypdu zpisne mpy będą nieprwidłowe. Rys.5. Ono zpisu mpy trnsmisji do pliu Po wygenerowniu mpy trnsmisji i jej ewentulnym zpisniu, moŝn zmienić prmetry tworzeni mpy (np. zres energii cząsti) lub przejść do złdi Ustwieni i zmienić wygląd briery (lub msę cząsti). Opisny powyŝej progrm powstł w środowisu progrmistycznym Borlnd Delphi5. Do rysowni sztłtu briery orz mpy trnsmisji wyorzystliśmy dodtowo bibliotei zwrte w piecie XYGrph v... utorstw Wilo C. Emmens. 7

28 6. Wybrne wynii W tym rozdzile zprezentujemy wybrne wynii. Przedstwione poniŝej mpy trnsmisji zostną omówione w nstępnym rozdzile. 6.. Brier prostoątn Przyłdow brier prostoątn, zprojetown w onie środowis progrmowego, jest pozn n rysunu 6.. Dl tiej briery o wysoości 3eV, zmienijąc jej szeroość od do Å, utworzyliśmy mpę pozną n rysunu 6., ntomist rysune 6.3 prezentuje mpę trnsmisji przez nlogiczną brierę o wysoości 5eV. Rys. 6. Pojedyncz brier o wysoości 3eV i szeroości Å 8

29 Rys. 6. Pojedyncz brier 3eV, ms cząsti równ msie eletronu Rys. 6.3 Pojedyncz brier 5eV, ms cząsti równ msie eletronu 9

30 6.. Podwójn symetryczn brier PoniŜej przedstwimy mpy trnsmisji przez brierę złoŝoną z trzech loców, jej sztłt jest widoczny n rysunu 6.4 (wysoość brier 5 ev). p z rysunu 6.6 prezentuje mpę trnsmisji przez ułd, w tórym przerw między briermi (środowy loce) zostł zmniejszon o połowę. Rys. 6.4 Podwójn brier symetryczn dwie briery oddzielone studnią Rys. 6.5 Podwójn brier z rysunu 6.4, ms cząsti równ msie eletronu 3

31 Rys. 6.6 Podwójn brier o zwęŝonej o połowę studni, ms cząsti równ msie eletronu 6.3. Podwójn prostoątn brier niesymetryczn Ten podrozdził zwier mpy trnsmisji przez ułd nieidentycznych brier, np. osttni element jest zncznie szerszy (rys.6.7), lub wyŝszy (rys.6.) od pierwszego. Rys. 6.7 Niesymetryczn podwójn brier 3

32 Rys. 6.8 p trnsmisji przez brierę z rysunu 6.7, ms cząsti równ msie eletronu Rys. 6.9 Niesymetryczn podwójn brier drug brier trzy rzy szersz od pierwszej 3

33 Rys. 6. Briery o róŝnym potencjle oddzielone studnią Rys. 6. p trnsmisji przez brierę z rysunu 6. 33

34 Rys. 6. odyficj briery z rys. 6. drug brier m wysoość 7eV 6.4. Wielorotne studnie potencjłu Rys. 6.3 Potrójn brier 34

35 Rys. 6.4 Współczynni trnsmisji przez brierę z rysunu Tunelownie cząste o róŝnych msch PoniŜej przedstwione mpy trnsmisji prezentują tunelownie cząste trzy rzy cięŝszych od eletronu przez wybrne briery. N rysunu 6.5 przedstwiliśmy mpę trnsmisji przez pojedynczą brierę, n rysunu 6.6 przez podwójną symetryczną brierę. Rysuni 6.7 i 6.8 prezentują mpy trnsmisji przez podwójną brierę symetryczną odpowiednio cząste o msie, i, msy eletronu. 35

36 Rys. 6.5 Współczynni trnsmisji przez pojedynczą brierę 5eV, ms cząsti: 3m e Rys. 6.6 Współczynni trnsmisji przez podwójną brierę, ms cząsti: 3m e 36

37 Rys. 6.7 Współczynni trnsmisji przez podwójną brierę, ms cząsti:,m e Rys. 6.8 Współczynni trnsmisji przez podwójną brierę, ms cząsti:,m e 37

38 7. Wniosi W niniejszej prcy przenlizowno numerycznie wpływ prmetrów prostoątnych brier potencjlnych n prwdopodobieństwo trnsmisji i tunelowni T pdjących n nie cząste wntowych. Nie zjmowliśmy się przy tym brdzo interesującym zgdnieniem wyznczeni czsu tunelowni szeroo dysutownym m.in. w prcch [9 ]. W celu obliczeni współczynni trnsmisji T sorzystliśmy z formlizmu mcierzy przejści. Bdnie brdziej sompliownych ułdów brier nieprostoątnych tą metodą wymg duŝych mocy obliczeniowych. Dltego supiliśmy się w tej prcy jedynie n njprostszych. Wynii obliczeń numerycznych przedstwiono z pomocą mp trnsmisji/tunelowni. N osi poziomej i pionowej mpy zostły odłoŝone odpowiednio szeroość ułdu brier i energi pdjącej cząsti. Zstosowne olory reprezentują wrtości współczynni trnsmisji lub tunelowni. Kolorem czerwonym zznczone duŝe jego wrtości, niebiesim i czrnym młe. PoniŜej przedstwimy wniosi, tóre moŝn sformułowć n podstwie zwrtych w prcy wybrnych wyniów. Anlizując mpy trnsmisji przez pojedynczą brierę 6., 6,3 orz 6.5 moŝemy stwierdzić j n T wpływ zmin msy cząsti orz prmetrów briery (wysoości i szeroości). Zgodnie z oczeiwnimi dl brdzo wąsich brier T przyjmuje duŝy wrtości (blisie ) nwet dl cząste o brdzo młej energii. Ntomist, co ciewe, gdy energi cząsti jest nwet dw rzy więsz niŝ potencjł briery obserwujemy znczne oscylcje wrtości T, tj. nprzemienny wzrost i spde współczynni trnsmisji przy ustlonej szeroości briery. Jest to zgodne z wynimi nlitycznymi [-5] i spowodowne tym, Ŝe brier stje się częściowo przeźroczyst (T<) dl pdjącej n nią cząsti, jeśli szeroość briery jest cłowitą wielorotnością długości fli de Broglie stowrzyszonej z cząstą (.9). Efet ten stje się wyrźniejszy przy wyŝszych brierch (porównj rys. 6. i 6.3 orz 6.5). Obserwowne oscylcje mplitudy współczynni T (dl ustlonych wysoości brier) zniją wrz ze wzrostem energii cząsti, rosną wrz z szeroością briery. p reprezentuje wrtości współczynni trnsmisji cząste o energii wyŝszej od wysoości briery/brier orz wrtości współczynni tunelowni, jeśli energi cząsteczi jest mniejsz od wysoości briery/brier. 38

39 Omówimy zminy współczynni trnsmisji obserwowne w przypdu tunelowni cząsti przez ułd dwóch identycznych prostoątnych brier potencjłu oddzielonych studnią (rysuni 6.5 i 6.6). Wniosi płynące z nlizy pojedynczej prostoątnej briery są ndl tulne, le nleŝy dodtowo zuwŝyć pojwienie się stosunowo wąsich psm tunelowni w obszrze energii podbrierowych. Ich występownie jest związne z istnieniem stnów metstbilnych w obszrze studni wntowej, tóre są rozwiąznimi stcjonrnego równni Schrödinger dl studni wntowej o sończonej wysoości. Energi stnów wntowych cząsti w niesończenie głęboiej studni potencjlnej o szeroości wyrŝ się wzorem E n n π h, n,,3,.... m Pdjąc cząst o energii blisiej energii stnu metstbilnego tuneluje dzięi zjwisu rezonnsu [-5], co jest ponownie zgodne z wynimi nlitycznymi (cząst tuneluje przez pierwszą brierę, odbij się od drugiej briery i interferuje z ndltującymi cząstmi, co prowdzi do powstni fli stojącej). Dl dnej szeroości i wysoości studni liczb metstblinych stnów jest sończon. Wrz ze wzrostem szeroości studni rośnie ich liczb, co prowdzi do więszej liczby psm rezonnsowych n mpch tunelowni (ptrz rys. 6.5, 6.6). Ten sm efet (zwięsznie się liczby psm trnsmisji) zchodzi przy zwięszniu msy cząsti dl ustlonej szeroości studni (porównj rysuni 6.5, 6.6, 6.7 i 6.8). Dodtowo, szeroość psm trnsmisji uleg istotnemu zmniejszeniu wrz ze wzrostem msy cząsti. Odwrotn tendencj, potwierdzjąc nsz wniose, jest zuwŝln n rys , gdzie przedstwiono mpy trnsmisji/tunelowni dl cząste o mniejszych msch. JeŜeli złócimy symetrię brier, np. poprzez zwięszenie szeroości jednej z nich (rys ), to zobserwujemy znczne zminy w mpch trnsmisji/tunelowni. Współczynni tunelowni osiąg duŝe wrtości dl prwie ściśle oreślonych energii pdjącej cząsti. Energie te ponownie odpowidją energiom stnów metstbilnych cząsti w obszrze studni wntowej. N rys. 6.8 i 6.9 współczynni tunelowni w obszrze podbrierowym jest prtycznie równy zeru z wyjątiem brdzo wąsich obszrów energii i szeroości brier, tóre zniją n mpch wrz ze wzrostem szeroości zewnętrznych brier. Jeśli energi cząsti jest zbliŝon do wysoości brier lub więsz, to obserwujemy UŜywmy tutj słow metstbilne dl podreśleni ftu, Ŝe cząst zlolizown w obszrze studni wntowej (ptrz rys. 6.4) ogrniczonej z dwóch stron sończonymi briermi potencjlnymi m sończony czs Ŝyci ze względu n moŝliwość tunelowni przez wspomnine briery. 39

40 duŝe wrtości współczynniów trnsmisji lub tunelowni. Dl energii cząsti więszej od wysoości briery obserwujemy znczne róŝnicownie się współczynni trnsmisji w porównniu z przypdiem briery symetrycznej. Niesymetryczność zewnętrznych brier (ich szeroości nie są równe) w obszrze tuŝ ndbrierowym powoduje n mpch trnsmisji zuwŝlny wzrost liczby wąsich obszrów wysoiej i nisiej trnsmisji. (porównj rys. 6.5 i 6.8). N rys. 6.8 widocznych jest zncznie więcej obszrów (oreślonych energią cząsti i szeroością brier), w tórych współczynni trnsmisji przyjmuje młe lub duŝe wrtości. Zburzenie symetrii brier poprzez zróŝnicownie ich wysoości (rys ) powoduje zninie wielu psm tunelowni rezonnsowego (obserwownych np. n mpch z rys. 6.6), co jest onsewencją zmniejszeni się liczby stnów metstbilnych w płytszej studni wntowej. Jeśli wysoość jednej z brier jest duŝo więsz od wysoości drugiej, to mp trnsmisji odpowid mpie trnsmisji przez pojedynczą brierę. Godnym zuwŝeni jest równieŝ ft, Ŝe wynii obliczeń numerycznych nie zleŝą od olejności brier rozdzielonych studnią; uŝytowni progrmu moŝe smodzielnie o tym się przeonć. Ozncz to, Ŝe współczynnii trnsmisji/ tunelowni bdnych ułdów nie zleŝą od tego z tórej strony pdją cząsti. Anliz wyniów otrzymnych dl wielorotnych studni potencjlnych (rys ) wszuje równieŝ n rezonnsowy chrter tunelowni. Ze względu n to, Ŝe mp z rys. 6.4 odnosi się do ułdu zwierjącego dwie symetryczne studnie wntowe, to widoczne są (zwłszcz w obszrze odpowidjącym wąsim studniom, tóre reprezentuje lew część mpy) psm tunelowni złoŝone z dwóch bliso siebie połoŝonych poziomów rezonnsowych. Jest to przejw istnieni metstbilnych poziomów energetycznych cząsti wntowej umieszczonej w bdnym ułdzie. W bdnym ułdzie poziomy energetyczne tworzą pry poziomów bliso siebie połoŝonych n sli energetycznej. Odległośc energetyczn tych poziomów mleje wrz ze wzrostem szeroości brier lub studni potencjlnych []. JeŜeli do ułdu dwóch studni dodmy nstępne, to otrzymmy dodtowe psm rezonnsowego tunelowni, w tórych liczb rezonnsów będzie równ liczbie studni. 4

41 8. Podsumownie Główne osiągnięci prcy to:. Wyprowdzenie nlitycznych formuł n mcierze przejści 6, tórych jwne postcie przytoczono w rozdzile 4.. Oprcownie środowis progrmowego, wyorzystującego wyprowdzone mcierze przejści, pozwljącego uŝytowniowi n bdnie jednowymirowego zjwis tunelowni i reprezentcję grficzną współczynniów trnsmisji i tunelowni w zleŝności od: wysoości i szeroości brier potencjlnych, olejności brier w ułdzie wntowym, liczby studni wntowych, energii pdjącej cząsti wntowej, msy cząsti wntowej. Stworzone środowiso umoŝliwi smodzielne wyonywnie esperymentów omputerowych dotyczących czysto wntowego zjwis jim jest tunelownie. Interesującą opcją jest moŝliwość numerycznego nlizowni z jego pomocą zjwis tunelowni w wąsich przedziłch energii (tich wyniów w prcy nie zmieszczono) problemem oŝe ono słuŝyć równieŝ jo nrzędzie dydtyczne wspomgjące ursy fizyi i mechnii wntowej. oŝn zproponowć il sposobów rozwoju środowis. Dotyczyłoby to m.in. stworzeni uŝytowniowi moŝliwości rysowni n ernie monitor ułdu brier o dowolnym sztłcie, co pozwoliłoby nlizowć zjwiso trnsmisji i tunelowni cząste przez ułd nieprostoątnych brier, podglądu przeroju mpy trnsmisji dl oreślonej energii lub szeroości briery. Nie widzimy sposobu n zwięszenie szybości dziłni środowis innego niŝ poprzez zmniejszenie dołdności obliczeń (wszystie zmienne w zprogrmownym środowisu są przechowywne jo -bitowy typ extended) lub zmniejszenie gęstości siti, (obliczeni przeprowdzne są dl Ŝdego pisel mpy). 4

42 9. Litertur [] W. Slejd, notti do ursu Wstęp do fizyi wntowej Studi inŝyniersie [5-6], Wrocłw 3 r, W. Slejd,. Tyc,. Just, Algebriczne metody rozwiązywni równni Schrödinger, PWN r. [] R. L. Liboff, Wstęp do mechnii wntowej, PWN 987 r.; D. Griffiths, Introduction to Quntum echnics, Prentice Hll 995. [3] R. Eisberg, R. Resnic, Fizy wntow tomów, cząstecze, cił stłych, jąder i cząste elementrnych, Pństwowe Wydwnictw Nuowe 983 r. [4] A. F. J. Levi, Applied Quntum echnics, Cmbridge University Press 3 r. [5] K.T. Hecht, Quntum echnics, Springer-Verlg New Yor, Inc. r., G. Bstrd, Wve mechnics pplied to semiconductor heterostructures, Hlsed Press 988 r. [6] E. Wnucz, Fizy, Dziły Wybrne, Politechni Wrocłws 995 r. [7] K.Yu. Blioh, V.D. Freiliher, N.. rov, Scttering by one-dimensionl smooth potentils: between WKB nd Born pproximtion, Physic E 7 (5) 6 69 [8] K. N. uchin, Doświdczln fizy jądrow, Wydwnictw Nuowo- Techniczne, Wrszw 978 r. [9] Stefno De Leo, Pietro P. Rotelli, Tunnelling through two brriers, Physics Letters A 34 (5) [] V. S. Olhovsy, E. Recmi, A. K. Zicheno, Resonnt nd non-resonnt tunneling through double brrier, Europhysics Letters, 7 (6), pp (5) [] Asho V. Pimple, Quntum tunneling time nd tunneling in time-dependent potentils: A generl formultion nd some exctly solvble models, Progress in Quntum Electronics, 8 (4) [] N.L.Chupriov, From the prdoxes of the stndrd wve-pcet nlysis to the definition of tunneling times for prticles, rxiv:qunt-ph/69 r. 4