Kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków

Transkrypt

1 Kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków Wprowadzenie Miejsce geometryczne pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego (mgp) umożliwia między innymi wyznaczenie wymaganego wzmocnienia tak, aby spełnić zapas stabilności wyrażony za pomocą liczby tłumienia dominujących pierwiastków zespolonych równania charakterystycznego 0.4 z 0.8

2 Określenie właściwej wartości liczby tłumienia ma istotne znaczenie dla przewidywanych właściwości eksploatacyjnych. W tym celu można wykorzystać pomocniczy warunek na wartość przeregulowania, jak w tabeli poniżej. Tabela 7.4. Zależność przeregulowania κ charakterystyki skokowej oraz kąta rozmieszczenia pierwiastków η z od liczby tłumienia członu drugiego rzędu ζ z ζ z κ, % η z, º

3 Weźmy przykładową funkcję przejścia układu otwartego skorygowanego H(s)G(s) G (s)k G r z o (s) s(t KzKeK s )(T s 2 ) Po przekształceniu do postaci z zerami i biegunami otrzymamy H(s)G(s) s(s - Ko p )(s - p 2 ) 3

4 Współczynnik czułości statycznej i bieguny funkcji przejścia wynoszą odpowiednio K p o 0 0, KzK T T e 2 K p T, p 2 (7.56) T 2 Po zapisaniu transmitancji budujemy mgp i dla przyjętej wartości kąta η z znajdujemy pierwiastki zespolone s i s 2 oraz odpowiadający im współczynnik wzmocnienia K owym, jak na rysunku 4

5 jω K owym s r p2 r p s ap η z r p0 σ p 2 p K oap η z p 0 K owym s 2 Rys Ilustracja sposobu wyznaczania wymaganego współczynnika czułości statycznej 5

6 W rozpatrywanym przypadku istnieją tylko trzy pojedyncze bieguny transmitancji w układzie otwartym, więc wymagana czułość statyczna ze wzorów (2.30) i (2.3) wynosi K r owym p0 r p r p2 Dla przypomnienia wzór (2.30) K owym r q p0 k u k i v i r r pk zi 6

7 Wymagane efektywne wzmocnienie regulatora obliczymy ze wzoru (7.56) K ewym K owym KK T T z 2 lub po uogólnieniu K ewym K owym KK z k u k i v i T T mk li gdzie: T mk stałe czasowe z mianownika funkcji przejścia H(s)G(s), T li stałe czasowe z licznika funkcji przejścia H(s)G(s). 7

8 Wprowadzenie 2 Miejsce geometryczne pierwiastków umożliwia także wyznaczenie wymaganego wzmocnienia przy aperiodycznym warunku syntezy, czyli przy zerowym przeregulowaniu charakterystyki skokowej układu regulacji, mianowicie 0 co odpowiada liczbie tłumienia z Takiej liczbie tłumienia odpowiada czułość statyczna K oap w punkcie rozgałęzienia miejsca geometrycznego jak na rysunku. 8

9 jω K owym s r p2 r p s ap η z r p0 σ p 2 p K oap η z p 0 K owym s 2 Rys Ilustracja sposobu wyznaczania wymaganego współczynnika czułości statycznej 9

10 Wobec tego otrzymamy poniższe wzory i taki sam wynik jak za pomocą kryterium stabilności aperiodycznej K r oap p0ap r pap r p2ap K oap r q p0ap k u k i v i r r pkap ziap gdzie: r p0ap, r pkap, r ziap - długości wektorów ze wszystkich biegunów i zer poprowadzonych do punktu rozgałęzienia miejsca geometrycznego 0

11 Wprowadzenie 3 We wprowadzeniach i 2 opisano wyznaczanie wymaganego wzmocnienia w konwencjonalny sposób korzystający z warunku modułów. Postępowanie to można znacznie ułatwić stosując metodę prób z wielokrotnie ponawianym poleceniem Matlaba rlocfind. Takie postępowanie wykorzystamy w poniższym przykładzie.

12 Przykład 7.2 Dany jest układ regulacji o schemacie blokowym przekształconym do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym i zastępczym sygnałem wymuszającym. Wz () s KzGo() s Ys () Rys Przekształcony schemat blokowy układu oryginalnego 2

13 Funkcja przejścia toru głównego i współczynniki K G z o (s) s(t s KzK )(T s )(T 2 3 s ) K T T T 2 3 2, K z, 0.5 [s], [s], [s]. 8 3

14 Zadanie do wykonania Przeprowadzić korekcję układu posługując się kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków równania charakterystycznego. 4

15 Rozwiązanie Analiza właściwości eksploatacyjnych układu oryginalnego Uchyb statyczny dla skokowego sygnału sterującego i schemat blokowy układu sw 0 t wz + s 2 0.5s s s+ y y Rys Schemat blokowy układu oryginalnego do badań symulacyjnych 5

16 y Czas [s] Rys Charakterystyka skokowa układu oryginalnego Z wykresu odczytano: 38.5%, 7.74 s. t r 2% 6

17 Dobór funkcji przejścia regulatora Badanie właściwości eksploatacyjnych układu oryginalnego wykazało, że przeregulowanie charakterystyki skokowej jest zbyt duże. Dlatego przyjmujemy następujące zadania korekcji układu: ) zmniejszenie przeregulowania 2) skrócenie czasu regulacji. Dla zmniejszenie przeregulowania wystarczy zastosować regulator P, który w tym przypadku doprowadzi również do skrócenia czasu regulacji. Dla dalszego skrócenia tego czasu, czyli powyżej możliwości regulatora P, należy zastosować regulator PD G rid (s) K r (T d ) 7

18 W praktyce będzie to zawsze regulator rzeczywisty opisany funkcją przejścia G rrz (s) K r Td s T d s d UWAGA W prezentowanym przykładzie, wyłącznie dla uproszczenia budowy miejsca geometrycznego, przyjmiemy idealną wersję regulatora, natomiast regulator rzeczywisty wykorzystamy w analizie układu skorygowanego. 8

19 Po wprowadzeniu regulatora otrzymamy następujący schemat blokowy układu skorygowanego Wz () s Gr( s) KzGo() s Ys () Rys Schemat blokowy układu skorygowanego 9

20 Dobór stałej czasowej regulatora Zgodnie z metodą dominujących stałych czasowych przyjmujemy T d = T = 0.5 [s] Wtedy funkcja przejścia układu otwartego po korekcji wyniesie H(s)G(s) G (s)k G r z o (s) 2 Kr (0.5s ) s(0.5s )(0.667s )(0.0556s 2K r Ko s(0.667s )(0.0556s ) s(s 6)(s 8) ) 20

21 Współczynnik czułości statycznej wynosi K o 2K r K r Wyznaczenie wzmocnienia regulatora Zgodnie z założeniem przykładu, wymagane wzmocnienie regulatora wyznaczymy na podstawie miejsca geometrycznego pierwiastków. W związku z tym transmitancję w układzie otwartym zapisujemy w postaci dogodnej dla Matlaba H(s)G(s) K o l(s) m(s) 2

22 Wielomian l(s) =, lub w konwencji Matlaba l=[]; Wielomian m(s) zapisujemy jako m(s) = a(s)b(s)c(s) = (a(s)b(s))c(s) a(s) = s, b(s) = s+6, c(s) = s+8. lub w konwencji Matlaba: a=[,0]; b=[,6]; c=[,8]; m=conv(conv(a,b)c); 22

23 Dla wykreślenia linii pierwiastkowych wydajemy polecenia: Sporządzenie wykresu rlocus(l,m),grid Wyrównanie jednostek na osiach axis( image ) Określenie rozmiaru obszaru zajmowanego przez wykres axis([-20,0,-20,20]) W wyniku tych poleceń otrzymamy 23

24 Imag Axis Re al Axis Rys Mgp wykreślone za pomocą Matlaba 24

25 Dla określenia wymaganej czułości statycznej za pomocą rlocfind wybieramy fragment wykresu określony przez nowe granice obszaru kreślenia axis([-0,0,-5,5]) Imag Axis Real Axis Rys Powiększony fragment mgp z rysunku

26 W celu wyznaczenia wymaganej wartości współczynnika czułości statycznej K owym przyjmujemy na podstawie tabeli 7.4, że przeregulowanie zostanie zmniejszone do około 4.6%. Wtedy: z z Prowadząc prostą pod wyznaczonym kątem do przecięcia z mgp, otrzymujemy pierwiastki zespolone mające zadaną liczbę tłumienia. Tę operację można wykonać w Matlabie za pomocą funkcji sgrid, mającej wywołanie sgrid(zeta,omega) gdzie: zeta - wymagana wartość liczby tłumienia ζ z, omega - wymagana pulsacja drgań własnych nietłumionych ω n. 26

27 W rozpatrywanym przykładzie interesowała nas tylko linia stałej wartości ζ z = 0.7, więc napisano sgrid(0.7,0) Na przecięciu prostej i mgp za pomocą funkcji rlocfind znaleziono punkt 2 odpowiadający czułości statycznej K owym = 238. Zatem wymagane wzmocnienie regulatora wyniesie K rwym K owym

28 Analiza właściwości eksploatacyjnych układu skorygowanego z rzeczywistym regulatorem PD K T d r d [s] t wz + PDrz s 2 0.5s s s+ y y Rys Schemat blokowy układu skorygowanego do badań symulacyjnych 28

29 y Czas [s] Rys Charakterystyka skokowa układu skorygowanego 29

30 Z wykresu odczytano: 8.2%,.9 s. t r 2% Zestawienie wyników Parametr Układ oryginalny Układ po korekcji ε sw 0 0 κ, [%] t r2%, [s] Jak widać, osiągnięto zmniejszenie przeregulowania i znaczne skrócenie czasu regulacji, a więc zadania korekcji zostały zrealizowane. 30

31 Zastosowanie przybornika NCD Wprowadzenie Przybornik NCD (Nonlinear Control Design), wchodzący w skład Matlaba/Simulinka umożliwia optymalny dobór dowolnych parametrów układu sterowania, na przykład dobór wzmocnienia regulatora. W przyborniku NCD wykorzystano dwie metody: ) sekwencyjne programowanie kwadratowe (ang. sequential quadratic programming), 2) quasi-newtonowskie przeszukiwanie gradientowe (ang. quasi- Newton gradient search technique). 3

32 Wykorzystanie przybornika można pokrótce przedstawić następująco: utworzenie schematu blokowego badanego układu, wpisanie poszukiwanych parametrów układu do bloków schematu w postaci symbolicznej, wpisanie wartości startowych poszukiwanych parametrów układu do przestrzeni roboczej Matlaba, wz + PID 0.4 2s+ s+ 0.8s+ y Scope określenie parametrów symulacji, symulacja pracy układu i ewentualna korekta parametrów symulacji, 32

33 przyłączenie bloku NCD do tego sygnału, którego przebieg będzie optymalizowany, wz + PID 0.4 2s+ s+ 0.8s+ y NCD Outport otwarcie bloku NCD, określenie parametrów optymalizacji i jej uruchomienie, odczytanie optymalnych parametrów układu z przestrzeni roboczej Matlaba, w przypadku nałożenia ograniczeń niemożliwych do spełnienia proces optymalizacji zostaje zakończony po pewnej liczbie kroków, a nowa charakterystyka może częściowo leżeć poza narzuconymi ograniczeniami. 33

34 Uwaga W nowszych wersjach Matlaba położenie i nazwa przybornika NCD została zmieniona. Nowa lokalizacja jest następująca Simulink/Simulink Response Optimization/Signal Constraint 34

35 Przykład 7.3 Dany jest układ regulacji o funkcji przejścia toru głównego i wartościach współczynników K z G o (s) (T s KzK )(T s )(T 2 3 s ) K T T T , K z 2 [s], [s], 0.8 [s]. 0.5, 35

36 Tabela 7.5. Zestawienie wyników badań symulacyjnych układu oryginalnego i po korekcji PI Parametr Układ oryginalny Układ po korekcji PI ε sw A w 0 κ, [%] 0 0 t r2%, [s] Zadania korekcji układu: likwidacja uchybu statycznego, nieduża zmiana lub skrócenie czasu regulacji w stosunku do układu oryginalnego. 36

37 Rozwiązanie Dobór funkcji przejścia regulatora Postawione zadanie powinien spełnić rzeczywisty regulator PID o transmitancji G rrz (s) K r T s i Td s T d s d 37

38 Parametry startowe regulatora Parametry startowe regulatora niezbędne do rozpoczęcia procesu optymalizacji przyjmujemy w następujący sposób: wstępnie przyjmujemy w zasadzie dowolną wartość nastawnego wzmocnienia regulatora, jednak proponuje się rozpoczynać optymalizację od wartości równej jedności, wstępne wartości stałych czasowych przyjmujemy na podstawie metody dominujących stałych czasowych T T i d K r.0 d Zgodnie z zapisem transmitancji regulatora w Matlabie przeliczamy parametry regulatora [s] [s] 38

39 P I D N K K T K T r r r i d T d d Parametry symulacji wz + PID 0.4 2s+ s+ 0.8s+ y Scope Rys Schemat blokowy dla określenia parametrów symulacji 39

40 Parametry startowe regulatora wpisujemy w postaci symbolicznej w oknie regulatora oraz w postaci liczbowej w przestrzeni roboczej Matlaba. Rys Symboliczne wartości parametrów regulatora 40

41 Określamy parametry symulacji, wykonujemy symulację i ewentualnie korygujemy jej parametry. Rys Określenie parametrów symulacji 4

42 Parametry optymalizacji wz + PID 0.4 2s+ s+ 0.8s+ y NCD Outport Rys Schemat blokowy układu przygotowany do optymalizacji 42

43 Po uruchomieniu bloku NCD otrzymujemy główne okno przybornika. Rys Główne okno przybornika NCD 43

44 Rys Przykład możliwości ukształtowania ograniczeń 44

45 Do dokładnej edycji zaznaczonego uprzednio ograniczenia służy polecenie Edit/Edit constraint... uaktywniające okno pomocnicze pokazane na rysunku 7.29, w którym w pozycji Position editor [x y x2 y2]: można podać wartości liczbowe. Rys Okno edytora ograniczeń 45

46 Oprócz edycji ograniczeń wskazane jest niekiedy ustawienie końcowego czasu symulacji i/lub etykiety osi czasu. Do tego celu służy polecenie Options/Time range... uaktywniające okno pomocnicze pokazane na rysunku Rys Okno związane z osią czasu 46

47 Ponadto w razie potrzeby można zmienić maksymalną wartość rzędnej charakterystyki czasowej. Do tego celu służy polecenie Options/Y-Axis... uaktywniające okno pomocnicze pokazane na rysunku 7.3. Rys Okno związane z osią rzędnych 47

48 Przed rozpoczęciem pracy należy również ustawić podstawowe parametry procesu optymalizacji. Do tego celu służy polecenie Optimalization/Parameters... otwierające okno pomocnicze pokazane na rysunku Rys Okno parametrów optymalizacji 48

49 Okno z rysunku 7.32 zawiera 6 pozycji, w tym obowiązkowe, mające następujące znaczenia: cztery Turnable Variable zmienne decyzyjne, Discretization interval krok dyskretyzacji o wartości wyno- szącej ( 2)% końcowego czasu symulacji, Variable Tolerance i Constraint Tolerance dopuszczalny błąd zmiennych i ograniczeń. Optymalizacja Po ustawieniu parametrów optymalizacji należy uruchomić proces optymalizacji za pomocą polecenia Optimalization/Start. Na zakończenie należy odświeżyć ekran za pomocą polecenia Optimalization/Refresh, a wartości parametrów optymalnych odczytać z przestrzeni roboczej Matlaba. 49

50 Rys Główne okno przybornika NCD po zakończeniu optymalizacji 50

51 Po zakończeniu optymalizacji z przestrzeni roboczej Matlaba odczytano: P I D N Po przeliczeniu parametrów optymalnych otrzymano: K T T i d r d [s] [s]

52 Analiza właściwości eksploatacyjnych układu skorygowanego t wz + PID 0.4 2s+ s+ 0.8s+ y y Rys Schemat blokowy z regulatorem dobranym za pomocą przybornika NCD 52

53 y Czas [s] Rys Charakterystyka skokowa układu skorygowanego 53

54 Tabela 7.6. Zestawienie wyników badań symulacyjnych Parametr Układ oryginalny Układ po korekcji PI Układ po korekcji PID ε sw A w 0 0 κ, % t r2%, s Jak widać, cele korekcji zostały zrealizowane, a regulator PID w porównaniu z PI spowodował znaczne skrócenie czasu regulacji. 54