odległość przekroju od siły P. ξ 8
|
|
- Adrian Chrzanowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 FUNDAMENTOWANIE II (W.Brząkała) przykłady do wykładu 3 (praca własna) 1 C 0 Mo y(ξ) ξ Przykład 1: Rozwiązać belkę nieskończenie długą na podłożu Winklera obciążoną momentem skupionym M o w przekroju ξ o=0. Jest to tzw. rozwiązanie podstawowe dla momentu skupionego M o, analogiczne do rozwiązania podstawowego dla siły skupionej P, które było rozwiązane na wykładzie (i jest też rozwiązane w innym pliku na www). Uwaga: to zagadnienie to może mieć zastosowanie do obliczania rozległej płyty dennej połączonej ze zginaną ścianą np. pionową, która przekazuje moment M o na płytę, albo do ławy szeregowej, gdzie słupy przekazują na ławę również momenty zginające (na ćwiczenia projektowych są to tylko siły pionowe). I Sposób na podstawie rozwiązania ogólnego dla ξ > Niech y(ξ) = e ξ [C 1cosξ+C sinξ] + e +ξ [C 3 cosξ+c 4 sinξ]. Ponieważ y(+ )=0, więc C 3 = C 4 = 0.. Z antysymetrii wynika, że y(-ξ) = -y(ξ), więc w szczególności y(-0) = y(0) = -y(0), czyli y(0) = 0. Stąd C 1 = 0, czyli y(ξ) = C e ξ sinξ. 3. Dla ξ 0+ zachodzi prawostronna granica M(ξ) M o/ (i analogicznie M(ξ=0-) = M o/). Ale dla ξ > 0 jest M(ξ) = -EI y / (L W) = -EI (L W) C [e ξ sinξ] = -EI (L W) C [-e ξ cosξ]. 4. Wynik: po podstawieniu ξ=0+ otrzymuje się C = M o (L W) (4EI), czyli C = M o (BC) 1 (L W). Stąd już widać, że y(ξ) = M o (BC) 1 (L W) e ξ sinξ i oczywiście funkcja y(ξ) jest nieparzysta; w szczególności M(ξ) = -EI y /(L W) = (M o/) e ξ cosξ, Q(ξ) = -EI y /(L W) 3 = -M o (L W) 1 [e ξ (sinξ+cosξ)]. II Sposób na podstawie pary sił pionowych i rozwiązania podstawowego y 1(x) dla siły jednostkowej P = Pionowa siła skupiona V jest przyłożona w przekroju x = 0+dx/ > 0, a siła przeciwnie skierowana ( V) w przekroju x = 0 dx/ < 0. Przyjąć, V = M o/dx. Dla każdego dx ta para sił daje stały moment M o, ale oczywiście dx jest wirtualne i trzeba będzie przyjąć dx 0.. Z zasady superpozycji otrzymuje się y(x) = V [y 1(x-dx/) y 1(x+dx/)] = M o [y 1(x-dx/) y 1(x+dx/)]/dx M o [-dy 1/dx] = -M o dy 1/dξ (L W) 1 = -M o (BC) 1 (L W) [e ξ (cosξ+sinξ)], gdzie y 1 jest rozwiązaniem podstawowym dla jednostkowej siły skupionej (jak niżej w met.bleicha). 3. Wynik: dla ξ > 0 zachodzi y(ξ) = M o (BC) 1 (L W) e ξ sinξ oraz oczywiście y(-ξ) = -y(ξ). III Sposób różne warianty metody Bleicha 1. Metoda Bleicha wykorzystuje zazwyczaj rozwiązanie podstawowe dla siły skupionej, tj.: P ξ y(ξ) = e (cosξ + sinξ), r(ξ) = BC y(ξ) BCL gdzie ξ > 0 oznacza w odległość przekroju od siły P. PLw ξ P ξ M(ξ) = e (sinξ cosξ), Q(ξ) = 4e cosξ. Wystarczy znaleźć rozwiązanie y(ξ) dla ξ > 0, bo ta funkcja jest nieparzysta (antysymetria): y(-ξ) = -y(ξ); wynika stąd w szczególności, że y(0)=0, bo skoro y(-0) = y(0)= -y(0), to y(0)=0. 3. Ponieważ rozwiązujemy tylko prawą połowę belki, więc na lewej połowie belki (ξ < 0) można przykładać całkiem dowolne obciążenia, ale muszą one zapewnić dwa warunki: y(0+0)=y(0)=0 oraz granicę prawostronną M(0+0) = M o/. 4. Tutaj mogą to być np. dwie siły skupione T 1, T w pewnych odległościach na lewo od ξ=0. Czyli de facto występują 4 niewiadome (dwie wartości sił i dwa punkty ich przyłożenia),
2 a tylko dwa warunki w przekroju ξ=0 i dlatego można sobie dowolnie przyjąć np. te dwie odległości sił tak żeby uprościć obliczenia. 5. Jeśli warunki w ξ=0 są zadane w siłach Q i momentach M, to wygodnie przyjąć położenia tych sił w bezwymiarowych odległościach π/4 i π/ na lewo od 0, ponieważ w rozwiązaniu podstawowym zachodzi wtedy Q(π/)=0 oraz M(π/4)=0. Upraszcza to rozwiązanie, gdyż obie siły sobie wzajemnie nie przeszkadzają (są dwa równania, a każde z jedną niewiadomą T i - zamiast układu dwóch równań sprzężonych). W tym przykładzie tak nie jest, ale zapewne większość Studentów poszłaby odruchowo tym tropem (przećwiczonym na projekcie) i w sumie doszłaby do prawidłowego wyniku. 6. Układ równań dla sił fikcyjnych w odległościach π/ i π/4 jest następujący: T1 π / 4 T y(0) = e (cos(π / 4) + sin(π / 4)) + e π / (cos(π / ) + sin(π / )) = 0 BCLw BCLw T1 Lw (π / 4) T Lw (π / ) Mo M(0 + 0) = e (sin(π / 4) cos(π / 4)) e (sin(π / ) cos(π / )) = i daje on dwie poszukiwane siły fikcyjne: Mo 1 T π / = e +, T1 = T LW A zatem dla ξ > 0 rozwiązaniem jest: T1 y(ξ) = BCL w (ξ + e π / 4) (cos(ξ + π / 4) e π / 4 = + sin(ξ + M L π / 4)) o W e + π / 4 T (ξ + π / ) + e (cos(ξ + π / ) + sin(ξ + π / )) BCL w Warto odkurzyć tablice trygonometryczne i uprościć ten wzór do postaci y(ξ) = M o (BC) -1 (L W) - e -ξ sin(ξ). 7. W nawiązaniu do poprzedniego punktu: jeśli warunki w ξ=0 są zadane w osiadaniach y i momentach M, to wygodnie przyjąć położenia tych sił T 1, T w bezwymiarowych odległościach π/4 i 3π/4 zamiast π/4 i π/, ponieważ w rozwiązaniu podstawowym zachodzi M(π/4)=0 oraz y(3π/4)=0, co upraszcza rozwiązanie (separacja równań). Rzeczywiście, to uproszczenie jest tutaj bardzo znaczne, bo siła T w przekroju 3π/4 daje już zerowe osiadanie w ξ=0, a może dać dowolny moment (i tak ma być!); czyli druga siła jest już niepotrzebna od razu zatem widać, że T 1 = 0 i w tym podejściu wystarczy znaleźć T z warunku momentów. A zatem: -T L W e -3π/4 [sin(3π/4)-cos(3π/4)]/4 = M o/, czyli T = - M o e +3π/4 (L W) -1. Rozwiązaniem zadania dla ξ > 0 jest po prostu y(ξ) = - M o e +3π/4 (L W) -1 (BCL W) -1 e -(3π/4+ξ) [cos(3π/4+ξ)+sin(3π/4+ξ)], czyli y(ξ) = M o (BC) -1 (L W) - e -ξ sin(ξ).. Oczywiście przyjmujemy po lewej stronie y(-ξ) = -y(ξ), dla ξ > 0. Pytanie kontrolne: czy poprawna byłaby nowa metoda Bleicha dla belek skończonych, stosująca 4 fikcyjne obciążenia momentowe M i na bazie powyższego rozwiązania zamiast 4 sił pionowych T i? Odpowiedź: Na pewno TAK. Obciążenia na fikcyjnej części belki mogą być całkiem dowolne, również np. trzy siły skupione oraz jedno obciążenie momentem skupionym itd. Ostateczne rozwiązanie na całej długości belki skończonej będzie identyczne jak w tradycyjnej metodzie Bleicha, bo spełnia ono to samo równanie różniczkowe E-B i te same warunki brzegowe; twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego mówi, że takie rozwiązanie jest tylko jedno, obojętnie jak się do niego dojdzie. Trzeba przyznać, że ta duża dowolność obciążeń fikcyjnych na fikcyjnym przedłużeniu belki nie jest tak do końca intuicyjna jednak lepiej wierzyć matematyce, niż intuicjom. +.
3 L C 0 H y(ξ) ξ 3 Przykład : Pal umieszczony w ośrodku sprężystym jest modelowany za pomocą belki na podłożu Winklera. Zakładamy, że parametr C = const 1. Jeżeli pal jest bardzo długi (L >4 5 L W), to można przyjąć, że belka jest jednostronnie nieskończona, tj. 0 ξ +. Należy rozwiązać tę belkę. Rozwiązanie Aby rozwiązać belkę wystarczy znaleźć linię ugięcia y(ξ) we współrzędnych bezwymiarowych ξ = x/l W 0, ponieważ wynikają stąd wszystkie poszukiwane wielkości statyczne: r(x) = B C y(x) = B C y(ξ).. reakcja [kn/m] ϕ(x) = dy(x)/dx = dy(ξ)/dξ /L W.. kąt obrotu [rad] M(x) = -EI d y(x)/dx = -EI d y(ξ)/dξ / (L W).. moment zginający [knm] Q(x) = -EI d 3 y(x)/dx 3 = -EI d 3 y(ξ)/dξ 3 / (L W) 3.. siła poprzeczna [kn]. Tutaj należy przyjąć następujące warunki brzegowe dla ξ=0 : M(0+0) = 0, Q(0+0) = -H. Dla ξ wszystkie wielkości statyczne muszą być zerowe. I sposób na podstawie rozwiązania ogólnego dla nieobciążonej części belki, tj. ξ > 0: 1. Rozwiązanie musi być postaci y(ξ) = C 1 e -ξ cosξ + C e -ξ sinξ + C 3 e +ξ cosξ + C 4 e +ξ sinξ.. Ze względu na warunek dla ξ dla belki półnieskończonej jest C 3 = 0 oraz C 4 = Warunek M(0+0) = 0 daje: d y(ξ)/dξ = C 1 e -ξ sinξ - C e -ξ cosξ = 0 dla ξ=0, czyli C = 0 4. Warunek Q(0+0) = -H daje: d 3 y(ξ)/dξ 3 = C 1 (-) e -ξ sinξ + C 1 e -ξ cosξ = H (L W) 3 /EI dla ξ=0 5. Stąd C 1 = H (L W) 3 /( EI) = H/(B C L W) i rozwiązanie jest zakończone: y(ξ) = H/(B C L W) e -ξ cosξ. 6. W szczególności, poziome przemieszczenie głowicy pala wynosi y(0) = C 1 = H/(B C L W). IIa sposób metoda Bleicha: 1. Dla belki półnieskończonej potrzebne są dwie siły fikcyjne: siła T 1 w odległości ξ 1 = π/4 na lewo od siły H, która nie zmienia M(0), ale koryguje Q(0), siła T w odległości ξ = π/ na lewo od siły H, która nie zmienia Q(0), ale koryguje M(0).. Łączne działanie siły rzeczywistej H oraz sił fikcyjnych T 1, T daje dwa równania dla przekroju ξ = 0 belki dwustronnie nieskończonej: M(0) = -H L W/4 e -0 (sin0-cos0) T 1 L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/) = 0, więc T = H e +π/ Q(0+0) = -H/ e -0 cos0 T 1/ e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/ = -H, więc T 1 = H e +π/4. 3. Stąd: y(ξ) = H/(BCL W) e -ξ (cosξ + sinξ) + H e +π/4 /(BCL W) e -(ξ+π/4) [cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4)] + + H e +π/ /(BCL W) e -(ξ+π/) [cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/)], czyli y(ξ)= H/(B C L W) e -ξ cosξ, jeśli uwzględnić, że cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4) = cosξ oraz cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/) = -sinξ + cosξ. IIb sposób odmiana metody Bleicha (dla spostrzegawczych) 1. W rozwiązaniu podstawowym, siła H daje w przekroju ξ = 0±0 belki dwustronnie nieskończonej skok wartości siły poprzecznej Q(0-0) = H/, Q(0+0) = -H/, czyli jest dokładnie razy za mało w punkcie 0+0. Zamiast siły H należy zatem wziąć w tym przekroju siłę P = H, co da Q(0+0) = -H.. Teraz wystarczy skorygować M(0) do zera nie naruszając już spełnionego warunku na siłę Q. 1 Dla gruntów niespoistych zazwyczaj lepszym założeniem jest przyjęcie liniowego wzrostu C z głębokością; ten wzrost sztywności z głębokością wynika ze wzrostu naprężeń od ciężaru własnego ośrodka - szczegóły obliczeniowe w następnym przykładzie.
4 Można to osiągnąć za pomocą jednej siły fikcyjnej T umieszczonej w odległości ξ = π/ na lewo od siły P, co nie zmienia wartości siły Q(0). Z warunku na M(0) otrzymuje się T = H e +π/. 3. Stąd: y(ξ) = H/(BCL W) e -ξ (cosξ + sinξ) + H e +π/ /(BCL W) e -(ξ+π/) [cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/)], tj. y(ξ) = H/(B C L W) e -ξ cosξ, ponieważ sin(ξ+π/) = cosξ, cos(ξ+π/) = -sinξ. 4 IIc sposób tradycyjna metoda Bleicha, ale jeszcze dużo prościej: 1. Właściwie w IIa i IIb rozpatrywanie siły H lub H w przekroju ξ = 0 jest dziwaczną komplikacją, bo można ją osiągnąć od razu za pomocą co najwyżej dwóch sił fikcyjnych, jak moment M o/ w Przykładzie 1, czyli: M(0) = -T 1 L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/) = 0, więc T = 0 Q(0+0) = -T 1/ e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/ = -T 1/ e -π/4 cosπ/4 0 = -H, więc T 1 = H e +π/4.. To zadanie można zatem rozwiązać za pomocą jednej jedynej siły fikcyjnej a nie 3 sił (jak w IIa) lub sił (jak w IIb); tę metodę należy rekomendować jako najprostszą. Stąd po prostu: y(ξ) = H e +π/4 /(BCL W) e -(ξ+π/4) [cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4)], czyli y(ξ) = H/(B C L W) e -ξ cosξ, jeśli uwzględnić, że cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4) = cosξ. Ciekawy wniosek, tylko pozornie zaskakujący, bo przecież zgodny z konkluzjami z Przykładu 1: dwie siły fikcyjne T i są inne niż w IIa oraz w IIb (pomimo, że w tych samych odległościach), a rozwiązanie jest całkiem to samo na całej półprostej ξ 0; nic dziwnego, bo z twierdzenia o jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego wynika, że jeśli funkcja y(ξ): 1) spełnia na odcinku (a,b) liniowe równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach, ) oraz spełnia wszystkie warunki na brzegu a,b, to takie rozwiązanie jest tylko jedno na całym odcinku pomiędzy końcami a,b. Chyba nie warto przypominać, że korzystamy tu bez przerwy z następującego trywialnego faktu (zasady superpozycji): jeśli funkcje y i(ξ) wszystkie spełniają liniowe równanie różniczkowe, to ich suma y(ξ)=σy i(ξ) też spełnia to równanie. Przykładowo w równaniu E-B, jeśli d 4 y 1(ξ)/dξ 4 +4y 1(ξ)=0 oraz d 4 y (ξ)/dξ 4 +4y (ξ)=0, to dla y 1(ξ)+y (ξ) również zachodzi d 4 [y 1(ξ)+y (ξ)]/dξ 4 +4[y 1(ξ)+y (ξ)]=0, ponieważ 0+0=0. Wątpliwości Studentów Jeszcze raz to samo, ale w sytuacji, która była kiedyś dla Studentów niejasna (np. na kolokwium). H, M o y(ξ) ξ 0 Trochę ogólniej niż poprzednio, niech na lewym końcu rzeczywistej belki półnieskończonej działają oba obciążenia H oraz M o, albo tylko jedno z nich, a drugie jest zerowe. Zadanie należy rozwiązać za pomocą metody Bleicha. Jak poprzednio, dla warunków brzegowych w obciążeniach, siły fikcyjne T, T 1 najlepiej jest ustawić w standardowych odległościach π/ oraz π/4 na lewej części belki (po jej fikcyjnym przedłużeniu). a tutaj spełniają, bo w metodzie Bleicha są to tzw. rozwiązania podstawowe równania Eulera-Bernoulliego
5 Pytanie jest następujące: Czy zastępcza belka Bleicha powinna być obciążona jak w IIc wyłącznie dwoma siłami fikcyjnymi T, T 1, czy też trzeba jak w IIa przyłożyć w przekroju ξ=0 belki nieskończonej również rzeczywiste obciążenia H oraz M o? Odpowiedź jest prosta: to wszystko jedno, ale pierwsze podejście (standardowe) jest łatwiejsze, a zatem jest zalecane. Można to sprawdzić bezpośrednio jako następujące ćwiczenie rachunkowe. 5 Bez uwzględnienia obciążenia w przekroju ξ=0 Postępuje się standardowo jak w IIc, wprowadzenie sił fikcyjnych T, T 1 i warunki brzegowe dają dwa równania dla przekroju ξ = 0 belki dwustronnie nieskończonej: M(0) = -T 1 L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/), a ponieważ ma być spełniony warunek brzegowy M(0) = M o, więc od razu T = -4M o/l W e +π/. Q(0) = -T 1/ e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/, a ponieważ ma być spełniony warunek Q(0) = -H, więc od razu T 1 = H e +π/4. Stąd rozwiązanie można zapisać za pomocą składników: y(ξ) = H e +π/4 /(BCL W) e -(ξ+π/4) [cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4)] 4M o/l W e +π/ /(BCL W) e -(ξ+π/) [cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/)]. Po przekształceniach: y(ξ) = 4H/(B C L W) e -ξ cosξ + 4M o/(b C (L W) ) e -ξ (sinξ cosξ), jeśli uwzględnić, że cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4) = cosξ oraz cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/) = -sinξ + cosξ. Z uwzględnieniem obciążenia w przekroju ξ=0: Postępuje się jak w IIa, ale w tym przypadku na belkę Bleicha działają obciążenia rzeczywiste i dwie siły fikcyjne. Łączne działanie sił rzeczywistych H, M o oraz sił fikcyjnych T 1, T daje dwa równania dla przekroju ξ=0 belki dwustronnie nieskończonej, które wynikają z warunków brzegowych. Zastosowanie ma też Przykład 1 (I Sposób, ostatnie linijki): M(0) = -H L W /4 e -0 (sin0-cos0) + M o/ e 0 cos0 T 1 L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/), a ponieważ ma być spełniony warunek brzegowy M(0) = M o, więc od razu T = (H-M o/l W) e +π/. Q(0+0) = -H/ e -0 cos0 M o/(l W) [e 0 (sin0+cos0)] T 1/ e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/, a ponieważ ma być spełniony warunek Q(0+0) = -H, więc od razu T 1 = (H-M o/l W) e +π/4. Stąd wynika, że rozwiązanie trzeba w tej wersji zapisać za pomocą 4 składników: y(ξ) = H/(BCL W) e ξ [cos(ξ) + sin(ξ)] + M o (BC) 1 (L W) e ξ sinξ + + (H-M o/l W) e +π/4 /(BCL W) e -(ξ+π/4) [cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4)] + + (H-M o/l W) e +π/ /(BCL W) e -(ξ+π/) [cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/)]. Po przekształceniach: y(ξ) = 4H/(B C L W) e -ξ cosξ + 4M o/(b C (L W) ) e -ξ (sinξ cosξ), jeśli uwzględnić, że cos(ξ+π/4) + sin(ξ+π/4) = cosξ oraz cos(ξ+π/) + sin(ξ+π/) = -sinξ + cosξ.
6 EI,B,L H C(x) x y Przykład 3: rozwiązać belkę o skończonej długości na podłożu Winklera, dla którego parametr C jest rosnącą funkcją zmiennej x > 0, np. C(x) = m x, albo C(x) = C o + m x + n x, itp. Uwaga: tego typu zagadnienia po obróceniu o 90 o jak na rysunku obok - mogą mieć zastosowanie do obliczania pionowego pala obciążonego siła poziomą H w przypadku, gdy sztywność podłoża rośnie z głębokością x > 0, co ma zazwyczaj miejsce w gruntach niespoistych. 6 Stosuje się metodę znacznie bardziej uniwersalną niż w Przykładzie rozwijanie rozwiązania w szereg potęgowy 3. Główne etapy rozwiązania są następujące. 1. Każdą ciągłą funkcję na skończonym odcinku można dowolnie dokładnie przybliżać wielomianami (twierdzenie Weierstrassa). Niech tą funkcją będzie poszukiwana oś odkształcona y(x)= Σ a i x i, a sumowanie jest na ogół nieskończone. Przez różniczkowanie funkcji y(x)= Σ a i x i otrzymuje się pozostałe wielkości, głównie M(x), Q(x).... Na odcinku nieobciążonym oś belki spełnia jednorodne (q o = 0) równanie różniczkowe E-B, tj. EI d 4 y(x)/dx 4 = BC y(x), gdzie B = const, EI = const. 3. Jeśli y(x) jest wielomianem i C(x) też jest wielomianem, to należy zróżniczkować czterokrotnie wielomian y(x) = Σ a i x i wyraz po wyrazie, pomnożyć y(x) przez wielomian C(x) i w końcu porównać wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach x i z lewej oraz z prawej strony równania E-B. 4. Przykład: niech C(x) = m x, gdzie m = const > 0: Oznaczamy L Z = [EI/(mB)] 1/5 i wtedy ξ = x / L Z jest współrzędna bezwymiarową oraz y(ξ) = Σ α i ξ i =α o + α 1 ξ + α ξ +α 3 ξ , gdzie α i = a i (L Z) i. W p.5 zastosujemy metodę porównywania współczynników wielomianów z p.3 do przekształconego równania E-B, które dla współrzędnej bezwymiarowej ξ ma postać d 4 y(ξ)/dξ 4 = ξ y(ξ). 5. Od razu widać, że α 4 = 0 (dlaczego?). Po przekształceniach otrzymuje się dalej związki rekurencyjne α i+4 = α i 1 i! / (i+4)! dla i = 1,,3, Wszystkie współczynniki rozwinięcia funkcji y(ξ) są więc znane, z wyjątkiem α o, α 1, α, α 3. Te cztery brakujące współczynniki określa się znając 4 warunki brzegowe na końcach belki. Od strony matematycznej mogłyby to być np. wszystkie 4 warunki zadane w przekroju ξ=0; Jednak od strony fizycznej są one zadawane po dwa na każdym końcu, ponieważ nie można równocześnie zadać w przekroju siły oraz przemieszczenia (liniowego lub obrotu). Uwaga: trochę podobnie postępuje się dla belek na półprzestrzeni sprężystej (Gorbunow-Posadow), ale dla półprzestrzeni sprężystej komplikacje są znacznie większe. 3 w XIX wieku rozwiązano w podobny sposób bardzo wiele nietrywialnych zagadnień fizyki matematycznej (tj. równania różniczkowe o zmiennych współczynnikach); obecnie metoda ta jest nadal atrakcyjna i skuteczna dzięki wspomaganiu obliczeniami symbolicznymi (Mathematica i in.); niektóre rozwiązania w normie palowej PN-3/B-04 też ją wykorzystują.
7 Uwagi nt. obliczania rusztów i płyt na podłożu liniowo odkształcalnym 7 A. Model Winklera 4 Kilka przypadków można rozwiązać analitycznie (cienka płyta kołowa obciążona pionowo w środku, skończona lub nieskończona), Najczęściej stosuje się proste metody numeryczne, np. metodę różnic skończonych. Wydaje się, że ponad ¾ wszystkich płyt fundamentowych zaprojektowano i nadal projektuje się w oparciu o model Winklera (!); niektóre komercyjne programy komputerowe dużo piszą o półprzestrzeni sprężystej, ale jak się temu dokładnie przyjrzeć, to stosują jednak prosty model Winklera z odpowiednio dobranym współczynnikiem podłoża k z [kn/m 3 ] por. np. uzupełnienie do ćwiczeń projektowych (3. tydzień) w odrębnej zakładce. B. Model półprzestrzeni sprężystej W zasadzie tylko jeden przypadek można rozwiązać analitycznie - centralnie obciążoną płytę kołową (symetria walcowa), dla warstwy i półprzestrzeni sprężystej najczęściej stosuje się metody numeryczne MES lub MEB. W przypadku płyt o zmiennej grubości i skomplikowanym kształcie (też ruszty fundamentowe) zastosowanie obliczeń komputerowych jest nieuniknione. C. Metody (bardzo) uproszczone tylko jako pierwsze przybliżenie! 1. Dla bardzo sztywnych fundamentów q = qśr a) rozkład reakcji podłoża Winklera jest liniowy (ponieważ równomierne osiadanie wzbudza równe reakcje w sprężynach ); należy jednak dokładnie przeanalizować, czy model Winklera jest w danej sytuacji odpowiedni! q = qśr (1±0,5) b) reakcja półprzestrzeni sprężystej pod ławą o szerokości B wykazuje koncentracje w okolicach krawędzi fundamentu; orientacyjnie, do wstępnego wymiarowania można bezpiecznie przyjmować redystrybucję średnich oddziaływań podłoża na poziomie ±5% na wydzielonych 4 ćwiartkach szerokości ławy B. Bezpiecznym projektowaniem byłoby przyjęcie obwiedni dla sił wewnętrznych z obu schematów a), b); 1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 0,50 0,50 1,0 1,0 0,50 0,50 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5 c) analogicznie, reakcja półprzestrzeni sprężystej pod kwadratową stopą wykazuje koncentracje w okolicach naroży fundamentu; orientacyjnie (do wstępnego wymiarowania) można bezpiecznie przyjmować redystrybucję średnich oddziaływań podłoża na poziomie ±50% na z 16 wydzielonych segmentów obliczeniowych stopy. Tę redystrybucję reakcji podłoża dla sztywnych fundamentów można oszacować stosując metodę podaną na pierwszym wykładzie: dzieli się podstawę fundamentu na odrębne segmenty i różnicuje ich obciążenia (równomierne na każdym segmencie) w celu wyrównania średnich osiadań wszystkich 4 jest obszerna literatura na ten temat w BI-10 (BB t.ix, Dembicki, Nowacki, Kączkowski, Selvadurai i in.)
8 segmentów (bo fundament jest sztywny i wszystkie wydzielone segmenty obliczeniowe muszą osiadać tyle samo); redystrybucja oddziaływań wynika więc z wpływu sąsiadów zwłaszcza najbliższych segmentów, czego nie ma w modelu Winklera. Szczegóły przedstawiono w odrębnej zakładce (Przykład 4. z wykładu 1.).. Dla regularnych siatek słupów o podobnych obciążeniach r r( x, y ) = B ( x) r ( x) i j L P ij x y Rozdziela się kierunki x oraz y. W tym celu płytę rzutuje się na dwa kierunki a następnie rozwiązuje się dwie niezależne belki o sztywnościach: EI = ELh 3 /1... daje reakcję podłoża r B(x) [kn/m] EI = EBh 3 /1... daje reakcję podłoża r L(y) [kn/m]. Obciążenia P ij są sumowane wzdłuż odpowiednich osi: w kierunku podłużnym P Bi = Σ P ij (sumować po j) w kierunku poprzecznym P Lj = Σ P ij (sumować po i). Do wymiarowania przyjmuje się reakcję podłoża w kpa Dla wydłużonych płyt prostokątnych i regularnej siatki słupów metoda ta daje stosunkowo dobre wyniki. Ćwiczenie: ta procedura rozdzielania kierunków zastosowana na górnej powierzchni prostokątnego fundamentu (gdzie siły są znane i łatwo je porównać) daje tutaj małe błędy: 1100x1650/350 = , 110x1650/350 = , 1300x1650/350 = , 1100x170/350 = , 110x170/350 = , 1300x170/350 =
OBLICZANIE ŁAW SZEREGOWYCH NA PODŁOŻU SPRĘŻYSTYM ZA POMOCĄ METODY ANALITYCZNEJ (model Winklera, metoda Bleicha)
OICZNIE ŁW SZEREGOWYCH N ODŁOŻU SRĘŻYSTYM Z OMOCĄ METODY NITYCZNEJ (model Winklera, metoda leicha).. Oznaczenia sił wewnętrznych. Założenia i dane obciążenie q o (x) > 0 0 odpór podłoża r(x) > 0 y > 0
Bardziej szczegółowoodległość przekroju od siły P. ξ 8
FUNDAMENTOWANIE II (W.Brząkała) przykłady do ykładu i 3 (praca łasna) C 0 M o y(ξ) ξ Przykład : Roziązać belkę nieskończenie długą na podłożu Winklera obciążoną momentem skupionym M o przekroju ξ o=0.
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali
Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoAnaliza fundamentu na mikropalach
Przewodnik Inżyniera Nr 36 Aktualizacja: 09/2017 Analiza fundamentu na mikropalach Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_en_36.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie wykorzystania
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoPale fundamentowe wprowadzenie
Poradnik Inżyniera Nr 12 Aktualizacja: 09/2016 Pale fundamentowe wprowadzenie Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie problematyki stosowania oprogramowania pakietu GEO5 do obliczania fundamentów
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoOsiadanie kołowego fundamentu zbiornika
Przewodnik Inżyniera Nr 22 Aktualizacja: 01/2017 Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_22.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowo3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ
3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoTok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7
Tok postępowania przy projektowaniu fundamentu bezpośredniego obciążonego mimośrodowo wg wytycznych PN-EN 1997-1 Eurokod 7 I. Dane do projektowania - Obciążenia stałe charakterystyczne: V k = (pionowe)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2: Posadowienie na palach wg PN-83 / B-02482
Ćwiczenie nr 2: Posadowienie na palach wg PN-83 / B-02482 Ćwiczenie nr 3: Posadowienie na palach wg PN-84/B-02482 2 Dla warunków gruntowych przedstawionych na rys.1 zaprojektować posadowienie fundamentu
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowo2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowoCzęść ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1
Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna
Bardziej szczegółowoWymiarowanie sztywnych ław i stóp fundamentowych
Wymiarowanie sztywnych ław i stóp fundamentowych Podstawowe zasady 1. Odpór podłoża przyjmuje się jako liniowy (dla ławy - trapez, dla stopy graniastosłup o podstawie B x L ścięty płaszczyzną). 2. Projektowanie
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową
Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur
Bardziej szczegółowoNarysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 3ql
Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. q l Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: n s = r - 3 - p = 5-3 - 0 = 2 Przyjmujemy schemat podstawowy: X 2 X Zakładamy do obliczeń,
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoDANE OGÓLNE PROJEKTU
1. Metryka projektu Projekt:, Pozycja: Posadowienie hali Projektant:, Komentarz: Data ostatniej aktualizacji danych: 2016-07-04 Poziom odniesienia: P 0 = +0,00 m npm. DANE OGÓLNE PROJEKTU 15 10 1 5 6 7
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoZ1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej
Bardziej szczegółowoPrzykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoZADANIA. PYTANIA I ZADANIA v ZADANIA za 2pkt.
PYTANIA I ZADANIA v.1.3 26.01.12 ZADANIA za 2pkt. ZADANIA Podać wartości zredukowanych wymiarów fundamentu dla następujących danych: B = 2,00 m, L = 2,40 m, e L = -0,31 m, e B = +0,11 m. Obliczyć wartość
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na
Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na www.swiatmatematyki.pl 1. Wypiszmy początkowe potęgi liczby Zestaw podstawowy
Bardziej szczegółowoP. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N
Bardziej szczegółowoHale o konstrukcji słupowo-ryglowej
Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoZADANIA - POWTÓRKA
Część 5. ZADANIA - POWTÓRKA 5. 5. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie W ramie przedstawionej na rys 5. obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie K oraz obrót cięciwy RS. W obliczeniach można pominąć wpływ sił normalnych
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami
Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoMetoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowo1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)
Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m
Bardziej szczegółowoProjekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoZginanie proste belek
Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
Bardziej szczegółowo1. Dane : DANE OGÓLNE PROJEKTU. Poziom odniesienia: 0,00 m.
1. Dane : DANE OGÓLNE PROJEKTU Poziom odniesienia: 0,00 m. 4 2 0-2 -4 0 2. Fundamenty Liczba fundamentów: 1 2.1. Fundament nr 1 Klasa fundamentu: ława, Typ konstrukcji: ściana, Położenie fundamentu względem
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowo