PRACOWNIA FIZYCZNA I

Transkrypt

1 Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I wiczenie 3: Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod kondensatorow. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gda«sk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi dzywydziaªowe wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.

2 USTALENIA WST PNE Wymagania wst pne: Zapoznanie si z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem wiczenia zawartymi w instrukcji do wiczenia. Cele wiczenia: 1. Usystematyzowanie wiadomo±ci z elektrostatyki. 2. Zapoznanie studentów z metod pomiaru wzgl dnej przenikalno±ci elektrycznej. 3. Wykonanie pomiaru pojemno±ci kondensatora powietrznego oraz kondensatora z dielektrykiem. 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, bª dów pomiarowych oraz wykonanie odpowiedniego wykresu wykresu w celu wyznaczenia przenikalno±ci elektrycznej materiaªu. 5. Oszacowanie niepewno±ci pomiarowych. 6. Sformuªowanie wniosków. Wykaz przyrz dów niezb dnych do wykonania wiczenia: Rys. 1: Ukªad pomiarowy: 1 - okªadki kondensatora pªaskiego z regulacj odlegªo±ci pomi dzy okªadkami za pomoc ±ruby mikrometrycznej; 2 - multimetr cyfrowy; 3 - pªytki dielektryczne. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy zyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych. 3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników. 4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. 5. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z zyki. 2

3 WPROWADZENIE DO WICZENIA Pole elektryczne jest to przestrze«wokóª ªadunku tj. ¹ródªa pola elektrycznego w której, na inne umieszczone ªadunki dziaªa siªa elektrostatyczna. Pole elektryczne mo»emy zobrazowa za pomoc linii siª pola elektrycznego. W przypadku ªadunku punktowego linie te b d póªprostymi (pole centralne), wychodz cymi w ka»dym kierunku jak na rysunku 2. W zale»no±ci od tego, jaki ªadunek rozpatrujemy, linie te b d zwrócone od ªadunku w przypadku ªadunku dodatniego lub do ªadunku w przypadku ªadunku ujemnego. Z liniami siª pola elektrycznego jest zwi zany wektor nat»enia pola elektrycznego, który jest zawsze styczny do linii siª pola o zwrocie zgodnym ze zwrotem linii siª pola. Warto± nat»enia pola Rys. 2: Linie pola oraz powierzchnie ekwipotencjalne ªadunku a) dodatniego, b) ujemnego. elektrycznego w odlegªo±ci r od ªadunku punktowego jest opisana zale»no±ci E = 1 4πɛ o ɛ r Q r 2, (1) w której ɛ 0 jest przenikalno±ci elektryczn pró»ni (teoretycznie ɛ 0 = 8, F/m), za± ɛ r jest wzgl dn przenikalno±ci dielektryczn o±rodka. Zale»no± 1 opisuje nam siª elektrostatyczn (Coulomba) dziaªaj c na ªadunek umieszczony w tym polu. Nat»enie pola elektrycznego jest wielko±ci wektorow, wi c oprócz warto±ci musimy zna równie» zwrot wektora E. Wygodniejsz wielko±ci opisuj c pole elektryczne jest potencjaª elektryczny V, który informuje nas o energii potencjalnej ªadunku q umieszczonego w polu ªadunku Q, do warto±ci tego ªadunku, co mo»na zapisa zale»no±ci V = E p q = 1 Q 4πɛ o ɛ r r. (2) Jednostk potencjaªu elektrycznego jest wolt. Nale»y jednak pami ta,»e potencjaª mo»e przyjmowa zarówno warto±ci dodatnie (ªadunki dodatnie) lub ujemne (ªadunki ujemne). W przypadku pola elektrycznego bezwirowego, które jest wytwarzane wokóª ªadunku punktowego, istnieje zale»no± pomi dzy nat»eniem pola elektrycznego a potencjaªem postaci E = gradv = V, (3) 3

4 w którym operator nabla ( ), jest operatorem ró»niczkowym przeksztaªcaj cym pole skalarne w pole wektorowe. W przypadku pola jednorodnego zwi zek ten mo»na zapisa w postaci E = î d V, (4) dr w której î wyró»nia nam pewien kierunek w przestrzeni. Z zale»no±ci 4 wynika,»e jednostk nat»enia pola elektrycznego jest wolt na metr. Je»eli ukªad skªada si z wi kszej ilo±ci ªadunków, o rozkªadzie dyskretnym w celu wyznaczenia wypadkowego potencjaªu lub nat»enia pola elektrycznego, mo»na posªu»y si metod superpozycji dla potencjaªów oraz nat»enia pola elektrycznego V w = E w = n n V i, (5) E i. (6) W przypadku ci gªego rozkªadu ªadunku, do wyznaczenia nat»enia pola elektrycznego mo»na posªu»y si prawem Gaussa S E ds = 1 Q i, (7) ɛ 0 ɛ r które informuje,»e liczba linii siª pola elektrycznego przechodz ca przez dowoln powierzchni zamkni t (tzw. powierzchnia Gaussa), otaczaj ca ci gªy rozkªad ªadunków, jest równa caªkowitemu ªadunkowi ograniczonemu przez t powierzchni podzielon przez ɛ 0 ɛ r. Prawo to mo»na stosowa to ka»dego rozkªadu ªadunku jak i mo»na wybiera dowoln powierzchni Gaussa, jednak cz sto istnieje problem obliczenia caªki po lewej stronie. Jednak w prosty sposób mo»na zastosowa prawo Gaussa do niesko«czonej pªaszczyzny naªadowanej jednorodnie z g sto±ci powierzchniow σ + jak na rysunku 3. Dla sytuacji z rysunku i Rys. 3: Niesko«czona pªaszczyzna naªadowana ªadunkiem σ + i jej nat»enie pola elektrycznego wytwarzane w odlegªo±ci rod pªaszczyzny. 4

5 3 speªniona jest równo± S E ds = S E ds = E S ds = 2ES = 1 ɛ 0 ɛ r σ + S, (8) z której wynika,»e nat»enie pola elektrycznego w odlegªo±ci r od niesko«czonej pªaszczyzny wynosi E = σ+ 2ɛ 0 ɛ r. (9) Nat»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci 9 nie zale»y od odlegªo±ci r od pªyty. Poza tym, wektor nat»enia pola elektrycznego jest zawsze prostopadªy do powierzchni pªaszczyzny, wi c pªaszczyzna wytwarza pole jednorodne. Gdy rozwa»ymy dwie równolegªe niesko«czone pªaszczyzny odlegªe o d od siebie oraz naªadowane ró»noimiennie z g sto±ci powierzchniow σ, wówczas nat»enie pola elektrycznego b dzie ró»ne od zera wyª cznie pomi dzy pªaszczyznami i b dzie wynosi E = σ ɛ 0 ɛ r. (10) Rozwi zuj c równanie 4 oraz znaj c nat»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci 10, wyznaczymy napi cie pomi dzy dwoma pªaszczyznami, które wynosi U = Ed. (11) Nale»y pami ta, i» formuªa opisana wzorem 11 jest prawdziwa wyª cznie dla pola jednorodnego. Kondensator jest to ukªad dwóch przewodników rozdzielonych dielektrykiem, który sªu»y do gromadzenia ªadunku. Zdolno± do gromadzenia ªadunku jest opisana przez pojemno± elektryczn w postaci C = Q U, (12) w którym Q jest ªadunkiem zgromadzonym na okªadce, a U ró»nic potencjaªów pomi dzy okªadkami kondensatora. Jednostk pojemno±ci jest farad. Rozwa»my kondensator pªaski, o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi dzy okªadkami d jak na rysunku 4 Pojemno± kondensatora pªaskiego zgodnie z równaniem 12, 11 i 10 wynosi Rys. 4: Schemat kondensatora pªaskiego. 5

6 Poniewa» ɛ r C = ɛ 0 ɛ r S d. (13) = 1 w pró»ni, a dla ka»dego innego medium przyjmuje warto±ci wi ksze od jedno±ci, wi c umieszczenie dielektryka pomi dzy okªadkami powoduje zwi kszenie jego pojemno±ci. Pomimo, i» dielektryk nie posiada swobodnych no±ników ªadunku, mo»e on ulec polaryzacji. W przypadku substancji polarnych - posiadaj cych trwaªy moment dipolowy (polaryzacja orientacyjna), zewn trzne pole elektryczne d»y do ustawienia momentów dipolowych cz steczek zgodnie ze swym kierunkiem, poprzez co w dielektryku powstaje pole elektryczne przeciwstawiaj ce si polu zewn trznemu. Stopie«polaryzacji jest uzale»niony od zewn trznego pola elektrycznego i temperatury. W przypadku substancji niepolarnych mo»- liwe jest zaindukowanie momentu dipolowego poprzez umieszczenie dielektryka w zewn trznym polu elektrycznym. Pole zewn trzne mo»e powodowa deformacj chmury elektronowej (polaryzacja elektronowa), lub przesuni cie jonów w strukturze substancji (polaryzacja jonowa). Zaindukowane pole elektryczne przeciwdziaªa polu zewn trznemu, które je wywoªuje. W wyniku tego wypadkowe pole elektryczne pomi dzy okªadkami maleje (¹ródªo napi cia Rys. 5: a) Kondensator pªaski bez dielektryka podª czony do ¹ródªa napi cia; b) Kondensator z umieszczonym dielektrykiem po odª czeniu od ¹ródªa napi cia; c) kondensator z umieszczonym dielektrykiem podª czony do ¹ródªa zasilania. odª czone), poprzez co maleje tak»e napi cie pomi dzy okªadkami. Šadunek na okªadkach pozostaje staªy, wi c pojemno± kondensatora zgodnie z denicj 12 wzrasta. W przypadku, gdy okªadki kondensatora s ci gle podª czone do ¹ródªa napi cia, musi nast pi napªyw ªadunku, aby skompensowa zaindukowane pole elektryczne w dielektryku (napi cie pomi dzy okªadkami musi by staªe), co te» zgodnie z denicj 12 prowadzi do zwi kszenia pojemno±ci. Pojemno± kondensatora po wypeªnieniu caªkowicie dielektrykiem jest zawsze ɛ r razy wi ksza ni» kondensatora bez dielektryka i wynosi C d = ɛ r C 0. (14) 6

7 PRZEBIEG WICZENIA Pierwszym krokiem wiczenia jest ustalenie pozycji zero ±ruby mikrometrycznej, za pomoc której kontrolujemy odlegªo± pomi dzy okªadkami. Nast pnie ustawiamy niezerow odlegªo± pomi dzy okªadkami kondensatora, po czym wª czamy multimetr cyfrowy. Dokonujemy pomiarów pojemno±ci kondensatora powietrznego i wypeªnionego w peªni dielektrykiem zgodnie z tabelami pomiarowymi oraz zgodnie ze wskazówkami prowadz cego zaj cia. Zadania 1. Zmierzy pojemno± C 0 kondensatora powietrznego w funkcji odlegªo±ci pomi dzy okªadzinami. 2. Zmierzy pojemno± C d kondensatora wypeªnionego kompletnie badanym dielektrykiem w funkcji odlegªo±ci pomi dzy okªadzinami. 4. Narysowa wykres zale»no±ci C 0 oraz C d od 1/d wraz z niepewno±ciami. 5. Wyznaczy przenikalno± dielektryczn powietrza oraz wzgl dn przenikalno± elektryczn ɛ r badanego materiaªu metod regresji liniowej. 6. Wyznaczy pojemno±ci monta»owe C m dla kondensatora powietrznego i wypeªnianego dielektrykiem. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH W do±wiadczeniu dokonywali±my pomiaru pojemno±ci kondensatora C 0 i C d oraz odlegªo±ci pomi dzy okªadzinami d zgodnie z równaniem C = ɛ 0 ɛ r S d. (15) Z wyników pomiarów mo»emy wyznaczy przenikalno± dielektryczn powietrza oraz dielektryka sprowadzaj c równanie 15 do równania liniowego postaci y(x) = ax + b, (16) w którym y = C, x = 1/d, a = Sɛ 0 ɛ r. W wyrazie wolnym b jest zawarta informacja o pojemno±ci ukªadu. Jednak w wyniku pomiarów uzyskali±my wspóªrz dne punktów pomiarowych x i i y i wraz z ich niepewno±ciami maksymalnymi x i i y i. Po naniesieniu punktów pomiarowych wraz z niepewno±ciami na wykres, powinni±my zauwa»y ukªadanie si punktów pomiarowych wzdªu» prostej. Najlepiej dopasowana prosta do punktów pomiarowych (x i, y i ), to taka, która przechodzi mo»liwie najbli»ej wszystkich punktów pomiarowych. Narzuca do warunek, aby suma kwadratów odchyªek warto±ci dopasowanych y(x i ) do zmierzonych y i byªa minimalna i speªniaªa warunek n [ yi (ax i + b) ] 2 = min. (17) 7

8 Zgodnie z równaniem 17 minimum funkcji wyznaczymy licz c pochodne cz stkowe tej funkcji i przyrównanie je do zera. Otrzymamy do rozwi zania ukªad równa«postaci n [ yi (ax i + b) ] 2 = 0 a n b [ yi (ax i + b) ] 2 = 0. (18) Po rozwi zaniu ukªadu równa«18 otrzymamy warto± parametru a postaci oraz b, który wynosi b = a = n n x i y i n n x i y i ( n ) 2 n x i n x 2 i n n x i x i y i n n y i x 2 i ( n ) 2 n x i n x 2 i, (19). (20) Warto±ci oczekiwan wielko±ci mierzonej w eksperymencie jest ±rednia arytmetyczna z n pomiarów, wi c wzór 19 mo»emy przedstawi nast puj co a = xy x y x 2 ( x ) 2, (21) a b mo»emy wyliczy z zale»no±ci b = y ax. (22) Znaj c warto±ci a i b mo»emy nanie± nasz prost na wykres, na którym znajduj si zaznaczone punkty pomiarowe wraz z niepewno±ciami. Dobrze dopasowana zale»no± liniowa do punktów pomiarowych powinna mie tyle samo punktów pomiarowych nad jak i pod dopasowan prost oraz przechodzi przez co najmniej 68% sªupków bª dów. Je»eli powy»- sze warunki nie s speªnione to mo»emy podejrzewa, i» badana zale»no± nie jest liniowa b d¹ podczas pomiaru zostaªy zani»one warto±ci niepewno±ci pojedynczego pomiaru. Nale»y jednak mie na uwadze,»e dopasowane parametry prostej a i b s tak»e obarczone niepewno- ±ci. Jest to odchylenie standardowe, które zgodnie z prawami statystyki dla wspóªczynnika a wynosi S a = 1 n 2 natomiast S b mo»emy wyznaczy z zale»no±ci y 2 axy by x 2 ( x ) 2, (23) S b = S a x 2. (24) 8

9 Aby ustali, czy badana wspóªzale»no± jest liniowa nale»y wyznaczy wspóªczynnik korelacji liniowej r dla serii pomiarów postaci r = xy x y [x2 (x) 2 ][ y2 (y) 2 ]. (25) Wspóªczynnik korelacji liniowej r zawiera si w przedziale 1 r 1. Korelacja jest tym wi ksza im warto± bezwzgl dna z r zmierza do jedno±ci. W tablicy statystycznej na ostatniej stronie zostaªy podane graniczne warto±ci r w zale»no±ci od liczby pomiarów i poziomu istotno±ci, od których wzwy» mo»na wnioskowa o istnieniu istotnej wspóªzale»no±ci pomi dzy badanymi wielko±ciami. Dopasowanie prostej do danych pomiarowych mo»emy tak»e wykona metod graczn. W tym celu nale»y narysowa prost przechodz c przez mo»liwie najwi ksz ilo± sªupków pomiarowych, przy czym poªowa punktów pomiarowych powinna znajdowa si nad prost, a druga poªowa punktów pomiarowych pod prost. Odczytujemy z wykresu wspóªczynnik a jako tangens nachylenia prostej oraz wspóªczynnik b jako przeci cie z osi odci tych. W celu wyznaczenia niepewno±ci maksymalnych a i b wielko±ci a i b nale»y przeprowadzi dwie skrajne proste o minimalnym i maksymalnym k cie nachylenia jak na rysunku 6, dla których speªniona jest jeszcze metoda regresji liniowej. Wówczas warto± niepewno±ci maksymalnej Rys. 6: Metoda regresji liniowej wykonana metod graczn. a mo»e by oszacowana jako natomiast b jako a = a max a min, (26) 2 b = b max b min, (27) 2 9

10 SPRAWD CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE 1. Mi dzy okªadki pªaskiego powietrznego kondensatora o pojemno±ci C, poª czonego z akumulatorem o sile elektromotorycznej SEM, wprowadzono dielektryk o wzgl dnej przenikalno±ci ɛ r. O ile zmieni si ªadunek kondensatora i nat»enie pola elektrycznego mi dzy okªadkami? 2. Dwa kondensatory o pojemno±ci C 1 i C 2 naªadowano odpowiednio do napi cia U 1 i U 2, a nast pnie po odª czeniu od ¹ródªa, poª czono przewodnikami okªadki jednego kondensatora z przeciwnie naªadowanymi okªadkami drugiego kondensatora. Znale¹ ªadunki Q 1 i Q 2 na okªadkach ka»dego z kondensatorów po poª czeniu. 3. Do kondensatora pªaskiego o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi dzy okªadzinami d wsuni to materiaª o staªej dielektrycznej ɛ r jak na rysunku 7a i 7b. Jak pojemno± posiadaj te ukªady po wsuni ciu dielektryka? Rys. 7: Rysunek do zadania problemowego nr 3. 10

11 PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW WYZNACZANIE STAŠEJ DIELEKTRYCZNEJ METOD KONDENSATOROW nazwisko i imi data wykonania 1) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora powietrznego i C 0i [ ] d i [ ] 2) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora wypeªnionego caªkowicie dielektrykiem i C df i [ ] d i [ ] Wspóªczynniki do niepewno±ci odczytu pojemno±ci z miernika cyfrowego - dane producenta: c 1 =...(zakres:...); c 2 =...(pomiar); rednica okªadek kondensatora: φ 1 = podpis prowadz cego zaj cia 11

12 Tabela wzgl dnych przenikalno±ci dielektrycznych ró»nych materiaªów. Tabela krytycznych warto±ci wspóªczynnika korelacji r(n; α) dla ró»nych poziomów istotno±ci α oraz liczby pomiarów n. 12