PRACOWNIA FIZYCZNA I
|
|
- Aleksander Szydłowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I wiczenie 4: Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gda«sk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi dzywydziaªowe wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.
2 Politechnika Gda«ska, mi dzywydziaªowy kierunek In»ynieria Biomedyczna USTALENIA WST PNE Wymagania wst pne: Zapoznanie si z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem wiczenia zawartymi w instrukcji do wiczenia. Cele wiczenia: 1. Usystematyzowanie wiedzy z elektrodynamiki i optyki falowej. 2. Zapoznanie studentów z metodami pomiaru wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych. 3. Wykonanie pomiaru wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa materiaªu za pomoc metody de Chaulnes i k ta Brewstera. 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewno±ci pomiarowych oraz wykonanie odpowiedniej statystyki danych pomiarowych. 5. Oszacowanie niepewno±ci wielko±ci wyznaczanych. 6. Sformuªowanie wniosków. Wykaz przyrz dów niezb dnych do wykonania wiczenia: (a) Ukªad pomiarowy 1: 1 - lampka laboratoryjna; (b) Ukªad pomiarowy 2: 1 - ruchome ¹ródªo ±wia2 - mikroskop; 3 - badane obiekty, 4 - ±ruba mi- tªa ; 2 - soczewka skupiaj ca 1; 3 - obrotowy stokrometryczna. lik z polaryzatorem, 4 - pionowa ni celownika, 5 - analizator. Rys. 1: Ukªady pomiarowe wykorzystywane w wiczeniu. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy zyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych. 3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników. 4. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z zyki. 5. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. 2 Pracownia Fizyczna I - Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.
3 WPROWADZENIE DO WICZENIA Podstawy optyki geometrycznej W o±rodku jednorodnym i izotropowym ±wiatªo rozchodzi si po liniach prostych. W optyce geometrycznej operuje si poj ciem promienia ±wietlnego, czyli bardzo w skiej wi zki ±wiatªa wyznaczaj cej kierunek rozchodzenia si fali ±wietlnej. Zgodnie z zasad Fermata, promie«±wietlny biegn cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog, do której przebycia potrzebny jest ekstremalny czas (najmniejszy lub najwi kszy). Z zasady tej mo»na wyprowadzi prawo odbicia i zaªamania ±wiatªa na granicy dwóch o±rodków. Na rysunku 2 zostaª przedstawiony promie«padaj cy z punktu A pod k tem α do normalnej oraz promie«odbity od granicy dwóch o±rodków w punkcie P pod k tem α do normalnej. Caªkowita dªugo± drogi promienia ±wietlnego pomiedzy punktem A i B wynosi Rys. 2: Odbicie promienia ±wietlnego od granicy dwóch o±rodków. s = a 2 + x 2 + b 2 + (d x) 2 (1) W równaniu 1 na drog promienia ±wietlnego x jest zmienn zale»n od poªo»enia punktu P. Aby obliczy ekstremum funkcji 1 musi by speªniony warunek ds dx Po obliczeniu pochodnej i przeksztaªceniu otrzymujemy zwi zek x a2 + x 2 = = 0. (2) d x b 2 + (d x) 2. (3) Z rysunku 2 mo»na zauwa»y nast puj ce zale»no±ci trygonometryczne sin α = x a2 + x 2 oraz sin α = d x b 2 + (d x) 2, (4) 3
4 a wi c sin α = sin α. (5) Z równania 5 wynika,»e zgodnie z zasad Fermata k t padania jest równy k towi odbicia α = α. (6) Analogicznie mo»na wyprowadzi prawo zaªamania, które zilustrowane zostaªo na rysunku 3. W tym przypadku, czas przej±cia promienia ±wietlnego od punktu A do punktu B przez Rys. 3: Zaªamanie promienia ±wietlnego na granicy dwóch o±rodków. punkt P wynosi t = s 1 + s 2, (7) v 1 v 2 w którym przez v 1 i v 2 rozumiemy pr dko± propagacji promienia ±wietlnego w danym o±rodku. Korzystaj c ze zwi zku pomi dzy pr dko±ci promienia ±wietlnego, a wspóªczynnikiem zaªamania wzgl dem pró»ni n = c v, (8) gdzie c jest pr dko±ci ±wiatªa, równanie 7 mo»na przeksztaªci do postaci t = n 1s 1 + n 2 s 2 c = s opt c. (9) Wielko± s opt = n 1 s 1 + n 2 s 2 jest drog optyczn promienia ±wietlnego i jest ró»na od drogi geometrycznej, która wynosi s geom = s 1 + s 2. Zgodnie z prawem Fermata droga optyczna promienia ±wietlnego powinna by ekstremalna, wi c» damy, aby speªniony byª warunek 4 ds opt dx. (10)
5 Po zró»niczkowaniu i przeksztaªceniach otrzymamy równanie n 1 x a2 + x = n d x 2 2 b 2 + (d x). (11) 2 Z rysunku 3 wida nast puj ce zwi zki trygonometryczne sin α = x a2 + x 2 oraz sin β = d x b 2 + (d x) 2, (12) co prowadzi do prawa zaªamania postaci sin α sin β = n 2 n 1 = n 21 (13) Wielko± n 21 nazywamy wzgl dnym wspóªczynnikiem zaªamania ±wiatªa o±rodka drugiego wzgl dem ±rodka pierwszego i wynosi n 21 = n 1 n 2. (14) Wspóªczynniki zaªamania s odwrotnie proporcjonalne do pr dko±ci rozchodzenia si ±wiatªa w o±rodkach. O±rodek, w którym ±wiatªo rozchodzi si z wi ksz pr dko±ci, nazywamy optycznie rzadszym, za± o±rodek, w którym pr dko± ±wiatªa jest mniejsza - optycznie g stszym. Nale»y pami ta,»e promie«padaj cy na granic dwóch o±rodków ulega zarówno odbiciu jak i zaªamaniu. Prawo odbicia i zaªamania mo»na równie» wyprowadzi korzystaj c z podstawowych praw falowych oraz zasady Huygensa. Zgodnie z tre±ci tej zasady, ka»dy punkt o±rodka do którego dociera czoªo fali, staje si ¹ródªem nowej fali elementarnej. Wyprowadzenie to jednak pozostawiam czytelnikowi do samodzielnego rozwi zania. Polaryzacja ±wiatªa wiatªo jest to fala elektromagnetyczna, która jest szczególnym rozwi zaniem równa«maxwella. S to naprzemienne zmiany wektora nat»enia pola elektrycznego E i pola magnetycznego H na pªaszczyznach wzajemnie prostopadªych. Kierunek propagacji ±wiatªa jest zawsze prostopadªy do pªaszczyzny zmian wektorów E i H zgodnie z kierunkiem przepªywu energii. Nie ma jednak wyró»nionej pªaszczyzny drga«, wi c kierunki drga«tych wektorów w przestrzeni s jednakowo prawdopodobne. Przez polaryzacj ±wiatªa rozumiemy uporz dkowanie drga«wektora E i H wzdªu» wyró»nionego kierunku. Kierunek drga«wektora pola elektrycznego i magnetycznego ±wiatªa spolaryzowanego nie zmienia si w przestrzeni lub zmienia si wedªug okre±lonego prawa. Pªaszczyzna utworzona z kierunku drga«wektora E i kierunku rozchodzenia si fali to pªaszczyzna drga«, natomiast pªaszczyzna utworzona z kierunku drga«wektora H i kierunku rozchodzenia si fali nosi nazw pªaszczyzny polaryzacji. wiatªo mo»na spolaryzowa poprzez polaroid, pryzmaty polaryzuj ce, rozproszenie oraz w 5
6 wyniku odbicia i zaªamania ±wiatªa od granicy dwóch o±rodków. Przy padaniu ±wiatªa na granic dwóch o±rodków nast puje polaryzacja zarówno promienia odbitego, jak i zaªamanego. Polaryzatorem jest powierzchnia odbijaj ca ±wiatªo - granica dwóch o±rodków. Dla dowolnego k ta padania polaryzacja ta jest cz ±ciowa. Stopie«polaryzacji zmienia si ze zmian k ta padania ±wiatªa i jest opisany zale»no±ci P = I max I min I max I min, (15) w którym I max i I min oznaczaj nat»enie wi zek skªadowych o drganiach wzajemnie prostopadªych, odpowiednio o najwi kszym i najmniejszym nat»eniu za analizatorem. Caªkowita liniowa polaryzacja ±wiatªa odbitego zachodzi dla takiego k ta padania α B, dla którego promie«odbity jest prostopadªy do promienia zaªamanego - promie«ten jest jedynie cz ±ciowo spolaryzowany. K t α B nosi nazw k ta caªkowitej polaryzacji albo k ta Brewstera. Drgania wektora E w ±wietle odbitym zachodz prostopadle do pªaszczyzny, w której le»y promie«padaj cy i odbity, a w ±wietle zaªamanym odbywaj si w pªaszczy¹nie równolegªej do pªaszczyzny, w której le» te promienie. Zgodnie z prawem zaªamania oraz warunkiem,»e otrzymujemy sin α 1 sin α 2 = n 21, (16) α B + β = 90, (17) tg α B = n 21. (18) Polaryzacj ±wiatªa wykrywamy i badamy za pomoc analizatorów - mo»e to by np. pryzmat Nikola (nikol). Je»eli pªaszczyzna polaryzacji nikola b dzie równolegªa do pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa odbitego od pªytki, ±wiatªo przechodz ce przez analizator b dzie posiadaªo 6
7 maksymalne nat»enie. Przy pªaszczyznach prostopadªych obserwujemy caªkowite wygaszanie ±wiatªa. W wypadkach po±rednich, gdy pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa przez pªytk i przez nikol tworz ze sob pewien k t γ, obowi zuje prawo Malusa I = I 0 cos 2 γ, (19) w którym I 0 - nat»enie ±wiatªa wychodz cego z analizatora dla k ta γ = 0, I - nat»enie ±wiatªa wychodz cego z analizatora, gdy jest on skr cony o k t γ wzgl dem polaryzatora. PRZEBIEG WICZENIA CZ I: Obserwuj c przedmioty w o±rodkach optycznie g stszych z o±rodka optycznie rzadszego mamy wra»enie,»e przedmioty te znajduj si bli»ej ni» w rzeczywisto±ci (np. ryba w wodzie). Wykorzystanie tej obserwacji pozwala w prosty sposób zmierzy wspóªczynniki zaªamania prze¹roczystych pªytek. Obserwuj c punkt P przez pªytk pªaskorównolegª, Rys. 4: Powstawanie obrazu pozornego. widzimy go w poªo»eniu P - otrzymamy pozorne podniesienie obrazu na wysoko± h. Rozpatruj c trójk ty ABP i ABP, w których AB = e, AP = d h, tg α = e sin α, d tg β = e sin β. d h 7
8 otrzymamy warto± wspóªczynnika zaªamania o±rodka w postaci n = d d h. (20) Z wzoru 20, wynika,»e wyznaczaj c do±wiadczalnie d oraz h wyznaczymy wspóªczynnik za- ªamania n danej pªytki. Pomiar grubo±ci pªytki d wykonujemy za pomoc ±ruby mikrometrycznej. Grubo± mierzymy 10 razy w ró»nych miejscach pªytki, aby w obliczeniach uwzgl dni ewentualne niejednorodno±ci grubo±ci pªytki. Na podstawie tych pomiarów, obliczamy ±redni warto± d r. Warto± pozornego podniesienia obrazu h mierzymy, posªuguj c si mikroskopem. ruba przesuwaj ca tubus mikroskopu jest ±rub mikrometryczn. Peªny obrót ±ruby powoduje przesuni cie o z = 0, 5 mm. Ten peªny obrót podzielony jest jeszcze na 50 cz ±ci tak,»e dokªadno± odczytu wynosi 0, 01mm. Na stoliku umieszczamy zarysowan pªytk i ustawiamy mikroskop tak, aby brzegi rysy byªy ostro widoczne. Nast pnie przykrywamy rys badan pªytk o nieznanym wspóªczynniku zaªamania i ponownie szukamy ostrego obrazu rysy, przesuwaj c tubus mikroskopu za pomoc ±ruby. Liczymy peªn ilo± obrotów ±ruby k, a ze skali odczytujemy setne cz ±ci milimetra r. Pozorne podniesienie obrazu w pªytce wyniesie h = kz + r [mm]. (21) Dla badanej pªytki pomiar h wykonujemy dziesi ciokrotnie po czym obliczamy ±redni warto± h r. Cz ± II: Wykorzystuj c prawo Brewstera tg α B = n 21, (22) do±wiadczalnie wyznaczamy k t α B, posªuguj c si przy tym ukªadem optycznym jak na rysunku 5 Na ªawie optycznej umieszczona jest, w ruchomej podstawce, badana pªytka P b d ca polaryzatorem ±wiatªa oraz nikol A, speªniaj cy w tym ukªadzie rol analizatora. Monochromatyczne ¹ródªo ±wiatªa Z znajduje si na ruchomym ramieniu obracaj cym si wokóª polaryzatora. W celu znalezienia k ta caªkowitej polaryzacji ustawiamy ¹ródªo tak, aby promie«padaª na pªytk w ±rodku skali k towej. Speªnione to b dzie wówczas, je»eli na tle plamki ±wietlnej b dziemy widzie pionow ni celownika C umieszczonego mi dzy P i A. Obracamy analizator wokóª kierunku biegu promienia odbitego. Zmiany nat»enia wi zki ±wiatªa ±wiadcz o pewnym uporz dkowaniu drga«wektora E. Je»eli przy obrocie nikola natramy na takie jego poªo»enie, przy którym nat»enie promienia odbitego b dzie równe zeru, wówczas znaleziony k t padania jest k tem caªkowitej polaryzacji α B. Odnajdujemy ten k t metod kolejnych prób dla ró»nych k tów padania ±wiatªa na pªytk P. Nale»y pami ta,»e przy zmianie poªo»enia ¹ródªa ±wiatªa nale»y odpowiednio zmienia poªo»enie 8
9 Rys. 5: Schemat ukªadu pomiarowego do wyznaczania wspóªczynnika zaªamania materiaªu, wykorzystuj c zjawisko polaryzacji ±wiatªa przez odbicie. pªytki P. K t Brewstera mierzymy pi ciokrotnie z jednej i drugiej strony ªawy optycznej. Odczytu warto±ci k ta caªkowitej polaryzacji α B dokonujemy na tarczy obracaj cej si razem z pªytk P. Warto± wspóªczynnika zaªamania obliczamy dla warto±ci ±redniej k ta Brewstera zgodnie z formuª Zadania n = tg α r. (23) 1. Wyznaczy wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa metod mikroskopow de Chaulnesa, mierz c grubo± pªytki d oraz pomiar pozornego podniesienie obrazu h. 2. Wyznaczy wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa, stosuj c prawo Brewstera przez pomiar k ta Brewstera dla badanej pªytki. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH Niepewno± pomiarów wspóªczynnika zaªamania metod mikroskopow de Chaulnesa wyznaczamy jako niepewno± standardow wielko±ci zªo»onej w postaci [ h ] 2 [ ] d 2 S n = ( d h) (S d) ( d h) (S h) 2, 2 w której S d i S h s niepewno±ciami standardowymi wielko±ci wyznaczonych d i h, które mo»na wyliczyc z formuªy n ( d d i ) 2 n S d = i=1 n(n 1), ( h h i ) 2 S h = i=1 n(n 1). (24) 9
10 Niepewno± maksymalna wspóªczynnika zaªamania n, wyznaczona t metoda wynosi n = 3S n. (25) Niepewno± wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa wyznaczonego metod, opart na prawie Brewstera, wyznaczamy metod ró»niczki zupeªnej. Wyliczaj c pochodn ze wzoru 23 po k cie α uzyskamy n w postaci n = 1 cos 2 α sr α sr. (26) We wzorze 26 α sr = 3S αsr, natomiast S αsr jest odchyleniem standardowym wyznaczonego ±redniego k ta Brewstara i wynosi n (α sr α i ) 2 S αsr = i=1 n(n 1). (27) Nale»y pami ta, aby przed podstawieniem zale»no±ci 27 do 26 zamieni miar k tow wyra»an w stopniach na radiany. SPRAWD CZY ROZUMIESZ. ZADANIA PROBLEMOWE 1. Korzystaj c z zasady Huygensa wyprowad¹ prawo odbicia i prawo zaªamania. 2. Pªaska bªonka mydlana widziana w ±wietle odbitym, gdy promienie ±wietlne wpadaj do oka pod k tem α = 30 (jest to k t mierzony od normalnej) ma zabarwienie zielone. Jak grubo± ma ta bªonka? Jaka jest barwa bªonki, gdy patrzymy na ni pod k tem α = 0. Wspóªczynnik zaªamania bªonki przyj n = 1, 33, dªugo± fali ±wiatªa zielonego λ ziel = 501, 6 nm. ODP. d min = 0, 1µm, barwa zielona-»óªta. 10
11 PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW WYZNACZANIE WSPÓŠCZYNNIKA ZAŠAMANIA WIATŠA CIAŠ STAŠYCH nazwisko i imi data wykonania 1) Metoda mikroskopowa - pªytka I i d[ ] h[ ] 2) Metoda mikroskopowa - pªytka II i d[ ] h[ ] 2) Metoda oparta na polaryzacji ±wiatªa odbitego i ϕ L [ ] ϕ R [ ]... podpis prowadz cego zaj cia 11
12 Wspóªczynniki zaªamania ±wiatªa n ró»nych materiaªów wyznaczonych dla»óªtej linii sodu λ = 589 nm. O RODEK n pró»nia 1,0 powietrze (0 C, 1 atm 1,00029 woda (20 C 1,33 aceton 1,36 alkohol etylowy 1,36 roztwór cukru (30%) 1,38 kwarc topiony 1,46 roztwór cukru (80%) 1,49 szkªo typowe (kron) 1,52 chlorek sodu 1,54 polistyren 1,55 dwusiarczek w gla 1,63 ci»kie szkªo (int) 1,65 szar 1,77 diament 2,24 12
Wyznaczanie współczynnika załamania światła
Ćwiczenie O2 Wyznaczanie współczynnika załamania światła O2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła dla przeźroczystych, płaskorównoległych płytek wykonanych z
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoFMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny
FMZ10 K - Liniowy efekt elektrooptyczny Materiaªy przeznaczone dla studentów kierunku: Zaawansowane Materiaªy i Nanotechnologia w Instytucie Fizyki UJ rok akademicki 009/010 prowadz cy: dr hab. Krzysztof
Bardziej szczegółowoWyznaczanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali światła
Ćwiczenie O3 Wyznaczanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali światła O3.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie zależności współczynnika załamania światła od długości fali
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykªad 11 Optyka
Fizyka dla Informatyków Wykªad 11 Optyka Katedra Informatyki Stosowane P J W S T K 2 0 0 9 Spis tre±ci Dzisiaj b dziemy opowiada? o zjawiskach optycznych, a w szczególno±ci o optyce geometrycznej! Spis
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoArkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoLXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje
Bardziej szczegółowoOptyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku
skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoPRACOWNIA FIZYCZNA I
Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I wiczenie 3: Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod kondensatorow. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gda«sk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria
Bardziej szczegółowoOptyka geometryczna. Zwierciadªa. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku
Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 Spis tre±ci 1 2 Jak konstuowa obraz w zwierciadle pªaskim 3 Konstrukcja obrazu w zwierciadle kulistym wkl sªym Równanie
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. prawo Faraday a. I i uogólnione prawo Ampera. prawo Gaussa. D ds = q. prawo Gaussa dla magnetyzmu. si la Lorentza E + F = q( Fizyka
Równania Maxwella L L S S Φ m E dl = t Φ e H dl = + t D ds = q B ds = 0 prawo Faraday a n I i uogólnione prawo Ampera i=1 prawo Gaussa prawo Gaussa dla magnetyzmu F = q( E + v B) si la Lorentza 1 Równania
Bardziej szczegółowo(wynika z II ZD), (wynika z PPC), Zapisujemy to wszystko w jednym równaniu i przeksztaªcamy: = GM
ODPOWIEDZI, EDUKARIS - kwiecie«2014, opracowaª Mariusz Mroczek 1 Zadanie 1.1 (2 pkt) Zmiana kierunku wektora pr dko±ci odbywa si, zgodnie z II ZD, w kierunku dziaªania siªy. Innymi sªowami: przyrosty pr
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Cel ćwiczenia: 1. Zapoznanie z budową i zasadą działania mikroskopu optycznego. 2. Wyznaczenie współczynnika załamania
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoGraka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny
Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny
Bardziej szczegółowowiczenie 46 Spektrometr. Wyznaczanie dªugosci linii widmowych pierwiastków
wiczenie 46 Spektrometr. Wyznaczanie dªugosci linii widmowych pierwiastków Krzysztof R bilas WIATŠO W uj ciu zyki klasycznej ±wiatªo to fala elektromagnetyczna rozchodz ca si w pró»ni z pr dko±ci c = 3
Bardziej szczegółowoSposób wykonania ćwiczenia. Płytka płasko-równoległa. Rys. 1. Wyznaczanie współczynnika załamania materiału płytki : A,B,C,D punkty wbicia szpilek ; s
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Cel ćwiczenia: 1. Zapoznanie z budową i zasadą działania mikroskopu optycznego.. Wyznaczenie współczynnika załamania światła
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoFala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni. Jako przykłady policzmy:
Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między indukcją pola elektrycznego a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego a natężeniem pola opisana jest
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoWektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).
Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, 10.10.2015 1 / 13 Wektor Uporz dkowany
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Instrukcja do ćwiczenia nr 59 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA W SZKLE METODĄ KĄTA NAJMNIEJSZEGO ODCHYLENIA Instrukcje wykonali: G. Maciejewski, I. Gorczyńska
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 8
Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Optyka geometryczna Polaryzacja Odbicie zwierciadła Załamanie soczewki Optyka falowa Interferencja Dyfrakcja światła D.
Bardziej szczegółowolub po przeksztaªceniu:
wiczenie 46 Spektrometr. Wyznaczanie dªugo±ci linii widmowych pierwiastków Krzysztof R bilas WIATŠO W uj ciu zyki klasycznej ±wiatªo to fala elektromagnetyczna rozchodz ca si w pró»ni z pr dko±ci c = 3
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat. Prawa odbicia i załamania. Uniwersytet Rzeszowski, 22 listopada 2017
Optyka Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat Prawa odbicia i załamania Uniwersytet Rzeszowski, 22 listopada 2017 Wykład VII Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 20 Plan Zachowanie pola elektromagnetycznego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoLXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
Za zadanie D mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Maj c do dyspozycji: LXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA generator napi cia o przebiegu sinusoidalnym o ustalonej amplitudzie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 41 POMIARY PRZY UŻYCIU GONIOMETRU KOŁOWEGO. Wprowadzenie teoretyczne
ĆWICZENIE 4 POMIARY PRZY UŻYCIU GONIOMETRU KOŁOWEGO Wprowadzenie teoretyczne Rys. Promień przechodzący przez pryzmat ulega dwukrotnemu załamaniu na jego powierzchniach bocznych i odchyleniu o kąt δ. Jeżeli
Bardziej szczegółowoFalowa natura światła
Falowa natura światła Christiaan Huygens Thomas Young James Clerk Maxwell Światło jest falą elektromagnetyczną Barwa światło zależy od jej długości (częstości). Optyka geometryczna Optyka geometryczna
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoZasilacz stabilizowany 12V
Zasilacz stabilizowany 12V Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 3 grudnia 2007 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 2 Wykonane pomiary 2 2.1 Charakterystyka napi ciowa....................................... 2
Bardziej szczegółowoOPTYKA FALOWA. W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę
OPTYKA FALOWA W zjawiskach takich jak interferencja, dyfrakcja i polaryzacja światło wykazuje naturę falową. W roku 8 Thomas Young wykonał doświadczenie, które pozwoliło wyznaczyć długość fali światła.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoOptyka geometryczna i falowa
Pojęcie podstawowe: promień świetlny. Optyka geometryczna i alowa Podstawowa obserwacja: jeżeli promień świetlny pada na granicę dwóch ośrodków to: ulega odbiciu na powierzchni granicznej za!amaniu przy
Bardziej szczegółowoKrzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoSkręcenie płaszczyzny polaryzacji światła w cieczach (PF13)
Skręcenie płaszczyzny polaryzacji światła w cieczach (PF13) Celem ćwiczenia jest: obserwacja zjawiska skręcenia płaszczyzny polaryzacji światła w roztworach cukru, obserwacja zależności kąta skręcenia
Bardziej szczegółowoWykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoBadanie właściwości optycznych roztworów.
ĆWICZENIE 4 (2018), STRONA 1/6 Badanie właściwości optycznych roztworów. Cel ćwiczenia - wyznaczenie skręcalności właściwej sacharozy w roztworach wodnych oraz badanie współczynnika załamania światła Teoria
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne w dielektrykach
Fale elektromagnetyczne w dielektrykach Ryszard J. Barczyński, 2016 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Krótka historia odkrycia
Bardziej szczegółowoOptyka 12/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A.
Optyka 12/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Fale ±wietlne Promieniowanie elektromagnetyczne o dªugo±ciach fali zawieraj cych
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba. F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 = N m2
Elektrostatyka Prawo Coulomba F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 N m2 4πε = 9 109 C 2 gdzie: F - siªa z jak ªadunek Q dziaªa na q, r wektor poªo»enia od ªadunku Q do q, r = r, Przenikalno± elektryczna
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Mechaniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 014/015 Kierunek studiów: Inżynieria Wzornictwa Przemysłowego
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyki Stosowanej
Fizyka dla Informatyki Stosowanej Jacek Golak Semestr zimowy 8/9 Wykład nr 5 Fale elektromagnetyczne Punkt wyjścia: równania Maxwella (układ SI!) Najpierw dla próżni ε przenikalność dielektryczna próżni
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoWykład 17: Optyka falowa cz.2.
Wykład 17: Optyka falowa cz.2. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Interferencja w cienkich warstwach Załamanie
Bardziej szczegółowoANALIZA WIDMOWA (dla szkoły średniej) 1. Dane osobowe. 2. Podstawowe informacje BHP. 3. Opis stanowiska pomiarowego. 4. Procedura pomiarowa
ANALIZA WIDMOWA (dla szkoły średniej) 1. Dane osobowe Data wykonania ćwiczenia: Nazwa szkoły, klasa: Dane uczniów: 1 4 2 5 3 6 2. Podstawowe informacje BHP Możliwość porażenia prądem lampa jest zasilana
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 51: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 5: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika załamania światła dla szkła i pleksiglasu metodą pomiaru grubości
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowo14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoKsztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowo. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu i pryzmatu
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA KATEDRA ZARZĄDZANIA PRODUKCJĄ Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: MATEMATYKA Z ELEMENTAMI FIZYKI Kod przedmiotu: ISO73; INO73 Ćwiczenie Nr Wyznaczanie współczynnika
Bardziej szczegółowoTeoria wzgl dno±ci Einsteina
Fizyka dla Informatyków Wykªad 12 Katedra Informatyki Stosowanej P J W S T K 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis
Bardziej szczegółowoDr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
Podstawy fizyki Wykład 11 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 3, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2003. K.Sierański, K.Jezierski,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA W PRZEZROCZYSTYM MATERIALE METODĄ KĄTA NAJMNIEJSZEGO ODCHYLENIA
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Instrukcja do ćwiczenia nr 59 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA W PRZEZROCZYSTYM MATERIALE METODĄ KĄTA NAJMNIEJSZEGO ODCHYLENIA. Cel ćwiczenia
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 373. Wyznaczanie stężenia roztworu cukru za pomocą polarymetru. Długość rurki, l [dm] Zdolność skręcająca a. Stężenie roztworu II d.
Nazwisko Data Nr na liście Imię Wydział Dzień tyg Godzina Ćwiczenie 373 Wyznaczanie stężenia roztworu cukru za pomocą polarymetru Stężenie roztworu I d [g/dm 3 ] Rodzaj cieczy Położenie analizatora [w
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoKinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka
Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R O-10
INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA OPTYKI Ć W I C Z E N I E N R O-10 POMIAR PRĘDKOŚCI ŚWIATŁA I. Zagadnienia do opracowania 1. Metody
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykªad 10 Elektrodynamika
Fizyka dla Informatyków Wykªad 10 Elektrodynamika Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Dzisiaj b dziemy opowiada o elektryczno±ci. I o tym, i co z tego wynika! Rys. 1: Model atomu wodoru Spis tre±ci
Bardziej szczegółowoBADANIE WŁASNOŚCI FAL ELEKTOMAGNETYCZNYCH
Ćwiczenie nr 6 BADANIE WŁASNOŚCI FAL ELEKTOMAGNETYCZNYCH Aparatura Komputer, laser półprzewodnikowy (λ em = 650 nm) z obrotowym analizatorem, światłowody o różnej długości, aparat pomiarowy prędkości światła,
Bardziej szczegółowoPOLARYZACJA ŚWIATŁA. Uporządkowanie kierunku drgań pola elektrycznego E w poprzecznej fali elektromagnetycznej (E B). światło niespolaryzowane
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Polaryzacja światła Sposoby polaryzacji Dwójłomność Skręcanie płaszczyzny polaryzacji Zastosowania praktyczne polaryzacji Efekty fotoelastyczne Stereoskopia Holografia Politechnika
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu i pryzmatu
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA KATEDRA ZARZĄDZANIA PRODUKCJĄ Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: FIZYKA Kod przedmiotu: KS037; KN037; LS037; LN037 Ćwiczenie Nr Wyznaczanie współczynnika załamania
Bardziej szczegółowoSystemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr inż. Łukasz Amanowicz Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne 3 TEMAT ĆWICZENIA: Badanie składu pyłu za pomocą mikroskopu
Bardziej szczegółowoKinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej. Ćwiczenie 5. Modulator PLZT
Laboratorium techniki laserowej Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 006 1.Wstęp Rozwój techniki optoelektronicznej spowodował poszukiwania nowych materiałów
Bardziej szczegółowo