EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH RESIDUÓW ELEMENTOWYCH W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PŁYT I POWŁOK

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 32, s , Glwc 2006 EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH RESIDUÓW ELEMENTOWYCH W ADAPTACYJNEJ ANALIZIE PŁYT I POWŁOK GRZEGORZ ZBOIŃSKI Instytt Mszyn Przpływowych PAN w Gdńsk, Unwrsytt Wrmnsko-Mzrsk w Olsztyn Strszczn. Przntown bdn dotyczą globlnj (w strktrz loklnj (w lmnc skończonym ktywnośc szcown błędów w dptcyjnj nlz strktr cnkoscnnych. Intrsj ns rsdln (rsztkow mtod szcown błędów postror zwn tchnką wyrównowżn rsdów. Porównno wynk dwóch tstów dptcyjnych. Uzyskn w ob tstch współczynnk ktywnośc lstrją problm loklngo pogorszn jkośc stymcj. Przdstwono zródł tkgo pogorszn orz wntln sposoby zrdzn m w oprc o wyrównowżn wyższgo stopn. 1. WSTĘP Przntown bdn dotyczą globlnj loklnj (odnoszących sę odpowdno do strktry do lmnt skończongo ktywnośc szcown błędów w dptcyjnj mtodz lmntów skończonych. Ektywność t jst mrzon z pomocą odpowdnch współczynnków ktywnośc, okrśljących stosnk oszcownj wrtośc błęd do jgo wrtośc dokłdnj. W nnjszj prcy ntrsją ns rsdln (rsztkow mtody szcown błędów postror, w szczgólnośc tzw. tchnk wyrównowżn rsdów [1]. Mtod t zostł zmodykown przz ns [2] w tn sposób, ż błąd jst okrślony jko różnc pomędzy nrgm potncjlnym odpowdjącym rozwązn ścsłm rozwązn nmrycznm ( n jko kwwlntn różnc nrg odksztłcn, wlkoścm poszkwnym w problmch loklnych lmntów jst n smo oszcown błęd, l oszcown rozwązn dokłdngo. Tk zmodykown mtod zostł nstępn przystosown przz ns [2, 3, 4, 5] do nlzy płyt powłok modlownych zrówno lmntm bryłowym, powłokowym hrrchcznym, jk powłokowym prwszgo rzęd. Wrto ttj zznczyć, ż oszcown błędów proksymcj oblczon z pomocą podjśc orygnlngo [1] zmodykowngo [2] są dntyczn. Podjśc zmodykown m jdnk tę przwgę, ż możn j wykorzystć tkż do szcown błęd cłkowtgo błęd modlown, czgo n zpwn podjśc orygnln. Przypomnjmy ttj, ż błąd cłkowty stnow smę błęd proksymcj błęd modlown wynkjącgo z zstosown modl mchnczngo proszczongo względm modl ścsłgo, z jk znwć ttj będzmy modl trójwymrowj tor sprężystośc.

2 522 G. ZBOIŃSKI Zstosown mtod szcown skłd sę z klk tpów [5], wśród których njwżnjszy polg n rozwązywn problmów loklnych w lmntch, w oprc o wyznczon wczśnj lnow nkcj rozkłd nprężń mędzylmntowych, wchodząc do dncj wyrównowżonych rsdów lmntowych. Jk to jż wspomnno, zyskn rozwązn lokln w lmntch rprzntją oszcown wrtośc rozwązn dokłdngo. Ich porównn z globlnym rozwąznm nmrycznym, zysknym mtodą lmntów skończonych, pozwl n wyznczn lmntowych ndyktorów błęd orz globlngo oszcown błęd. W nszych bdnch ntrsowć ns będz pogorszn jkośc procs stymcj błęd w strktrch cnkoścnnych, wynkjąc z zstosown hrrchcznych modl powłokowych lb modl trójwymrowych, obsrwown w stosnk do nlz w oprc o modl powłokow prwszgo rzęd. 2. METODA SZACOWANIA BŁĘDÓW I JEJ EFEKTYWNOŚĆ 2.1. Mtod wyrównowżn rsdów lmntowych Jk to jż zznczono w wstęp mtod wyrównowżn rsdów zostł przz ns przdstwon w prcy [5]. Tm tż znlźć możn nn źródł ltrtrow opsjąc tę mtodę w szczgółch. Ttj ogrnczymy sę do przywołn podstwowj zlżnośc chrktryzjącj mtodę: Powyżj ozncz nmr lmnt skończongo, (1 Π to nrg potncjln w lmnc, B to jgo podwojon nrg odksztłcn, V S to jgo objętość brzg, podczs gdy P Q oznczją odpowdno obcążoną twrdzoną część brzg cłgo cł. Z kol rprzntj wktor błęd proksymcj, n którym zdnown jst globln norm błęd, M 2 V 2Π [ B( M M M [ 2Π η M, 2 + 2Π B( M M ( η 2 B(,, + 2 S \( P Q M T η to globlny stymtor tgoż błęd. Osttn skłdnk drgj ln powyższj zlżnośc M dnj tzw. rsdm lmntow, w którym to poszkwn rozwązn dokłdn, q ( M, to rozwązn nmryczn. W prcy [5] znlźć możn dncj nrg potncjlnj nrg odksztłcn odpowdjąc zlżnośc (1. Tm tż znjdją sę nlogczn zlżnośc dl przypdków błęd cłkowtgo błęd modlown. ] r( ds ]

3 EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH Lnow nkcj rozkłd nprężń mędzylmntowych W zlżnośc (1 występj skłdnk odkrślony przz ns jko rsdm lmntow. Jgo drg czynnk rprzntj wktor tzw. wyrównowżonych nprężń mędzylmntowych. Wktor tk dnj sę dl lmnt w oprc o jgo tnsor nprężń σ orz nlogczny tnsor σ w lmnc posdjącym z nm wspólną ścnę, przy czym wykorzystjmy ttj tkż wktor normlny do wspólnj ścny oznczony symbolm n. Iloczyny odpowdnch tnsorów wktor normlngo do brzg prowdzą do wktorów nprężń r r. W dncj wktor wyrównowżonych nprężń mędzylmntowych występją tkż wktorow nkcj rozkłd tych nprężń α α, przy czym obowązj: α rozwżngo wktor jst nstępjąc: 1 α. Dncj Wktorow lnow nkcj rozkłd zdnown jst n wspólnj ścn sąsdnch lmntów w oprc o nkcj ksztłt χ n ścn lmnt orz współczynnk rozkłd r( M, α σ( 1 2 [ r( M, M, n + α σ( + r( M, M, n α r( ] ( α 1[ r( M, M, + α r( r( M, M, α, wyznczon w węzłch nrożnych ścny w oprc o procdrę przdstwoną w [5]: ] (2 α v w S 1 χ α (3 gdz v w S ozncz lczbę węzłów wrzchołkowych n wspólnj ścn lmntów Współczynnk ktywnośc Mrą ktywnośc oszcowń błęd proksymcj, zysknych w oprc o mtodę wyrównowżn rsdów lmntowych, będą zdnown w sposób stndrdowy M współczynnk ktywnośc, globlny θ lmntow oszcownj wrtośc błęd do jgo wrtośc dokłdnj θ M η M M, V, M θ θ M, M, zdnown jko stosnk M θ W przdstwonych ponżj tstch nmrycznych wrtośc błęd przyjęt z dokłdn wynkć będą z porównn bdngo rozwązn nmryczngo njlpszgo rozwązn nmryczngo możlwgo do zyskn (mksymln zgęszczn stk mksymlny stopń wlomnów proksymjących. M η V, θ M (4

4 524 G. ZBOIŃSKI 3. TESTY ILUSTRUJĄCE ZJAWISKO POGORSZENIA EFEKTYWNOŚCI 3.1. Płyt modlown w oprc o torę prwszgo rzęd Prwszy z tstów dotyczy symtrycznj ćwrtk twrdzonj płyty kwdrtowj obcążonj równomrn słm powrzchnowym. Przyjęty do oblczń modl mchnczny odpowd tor prwszgo rzęd Rssnr-Mndln. Rys. 1 przdstw stn nprężń ktywnych zysknych dl stk zdptownj tomtyczn (przz progrm komptrowy. Przypomnjmy ttj, ż stosown przz ns procdr dptcyjn skłd sę z cztrch kroków, odpowdjących sc początkowj, zmodykownj, pośrdnj końcowj. Procdr t opsn jst w prcy [2]. Podstwową cchą zyskngo rozwązn jst jgo głdk chrktr, przjwjący sę brkm stotnych koncntrcj nprężń, co wdć n rysnk. Globln oszcown wrtość błęd dl tgo przykłd wynos 0,4%, zyskny globlny współczynnk ktywnośc jst równy 1,658 (ptrz rys.2. Rys.1. Stn nprężń ktywnych w symtrycznj ćwrtc płyty Rys.2. Współczynnk ktywnośc w symtrycznj ćwrtc płyty

5 EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH Powłok o złożonym modl mchncznym Drg tst dotyczy symtrycznj powłok półwlcowj obcążonj równomrnym ponowym słm powrzchnowym. Brzg prostolnowy powłok jst twrdzony, brzg zkrzywony pozostj swobodny. Powłok m chrktr strktry złożonj z względ n njdnorodny modl mchnczny, przjwjący sę występownm w jdnj sc, lmntów powłokowych prwszgo rzęd (środk powłok, lmntów powłokowych hrrchcznych lmntów bryłowych (brzg: twrdzony swobodny powłok, tkż łączących j lmntów przjścowych. Rys. 3 przdstw stn nprężń ktywnych zysknych dl sc końcowj wynkjącj z cztrokrokowgo procs dptcj. Wdć wyrźn koncntrcj nprężń wzdłż brzg krzywolnowgo, wynkjąc z wystąpn tzw. kt brzgowgo (nczj, wrstwy brzgowj, polgjącgo n wykłdnczj zmn nprężń w krnk normlnym do tgo brzg. Dodtkowo, w jdnym z wdocznych nroży powłok zobsrwowć możn wystąpn osoblwośc rozwązn, wążącj sę z gwłtownym (dążącym tortyczn do nskończonośc wzrostm nprężń. Uzyskny dl nnjszgo przykłd rzczywsty pozom błęd globlngo w cłj strktrz wynos 5,4%, odpowdjący m globlny współczynnk ktywnośc mtody wyrównowżonych rsdów lmntowych jst równy 7,298 (ptrz rys. 4. Wrto ttj zwrócć wgę n kt, ż lokln, w lmnc skończonym modljącym nroż z osoblwoścą, rzczywsty błąd jst równy 11%, loklny współczynnk ktywnośc przkrocz 100, co ozncz, ż błąd w tym lmnc jst przszcowny pond stkrotn. Rys.3. Stn nprężń ktywnych w symtrycznj ćwrtc powłok

6 526 G. ZBOIŃSKI Porównn wynków prwszgo drggo tst wskzj, ż mtod wyrównowżn rsdów lmntowych, oprt n lnowych nkcjch rozkłd, n rdz sob z przypdkm, kdy rozwązn n m chrktr głdkgo. Rys.4. Współczynnk ktywnośc w symtrycznj ćwrtc powłok 4. PROPOZYCJA POPRAWY EFEKTYWNOŚCI I JEJ PRZESŁANKI W cl poprwn ktywnośc szcown błęd proksymcj tor proponj zstosown wyrównowżn wyższgo stopn, któr wykorzystywć będz wlomnow nkcj rozkłd nprężń mędzylmntowych. Tk podjśc wymg wyznczn węzłowych współczynnków rozkłd n tylko w węzłch nrożnych, jk to m mjsc w przypdk lnowych nkcj rozkłd, l tkż w węzłch wyższgo stopn, tzn. n krwędzch w środk ścn. Sytcję tę zlstrowno n rys. 3, dl przypdk dwwymrowgo. Zwżmy, ż n rysnk tym dowoln zmnną lczbę węzłów krwędzowych oznczono z pomocą krsk. W przypdk zproponowngo podjśc, modykcj lc ms tkż zlżność (3. Przyjm on trz postć nstępjącą: α v + h w S w S χ 1 α (5 h gdz w S ozncz dodtkową lczbę węzłów wyższgo stopn n ścn lmnt. Nnjsz propozycj wykorzystn nkcj rozkłd brz z podstwę nstępjąc przsłnk wynkjąc z dncj (ptrz [1, 2] współczynnków rozkłd nprężń mędzylmntowych orz przprowdzonych tstów plotżowych. Otóż, lnow współczynnk rozkłd są tk zdnown, ż błąd jk powodją w przypdk zstosown ch do lmntów lnowych (prwszgo stopn jst równy zr. Z tgo powod w problmch loklnych dnj sę lmnty skończon jko o jdn stopń wyższ nż w problm globlnym, n podstw którgo t współczynnk są wyznczn. Ator przprowdzł

7 EFEKTYWNOŚĆ SZACOWANIA BŁĘDÓW A POSTERIORI METODĄ WYRÓWNOWAŻONYCH wstępny tst dl przypdk współczynnków drggo stopn zstosownych do szcown błędów proksymcj w lmntch drggo stopn. Tkż w tym przypdk błędy t okzły sę być równ zr. Śwdczy to o poprwnośc nszj propozycj. Z kol dokłdnjsz, nż w przypdk lnowym, proksymcj nkcj rozkłd stnow przsłnkę do oczkwn wyższj ktywnośc szcown błędów. Rys.3. Węzły współczynnków rozkłd w przypdk lnowym wyższgo stopn 3. WNIOSKI Przyczyną pogorszn jkośc szcown błęd proksymcj w problmch strktr cnkoścnnych, w przypdk zstosown hrrchcznych modl powłokowych zmst modl powłokowgo prwszgo rzęd, jst różny chrktr odpowdjących m rozwązń. W drgm przypdk bowm mmy do czynn z rozwąznm głdkm, podczs gdy w prwszym wystąpć mogą spętrzn nprężń w postc tzw. wrstwy brzgowj osoblwośc wrzchołkowych lb krwędzowych. W wypdk ch pojwn sę dochodz do loklngo pogorszn ktywnośc zstosownj rsdlnj mtody szcown błęd, co wpływ tkż n pogorszn globlnj ktywnośc tkgo oszcown. Jko jdną z możlwych mtod poprwn ktywnośc szcown błęd proksymcj, w sytcj wystąpn osoblwośc lb kt brzgowgo, zproponowno zstosown wyrównowżn wyższgo stopn z nkcjm rozkłd nprężń mędzylmntowych w postc wlomnów, w mjsc wykorzystywngo dotychczs przz tor poprzdnków wyrównowżn prwszgo stopn z lnowym nkcjm rozkłd. Przsłnk tkgo podjśc wynkją z rozwżń tortycznych orz z wstępnych tstów nmrycznych, których wynk omówono w pnkc poprzdnm. LITERATURA 1. Answorth, M., Odn, J. T., W, W., A postror rror stmton or pproxmton n lstosttcs. Appl. Nmr. Mth., 14, 1994, Zbońsk G.: Modlown hrrchczn mtod lmntów skończonych do dptcyjnj nlzy strktr złożonych (rozprw hbltcyjn. Zsz. Nk. IMP PAN. Std Mtrły, 520/1479/2001. Gdńsk: Wydwnctwo IMP PAN. 3. Zbońsk G.: A postror rror stmton or -pproxmton o th 3D-bsd rst ordr shll modl. Prt I. Thortcl spcts. Appld Mthmtcs Inormtcs nd Mchncs, 8, 1, 2003,

8 528 G. ZBOIŃSKI 4. Zbońsk G.: A postror rror stmton or -pproxmton o th 3D-bsd rst ordr shll modl. Prt II. Implmntton spcts. Appld Mthmtcs, Inormtcs nd Mchncs, 8, 2, 2003, Zbońsk G.: Adptcyjn nlz strktr złożonych. Szcown błędów postror, Zsz. Nk. Ktdry Mchnk Stosownj, 23, 2004, EFFECTIVITY OF A POSTERIORI ERROR ESTIMATION WITH ELEMENT RESIDUAL EQULIBRATION METHOD IN ADAPTIVE ANALYSIS OF PLATES AND SHELLS Smmry. Th prsntd rsrch dls wth th globl (wthn th strctr nd locl (wthn nt lmnt ctvty o postror rror stmton n dptv nlyss o thn-wlld strctrs. W r ntrstd n th Elmnt Rsdl Mthod (ERM o postrror rror stmton wth qlbrton o th rsdls. Th rslts o two dptv tsts hv bn comprd. Th ctvty ndcs rom both xmpls rlct th problm o locl worsnng o th qlty o rror stmton. Th sorc o sch locl worsnng hs bn ndctd nd th mthod o ovrcomng t, bsd on hghr ordr qlbrton, hs bn sggstd.