METODY APROKSYMACYJNEGO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Transkrypt

1 . MEODY APROKSYMACYJEGO ROZWIĄZYWAIA RÓWAŃ.. Uwg wstępn oncpc podstwow W wlu przpdch wżnch z puntu wdzn zstosowń tchncznch znlzn rozwązn równn różnczowgo w postc nltczn st trudn lub wręcz nmożlw do osągnęc. stuc towrzsz znczn węszośc przpdów szczgóln gd w problmch mchn ośrod cągłgo mm do cznn z nrgulrną gomtrą ułdów bądź gd włścwośc mtrłów są funcm zmnnch pól. problm nzwm zdnm nlnowm. Mtod lmntów sończonch często w środowsu nżnrów bw utożsmn z sposobm rozwązwn problmów mchn prz czm zpomn sę ż wszst t zgdnn modlown są z pomocą równń różnczowch. Ponż prgnm pozć ż mtod lmntów sończonch st przd wszstm mtodą rozwązwn dowolnch równń różnczowch. Spośród mtod zndown rozwązń przblżonch tór są użtczn dl lpszgo zrozumn stot MES chcm zwrócć uwgę n nstępuąc: - mtod Rtz - mtod wrcn Rlgh - Rtz - mtod wżonch rzduów. Wmnn powż mtod zndwn przblżonch rozwązń równń różnczowch są mtodm cłowm gdż oprą sę n formch cłowch n zś bzpośrdno n równnch różnczowch. Mtod Rtz st n tl prost ż n wmg dodtowch nformc poszrzącch lsczn urs mtmt. Mtod wrcn opruąc poęcm lsczngo rchunu wrcngo wmgą choćb znomośc podstwowch formuł tgo rchunu. będzm ch tut przdstwl dn zproponum Cztlnow zpoznn sę z frgmntm ltrtur źródłow. Znm przdstwm mtod Rtz Rlgh-Rtz spróbum n przłdz prostgo problmu brzgowgo przśldzć dę oncpc gnrln. sz rozwżn zlustrum przłdm prostgo przpdu podnczgo równn różnczowgo z dną tlo zmnną nzlżną. B przdstwć różnc mędz olno omwnm mtodm będzm nlzowć zwsz to smo równn różnczow tórgo rozwązn nltczn st prost do osągnęc. m smm łtwo nm będz porównć dołdność otrzmwnch przz prosmcę wnów z rozwąznm dołdnm. Przmm równn różnczow zpsn smbolczn: f. opsuąc dowoln zgdnn w przstrzn gdz opsu funcę zmn moż to bć np. tmprtur func ugęc bl z ś st obszrm dzłn func rządzon przz prwo zdfnown z pomocą oprtor różnczowgo f. Wrun brzgow zpszm w postc: g n obszrz Γ g n obszrz Γ. gdz Γ zwrą t częśc tór ogrnczą brzg rs... Γ omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

2 Rs.. Obszr dnowmrow dzłn func f Orślm rozwązn równn. łączn z wrunm. w postc func: n... n ' '. tór m dną bądź węc nwdomch zś func spłną dołdn wrun brzgow.. Func nzwm funcm próbnm. Problm rduu sę węc do trfngo wboru func próbnch znlzn prmtrów. Ogóln nlż sę węc spodzwć ż cąg przętch prosmc ' ' dl... n. polpsz rozwązn wrz z wzrostm lczb stosownch func próbnch. Przmown func muszą bć cągł różnczowln do nwższgo rzędu wstępuącgo w cłow form równn. pownno nogo zsoczć ż ' zstępuąc w. funcę n spłn dołdn tgoż równn to zncz ż f '. Różncę mędz rozwąznm dołdnm przblżonm oznczm przz R zpszm: f ' R.5 Rzdu R zlżą od orz. Z dołdnm rozwąznm mm do cznn wtd gd R dl wszstch puntów obszru. Dl rozwązń przblżonch R zsdnczo różn sę od zr olw w wbrnch puntch obszru wrun tn moż bć spłnon... Mtod Rtz Podstwow mtod Rtz wmg b dl prosmc I rzędu bł spłnon nstępuąc wrun: R..6 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

3 Powższ wrżn prowdz do równn lgbrczngo z nwdomm prmtrm. Dl poprwn postwongo problmu z dobrz dobrną funcą próbną rozwązn zwsz stn. Z func przmown mogą bć wlomn func clczn orz nn func cągł różnczowln. Zlustrum to co dotąd powdzno nstępuącm przłdm. Przłd. Rozwążm równn różnczow zwczn o postc: d d + dl.7 prz zchownu nstępuącch wrunów brzgowch: orz.8 Z funcę próbną przmm funcę n złócącą problmu spłnącą dlrown wrun brzgow:..9 Poszuwn rozwązn przmum wc w postc: '.. Podstwąc do równn wścowgo.7 rzdu wnoszą: R d ' d + gdz 6 d '. d t węc w ońcu R Spłnn wmgn.6 pocąg onczność dobrn współcznn n podstw równn: 6 + d. sąd otrzmum dno równn lgbrczn z nwdomą w postc: +. omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

4 z tórgo wn ż wobc czgo otrzmn rozwązn przblżon m nstępuąc formę: 9 '..5 9 Wrto w tm mscu uzmsłowć sob ż rozwązn równn różnczowgo przrodzło sę npostrzżn z problmu nlz mtmtczn w problm lgbrczn. Otrzmn wn będz porównn z rozwąznm dołdnm. W tm mscu pros sę doclwgo Cztln b zchcł smodzln znlźć rozwązn nsomplowngo przcż równn.7. Rs.. Intrprtc wdnośc źródł cpł wrunów brzgowch Anlzown równn Jst formą równn przwodnctw cplngo w zolownm pręc z wwnętrznm źródłm nrg. Wdność tgo źródł st proporconln do rs... Wższch tmprtur nlż sę spodzwć blż ońc dl chocż n obu brzgch pownn bć spłnon wrun. Msc msmln tmprtur wpd dl lż podrślć ż func próbn tór w tm przpdu rozcągnęt są nd cłm nlzownm obszrm n pownn zburzć opswngo zws fzczngo l pownn dołdn spłnć wrun brzgow. W przszłośc tchn MES wż ż możn wlmnowć powższ ogrnczn nłdn n func próbn tór to ogrnczn są trudn do spłnn w węszośc prtcznch problmów tchncznch.... Mtod wrcn Rlgh-Rtz pow problm dnowmrowgo rchunu wrcngo polg n znlznu t func b zmnmlzowć bądź zmsmlzowć cłę: omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

5 5 b I F d.6 d gdz zś F st funconłm funcą tór rgumntm są func. Możn wzć ż d funconł odpowdąc równnu z poprzdngo przłdu m postć: F d d +.7 Konswntn sformułown wrcn problmu z nlzowngo przłdu wmg węc strmlzc nstępuącgo wrżn: I d d d +.8 Id polg węc n znlznu t func tór mnmlzu I. Znm pożm w sposób powższ równn moż bć użwn do znlzn przblżongo rozwązn nlzowngo problmu zuwżm ż: - func tór strmlzu wrżn n I st funcą spłnącą równn różnczow zdn wrun brzgow - wścow równn różnczow zwr wrżn druggo rzędu sformułown wrcn - tlo pochodn prwszgo rzędu st to tzw. słb sformułown. Przłd cd.. Przmm podobn poprzdno funcę próbną w postc: ' ;.9 podstwąc to wrżn do wzoru.8 otrzmum: I d d d ' + '.. Zlżność t st funcą dn nwdom. Stconrność będz zpwnon przz spłnn wrunu di.. d Wobc tgo ż d' d + osttczn otrzmum. w wn postc: omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

6 6 + I d po wonnu przpsnch oprc di I węc tż 5 d 5 w ońcu poszuwną wrtość 5 8. m rzm otrzmn rozwązn st nstępuąc: 5 '.. 8 Porównn dotąd otrzmnch rozwązń doonno n rsunu.. Rs... Porównn rozwązń mtodą Rtz mtodą wrcną.. Mtod wżonch rzduów Mtod wżonch rzduów st slnm nrzędzm zndown przblżonch rozwązń równń różnczowch powszchn stosownch w problmch nżnrsch. Ponż przntum cztr nbrdz populrn wrs t mtod. Pwną zltą wżonch rzduów st możlwość omnęc sformułowń wrcnch tór częstoroć mogą sprwć wl trudnośc. Omówm węc porótc posłuąc sę cągl tm smm przłdm dw wrs mtod ollocn znną mtodę nmnszch wdrtów omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

7 7 orz tzw. mtodę Glrn bzpośrdno z n wwodzącą sę MES. onc porównm wn z poprzdngo przłdu uzsn prz zstosownu różnch mtod. Przdstwąc oncpcę ogólną ogrnczm sę t to mło msc poprzdno do podnczgo równn z dną tlo zmnną nzlżną f dzłącgo w obszrz. z orślonm wrunm brzgowm: g n obszrz Γ g n obszrz Γ. Podobn przblżm rozwązn z pomocą func próbnch nznnch współcznnów : n... n ' '.5 otrzmm spłnn równn wścowgo z dołdnoścą do rzduów R : f ' R.6 Mtod wżonch rzduów złdą wznczn prmtrów przz spłnn orślongo wrunu: w R dl...n.7 gdz func w są tzw. funcm wgowm. Wbór tch func różncu wrs mtod wżonch rzduów. Zuwżm ż przmuąc w zdnu z dną tlo nwdomą stlą funcę wgową w otrzmm znną uż nm wrsę mtod Rtz.... Punt olloc W t wrs mtod wżonch rzduów z funcę wg przmu sę wrżn w δ.8 gdz δ płn funcę dlt Kroncr tór st zdfnown nstępuąco: b b δ d dl b δ d dl b.9 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

8 8 gdz współrzędn opsu położn puntu olloc wbrn st n tp formułown ogrnczn. Prz stosownu n func próbnch wmg sę - w clu wznczn wszstch współcznnów - zstosown n puntów olloc. Ogrnczn wglądą wówczs nstępuąco: δ R dl...n. Formułuąc w n puntch otrzmum ułd równń lgbrcznch z tórgo wznczm nwdom. Przłd cd.. Wrcąc do nszgo przłdu wlośc rzduów są zdfnown poprzdno: R 6 +. Prz przęt tlo dn func próbn wmg sę spł- nn ogrnczn tpu. w dnm tlo punc n przłd. Wówczs otrzmum: 6 + czl. Rozwązn ońcow st tm rzm w postc: '..... Podobszr olloc Func wg w t mtodz dobr sę w t sposób ż ch wrtośc są równ w dn częśc obszru ntomst n pozostł częśc obszru są równ zru. Podobszrów olloc dfnu sę tl l st przętch func próbnch. Stucę lustru rsun. tór przłdowo dzl cł obszr n trz podobszr. Mtmtczn func wg w poszczgólnch podobszrch wrżon są nstępuąco: w w w omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

9 9 Rs... Przęt func wgow w podobszrz olloc Podobszr n zwrą wspólnch lmntów lcz w sum wpłną cł obszr. złożn w onswnc prowdzą do nstępuącgo ułdu równń tórgo rozwązn pozwl wznczć nwdom współcznn : R dl...n. Przłd cd.. W nszm przpdu przęc dn func próbn wmg potrtown cłgo obszru o dngo tlo podobszru olloc. węc cłość sprowdz sę do spłnn wrunu dntczngo z wrunm Rtz: sąd tż R. 6 + d orz 9.5 ońcow wn st dntczn z tm tór otrzmlśm poprzdno stosuąc propozcę Rtz: '.6 9 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

10 ... Mtod nmnszch wdrtów Mtod nmnszch wdrtów st powszchn znn wszstm tm tórz stą przd problmm oprcown wnów sprmntu. Polg on n zmnmlzownu wrżn tpu: R d.7 co ozncz ż cząstow pochodn powższ cł względm olnch współcznnów równ zru. Otrzmum węc ułd równń lgbrcznch o postc: mą bć I I M I n R d R n R d R R R d R R d R d R d R d. n d d R n.8 Wdzm wc ż rol func wgowch w powższch równnch płną pochodn rzduów R węc w dl...n. Przłd cd.. Wrcąc znów do nlzowngo przłdu mm funcę rzduów w znn uż nm dobrz postc. func zś wgow tm rzm orślon st o R 6.9 w zwązu z czm podstwąc do.7 otrzmum sąd 6 + d [ 5 ] 6 8. Rozwązn otrzmn tm sposobm wnos: '.. 8 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

11 ... Mtod Glrn Osttną z proponownch tu mtod oprącch sę n wżonch rzduch st mtod zproponown przz Glrn. Polg on n przęcu ż rolę func wgow płn przmown func próbn. Złdm węc ż w żądm - w przpdu użwn lu func próbnch dnoczśn - spłnn wrunów: R... n d dl...n. Przłd cd.. Ponwż dotąd zwsz przmowlśm funcę próbną w postc wmgm węc trz spłnn wrunu. 6 + d. tór prowdz do wlośc współcznn 5. Otrzmn t func m postć: 8 ' 5 '. 8 m rzm wn porw sę z wnm otrzmnm w wrcn mtodz Rlgh-Rtz. Spróbum n onc tch rozwżń porównć otrzmn wn z prostm do uzsn rozwąznm dołdnm. Postć tgo rozwązn st nstępuąc:.5 Zwróćm uwgę ż potęg zmnn w nws st wższ od t tórą przmowlśm w func próbn. Możn b powdzć ż nsz poszuwn szn bł n częścow tlo powodzn gdż posługwlśm sę tlo dną funcą próbną tór odbgł postcą od rozwązn dołdngo. rzb w tm mscu podrślć rz szcz ż zwęsząc lczbę wrzów wlomnu tm smm zwęsząc lczbę nwdomch współcznnów nsz rozwązn zblżłb sę do dołdngo. Gdbśm od rzu przęl funcę próbną w postc żd z wmnonch tu mtod doprowdzłb ns do rozwązn dołdngo. Clowo n ucznlśm tgo gdż w przpdch wżnch z puntu wdzn zstosowń prtcznch n sposób st przwdzć postć równn bo n są znn rozwązn nltczn. omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

12 Rs..5. Porównn rozwązń otrzmnch różnm mtodm Rsun.5 przdstw rzw nszgo rozwązn. Lną cągłą zznczono rozwązn dołdn. Wdzm ż w nlzownm przpdu mtod nmnszch wdrtów podobszrów olloc prowdzł do orśln tmprtur znczn wższch nż dołdn. Podrślm rz szcz co st nzwl wżn prz nlzown prosmc ż przmown func próbn rozpęt są nd cłm obszrm. Dl przmuąc oncpcę podzłu cłgo obszru n częśc lmnt będzm omwć prosmcę tlo n frgmnc obszru co w zncznm stopnu ułtw nm zdn. Wrto w tm mscu wspomnć ż w przpdu choć trochę somplownch wrunów brzgowch n możn zproponowć func próbnch spłnącch wmnn powż wmgn co do dołdngo spłnn wrunów brzgowch nzłócn problmu fzczngo...5. Przłd MES w prosmc Glrn Zsdncz now lmnt tór chcm trz wprowdzć polgć będą n przęcu nwt prostsz bo lnow func próbn l przłdn tlo loln n pwnm podobszrz tór nzwć będzm lmntm sończonm. Złóżm węc ż obszr zwrt mędz puntm b b zostł podzlon n M podobszrów lmntów t to pozno n rsunu.6. Procs tn nzwm dsrtzcą. Prznlzum ztm lmnt o dwóch węzłch w puntch orz. Dowolną wlość tór n tm obszrz m podlgć zmnom moż to bć np. przmszczn lub w nszm przłdz tmprtur oznczm przz. ch n obszrz lmntu zmn t wlośc będz opsn z pomocą zlżnośc omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

13 Rs..6. Podzł obszru dnowmrowgo n lmnt. b m +.6 gdz ozncz ż prosmc dotcz włączn lmntu wrtośc współcznnów b wznczm z nstępuącch wrunów: m dl dl..7 Podstwąc t wrun do równn.6 po rozwąznu ułdu równń z nwdomm otrzmum: m b m b.8 funcę opsuącą zmnę wlośc n obszrz lmntu w postc: +.9 prz czm wlośc płną rolę podobną do t tórą płnł współcznn w poprzdnch rozwżnch. Powższą zlżność możn węc zpsć o +.5 Przmown węc func próbn sztłtu są tm rzm funcm lnowm wrżą sę nstępuącm zlżnoścm:.5 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

14 Rs..7. Lnow func próbn w obszrz lmntu Zmnność tch func pozno n rsunu.7. Ogóln możn węc zpsć zmnność pol stosuąc notcę mcrzową:.5 gdz dwulmntow mcrz gromdz func sztłtu wtor zwr wrtośc zmnnch pol puntch węzłowch. Przłd cd.. Powróćm do nszgo przłdu. Pmętm ż w mtodz Glrn funcm wg bł func próbn. Przmm węc trz równn opsuąc zmnę tmprtur dl podnczgo lmntu sończongo w przdzl od do. +.5 gdz odpowdą trz zmnnm postć. Równn Glrn możn zpsć w postc: w mtodz Glrn func sztłtu mą znną lnową M M R d R d.5 prz czm M mcrzowo odpowd lczb lmntów przętch w dsrtzc. Ułd.5 możn równż zpsć M R d..55 omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

15 5 W nszm przłdz rzdu R dl tpowgo lmntu wrżą sę znną zlżnoścą:. R d d Otrzmum węc: M. d + d..57 d tm tp pomńm sumown poprzstńm n nlz dngo tlo lmntu. Przdstwm powższ równn w postc dwóch cł: d d d + d ;..58 cłuąc prwsz wrżn przz częśc otrzmum: d d d d d d + d d..59 ponwż przęto w prosmc ż sąd: d d d d d d d + d.6 gdz wrżn d d d d d nzwn st mcrzą sztwnośc lmntu oznczn przz względu n to ż wtor opsuąc wrtośc tmprtur w węzłch n zlż od zmnn powższ równn możm zpsć mcrzowo w postc: K. Z K f..6 Mcrz sztwnośc K o wmrch st mcrzą smtrczną osoblwą. Pozostł wtor f mą wmr. Wn dzłń w wzorz.6 przdstwą sę nstępuąco: K d d d d.6 d d omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

16 6 gdz orz + d..6 + Rs..8. Dsrtzc MES przłdu w prosmc Glrn podzł n 5 lmntów Doonm trz dsrtzc rozwżngo przdzłu n pęć równch częśc lmntów o długośc. żd. W wnu tgo podzłu otrzmm obrz pozno n rsunu.8. wdomm są trz tmprtur w szścu węzłch. Zgodn z.6 mcrz sztwnośc lmntów są dntczn wnoszą: K K 5 K K K K. Wtor prwch stron równn.6 dl lmntów otrzmm w postc: f d d + d d omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

17 f f f f f d d + +. d d 7. d d + +. d d. d d d d d d 5. d d d d 87. d d 7.65 Podobn to cznlśm poprzdno doonum grgc mcrz sztwnośc cłgo ułdu orz wtor prwch stron zlżnośc K f.66 gdz trz mcrz K orz wtor f opsuą stn ułdu odnson do współrzędnch globlnch. Po sclnu otrzmum nstępuąc ułd równń: d / d d 6 / d Wprowdząc wrun brzgow w węzłch 6 tmprtur st równ zru czl n przłd wrśląc z ułdu równń prwsz osttn wrsz orz prwszą osttną olumnę z mcrz sztwnośc otrzmum ułd równń z cztrm nwdomm. Rozwąznm tgo ułdu są nstępuąc wn: Łtwo sprwdzć ż otrzmn wn prw w ogól n odbgą od rozwązn nltczngo oczwśc co do wrtośc tmprtur w wbrnch przz dsrtzcę puntch. Wrto zuwżć ż zbg dsrtzc mmo przęc func próbnch w prost postc func lnowch prowdz do osągnęc brdzo duż dołdnośc prosmc rozwązn nltczngo. Zdn. Prznlzu problm.7 z wrunm.8 wszstm przdstwonm w tm rozdzl mtodm przmuąc func próbn w postc: b sn π omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr

18 8. Zndź rozwązn problmu.7 mtodą Rtz przmuąc funcę próbną w postc:. W sposób rozwązn to odpowd rozwąznu dołdnmu? Uogóln otrzmn wn.. Przm równn różnczow w postc: d + 6 d dl prz spłnnu wrunów brzgowch. Sprwdź ż funconł tór podlg strmlzc w mtodz Rlgh-Rtz st wrżon w postc: d I d. d. Prznlzu problm.7 mtodą puntów olloc przmuąc dw func próbn orz dw punt olloc dl współrzędnch. 5. Rozwąż problm z zdn mtodą nmnszch wdrtów. 6. Prznlzu problm.7 mtodą puntu olloc złdąc Sporządź wrs porówn otrzmn rozwązn z wnm dołdnm. 7. Oblcz ugęc bl swobodn podprt o rozpętośc l obcążon cężrm równomrn rozłożonm o ntnswnośc q przmuąc func próbn: π sn l mtodą puntu olloc dl.5 podobszru olloc przętgo dl cłgo przdzłu mtodą nmnszch wdrtów. Porówn otrzmn ugęc w środu rozpętośc z wnm dołdnm. omsz Łodgows Wtold Kąol Mtod lmntów sończonch w wbrnch zgdnnch mchn onstruc nżnrsch Alm Mtr