Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Transkrypt

1 Imi i nazwisko:... Nr indeksu:... Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Egzamin wst pny na studia II stopnia na kierunku INFORMATYKA Test próbny 19 lutego 2010 roku W ka»dym spo±ród 30 zada«podane s trzy warianty: (a), (b) oraz (c). W kratce przy ka»dym z wariantów nale»y odpowiedzie, czy jest on prawdziwy, wpisuj c drukowanymi literami TAK albo NIE. W przypadku omyªkowego wpisu kratk nale»y przekre±li i napisa jedno z tych sªów po jej lewej stronie. Przykªad poprawnego rozwi zania zadania 4. Ka»da liczba caªkowita postaci 10 n 1, gdzie n jest caªkowite i dodatnie, TAK (a) dzieli si przez 9; NIE (b) jest pierwsza; TAK (c) jest nieparzysta. Na stronach testu mo»na pisa wyª cznie we wskazanych wy»ej miejscach i jedynie sªowa TAK oraz NIE. Pisa nale»y dªugopisem lub piórem. Powodzenia!

2 1. Ci g, którego nty wyraz zadany jest wzorem n 2 + ( 1) n n, (a) jest monotoniczny; (b) jest rozbie»ny; (c) jest nieograniczony. 2. Rozwa»my szeregi: (A) + n=1 7 n + n 9 + ln(19 (n2) + 8) 8 n 11 ln(1+n) + 2 oraz (B) + n=1 8 n 11 ln(1+n) n + n 9 + ln(19 (n2 ) + 8). (a) Ci g sum cz ±ciowych ka»dego z tych szeregów jest ograniczony. (b) Szereg (A) jest zbie»ny. (c) Szereg (B) jest zbie»ny. 3. Funkcja f : R R jest ró»niczkowalna oraz f(0) = f(1) = 0. Wynika z tego,»e sko«czona jest granica (a) lim n + nf (b) lim n + nf (c) lim n + nf ( ) 1 n ; ( ) n + 1 n ; ( ) n n R jest relacj równowa»no±ci na liczbach naturalnych dodatnich okre±lon w nast puj cy sposób: liczby x i y s w relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory dzielników pierwszych liczb x i y s takie same. Wynika z tego,»e (a) wszystkie klasy abstrakcji relacji R s niesko«czone; (b) wszystkie klasy abstrakcji relacji R s równoliczne; (c) zbiór ilorazowy relacji R jest sko«czony. 5. Istnieje niesko«czenie wiele funkcji z liczb naturalnych w liczby naturalne, dla których (a) obrazem zbioru {1, 2} jest zbiór pusty; (b) obrazem zbioru {1, 2} jest zbiór {2, 3, 4}; (c) przeciwobrazem zbioru {1, 2} jest zbiór pusty. 6. Równoliczne s (a) zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych; (b) zbiór liczb rzeczywistych i zbiór pot gowy zbioru liczb naturalnych; (c) zbiór ci gów niesko«czonych o wyrazach ze zbioru {0, 1} i zbiór ci gów niesko«- czonych o wyrazach ze zbioru liczb naturalnych.

3 ([ 7. Przeksztaªcenie f : R 2 R 2 dane jest wzorem x1 f x 2 z tego,»e ]) = [ 2x1 x 2 x 1 + x 2 (a) w pewnej bazie przestrzeni R 2 macierz przeksztaªcenia f jest [ (b) f jest przeksztaªceniem ró»nowarto±ciowym i na; (c) macierz przeksztaªcenia f w bazie ([1, 0] T, [1, 1] T ) jest [ ]. Wynika 8. Ka»dy graf nieplanarny o n wierzchoªkach (a) zawiera podgraf K 3,3 lub K 5 ; (b) ma co najmniej 3n 5 kraw dzi; (c) ma liczb chromatyczn niemniejsz ni» Niech f oznacza permutacj i niech f k oznacza k-krotne zªo»enie permutacji f. Wynika z tego,»e (a) f 8 = ; (b) f 7 = f; (c) f 4 = f Niech X i Y b d zmiennymi losowymi o warto±ciach nieujemnych. Wynika z tego,»e (a) E(XY ) = EX EY, je±li X i Y s niezale»ne; (b) E(min(X, Y )) = min(ex, EY ); (c) E(min(X, Y )) = min(ex, EY ), je±li X i Y s niezale»ne. 11. L 1 i L 2 s j zykami bezkontekstowymi nad alfabetem Σ. Wynika z tego,»e bezkontekstowy jest j zyk (a) L 1 L 2 ; (b) Σ L 1 ; (c) L 1 L Zbiór dziesi tnych zapisów pot g dwójki jest (a) j zykiem bezkontekstowym; (b) j zykiem nale» cym do klasy P; (c) j zykiem nale» cym do klasy NP. 13. Regularny jest j zyk zªo»ony ze wszystkich sªów nad alfabetem {a, b, c}, które (a) zaczynaj si od baca; (b) nie zawieraj baca jako podsªowa; (c) zawieraj baca jako podsªowo parzyst liczb razy. ]. ] ;

4 14. Do pocz tkowo pustego drzewa BST wstawiamy kolejno elementy pewnej permutacji liczb 1, 2,..., 16. Liczba permutacji, dla których (a) dostaniemy drzewo o wysoko±ci (czyli maksymalnej liczbie kraw dzi na ±cie»ce od korzenia do li±cia) równej 15, wynosi co najwy»ej 2 16 ; (b) dostaniemy drzewo o wysoko±ci równej 3, wynosi co najmniej 2 15 ; (c) w lewym poddrzewie korzenia b dzie tylko w zeª z kluczem 1, wynosi co najmniej jeden miliard. 15. Koszt wykonania algorytmu Dijkstry dla spójnego grafu n-wierzchoªkowego o m kraw dziach wynosi (a) O(m log 2 n) w implementacji z kopcem zupeªnym; (b) O(n log 2 n + m) w implementacji z kopcem Fibonacciego; (c) O(n 2 ) w implementacji z kolejk dwumianow. 16. Rozwi zaniem równania rekurencyjnego T (n) = 2T ( n/2 ) + f(n) dla n > 1, T (1) = 0, jest (a) T (n) = Θ(log n), je±li f(n) = O(1); (b) T (n) = Θ(n), je±li f(n) = Θ( n); (c) T (n) = Θ(n 2 ), je±li f(n) = Θ(n 2 ). 17. W strukturze relacyjnej, której no±nikiem jest zbiór liczb caªkowitych, a wszystkie symbole operacji i relacji maj standardowe znaczenie, formuªa logiki Hoare'a {true} while x > 0 do x := x - a {x 0} (a) jest prawdziwa dla ka»dego a; (b) jest prawdziwa dla ka»dego a > 0; (c) jest faªszywa dla ka»dego a Dany jest fragment programu wraz z warunkiem wst pnym i ko«cowym: {s = 0 and j = 0} while j <= n do begin s := s + j; j := j + 1; end; {s = n*(n+1)/2} Niezmiennikiem powy»szej p tli umo»liwiaj cym wykazanie jej cz ±ciowej poprawno±ci jest formuªa (a) true; (b) s = j(j 1) j n. 2 (c) s = j(j 1) j n + 1; 2

5 19. A jest macierz nieosobliw o wymiarach N N. Wynika z tego,»e koszt wyznaczenia macierzy A 1 (a) za pomoc algorytmu LU wynosi O(N 2 ) operacji arytmetycznych; (b) wynosi O(N 2 ) operacji arytmetycznych, je±li A jest górnotrójk tna; (c) wynosi O(1) operacji arytmetycznych, je±li A jest macierz Housholdera. 20. Protokóª DHCP (a) sªu»y do odwzorowywania adresów sieciowych IP na adresy sprz towe MAC; (b) korzysta z protokoªu UDP; (c) umo»liwia wynaj cie adresu IP na okre±lony czas. 21. Cech architektury RISC jest (a) zapisywanie wyników instrukcji arytmetyczno-logicznych tylko w rejestrach; (b) kodowanie wszystkich instrukcji maszynowych za pomoc tej samej liczby bajtów; (c) dopuszczenie adresowania niewyrównanego. 22. W o±miobitowym rejestrze procesora zapisana jest warto± ( ) 2, która interpretowana (a) w naturalnym kodzie binarnym reprezentuje liczb 162; (b) w kodzie uzupeªnieniowym do dwójki reprezentuje liczb 84; (c) w kodzie moduª-znak reprezentuje liczb Dany jest fragment programu w C++: 1 class A{ private : 3 int i ; public : 5 A() { i = 13; 7 } }; 9 class B: public A { 11 private : int j ; 13 }; W podanym fragmencie programu (a) klasa B ma konstruktor bezparametrowy; (b) klasa B ma konstruktor bezparametrowy, odziedziczony po klasie A; (c) po utworzeniu obiektu klasy B, jego skªadowa i b dzie miaªa warto± 13.

6 24. Dany jest program w Javie: 1 class A{ public A() {System. out. print ("1") ; m1() ;} 3 public A( int i ){System. out. print ("2") ;} public A(A a){system. out. print ("3") ;} 5 public void m1() {System. out. print ("4") ;} } 7 class B extends A{ 9 A a ; public B(A a){system. out. print ("5") ;} 11 public B() {this (new A(0) ) ; System. out. print ("6") 13 public void m1() {System. out. print ("7") ;} } 15 public class Main { 17 public static void main( String [ ] args ) { A a = new B() ; 19 } } (a) Ten program wypisze (oprócz by mo»e innych znaków) cyfr 1. (b) Ten program wypisze (oprócz by mo»e innych znaków) cyfr 4. (c) Ten program wypisze (oprócz by mo»e innych znaków) cyfr W pewnym systemie operacyjnym, w którym zaimplementowano stronicowanie, rozmiar strony wynosi 1 kilobajt. Tablica stron ka»dego procesu mie±ci si na jednej stronie, a ka»dy wpis w tablicy stron zajmuje 2 bajty. Wynika z tego,»e: (a) pami operacyjna jest niewi ksza ni» 512 kilobajtów; (b) przestrze«adresowa procesu jest niewi ksza ni» 512 kilobajtów; (c) przestrze«adresowa procesu jest niewi ksza ni» 512 bajtów. 26. Wªasno±»ywotno±ci rozwi zania problemu wzajemnego wykluczania oznacza,»e (a) ka»dy proces kiedy± wejdzie do sekcji krytycznej; (b) w sekcji krytycznej zawsze znajduje si co najwy»ej jeden proces; (c) ka»dy proces wchodzi do sekcji krytycznej bez czekania. 27. Tablica stron (a) zawiera informacje o rozmieszczeniu stron procesu w pami ci zycznej; (b) jest tworzona podczas kompilacji programu; (c) jest wykorzystywana podczas translacji adresów. 28. Dla relacji R(A, B, C, D) nie okre±lono»adnych zale»no±ci funkcyjnych. Wynika z tego,»e relacja R (a) ma co najmniej jeden klucz; (b) ma co najwy»ej jeden klucz; (c) ma 4 klucze.

7 29. Ka»da tabela w pierwszej postaci normalnej (1NF) maj ca dokªadnie dwie kolumny jest (a) w drugiej postaci normalnej (2NF); (b) w trzeciej postaci normalnej (3NF); (c) w postaci normalnej Boyce-Codd (BCNF). 30. Dana jest tabela Sprawdzian Wynik zapytania w SQL student kolokwium egzamin A 45 NULL B NULL 90 C SELECT student FROM Sprawdzian WHERE (kolokwium > egzamin AND egzamin > 75) OR kolokwium < 50 b dzie zawieraª identykator studenta (a) A; (b) B; (c) C.