Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych

Transkrypt

1 Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych Oskar Skibski Institute of Informatics, University of Warsaw 15 października 2013 Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

2 Przykład Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

5 CO TERAS? Jak podzielić wspólną wypłatę? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

11 Gry koalicyjne zbiór graczy N koalicja dowolny podzbiór graczy S N podział (lub układ koalicyjny) zbiór rozłącznych koalicji P = {S 1, S 2,..., S k } których sumą jest N gra koalicyjna funkcja v : 2 N R która przypisuje każdej koalicji jej wartość (zakładamy, że v( ) = 0). Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

12 Gry koalicyjne zbiór graczy N koalicja dowolny podzbiór graczy S N podział (lub układ koalicyjny) zbiór rozłącznych koalicji P = {S 1, S 2,..., S k } których sumą jest N gra koalicyjna funkcja v : 2 N R która przypisuje każdej koalicji jej wartość (zakładamy, że v( ) = 0). Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

13 Gry koalicyjne Problem tworzenia koalicji (ang. Coalition formation problem) Znajdź podział P P(N) dla którego S P v(s) jest maksymalne. Inaczej: jaki układ koalicyjny powstanie? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

14 Gry koalicyjne Problem tworzenia koalicji (ang. Coalition formation problem) Znajdź podział P P(N) dla którego S P v(s) jest maksymalne. Inaczej: jaki układ koalicyjny powstanie? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

15 Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

16 Gry koalicyjne Problem podziału (ang. Problem of division) Załóżmy, że powstanie grand coalition, czyli koalicja wszystkich graczy. Znajdź funkcję ϕ : R 2N R N, która przypisuje każdemu graczowi jego udział we wspólnej wypłacie. Inaczej: jak się podzielić tym co uzyskaliśmy? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

17 Gry koalicyjne Problem podziału (ang. Problem of division) Załóżmy, że powstanie grand coalition, czyli koalicja wszystkich graczy. Znajdź funkcję ϕ : R 2N R N, która przypisuje każdemu graczowi jego udział we wspólnej wypłacie. Inaczej: jak się podzielić tym co uzyskaliśmy? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

18 Przykład Jak podzielić wspólną wypłatę? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

19 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Efektywność cała wypłata jest rozdzielona pomiędzy graczy Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

20 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Efektywność cała wypłata jest rozdzielona pomiędzy graczy Symetria podział wypłaty nie zależy od imion graczy Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

21 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Efektywność cała wypłata jest rozdzielona pomiędzy graczy Symetria podział wypłaty nie zależy od imion graczy Aksjomat gracza-atrapy gracz który nie wnosi nic do wartości żadnej koalicji nic nie dostaje Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

22 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Efektywność cała wypłata jest rozdzielona pomiędzy graczy Symetria podział wypłaty nie zależy od imion graczy Aksjomat gracza-atrapy gracz który nie wnosi nic do wartości żadnej koalicji nic nie dostaje Addytywność wypłata graczy w dwóch połączonych grach jest równa sumie wypłat w tych grach rozpatrywanych rozłącznie Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

23 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

24 Aksjomatyka - czy podział jest sprawiedliwy? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

25 Czy podział jest stabilny? Jak podzielić wypłatę? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

26 Czy podział jest stabilny? Jak podzielić wypłatę? Czy któraś para dostanie mniej niż 50? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

27 Czy podział jest stabilny? Jak podzielić wypłatę? Czy któraś para dostanie mniej niż 50? A teraz? Czy podział (10, 10, 50) jest ok? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

28 Czy podział jest stabilny? Jak podzielić wypłatę? Czy któraś para dostanie mniej niż 50? A teraz? Czy podział (10, 10, 50) jest ok? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

29 Wartość Shapleya Wartość Shapleya Sh i (v) = S N,i S ( S 1)!( N S )! (v(s) v(s \ {i})) N! Załóżmy, że gracze przychodzą na miejsce spotkania w losowej kolejności. Gracz i zwiększa wartość zastanego zbioru S \ {i} o swój wkład marginalny v(s) v(s \ {i}). Jego wartość w grze wyliczamy teraz jako średnią z jego wszystkich wkładów marginalnych po wszystkich porządkach przyjścia graczy. Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

30 Wartość Shapleya Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

34 Nassau County Board Podział głosów w radzie hrabstwa Nassau: Hempstead #1: 9 Hempstead #2: 9 North Hempstead: 7 Oyster Bay: 3 Glen Cove: 1 Long Beach: 1 Aby przegłosować ustawę potrzeba 16 głosów. Jaka jest siła poszczególnych części? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

35 Nassau County Board Podział głosów w radzie hrabstwa Nassau: Hempstead #1: 9 Hempstead #2: 9 North Hempstead: 7 Oyster Bay: 3 «NULL-PLAYER Glen Cove: 1 «NULL-PLAYER Long Beach: 1 «NULL-PLAYER Aby przegłosować ustawę potrzeba 16 głosów. Jaka jest siła poszczególnych części? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

36 Nassau County Board Podział głosów w radzie hrabstwa Nassau: Hempstead #1: 9 «SIŁA: 1 3 Hempstead #2: 9 «SIŁA: 1 3 North Hempstead: 7 «SIŁA: 1 3 Oyster Bay: 3 «NULL-PLAYER Glen Cove: 1 «NULL-PLAYER Long Beach: 1 «NULL-PLAYER Aby przegłosować ustawę potrzeba 16 głosów. Jaka jest siła poszczególnych części? Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

37 Airport problem Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

41 Obliczanie wartości Shapleya Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

47 Gry koalicyjne z efektami zewnętrznymi Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

50 Sieci terrorystyczne Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21

53 Co jeszcze? AAMAS 14, deadline: AAAI 14, deadline: ACM EC 14, deadline: Oskar Skibski (University of Warsaw) Algorytmiczna Teoria Gier Koalicyjnych 15 października / 21