Algebra relacji. nazywamy każdy podzbiór iloczynu karteziańskiego D 1 D 2 D n.

Transkrypt

1 Algebra relacji Definicja 1 (Relacja matematyczna). Relacją R między elementami zbioru D 1 D 2 D n, gdzie przypomnijmy D 1 D 2 D n = {(d 1, d 2,..., d n ) : d i D i, i = 1, 2,..., n}, nazywamy każdy podzbiór iloczynu karteziańskiego D 1 D 2 D n. Definicja 2 (Relacja w sensie Codd a). Niech U = {A 1, A 2, A 3,... } będzie zbiorem złożonym z atrybutów A 1, A 2, A 2,.... Dla każdego atrybutu A U zbiór jego wartości (prostych) nazywamy dziedziną i oznaczamy dom (A). Zakładamy, że dla każdego A U zachodzi inkluzja NULL dom (A). Dla zbioru atrybutów U = {B 1, B 2,..., B n }, gdzie B 1, B 2,..., B n U, definiujemy: krotkę t typu U (z ang. tuple) jako zbiór par uporządkowanych t = {(B 1, b 1 ), (B 2, b 2 ),..., (B n, b n )} ozn. = [B 1 : b 1, B 2 : b 2,..., B n : b n ] gdzie b i D i = dom (B i ) dla i = 1, 2,..., n. relację typu U jako dowolny, skończony podzbiór zbioru wszystkich krotek typu U. Uwaga 1. Każdy zbiór par t = [A 1 : a 1, A 2 : a 2,..., A n : a n ], przy oznaczeniach z powyższej definicji, jest pewną funkcją ze zbioru atrybutów U = {A 1, A 2,..., A n } w zbiór wartości V = D 1 D 2 D n, gdzie D i = dom (A i ) dla i = 1, 2,..., n, a zatem t: U V jest funkcją taką, że dla każdego A U, t (A) dom (A). Oznaczenia: KROTKA(U) zbiór wszystkich krotek typu U, KROTKA( ) = {ɛ} zbiór zawiera jedną krotkę, krotkę pustą ɛ typu o długości zero, null(u) krotka null-owa typu U, dla każdego atrybutu A U, null (A) = NULL, REL(U) zbiór wszystkich relacji typu U (Ile jest takich relacji jeśli KROTKA (U) = k?), REL( ) = {, {ɛ}}, gdzie to pusta relacja typu, nie zawierająca żadnej krotki, U, X, Y, V, W zbiory atrybutów (typy relacji), R (U), S (X),... relacje odpowiednio typu U, X,... ; gdy typ wynika z kontekstu piszemy R, S,..., t (U), r (X),... krotki typu U, X,... ; gdy typ wynika z kontekstu piszemy t, r,..., zamiast pisać r = [A 1 : a1, A 2 : a 2,..., A n : a n ] piszemy w skrócie r = (a 1, a 2,..., a n ) domyślne przyjmujemy uporządkowanie wartości w krotce takie jak uporządkowanie atrybutów w typie relacji, zamiast pisać R ({A, B}) piszemy w skrócie R (A, B), zamiast pisać R (X Y ) piszemy w skrócie R (X, Y ). Operacje na relacjach (algebra relacji) 1. Operacje mnogościowe na relacjach

2 Operandy: R (U), S (U) relacje typu U Wynik: T (U) relacja typu U Suma mnogościowa (ang. union) T = R S {t: t R t S} Różnica mnogościowa (ang. difference) T = R \ S = {t: t R t / S} Przekrój mnogościowy (ang. intersection) T = R S = {t: t R t S) Dopełnienie mnogościowe (ang. complement) T = R c = KROTKA (X) \ R (X) Uwaga 2. W przypadku dopełnienia istotnym jest, aby zbiór KROTKA (X) był skończony (Dlaczego?), co powoduje, że w praktyce dopełnienie nie jest stosowane. Sumy zewnętrzne (otwarte, ang. outer union) Niech Z = X Y i R (X) będzie relacją typu X, a S (Y ) typu Y. Tworzymy relację R (Z) typu Z poprzez uzupełnienie krotek relacji R (X) o argumenty z Z \X wypełniając ich wartości NULL-ami, dokładniej: R (Z) = {t KROTKA (Z) : (t (A) = t (A) dla A X) (t (A) = null (A) dla A Z \ X)}. W analogiczny sposób tworzymy relację S (Z) typu Z, to znaczy S (Z) = {r KROTKA (Z) : (r (B) = r (B) dla B Y ) (r (B) = null (B) dla B Z \ Y )}. Definiujemy sumę zewnętrzną R (X) OUTER UNION S (Y ) relacji R (X) i S (Y ) jako R (X) OUTER UNION S (Y ) = R (Z) S (Z). 2. Operacje na krotkach 2.1. Ograniczenie krotki Niech r (U) będzie krotką typu U i niech X U. Krotkę r [X] typu X nazywamy ograniczeniem krotki r (U) do zbioru atrybutów X, wtedy i tylko wtedy, gdy t (A) = r (A) dla każdego A X Złączenie krotek Krotkę r s typu X Y nazywamy złączeniem naturalnym (ang. natural join) krotek r (X) i s (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy t [X] = r i t [Y ] = s. 3. Operacje relacyjne 3.1. Projekcja, rzut (ang. projection) relacji Niech R (U) będzie relacją typu U i niech X U. Relację R [X] (lub π X (R)) typu X nazywamy projekcją relacji R na X, wtedy i tylko wtedy, gdy R [X] = π X (R) = {t KROTKA (X) : r R t = r [X]}, w szczególności gdy R =, R [ ] = π (R) = {ɛ} w p.p.

3 3.2. Selekcja (ang. selection) Niech A, A U, ν dom (A), θ {=,, <,, >,, like,... }. A U Atomowymi warunkami selekcji są: A θ ν oraz A θ A. Każdy atomowy warunek selekcji jest warunkiem selekcji. Jeśli E i E są warunkami selekcji, to są nimi również: (E), E, E E, E E. Relację σ E (R) typu U nazywamy selekcją relacji R (U) względem warunku selekcji E, wtedy i tylko wtedy, gdy σ E (R) = {t R: E (t) = TRUE}. Sposoby obliczania warunków selekcji: a) (A θ ν) (t) = t (A) θ ν, b) (A θ A ) (t) = t (A) θ t (A ), c) ( E) (t) = (E (t)), d) (E E ) (t) = E (t) E (t), e) (E E ) (t) = E (t) E (t). Ponieważ języki relacyjnych baz danych, np. SQL, opierają się na logice trójwartościowej o wartościach: TRUE, FALSE i UNKNOWN ( nieznana ), to dodatkowo mamy: f ) t (A) θ NULL = UNKNOWN, g) NULL θ ν = UNKNOWN dla każdego ν, również równego NULL Przemianowanie (ang. renaming) Niech R (U) będzie relacją typu U, a A i B niech będą atrybutami, przy czym A U i B / U. Niech W = U \ {A} {B}. Relację δ A B (R) typu W nazywamy przemianowaniem w relacji R atrybutu A na atrybut B, wtedy i tylko wtedy, gdy δ A B (R) = { t KROTKA (W ) : r R t = π U\{A} (r) [B : r (A)] } Iloczyn kartezjański (ang. cross join, Cartesian product) Niech R (X) i S (Y ) będą relacjami typu odpowiednio X i Y, gdzie X = {A 1, A 2,..., A n }, Y = {B 1, B 2,..., B m }. Określmy prefiksowanie atrybutów relacji R i S w następujący sposób R.X = {R.A 1, R.A 2,..., R.A n }, S.Y = {S.B 1, S.B 2,..., S.B m }. Iloczynem kartezjańskim relacji R i S nazywamy relację R S typu R.X S.Y, wtedy i tylko wtedy, gdy R S = {t KROTKA (R.X S.Y ) : π R.X (t) = R π S.Y (t) = S} Złączenie (ang. join) Relację R S typu X Y nazywamy złączeniem naturalnym (ang. natural join) relacji R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy R S = {t KROTKA (X Y ) : π X (t) = R π Y (t) = S}, albo równoważnie R S = (t KROTKA (X Y ) : r R s S t = r s).

4 Jeżeli R i S są relacjami odpowiednio typu X i Y oraz X = Y, to R S = R S, z kolei jeżeli X Y =, to R S = R S. Właściwości dla relacji R, S, T typu U: a) R {ɛ} = R, b) R =, c) R π X {R} = R, gdzie X U, d) R π X (R) π Y (R), gdzie X Y = U, e) R S = S R f ) R (S T ) = (R S) T θ-złączenie, theta-złączenie (θ-join) Niech R (X), S (Y ) będą relacjami odpowiednio typu X i Y, gdzie X = {A 1, A 2,..., A n }, Y = {B 1, B 2,... B m } i niech θ {=,, <,, >,, like,... }. Relację R F S typu X Y nazywamy θ-złączeniem relacji R i S względem warunku złączenia F (analogicznie jak warunek selekcji), wtedy i tylko wtedy, gdy R F S = {t R S : F (t) = TRUE}. θ-złączenie jest więc selekcją z iloczynu kartezjańskiego, a zatem R F S = σ F (R S) Złączenia zewnętrzne (ang. outer join) (a) Złączenie zewnętrzne lewostronne (ang. left outer join) Relację R+ F S typu X Y nazywamy złączeniem zewnętrznym lewostronnym relacji R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy R+ F S = {t R S : F (t) = TRUE} {π X (t) null (Y \ X) : t R S F (t) TRUE}, czyli do wyniku należą wszystkie krotki relacji R (lewy operand) połączone albo z dopasowaną krotką z relacji S, albo uzupełniona wartościami NULL, gdy brak dopasowanej krotki (krotka s jest dopasowana do r, jeśli F (r s) = TRUE). (b) Złączenie zewnętrzne prawostronne (ang. right outer join) Relację R + F S typu X Y nazywamy złączeniem zewnętrznym prawostronnym relacji R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy R + F S = {t R S : F (t) = TRUE} {π Y (t) null (X \ Y ) : t R S F (t) TRUE}, czyli do wyniku należą wszystkie krotki relacji S (prawy operand) połączone albo z dopasowaną krotką z relacji R, albo uzupełniona wartościami NULL, gdy brak dopasowanej krotki. (c) Złączenie zewnętrzne pełne (ang. full outer join) Relację R+ + F S typu X Y nazywamy złączeniem zewnętrznym pełnym relacji R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy R+ + F S = (R+ F S) (R + F S).

5 3.8. Podzielenie (ang. division) Niech X U. Relację R S typu U \ X nazywamy podzieleniem relacji R (U) przez S (X), wtedy i tylko wtedy, gdy R S = { t π U\X (R) : s S t s R }. Własności podzielenia: a) R S = { t π U\X (R) : S = R [t, X] }, gdzie R [t, X] = {s π X (R) : t s R}. b) Jeśli przyjmiemy, że n = count (S), m = count (R [t, X]), gdzie t R [U \ X] i m = n, to t R S. Zadania Zadanie 1. Niech dom (IMIE) = { Adam, Ewa, Karol, Zofia }, dom (NAZW ISKO) = { Kowalska, Kowalski, Nowak }, dom (P RZEDMIOT ) = { ANA, BAD, MAD, SIK }, dom (OCENA) = {2, 3, 4, 5}, dom (P UNKT Y ) = {0, 1, 2,..., 220} dom (IN DEKS) = {111111, , , , , } R 1 INDEKS IMIE NAZW ISKO Ewa Kowalska Zof ia Kowalska Ewa N owak R 2 INDEKS IMIE NAZW ISKO Adam Kowalski Karol N owak R 3 IMIE NAZW ISKO P UNKT Y Karol Kowalski 170 Ewa N owak 219 Zof ia N owak 165 R 4 INDEKS P RZEDMIOT OCENA AN A AN A AN A AN A BAD BAD MAD MAD MAD MAD SIK SIK 4 Dla podanych niżej operacji algebry relacji obliczyć wynik wykonania operacji o ile jest to możliwe (podać postać relacji wynikowej i zinterpretować wynik): a) S 1 = R 1 R 2, R 1 R 3, b) S 2 = π {P RZEDMIOT } (R 4 ), c) S 1, S 2, d) R 2 R 3,

6 e) ( π {IMIE} (S 1 ) π {NAZW ISKO} (S 1 ) ) \ π {IMIE, NAZW ISKO} (R 3 ), f) σ P UNKT Y >170 (R 3 ), g) σ (P RZEDMIOT = ANA P RZEDMIOT = BAD ) OCENA>2 (R 4 ), (podać kolejne kroki wartościowania), h) R 4 S 2, i) S 1 S1.INDEKS=R 4.INDEKS R 4, j) S 1 + S1.INDEKS=R 4.INDEKS R 4, k) S 1 + S1.INDEKS=R 4.INDEKSR 4, l) S S1.INDEKS=R 4.INDEKSR 4. Zadanie 2. Udowodnij następujące własności operatora selekcji: a) σ E (R S) = σ E (R) σ E (S), b) σ E1 E 2 (R) = σ E1 (σ E2 (R)) = σ E2 (σ E1 (R)) = σ E1 (R) σ E2 (R), c) σ E1 E 2 (R) = σ E1 (R) σ E2 (R).