GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKI

Transkrypt

1 GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKI Marcin Malawski Akademia Leona Koźmińskiego i Instytut Podstaw Informatyki PAN Warszawa 6 Forum Matematyków Polskich, Warszawa, wrzesień 2015

2 1 Pojęcia 2 Rozwiązania 3 Gry operacyjne 4 Wariacje nt. wartości 5 Gry ze strukturami 6 Gry proste 7 I więcej

3 Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy,

4 Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,

5 Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, v : N R spełniająca v( ) = 0.

6 Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, v : N R spełniająca v( ) = 0. G n przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.

7 Gra kooperacyjna Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi)) to para (N, v), gdzie N = {1, 2,..., n} zbiór graczy, N = 2 N zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy, v funkcja charakterystyczna gry, spełniająca v( ) = 0. v : N R G n przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych. Interpretacja Dla dowolnej koalicji S: v(s) wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja S przez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S. (I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie wypłaty uboczne).

8 Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T.

9 Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T. Przykład (Konformiści (gra 3-osobowa)) Trzej gracze równocześnie podnoszą ręce i jeśli jeden podniesie inną niż pozostali dwaj, płaci każdemu z nich po złotówce. Wówczas: v(i) = 1, v(ij) = 0 i, j ; v(123) = 0.

10 Gry kooperacyjne a niekooperacyjne Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych) Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postaci normalnej G = (N, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) wyznacza grę kooperacyjną (N, v) poprzez równania: v(t ) = max σ T S T min u j (σ T, σ T ) σ T S T j T dla dowolnej koalicji T N, gdzie ST, S T są zbiorami mieszanych strategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T. Uwaga I odwrotnie: każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnej niekooperacyjnej gry w postaci normalnej.

11 Gra kooperacyjna prosty przykład Przykład Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki A i B po 300 łubianek, a C 250 i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicy dobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilość truskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawki jedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę. Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jako jedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawet tysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę. Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.

12 v({a, B, C}) = 4 ( ) 200 = Gra kooperacyjna prosty przykład Przykład Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki A i B po 300 łubianek, a C 250 i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicy dobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilość truskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawki jedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę. Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jako jedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawet tysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę. Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł. Powstająca gra kooperacyjna: N = {A, B, C}, v({a}) = = 900, v({b}) = 600, v({c}) = = 800, v({a, B}) = 3 ( ) = 1800, v({a, C}) = 4 ( ) 200 = 2000, v({b, C}) = 2000,

13 Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne );

14 Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne ); monotoniczna gdy U T v(u) v(t ) ( większe koalicje mogą więcej );

15 (T U, i T U) v(t ) v(t \ i) v(u) v(u \ i) Gry kooperacyjne podstawowe własności Definicja Gra kooperacyjna (N, v) jest superaddytywna gdy U T = v(u T ) v(u) + v(t ) ( łączenie się koalicji jest opłacalne ); monotoniczna gdy U T v(u) v(t ) ( większe koalicje mogą więcej ); wypukła jeśli dla każdych koalicji T, U N v(t U) + v(t U) v(t ) + v(u) Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własność rosnących wkładów: T, U, i

16 Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1

17 Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1 Definicja (Rozwiązanie) Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v) zbioru podziałów w tej grze.

18 Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości Definicja (Podział w grze kooperacyjnej) Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x 1, x 2,... x n ) taki że n x i = v(n). i=1 Definicja (Rozwiązanie) Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v) zbioru podziałów w tej grze. Definicja (Wartość) Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tej grze, ψ(v) = (ψ 1 (v), ψ 2 (v),... ψ n (v)); ψ j (v) wartość gracza j w grze v.

19 Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j),

20 Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnych w tej grze.

21 Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnych w tej grze. Uwaga Rdzeń dowolnej gry n-osobowej jest wypukłym podzbiorem R n (zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),

22 Najważniejsze rozwiązania: rdzeń Definicja (Racjonalność podziału) Podział x w grze (N, v) jest indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji T x T (= j T x j) v(t ). x j v(j), Definicja (Rdzeń gry) Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze. Uwaga Rdzeń dowolnej gry n-osobowej jest wypukłym podzbiorem R n (zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych), może być pusty.

23 Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)})

24 Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)}) m j,π (v) = v(h π,j ) v(h π,j \ j) krańcowy wkład gracza j do koalicji jego poprzedników (przy permutacji π).

25 Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya Oznaczenie Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N i dowolnego gracza j N oznaczamy: H π,j = π 1 ({1, 2,..., π(j)}) m j,π (v) = v(h π,j ) v(h π,j \ j) krańcowy wkład gracza j do koalicji jego poprzedników (przy permutacji π). Definicja (Wartość Shapleya) Wartość Shapleya, oznaczana przez φ, to funkcja przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze: φ j (v) = 1 n! π Π N m j,π (v) gdzie Π N jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.

26 Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T

27 Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) i T x i ; Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.

28 Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych co zdarza się gdy v(n) < i N v(i) to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry.

29 Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych co zdarza się gdy v(n) < i N v(i) to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry. Uwaga (Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym

30 Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus Definicja Dla każdej koalicji T N i każdego podziału x w grze (N, v): Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x, T ) = v(t ) x i ; i T Nukleolus gry v taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grze który minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkich koalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej. Uwaga Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podział nazywa prenukleolusem gry. Uwaga (Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym Jeżeli C(v), to ν(v) C(v).

31 Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów N = {1, 2, 3}, v(1) = 900, v(2) = 600, v(3) = 800, v(12) = 1800, v(13) = v(23) = 2000, v(123) = 3200

32 Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów N = {1, 2, 3}, v(1) = 900, v(2) = 600, v(3) = 800, v(12) = 1800, v(13) = v(23) = 2000, v(123) = 3200 C(v) = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 3200, 900 x , 600 x , 800 x } ; φ(v) = (1100, 950, 1150), ν(v) = (1050, 975, 1175).

33 Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K )

34 Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K ) Np. N S posiadacze pojedynczych obiektów, N K potencjalni kupujący (każdy może kupić 1 obiekt), a ij - zyski z transakcji w tej parze (i, j).

35 Gry operacyjne : gry przypisania Definicja (Gra przypisania) N = N S N K ; A nieujemna macierz n S n K, a ij korzyść ze współpracy pary (i, j) (i N S, j N K ) v(t ) = { 0 T N S = lub T N K = max(a i1 j a ik j k ) T N S ani T N K i 1,... i k T N S, j 1,... j k T N K, k = min(#(t N S ), #(T N K ) Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania) Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A, to C(v) = {x 0 : i NK j NS x i + x j a ij }.

36 Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e.

37 Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e. Gra (kosztów) odśnieżania: c(s) = min C(e) p P(S) e p gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p E zawierających ścieżkę od każdego gracza v S do v 0.

38 Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci Odśnieżanie (V, E) graf niezorientowany sieć dróg; v 0 V wyróżniony wierzchołek ; V \ v 0 gracze C : E R + funkcja kosztu; C(e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e. Gra (kosztów) odśnieżania: c(s) = min C(e) p P(S) e p gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p E zawierających ścieżkę od każdego gracza v S do v 0. Gra oszczędności: s(s) = c(i) c(s). i S

39 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy:

40 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.

41 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0.

42 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0.

43 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona

44 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.

45 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od swoich domów. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza nukleolus gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.

46 Gry utrzymania sieci cd. Gra odśnieżania rozwiązania Gdy (V, E) jest drzewem o korzeniu w v 0, następująca alokacja pracy: 1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością. 2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v 0. 3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v 0. 4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v 0 do jego domu będzie odśnieżona wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania. Uwaga (Szczególny prosty przypadek) Szeregowy podział kosztów sytuacja w której graf jest ścieżką.

47 Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta)

48 Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.

49 Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu. Gra CP (kosztów): c(s) = min (v 0,e 1,...e k,v 0 ) D(S) k j=1 h(e j ) i S h(i) gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S.

50 Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy Gra CP ( chińskiego listonosza ) Graczami są ulice - krawędzie niezorientowanego grafu (V, E) v 0 V wyróżniony wierzchołek (poczta) h : E R + funkcja kosztu; h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e. Gra CP (kosztów): c(s) = min (v 0,e 1,...e k,v 0 ) D(S) k j=1 h(e j ) i S h(i) gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S. Twierdzenie (Granot i Hamers) Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń graf (V, E) jest słabo eulerowski (tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).

51 Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów

52 Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów

53 Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów

54 Niektóre inne gry operacyjne Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu, problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nich z wyróżnionym wierzchołkiem v 0 (= najtańszego drzewa rozpinającego) i podział łącznych kosztów Gry ustalania kolejki: gracze = klienci, problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, która zminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów...

55 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).

56 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).

57 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą jest wartość Shapleya.

58 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), jest wartość Shapleya.

59 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, jest wartość Shapleya.

60 Wartość Shapleya dlaczego? Definicja Gracz i jest graczem zerowym w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T zachodzi v(t i) = v(t ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji). Gracze j, k są wymienni w grze v, jeżeli dla każdej koalicji T takiej, że j T i k T zachodzi v(t j) = v(t k). (Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji). Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, 3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w) jest wartość Shapleya.

61 Wartość Shapleya dlaczego? Twierdzenie (Shapley 1953) Jedyną wartością ψ spełniającą 1 równoprawność: jeżeli gracze i, j są wymienni w grze v, to ψ i (v) = ψ j (v), 2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v, to ψ i (v) = 0, 3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w) jest wartość Shapleya. Twierdzenie (Young 1985) Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek gracza zerowego oraz monotoniczność: [ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v, w spełniającej T N,T j v(t ) v(t \ j) w(t ) w(t \ j) (czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w) zachodzi ψ j (v) ψ j (w) ] jest wartość Shapleya.

62 Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n.

63 Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya (Joosten 1996; van den Brink i in. 2013)) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v).

64 Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja (Wartość egalitarna) e powstaje przez równy podział v(n) pomiędzy graczy: k e k (v) = v(n) n Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya (Joosten 1996; van den Brink i in. 2013)) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v) Twierdzenie Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność i warunek gracza zerującego (( T j v(t ) = 0) ψ j (v) = 0) jest wartość egalitarna e. (van den Brink 2007).

65 Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya Definicja ( Egalitarne wartości Shapleya ) ɛ j (v) = ɛv(n) n (ɛ [0, 1] dowolny ale ustalony) + (1 ɛ)φ j (v) Twierdzenie Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność i warunek gracza zerującego (( T j v(t ) = 0) ψ j (v) = 0) jest wartość egalitarna e. (van den Brink 2007) Jedyne addytywne wartości spełniające lokalną monotoniczność: jeśli v(s i) v(s j) dla każdej koalicji S nie zawierającej i ani j, to ψ i (v) ψ j (v) własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu : jeśli j jest graczem zerowym w v i v(n) 0, to ψ j (v) 0 to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)

66 Wariacja: Wartość solidarnościowa Definicja (Wartość solidarnościowa (Nowak i Radzik 1994) ) σ j (v) = 1 v(h π,j) v(h π,j \ k) n! π(j) π Π N k H π,j przy danej permutacji gracz zamiast własnego wkładu do koalicji poprzedników otrzymuje średnią z krańcowych wkładów wszystkich członków koalicji poprzedników do tej koalicji. Równoprawność tak, własność gracza zerowego nie.

67 Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych.

68 Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury.

69 Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.

70 Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy. 5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(n).

71 Szersza klasa: wartości proceduralne Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi 1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności (permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne. 2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład m k,π (v) w koalicję swoich poprzedników graczy już obecnych. 3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w H π,k według pewnej ustalonej procedury. 4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(n) zostaje rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy. 5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(n). Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) k sk,j = 1.

72 Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1.

73 Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1. s k,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj. gracza π 1 (j)) we wkładzie krańcowym gracza π 1 (k).

74 Procedury i wartości proceduralne cd Definicja (Procedura) Procedura s na G n to rodzina nieujemnych współczynników k ((s k,j ) k j=1 )n k=1 takich że ( k) j=1 s k,j = 1. s k,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj. gracza π 1 (j)) we wkładzie krańcowym gracza π 1 (k). Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012)) Wartość proceduralna ψ s wyznaczona przez procedurę s na G n jest określona wzorem ψj s (v) = E π s π(k),π(j) m k,π (v) = k N π,j π Π k N π,j s π(k),π(j)m k,π(v). n! (N π,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π, wraz z j).

75 Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t.

76 Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n

77 Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n 2 ψi s (v) = s π(i) m i,π (v) + (1 s π(j) )m j,π (v). n! n! π Π π:π(i)=1 j i

78 Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje Twierdzenie (Równoważne reprezentacje) Jeśli s = ((s k,j ) k j=1 )n k=1 oraz t = ((t k,j) k j=1 )n k=1 są dwiema procedurami takimi, że dla każdego k s k,k = t k,k, to ψ s = ψ t. Wniosek 1 Układ współczynników s = (s 1, s 2,..., s n ) reprezentuje dowolną procedurę ((s k,j ) k j=1 )n k=1 na G n, dla której s j,j = s j dla j = 1, 2,..., n 2 ψi s (v) = s π(i) m i,π (v) + (1 s π(j) )m j,π (v). n! n! π Π Twierdzenie (odwrotne) π:π(i)=1 Jeżeli s = (s 1, s 2,..., s n ) i t = (t 1, t 2,..., t n ) są dwiema różnymi procedurami na G n, to ψ s ψ t. j i

79 Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T

80 Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.

81 Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna. Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa, słabo monotoniczna i lokalnie monotoniczna

82 Wartości proceduralne dlaczego? Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa i równoprawna, słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0) koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej pary gier v, w G n takiej że (v(t ) > w(t ) oraz v(s) = w(s) S T ) zachodzi ψ i (v) ψ i (w) dla każdego i T wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna. Twierdzenie (MM 2012) Wartość na G n jest: liniowa, słabo monotoniczna i lokalnie monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.

83 Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).

84 Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy). Twierdzenie (Myerson 1981) Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającą następującą własność jednakowych korzyści: (N, v, E) i, j N ψ i (v, E (ij)) ψ i (v, E) = ψ j (v, E (ij)) ψ j (v, E)

85 Gry ze strukturami: komunikacja Definicja (Gra ze strukturą komunikacji) (N, v, E), gdzie (N, v) gra kooperacyjna, (N, E) graf niezorientowany (E zbiór połączeń pomiędzy parami graczy). Twierdzenie (Myerson 1981) Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającą następującą własność jednakowych korzyści: (N, v, E) i, j N ψ i (v, E (ij)) ψ i (v, E) = ψ j (v, E (ij)) ψ j (v, E) jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v, E) = φ(v E ) gdzie v E (S) = v(t ), T CE(S) CE(S) zbiór spójnych (w E) składowych koalicji S.

86 Gry ze strukturami inne Gry z hierarchią graczy: (N, v, L) (N, v) gra kooperacyjna, (N, L) hierarchia drzewo zorientowane; gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii (niekoniecznie bezpośrednio), koalicja S może zrealizować wypłatę v(s) tylko wtedy gdy zawiera wszystkich przełożonych każdego gracza z S (albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)

87 Gry ze strukturami inne Gry z hierarchią graczy: (N, v, L) (N, v) gra kooperacyjna, (N, L) hierarchia drzewo zorientowane; gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii (niekoniecznie bezpośrednio), koalicja S może zrealizować wypłatę v(s) tylko wtedy gdy zawiera wszystkich przełożonych każdego gracza z S (albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S) Gry z prekoalicjami: ((N 1,..., N m ), v (N, v) gra, (N 1,..., N m ) struktura prekoalicji rozbicie zbioru graczy; dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości tylko te przy których obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)

88 Szczególna klasa: gry proste Definicja (Gra prosta) to gra (N, v) spełniająca T v(t ) {0, 1}, U T v(u) v(t ), v(n) = 1. W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(s) = 1, a przegrywająca jeżeli v(s) = 0.

89 Szczególna klasa: gry proste Definicja (Gra prosta) to gra (N, v) spełniająca T v(t ) {0, 1}, U T v(u) v(t ), v(n) = 1. W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(s) = 1, a przegrywająca jeżeli v(s) = 0. Uwaga (Rdzeń gry prostej) Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) N zbiorem graczy z prawem weta w tej grze, to n C(v) = {(x 1, x 2,... x n ) : x 1,... x n 0, x i = 1 oraz j V (v) x j = 0} jeżeli V (v), C(v) = jeżeli V (v) =. i=1

90 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ.

91 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości.

92 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości. Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.

93 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). Uwaga { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Istnieją gry proste ( 5 osobowe) nie będące grami ważonej większości. Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier. Ilu co najmniej?

94 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,

95 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję, gra prosta opisuje reguły jej podejmowania które koalicje mogą zgodnie zadecydować bez względu na zdanie innych graczy,

96 Gry proste: ważona większość i indeksy siły Definicja (Gra ważonej większości) w = [λ 1, λ 2,..., λ n ; µ] ; w(s) = (λ 1, λ 2,..., λ n wagi graczy, µ próg większości). { 1 gdy i S λ i µ, 0 gdy i S λ i < µ. Uwaga (Gry proste w naukach politycznych) Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję, gra prosta opisuje reguły jej podejmowania które koalicje mogą zgodnie zadecydować bez względu na zdanie innych graczy, a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły miarą siły graczy w zgromadzeniu decyzyjnym.

97 Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i.

98 Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy.

99 Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E

100 Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E 2 constrained equal award (CEA) : x i = min(d i, c) gdzie c - jedyna taka liczba że min(d j, c) = E j N

101 Spójność wartości podział masy upadłościowej Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej) N zbiór wierzycieli, d i wierzytelność gracza i, E masa upadłościowa, E < D := i N d i. To wyznacza dwie gry: v(t ) = (E j T d j) + to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy, w(t ) = min(e, j T d j) to ile T może wyrwać dla siebie w systemie kto pierwszy ten lepszy. Metody podziału masu upadłościowej: 1 proporcjonalna : x i = d i D E 2 constrained equal award (CEA) : x i = min(d i, c) gdzie c - jedyna taka liczba że min(d j, c) = E 3 talmudyczna nukleolus gry v 4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w). j N

102 Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)).

103 Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: Uwaga j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). (Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)

104 Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: Uwaga j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). (Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA) Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodze racjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).

105 Spójność wartości cd. Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985) Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równą rozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną w następującym sensie: j,k N t j (d, E) = t j (d k, E t k (d, E)). Uwaga Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodze racjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000). Definicja (Spójność wartości ogólna) Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnej gry (N, v), koalicji S i gracza j S zachodzi równość ψ j (R S (v, ψ)) = ψ j (v).

106 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi

107 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia

108 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy

109 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi

110 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej

111 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej Gry bez wypłat ubocznych

112 I dalej... Inne wartości gier, własności i związki między nimi Rozwiązania multifunkcje alternatywne wobec rdzenia Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawanie graczy Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inne porozumienia między nimi Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadze pewnej gry niekooperacyjnej Gry bez wypłat ubocznych...