Ruletka czy można oszukać kasyno?

Transkrypt

1 23 stycznia 2017 Ruletka czy można oszukać kasyno? M. Dworak, K. Maraj, S. Michałowski

2 Plan prezentacji Podstawy ruletki System dwójkowy (Martingale) Czy system rzeczywiście działa? 1/22

3 Podstawy ruletki Podstawy ruletki 2/22

4 Zasady gry 1. Gracze przy stole wnoszą swoje zakłady. 2. Krupier upuszcza kulkę na koło ruletki tak, aby przemieszczała się w przeciwnym kierunku do wirującego koła. 3. Gdy kulka zatrzyma się na którymś z pól, krupier sprawdza, kto wygrał. 4. Zwycięzcy odbierają nagrody zgodne z tabelą wypłat. Podstawy ruletki 3/22

5 Układ na kole Podstawy ruletki 4/22

6 Prawdopodobieństwo wygrania zakładu p - ilość obstawionych pól n - ilość pól z zerami Szansa trafienia: Obliczanie kursu kasyna: Średni zwrot zakładu: p (36 + n) 36 p p (36 + n) 36 p = 36 (36 + n) Podstawy ruletki 5/22

7 Tabela Podstawy ruletki 6/22

8 System dwójkowy (Martingale) System dwójkowy (Martingale) 7/22

9 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, System dwójkowy (Martingale) 8/22

10 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, System dwójkowy (Martingale) 8/22

11 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 4 zł, System dwójkowy (Martingale) 8/22

12 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 4 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 8 zł, System dwójkowy (Martingale) 8/22

13 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 4 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 8 zł, wypada czarne, wygrywamy 2 8 = 16 zł, System dwójkowy (Martingale) 8/22

14 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 4 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 8 zł, wypada czarne, wygrywamy 2 8 = 16 zł, wydaliśmy = 15 zł, więc wygraliśmy 1 zł. System dwójkowy (Martingale) 8/22

15 Zasada działania systemu dwójkowego System dwójkowy polega na podwajaniu postawionej stawki aż do momentu wygranej. Używa się go do obstawiania pól czarnych lub czerwonych. Przykład: Stawiamy 1 zł na czarne, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 2 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 4 zł, wypada czerwone (przegrywamy) i stawiamy 8 zł, wypada czarne, wygrywamy 2 8 = 16 zł, wydaliśmy = 15 zł, więc wygraliśmy 1 zł. Oczywiście, możemy stosować te zasady jedynie wtedy, gdy dysponujemy wystarczającym kapitałem do obstawiania kolejnych zakładów. System dwójkowy (Martingale) 8/22

16 Wygrana przy nieskończonym kapitale początkowym Pokażemy teraz, że gdy dysponujemy nieskończonym kapitałem to końcowa wygrana zawsze jest taka sama jak wielkość pierwszego zakładu. Niech Y będzie czasem oczekiwania na pierwszy sukces, a k wielkością pierwszego zakładu. Wtedy wygrana W wyraża się wzorem: W = (k k k 2 Y 1 ) + 2 k 2 Y 1 Y 1 W = k 2 Y k 2 l = k 2 Y l=0 Y l=1 k 2 l 1 = k 2 Y k 1 2Y 1 2 = = k 2 Y + k (1 2 Y ) = k 2 Y k 2 Y + k = k. System dwójkowy (Martingale) 9/22

17 Czy system rzeczywiście działa? Czy system rzeczywiście działa? 10/22

18 "Nie ma innej możliwości wygrania w ruletkę, niż zgarnąć ze stołu pieniądze, gdy krupier się zagapi." Albert Einstein Czy system rzeczywiście działa? 11/22

19 Ile razy możemy przegrać z kapitałem początkowym K? Załóżmy teraz, że dysponujemy pewnym skończonym kapitałem początkowym K. Ile zakładów z rzędu możemy przegrać zanim skończą się nam pieniądze, gdy k to wielkość pierwszego zakładu? Szukamy takiego n, że: ( n 1) k K k 1 2n 1 2 ( n) k > K K < k 1 2n n 1 K k < 2n n K k + 1 < 2n+1 ( ) ( ) K Kk n log 2 k + 1 < n + 1 n = log Czy system rzeczywiście działa? 12/22

20 Ile razy możemy przegrać zaczynając z kapitałem K? Przykładowo gdy zaczynamy mając K = 1023 zł, a nasz pierwszy zakład wynosi k = 1 zł, przegranie 10 zakładów z rzędu kończy grę. ( ) 1023 n = log = 10 1 Sprawdzenie: = Czyli po 10 przegranych zakładach z rzędu suma wydanych pieniędzy jest równa 1023 zł, czyli zostało nam 0 zł i nie możemy kontynuować gry. Czy system rzeczywiście działa? 13/22

21 Wynik serii zakładów do pierwszej wygranej lub ruiny gracza Jeżeli za grę uznajemy serię zakładów w systemie dwójkowym, która kończy się gdy wygramy k zł albo przegramy ( tyle pieniędzy, ) że nie stać nas na kolejny zakład, to dla n K = log Kk wynik gry W K wynosi { k, gdy Y < n K, W K = k (2 n k 1), gdy Y n K, a stan finansów po grze { K + k, gdy Y < n K, F K = K k (2 n K 1), gdy Y n K. Czy system rzeczywiście działa? 14/22

22 Prawdopodobieństwo ruiny gracza w serii zakładów do pierwszej wygranej lub ruiny gracza Obliczmy teraz jakie jest prawdopodobieństwo, że gra skończy się na minusie, tzn. przegramy n K zakładów z rzędu. P(W 0) = P(Y n K ) = ( ) 19 nk = 37 W szczególności dla K = 1023, k = 1 mamy P(W 0) = ( ) ( ) 19 log2 ( K +1) k 37 Jak widzimy szansa na przegraną jest znikoma, jednak jeśli tak się stanie, to przegramy wszystkie pieniądze. Czy system rzeczywiście działa? 15/22

23 Kapitał, dla którego moment ruiny będzie o jeden zakład późniejszy niż dla K Rozważmy tylko kapitały początkowe postaci K = 2 j 1, j N, oraz k = 1 zł. Przy takich założeniach przegranie gry skutkuje tym, że zostaje nam 0zł. Znajdźmy taki kapitał początkowy K 1, że n K1 = n K + 1. Czy system rzeczywiście działa? 16/22

24 Kapitał, dla którego moment ruiny będzie o jeden zakład późniejszy niż dla K Rozważmy tylko kapitały początkowe postaci K = 2 j 1, j N, oraz k = 1 zł. Przy takich założeniach przegranie gry skutkuje tym, że zostaje nam 0zł. Znajdźmy taki kapitał początkowy K 1, że n K1 = n K + 1. ( ) K1 log 2 k + 1 = n K + 1 K 1 k + 1 = 2n K+1 ( ) K 1 = 2 nk+1 1 k K 1 = 2 n K+1 1. Czy system rzeczywiście działa? 16/22

25 Osiągnięcie kapitału, dla którego moment ruiny będzie o jeden zakład późniejszy niż dla K Obliczmy teraz, ile gier musimy wygrać, aby nasz kapitał K powiększył się do kapitału K 1. Przyjmujemy, że po wygranej grze całą wygraną odkładamy na bok i operujemy w kolejnej grze tylko kapitałem początkowym K. Pieniądze z wygranych nie biorą udziału w kolejnych grach, dopóki nie osiągniemy kapitału K 1. Jeśli przegramy grę przed osiągnięciem kapitału K 1, kończymy obstawianie. Czy system rzeczywiście działa? 17/22

26 Osiągnięcie kapitału, dla którego moment ruiny będzie o jeden zakład późniejszy niż dla K Obliczmy teraz, ile gier musimy wygrać, aby nasz kapitał K powiększył się do kapitału K 1. Przyjmujemy, że po wygranej grze całą wygraną odkładamy na bok i operujemy w kolejnej grze tylko kapitałem początkowym K. Pieniądze z wygranych nie biorą udziału w kolejnych grach, dopóki nie osiągniemy kapitału K 1. Jeśli przegramy grę przed osiągnięciem kapitału K 1, kończymy obstawianie. N K = (K 1 K) 1 k N K = (( 2 n K+1 1 ) (2 n K 1) ) 1 k N K = 2 n K+1 2 n K N K = 2 n K. Czy system rzeczywiście działa? 17/22

27 Prawdopodobieństwo osiągnięcia kapitału K 1 Model: schemat Bernoulliego, sukces - przegranie n K zakładów z rzędu, p = ( 19 37) nk. W 2 n K grach nie przegramy nk zakładów z rzędu, czyli będzie 0 sukcesów w 2 n K próbach. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia to = ( 1 ( 2 n K 0 ) (( ) nk ) 0 ( ( ) nk ) 2 n K 19 = 37 ( ) nk ) 2 n K ( ) 19 Kk, gdzie n K = log Czy system rzeczywiście działa? 18/22

28 Prawdopodobieństwo osiągnięcia kapitału K 1 dla K = 2 j 1 i k = 1 Rozważamy tutaj przypadek, że nasz kapitał jest postaci K = 2 j 1 dla pewnego j N, oraz k = 1 zł. W takim przypadku n K upraszcza się do postaci ( 2 j ) 1 n K = log = log k 2 2 j = j. Wstawiając do wzoru z poprzedniego slajdu dostajemy prawdopodobieństwo osiągnięcia kapitału K 1 jako funkcję K: P(X = 0) = f(k) = ( 1 ( ) ) 19 j 2 j, dla K = 2 j Czy system rzeczywiście działa? 19/22

29 Wykres prawdopodobieństwa osiągnięcia kapitału K 1 w zależności od K W taki sposób funkcja f(k) przedstawia się na wykresie Czy system rzeczywiście działa? 20/22

30 Wnioski Jak widzimy prawdopodobieństwo powiększenia kapitału K do kapitału K 1 jest niewielkie. Największe jest dla K = 15 i wynosi Co ciekawe, dla K dążącego do nieskończoności, f(k) zbiega do zera. Czyli im większy mamy kapitał początkowy tym mniejsze prawdopodobieństwo osiągnięcia pożądanego przez nas kapitału K 1. Dochodzimy więc do wniosku, że Albert Einstein miał rację, nie ma skutecznego sposobu na wygranie w ruletkę. Czy system rzeczywiście działa? 21/22

31 Dziękujemy za uwagę. Czy system rzeczywiście działa? 22/22