Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Gry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej"

Łukasz Wróbel
8 lat temu
Przeglądów:

1 Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej

2 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,

3 Diagram przesunięć

4 Analiza Dwie równowagi czyste: BAA =2,-4,2; AAB=3,-2,-1 Równowagi nie są ani wymienne, ani ekwiwalentne Gra jest o sumie zerowej Dopuszczając komunikację, umożliwiamy graczom tworzenie koalicji. Na przykład Kolumna i Warstwa mogą zjednoczyć się przeciwko Wierszowi. Otrzymamy grę dwuosobową o sumie zerowej

5 Koalicja: Kolumna +Warstwa K+Wa W AA BA AB BB A B Optymalna strategia Wiersza 3/5A+2/5B Optymalna strategia koalicji 4/5BA+1/5BB Wartość gry -4,4-4,4 jest zatem poziomem bezpieczeństwa Wiersza Kolumna ma zatem grać zawsze B, zaś Warstwa 4/5A+1/5B

6 Koalicja: Warstwa+Wiersz W+Wa K AA BA AB BB A Optymalna strategia Kolumny A Optymalna strategia koalicji BA Wartość gry -4, -4 jest zatem poziomem bezpieczeństwa Kolumny Warstwa ma zatem grać zawsze B, zaś Wiersz A B

7 Koalicja: Wiersz+ Kolumna W+K Wa AA BA AB BB A B Optymalna strategia Warstwy 3/7A+4/7B Optymalna strategia koalicji 6/7AA+1/7BA Wartość gry (-1,43) -1,43 jest zatem poziomem bezpieczeństwa Warstwy Kolumna ma zatem grać zawsze A, zaś Wiersz 6/7A+1/7B

8 Jak podzieli się wypłata w koalicji? 3/5.4/5 ABA + 3/5.1/5 ABB + 2/5.4/5 BBA + 2/5.1/5 BBB = 12/25.(-4,3,1) +3/25.(-6,-6,12) + 8/25.(-5,-5,10) + 2/25.(-2,,3,-1) = (-4,40; -0,64; 5,04 ) Warstwa zdecydowanie zyskuje. Kolumna i tak ma lepiej niż jej poziom bezpieczeństwa. W drugim przypadku (koalicja Wiersz+Warstwa) dostajemy wypłaty: (2,00 ; -4,00 ; 2,00) W trzecim (koalicja Wiersz+Kolumna): (2,12 ; -0,69 ; -1,43) Wiersz woli koalicję z Kolumną. Kolumna woli Warstwę. Warstwa woli Kolumnę. Możemy przewidywać, że zostanie zawiązana koalicja Kolumna+Warstwa. Jest to analiza gry bez wypłat ubocznych

9 Założenia (vn-m) Gracze mogą się ze sobą komunikować i zawierać koalicje. Gracze mogą sobie przekazywać wypłaty uboczne. Założenie 2 wymaga, aby użyteczności były transferowalne między graczami, a także ich wartości muszą być porównywalne dla wszystkich graczy

10 Gry koalicyjne w postaci funkcji charakterystycznej DEFINICJA. Gra w postaci funkcji charakterystycznej to para (N, v), gdzie N jest zbiorem graczy, a v: P(N) R jest funkcją Liczbę v(s) nazywamy wartością koalicji S. Na ogół zakładamy, że v(ø)=0. Grę w postaci normalnej można przekształcić do funkcji charakterystycznej: v(s) to poziom bezpieczeństwa S w dwuosobowej grze między S i N\S. W przykładzie:v(ø)=0, v(w)=-4,4, v(k)=-4, v(wa)=-1,43, v(kwa)=4,4,v(wwa)=4, v(wk)=1,43, v(wkwa)=

11 Funkcja charakterystyczna nie musi pochodzić od postaci normalnej Przykład (podział dolara): Trzech graczy dostanie dolara, jeśli uprzednio ustalą w głosowaniu większościowym sposób podzielenia go między siebie. v(ø)=v(1)=v(2)=v(3)=0, v(12)=v(13)=v(23)=v(123)=1 Trzy firmy telekomunikacyjne: Western Union(W), Hughes Aircraft(H) i General Telephone(G) rozważają wysłanie satelitów samodzielnie lub użytkowanie wspólne: v(ø)=0, v(w)=3, v(h)=2, v(g)=1, v(wh)=8, v(wg)=6,5, v(hg)=8,2, v(whg)=11,

12 Definicja: Gra jest superaddytywna, jeśli dla każdej pary rozłącznych koalicji v(sυt) v(s)+v(t) Podział dolara jest grą superaddytywną. Gra powstała z postaci normalnej przez przyporządkowanie poziomów bezpieczeństwa zawsze jest superaddytywna. Gra satelitów jest superaddytywna, choć nie jest grą o stałej sumie. Uwaga: rozważanie funkcji charakterystycznej nie zawsze daje sensowny wynik

13 3-osobowy dylemat więźnia Warstwa C Warstwa D C D C D C 1,1,1 0,3,0 C 0,0,3-2,2,2 D 3,0,0 2,2,-2 D 2,-2,2-1,-1,

14 Analiza przykładu Gra jest symetryczna Dla każdego z graczy strategia D dominuje C Jedyną równowagą jest DDD z wypłatami (-1,-1,-1) Ten wynik jest zdominowany w sensie Pareto przez CCC =1,1,1 Dopuszczamy możliwość zawierania koalicji, np. Kolumna +Warstwa CC CD DC DD C 1,2 0,3 0,3-2,4 D 3,0 2,0 2,0-1,

15 Analiza -cd Gra Wiersza ma punkt siodłowy DDD, zatem poziom bezpieczeństwa to -1. Gra koalicji ma dwa punkty siodłowe DCD i DDC o wartości 0. Stąd v(ø)=0, v(w)=v(k)=v(wa)=-1, v(wkwa)=3, v(wk)=v(wwa)=v(kwa)=0 Wydaje się, że najlepsza byłaby wielka koalicja CCC Ale analiza gry przeciw koalicji wskazuje, że najlepiej dla Wiersza grać D i zostawić koalicję z tym problemem. To daje wypłaty (2,0)!

16 Wartość Shapley a Imputacją w grze n-osobowej nazywamy każdy wektor (x 1,, x 2,,, x n

Podobne dokumenty

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a