Load balancing games
|
|
- Henryka Witkowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Load balancing games Marcin Witkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 11 grudnia / 34
2 Szeregowanie zadań Przyporządkowanie zbioru zadań do zbioru maszyn, w ten sposób, aby obciążenie wśród maszyn było rozłożone możliwie równomiernie. Oznaczenia: n zadań J = {J 1, J 2,..., J n } = [n], m maszyn M = {M 1, M 2,..., M m } = [m], wektor czasów wykonywania p i = [p i1, p i2,..., p im ] T, całkowitego obciążenia maszyny l k. 2 / 34
3 Szeregowanie zadań Naszym celem będzie minimalizacja kryterium długości uszeregowania: Możliwe warianty: maszyny identyczne max k=1,...,m l k w i - wielkość zadania J i - czas jego wykonywania na najwolniejszej z maszyn. 3 / 34
4 Szeregowanie zadań Naszym celem będzie minimalizacja kryterium długości uszeregowania: Możliwe warianty: maszyny identyczne maszyny jednorodne max k=1,...,m l k w i - wielkość zadania J i - czas jego wykonywania na najwolniejszej z maszyn. 3 / 34
5 Szeregowanie zadań Naszym celem będzie minimalizacja kryterium długości uszeregowania: Możliwe warianty: maszyny identyczne maszyny jednorodne maszyny dowolne max k=1,...,m l k w i - wielkość zadania J i - czas jego wykonywania na najwolniejszej z maszyn. 3 / 34
6 4 / 34 Przykład
7 Teoria Gier Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów [Wikipedia]. W naszych rozważaniach będziemy zakładać, że: gracze dokonują samolubnych wyborów (zależy im jedynie na optymalizowaniu własnego kosztu) 5 / 34
8 Teoria Gier Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów [Wikipedia]. W naszych rozważaniach będziemy zakładać, że: gracze dokonują samolubnych wyborów (zależy im jedynie na optymalizowaniu własnego kosztu) gracze podejmują racjonalne wybory (nie wybierając ruchów pogarszających ich funkcję kosztu) 5 / 34
9 Teoria Gier Definicja (Gra strategiczna) Trójkę G =< N, (A i ), ( i ) > nazywamy grą strategiczną, gdzie: N - skończony zbiór graczy A i - zdefiniowany dla każdego gracza i N niepusty zbiór akcji, które może wykonać gracz i i - zdefiniowana dla każdego gracza i N relacja słabego porządku na zbiorze A = i N A i Wektor decyzji graczy nazwiemy profilem akcji graczy. 6 / 34
10 Teoria Gier Preferencje graczy będą modelowane przez funkcję kosztu U : A R, gdzie x y wtedy i tylko wtedy gdy U(x) U(y). W takim wypadku zamiast < N, (A i ), ( i ) > możemy zdefiniować grę jako < N, (A i ), (u i ) >. Kosztem socjalnym gry nazywamy miarę jakości rozwiązania z punktu widzenia użytkownika spoza systemu. W naszym przypadku będzie to całkowita długość uszeregowania. 7 / 34
11 Równowaga Nasha (NE) Definicja (Nash 1950) Gra osiąga stan równowagi Nasha jeżeli żaden z graczy i nie może zmienić wybranej akcji ai, tak aby poprawić wartość własnej funkcji kosztu pod warunkiem, że każdy inny gracz j wybierze swoją akcję aj. Inaczej mówiąc nawet gdyby gracz i znał wcześniej decyzje swoich przeciwników to nie zmieniłby swojej decyzji (przy racjonalnych zachowaniach graczy). Uwaga Jako stan równowagi uważamy wektor wyborów każdego z graczy spełniający powyższe warunki. 8 / 34
12 Silna równowaga (SE) Definicja (Aumann 1959) Gra osiąga stan silnej równowagi jeżeli nie można wybrać podzbioru zbioru graczy (koalicji) takiego, że w wyniku zmiany ich ruchów każdy z graczy z koalicji poprawi swoją wartość funkcji kosztu. Uwaga Jako stan silnej równowagi uważamy wektor wyborów każdego z graczy spełniający powyższe warunki. 9 / 34
13 Przykład - dylemat więźnia P N P 3, 3 0, 4 N 4, 0 1, 1 Tabela: Dylemat więźnia - P -przyzna się N - nie przyzna się 10 / 34
14 Przykład - dylemat więźnia P N P 3, 3 0, 4 N 4, 0 1, 1 Tabela: Dylemat więźnia - P -przyzna się N - nie przyzna się Gra ma unikalną równowagę Nasha (Przyzna,Przyzna). 10 / 34
15 Przykład - dylemat więźnia P N P 3, 3 0, 4 N 4, 0 1, 1 Tabela: Dylemat więźnia - P -przyzna się N - nie przyzna się Gra ma unikalną równowagę Nasha (Przyzna,Przyzna). Gra nie ma silnej równowagi. 10 / 34
16 Gra szeregująca zadania Definicja Grą szeregującą zadania nazywamy grę, w której zbiorem graczy jest zbiór zadań a dostępnym zbiorem akcji dla każdego gracza jest zbiór maszyn. Kosztem każdego z graczy jest obciążenie maszyny, którą wybrał a kosztem socjalnym jest całkowita długość uszeregowania. Stwierdzenie Przyporządkowanie A jest równowagą Nasha wtedy i tylko wtedy gdy i J, k M : l A(i) l k + p ik. 11 / 34
17 12 / 34 Gra szeregująca zadania - przykład
18 Gra szeregująca zadania - przykład a) NE 12 / 34
19 Gra szeregująca zadania - przykład a) NE b) SE 12 / 34
20 Gra szeregująca zadania - przykład a) NE b) SE OPT = 8 12 / 34
21 13 / 34 Gra szeregująca zadania - przykład 2
22 Dlaczego warto zajmować się grami? Nie zawsze mamy pełną kontrolę nad systemem. 14 / 34
23 Dlaczego warto zajmować się grami? Nie zawsze mamy pełną kontrolę nad systemem. Użytkownicy rywalizujący o zasoby (Internet): 14 / 34
24 Dlaczego warto zajmować się grami? Nie zawsze mamy pełną kontrolę nad systemem. Użytkownicy rywalizujący o zasoby (Internet): * Przeglądarki, rutery, serwery 14 / 34
25 Dlaczego warto zajmować się grami? Nie zawsze mamy pełną kontrolę nad systemem. Użytkownicy rywalizujący o zasoby (Internet): * Przeglądarki, rutery, serwery Samolubność - użytkownicy będą łamać ustalone zasady jeżeli będzie się to wiązać z ich zyskiem 14 / 34
26 Gry zgromadzeniowe (congestion games) Definicja (Rosenthal (1973)) Grami zgromadzeniowymi (ang. congestion games) nazywamy gry, w których wartość funkcji kosztu zależy tylko od liczby graczy, którzy wybiorą tę samą lub przecinającą się strategię. Niech A = i N A i będzie zbiorem wszystkich możliwych profili. Dla danego a A oraz j M, niech n j ( a) będzie liczbą graczy którzy w danym profilu wybrali obiekt j. Wtedy funkcja kosztu gracza i wynosi u i ( a) = j a i c j (n j ( a)). 15 / 34
27 Gry potencjalne (potencial games) Definicja (Funkcja porządkowo potencjalna) Funkcja Φ : A R jest funkcją porządkowo potencjalną dla gry G jeżeli a A ai,b i A i (Φ(b i, a i ) Φ(a i, a i ) < 0) (u i (b i, a i ) u i (a i, a i ) < 0), Definicja (Monderer and Shapley 1991) Gra G jest nazywana grą potencjalną (grą z potencjałem) jeżeli istnieje dla niej funkcja porządkowo potencjalna. 16 / 34
28 17 / 34
29 Congestion vs Potencial Twierdzenie (Monderer and Shapley 1994) Każda gra zgromadzeniowa jest grą potencjalną. Dowód. P(A) = n j (A) u j (l). j n i=1 Ai l=1 18 / 34
30 Congestion vs Potencial Definicja (Funkcja ściśle potencjalna) Funkcja Φ : A R jest funkcją ściśle potencjalną gry G jeżeli a A ai,b i A i Φ(b i, a i ) Φ(a i, a i ) = u i (b i, a i ) u i (a i, a i ). Twierdzenie Każda skończona gra potencjalna jest izomorficzna z pewną grą zgromadzeniową. 19 / 34
31 Gra szeregująca zadania Lemat Jeżeli czasy wykonania zadań są liczbami naturalnymi to funkcja postaci Φ(A) = m k=1 4 l k(a) jest funkcją porządkowo potencjalną dla gry szeregującej zadania. Dowód. Rozważmy przypadek kiedy pojedyncze zadanie zmienia wybór maszyny M 1 na inną M 2. Niech u i będzie zmianą funkcji kosztu wywołaną zmianą uszeregowania: u i = u i (M 2, a i ) u i (M 1, a i ) = l 2 ( a) + p i2 l 1 ( a). Zmiana funkcji Φ wyniesie wtedy: 20 / 34 Φ = 4 l 1( a) p i1 + 4 l 2( a)+p i2 4 l 1( a) 4 l 2( a)
32 Gra szeregująca zadania Lemat Funkcja postaci Φ(A) = m k=1 4 l k(a) jest funkcją porządkowo potencjalną dla gry szeregującej zadania. Dowód. Jeżeli u i < 0 l 2 ( a) + p i2 < l 1 ( a) l 2 ( a) + p i2 + 1 l 1 ( a). Dodatkowo l 1 ( a) p i1 + 1 l 1 ( a) (ponieważ p ik N + ). Z obu nierówności otrzymujemy: {4 l 1( a) p i1 4 l 1( a) 1, 4 l 2( a)+p i2 4 l 1( a) 1 } Φ 2 4 l 1( a) 1 4 l 1( a) = 2 4 l 1( a) 1 < 0 21 / 34
33 Gra szeregująca zadania Lemat (Even-dar, E., A. Kesselman, and Y. Mansour. 2003) Każda instancja gry równoważącej obciążenie posiada przynajmniej jeden stan równowagi Nasha. Dowód. Gra jest w stanie równowagi Nasha w punkcie, w którym funkcja porządkowo potencjalna osiąga (lokalne) minimum. 22 / 34
34 Cena anarchii (price of anarchy) Definicja Ceną anarchii nazywamy stosunek najgorszego rozwiązania będącego równowagą Nasha do rozwiązania optymalnego PoA(m) = max G G max P Nash(G) cost(p) opt(g) Podobna definicja dla silnej ceny anarchii. 23 / 34
35 Oszacowania - maszyny identyczne Podobne do ograniczenia zachłannego algorytmu Grahama Twierdzenie PoA(m) = ( 2 2 ) m + 1 Analogicznie do PoA instancja dla której Twierdzenie SPoA(m) = ( 2 2 ) m / 34
36 Oszacowania - maszyny identyczne Dowód. Obciążenie najbardziej obciążonej maszyny to nasz koszt. Najbardziej obciążona maszyna musi wykonywać co najmniej 2 zadania. Wtedy z warunku na równowagę Nasha otrzymujemy: l j l j p i cost(a) 1 2 cost(a) = 1 2 cost(a). Zauważmy teraz, że koszt optymalnego przyporządkowania nie może być mniejszy od równomiernego obciążenia wszystkich maszyn, stąd Stąd: 25 / 34 cost(a) opt(g) (m + 1)cost(A). 2m 2m ( m + 1 opt(g) = 2 2 ) opt(g). m + 1
37 Oszacowania - maszyny identyczne Dowód. Rozważmy następujące grę o n = 2m zadaniach takich, że: p 1 = = p m = 1 oraz p m+1 = p 2m = 1 m. Optymalnym rozwiązaniem jest uszeregowanie o długości m. Rozważmy profil akcji graczy s postaci: i {1,..., m 2}, s i = M i s m 1 = s m = M m 1, s m+1 = = s 2m = M m. 26 / 34
38 Oszacowania - maszyny jednorodne Czumaj, Vöcking (2002) (rozwiązanie rekurencji) Twierdzenie PoA(m) = O ( log m ) log log m Fiat, Levy, Kaplan (2007) (analogicznie do dowodu Czumaja) Twierdzenie ( ) log m SPoA(m) = Θ (log log m) 2 27 / 34
39 Idea: Oszacowania - maszyny jednorodne Γ(z) = 0 t z 1 e t. Niech c = cost(a)/opt(g). Pokazujemy, że c Γ 1 (m), gdzie Γ 1 oznacza odwrotność funkcji gamma Eulera. Bez straty ogólności załóżmy, że v 1 v 2 v m oraz niech L = [1, 2,..., m] będzie listą maszyn posortowaną nierosnącą względem prędkości. Dla k {0,..., c 1}, oznaczmy przez L k maksymalny prefiks L taki, że obciążenie każdej z maszyn z L k wynosi co najmniej k opt(g). Należy pokazać, że zachodzi następująca zależność rekurencyjna 28 / 34 L k (k + 1) L k+1 (0 k c 2) L c 1 1.
40 Oszacowania - maszyny jednorodne L k (k + 1) L k+1 (0 k c 2) L c 1 1. Po rozwiązaniu tej rekurencji otrzymujemy, że L 0 (c 1)! = Γ(c). Zauważmy, że L 0 = L i stąd L 0 = m. Implikuje to, że m Γ(c), czyli c Γ 1, co dowodzi twierdzenia. 29 / 34
41 Oszacowania - maszyny dowolne Awerbuch, Azar, Richter (2003) Twierdzenie PoA(m) s Fiat, Levy, Kaplan (2007) Twierdzenie SPoA(m) = m w ij, gdzie s = max i,j,l:w ij < w lj 30 / 34
42 Oszacowania - maszyny dowolne Twierdzenie SPoA(m) = m. Dowód. s - stan silnej równowagi; M 1,..., M m - maszyny uporządkowane nierosnąco względem obciążeń w s; l 1 l 2 l m będą tymi obciążeniami. Zauważmy, że l m opt. Jeżeli l m > opt, wtedy wszyscy gracze zyskują w wyniku zmiany na uszeregowanie optymalne, co przeczy temu, że s jest silną równowagą. Wystarczy pokazać, że że l i l i+1 + opt dla każdego 1 i m 1. Stosując powyższy argument po kolei dla wszystkich i od 1 do m otrzymujemy, że l 1 l m + (m 1)opt. Dodając do tego trywialną własność l m opt, otrzymujemy tezę twierdzenia. 31 / 34
43 Oszacowania - maszyny dowolne M 1 M 2 M 3 M 4 J J J J Tabela: Przykład gry szeregującej zadania na m = 4 maszynach dowolnych, dla której SPoA = m. Grubym kółkiem obrysowane jest uszeregowanie będące silną równowagą, cienkimi kółkami obrysowano rozwiązanie optymalne. 32 / 34
44 Bibliografia 33 / 34 Nir Andelman, Michal Feldman, and Yishay Mansour. Strong price of anarchy. In SODA 07, pages SIAM, Baruch Awerbuch, Yossi Azar, Yossi Richter, and Dekel Tsur. Tradeoffs in worst-case equilibria. Theor. Comput. Sci., 361(2): , Amos Fiat, Meital Levy, Haim Kaplan, and Svetlana Olonetsky. Strong price of anarchy for machine load balancing. IBFI, Schloss Dagstuhl, Germany, Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, et al. Algorithmic Game Theory. Cambridge University Press, September 2007.
45 34 / 34 Pytania?
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoMateriał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak
Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowoWstęp do projektowania mechanizmów
Wstęp do projektowania mechanizmów Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa 4.03.2011 - p. 1/43 Plan wykładu Wstęp Wybór społeczny Paradox Condorcet a Twierdzenie Arrow a Mechanizmy pieniężne Mechanizmy
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoTeoria Gier i Optymalne Wykorzystanie Wspólnych Zasobów p. 1/4
Teoria Gier i Optymalne Wykorzystanie Wspólnych Zasobów p. 1/4 Teoria Gier i Optymalne Wykorzystanie Wspólnych Zasobów Krzysztof R. Apt CWI, Amsterdam Uniwersytet Amsterdamski Teoria Gier i Optymalne Wykorzystanie
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz
Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoJak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta
Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej Poznań, 13.05.2017 r. Pojęcia wstępne u - funkcja użyteczności u : R R, u - ciągła, ściśle
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zadań. Wykład nr 3. dr Hanna Furmańczyk
Wykład nr 3 27.10.2014 Procesory identyczne, zadania niezależne, podzielne: P pmtn C max Algorytm McNaughtona 1 Wylicz optymalną długość C max = max{ j=1,...,n p j/m, max j=1,...,n p j }, 2 Szereguj kolejno
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoHyper-resolution. Śmieciarki w Manncheim
Hyper-resolution Hyper-resolution Algorytm repeat NGi NGi NGj NGi nowe Nogoods, które da się wywieść z NGi if NGi then NGi NGi NGi roześlij NGi do wszystkich sąsiadów if NGi then stop end until NGi nie
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.2
Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowo1 Funkcje uniwersalne
1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoWartość Shapleya. Oskar Skibski. Institute of Informatics, University of Warsaw. 8 października 2012
Wartość Shapleya Oskar Skibski Institute of Informatics, University of Warsaw 8 października 2012 Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 1 / 17 Przykład Oskar Skibski (University
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoAukcje groszowe. Podejście teoriogrowe
Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Kakutaniego Jarosław GÓRNICKI, Rzeszów
Rys. 1 Twierdzenie Kakutaniego Jarosław GÓRNICKI, Rzeszów W wielu sytuacjach społecznych, ekonomicznych dokonujemy wyborów uwzględniając wybrane oddziaływania zewnętrzne. Modele matematyczne tego typu
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej
13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2013 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowo9. Schematy aproksymacyjne
9. Schematy aproksymacyjne T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, WNT (2004) O.H. Ibarra, C.E. Kim Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14
Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,
Bardziej szczegółowoWykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
Bardziej szczegółowoFiltry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoDowód pierwszego twierdzenia Gödela o. Kołmogorowa
Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o niezupełności arytmetyki oparty o złożoność Kołmogorowa Grzegorz Gutowski SMP II rok opiekun: dr inż. Jerzy Martyna II UJ 1 1 Wstęp Pierwsze twierdzenie o niezupełności
Bardziej szczegółowo