Matematyka ubezpieczeń maj atkowych

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń maj atkowych Zbiór zadań Rafa l Kulik & Ryszard Szekli 28 października 2004 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wroc lawski

2 Spis treści 1 Zadania - Sk ladki i funkcja użyteczności Zadania aktuarialne (z rozwi azaniami)

3 1 Zadania - Sk ladki i funkcja użyteczności 1.1 Zadania aktuarialne (z rozwi azaniami) Zadanie 1 1 Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o w lasności P (X 0) = 1), a Π( ) niech oznacza formu lȩ kalkulacji sk ladki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku liczbȩ nieujemn a lub + ). Która z poniższych piȩciu formu l kalkulacji sk ladki jest addytywna, translatywna oraz iteratywna? (A) Π(X) = (1 + α)e[x], α > 0 (B) Π(X) = E[X] + α V ar[x], α > 0 (C) Π(X) = E[X] + α V ar[x], α > 0 (D) Π(X) = 1 α ln E[eαX ], α > 0 (E) Π(X) = δ E[X]+(1 δ)r 0.1, δ (0, 1),r 0.1 = inf{r : P (X > r) 0.1} W każdym przypadku sprawdzamy, czy chociaż jedna w lasność nie jest spe lniona. (A) - translatywność Π(X + c) = (1 + α)e[x + c] = (1 + α)(e[x] + c) = (1 + α)e[x] + (1 + α)c Π(X) + c = (1 + α)e[x] + c. (B) addytywność Π(X + Y ) = E[X + Y ] + αv ar[x + Y ] = E[X] + E[Y ] + α(v ar[x] + V ar[y ]) = E[X] + αv ar[x] + E[Y ] + αv ar[y ] = Π(X) + Π(Y ). translatywność Π(X+c) = E[X+c]+αV ar[x+c] = E[X]+c+αV ar[x] = Π(X)+c. iteratywność Π(Π(X Θ)) = E[Π(X Θ)] + αv ar[π(x Θ)] = E[E[X Θ] + αv ar[x Θ]] + αv ar[e[x Θ] + αv ar[x Θ]] = E[E[X Θ]] + αe[v ar[x Θ]] + αv ar[e[x Θ] + αv ar[x Θ]] = E[X] + αe[v ar[x Θ]] + αv ar[e[x Θ]] + α 3 V ar[v ar[x Θ] +2αCov[E[X Θ], V ar[x Θ]] = E[X] + αv ar[x] + α 3 V ar[v ar[x Θ] +2αCov[E[X Θ], V ar[x Θ]] Π(X). 1 EA: (9) - AW 3

4 (C) addytywność Π(X + Y ) = E[X + Y ] + α V ar[x + Y ] = E[X] + E[Y ] + α V ar[x] + V ar[y ] Π(X) + Π(Y ) = E[X] + α V ar[x] + E[Y ] + α V ar[y ]. (D) addytywność Π(X + Y ) = 1 α ln E[eα(X+Y ) ] = 1 α ln E[eαX e αy ] = 1 α ln E[eαX ] E[e αy ] = 1 α ln E[eαX ] + 1 α ln E[eαY ] = Π(X) + Π(Y ), translatywność Π(X + c) = 1 α ln E[eα(X+c) ] = 1 α ln E[eαX e αc ] = 1 α ln E[eαX ] + 1 α ln(eαc ) = 1 α ln E[eαc ] + c = Π(X) + c, iteratywność Π(Π(X Θ)) = Π( 1 α ln E[eα(X Θ) ]) = 1 α ln E[eα(1/α ln E[eα(X Θ) ]) ] = 1 α ln E[eln E[eα(X Θ)] ] = 1 α ln E[E[eα(X Θ) ]] = 1 α ln E[eαX ] = Π(X). (E) addytywność Π(X + Y ) = δe[x + Y ] + (1 δ) inf{r : P (X + Y > r) 0.1} = δe[x] + δe[y ] + (1 δ)r 0.1 Π(X) + Π(Y ). Kalkulacja (D) sk ladki spe lnia wszystkie trzy wymienione w lasności. Odpowiedź (D). Zadanie 2 2 Ubezpieczyciel ma portfel niezależnych ryzyk postaci: Klasa Prawd. szkody świadczenie Liczba ryzyk Standardowa 0.20 k 3500 Niestandardowa 0.60 αk 2000 Ubezpieczyciel ustala α i k tak, że zagregowana wielkość szkód S ma wartość oczekiwan a równ a i minimaln a wariancjȩ. Tak zadane α wynosi: 2 EA: (4) - AW 4

5 (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 5 (E) 0 Dane z zadania pozwalaj a znaleźć E[S]: E[S] = k α k = St ad Wariancja wynosi: k(α) = α. V ar[s] = k α 2 k 2 = ( α 2 )k 2. α V ar[s] = ( α2 ) α k2 (α) α k 2 (α). Podstawiaj ac wartość k i przyrównuj ac pochodn a do zera uzyskujemy co daje α = 2. Poprawna jest odpowiedż (A) α = 960α, α Zadanie 3 3 Wartość szkody S ma rozk lad określony na zbiorze N. Sk ladka netto za nadwyżkȩ l acznej wartości szkód S ponad liczbȩ k wynosi: k E[(S k) + ] Wobec tego P (S = 2 S = 3) wynosi: (A) (B) (C) EA: (8) 5

6 (D) (E) E[(S 1) + ] = P (S = 2) + 2P (S = 3) + 3P (S = 4) +... = 5.25, (i) E[(S 2) + ] = P (S = 3) + 2P (S = 4) + 3P (S = 5) +... = 4.55, (ii) E[(S 3) + ] = P (S = 4) + 2P (S = 5) + 3P (S = 6) +... = , (iii) E[(S 4) + ] = P (S = 5) + 2P (S = 6) + 3P (S = 7) +... = (iv) Obliczaj ac różnicȩ (i)-(ii) dostajemy: P (S = 2) + P (S = 3) + P (S = 4) +... = 0.7. Podobnie (iii)-(ii): P (S = 4) + P (S = 5) + P (S = 6) +... = Otrzymane równania odejmiemy stronami. St ad P (S = 2) + P (S = 3) = Odpowiedź (C). Zadanie 4 4 Rozk lad prawdopodobieństwa zmiennej X dany jest w tabeli: x P (X = x) Wyznacz d, jeśli wiadomo, że E[I d (X)] = (A) (B) 3 (C) (D) (E) 4 4 EA: (3) - AW 6

7 Niech d (0, 1): E[I d ] = E[(X d) + ] = n (x i d) + P (X = x i ) i=0 = (0 d) (1 d) (2 d) (5 d) (10 d) (20 d) 0.01 = Wiȩc d = = 2.2 / (0, 1) sprzeczność. Niech d (1, 2): 0.37 = (2 d) (5 d) (10 d) (20 d) = d. St ad d = = 3.4 / (1, 2) sprzeczność. Niech d (2, 5): 0.37 = (5 d) (10 d) (20 d) = d. St ad d = = 4 (2, 5). Poprawna jest odpowiedź (E). Zadanie 5 5 Przyjmijmy oznaczenie: { x d, dla x > d, x d = 0, dla x d. Jeśli wiȩc zmienna losowa Y wyraża wartość szkody, to zmienna Ȳd wyraża nadwyżkȩ szkody ponad d. Za lóżmy, że Y ma rozk lad dyskretny określony na liczbach naturalnych. Jeśli w dodatku ograniczymy zainteresowanie do zmiennych Ȳd o wartościach d = 0, 1, 2, 3,..., to wartości oczekiwane tych zmiennych spe lniaj a zależność rekurencyjn a: E[Ȳd+1] = E[Ȳd] P (Y > d). Jeśli wiadomo, jak pokazać prawdziwość powyższej zależności, latwo wskazać, która z poniższych zależności (dotycz acych momentów zwyk lych drugiego rzȩdu) jest prawdziwa: (A) E[Ȳ 2 d+1 ] = E( Y 2 d) 2 E[Ȳd)] + P (Y > d) (B) E[Ȳ d+1 2 ] = E[ Y 2 ] 2 P (Y > d) d (C) E[Ȳ d+1 2 ] = E[ Y d 2] 2 E[ Y d )] P (Y > d) 5 EA: (5) 7

8 (D) E[Ȳ 2 d+1] = E[ Y 2 d] 2 E[Ȳd] (E) E[Ȳ d+1 2 ] = E( [Y d 2] E[Ȳd)] Odpowiedź (A). E[Ȳ d+1 2 ] = (y d 1) 2 f Y (y) = = y=1 [(y d) 2 2(y d) + 1]f Y (y) = y=d = E[Y 2 d] 2 E[Ȳd)] + P (Y > d). Zadanie 6 6 Preferencje decydenta wyraża funkcja użyteczności u(x) = e 2x. X, Y, Z to wyp laty w trzech różnych grach; X ma rozk lad normalny o średniej 3 i wariancji 2, Y ma rozk lad normalny o średniej 4 i wariancji 3, Z ma rozk lad zdegenerowany: P (Z = 2) = 1. Jeśli a b oznacza, iż decydent preferuje a w stosunku do b, a b oznacza, że jest ze wzglȩdu na a oraz b indyferentny, które z poniższych zdań s a prawdziwe? (A) X Y Z (B) Z X Y (C) X Z Y (D) Z X Y (E) Y X Z Jeśli zmienna X ma rozk lad normalny z parametrami (m, σ 2 ), to jej funkcja 6 EA: (1) - AW 8

9 tworz aca momenty jest postaci: St ad M X (t) = E[e tx ] = = = = = e (tσ)2 2 +tm. + e tx 1 e (x m)2 2σ 2 dx 2πσ 1 (x m)2 tx e 2σ 2 dx = 2πσ 1 e (x (m+σ2 t)) 2 +m 2 (m+σ 2 t) 2 2σ 2 dx 2πσ 1 e (x (m+σ2 t)) 2 2σ 2 2πσ e (σt)2 2 +tm dx = E[u(X)] = E[ e 2X ] = M X ( 2) = e 8/2 6 = e 2, E[u(Y )] = E[ e 2Y ] = M Y ( 2) = e 12/2 8 = e 2, E[u(Z)] = u(2) 1 = e 4 Otrzymaliśmy Z > X Y, czyli poprawna jest odpowiedź (D). Zadanie 7 7 Decydent kieruje siȩ maksymalizacj a wartości oczekiwanej funkcji użyteczności postaci: u(x) = x, posiada maj atek wart 400 i narażony jest na stratȩ X o rozk ladzie trzypunktowym: P (X = 0) = P (X = 50) = P (X = 100) = 1 3. Gotów jest on zap lacić nie wiȩcej niż 30 za pokrycie ryzyka X (lub jego czȩści). Ubezpieczyciele oferuj a wszystkie dopuszczalne kontrakty po cenie równej sk ladce netto. W tych warunkach maksimum oczekiwanej użyteczności decydenta wynosi: (A) 18.4 (B) 18.7 (C) 19.0 (D) 19.3 (E) EA: (10) - AW 9

10 Maksimum E[u(w + I(X) X P )] osi agniȩte jest dla I d (X) = (X d) +. W naszym zadaniu w = 400, P = E[I d (X)] = 30, E[X] = 50. Aby znaleźć takie I d (X), skorzystamy z danych podanych w treści zadania. E[I d (X)] = 30. Niech d (0, 50): E[I d (X)] = E[(X d) + ] = (0 d) (50 d) (100 d) 1 3 = 30. Zatem d = 30. Czyli najwiȩksz a wartość uzyskamy dla I 30 (X). Obliczamy max E[u(w + I(X) X P )] = E[u(400 + I 30 (X) X 30)] = = = St ad poprawna jest odpowiedź (B). Zadanie 8 8 Pewien decydent posiada wyjściowy maj atek w kwocie w = 10. Narażony jest on na stratȩ X o rozk ladzie normalnym z parametrami (µ, σ 2 ) = (2, 6). (Strata jest tutaj terminem umownym, ponieważ z pewnym prawdoodobieństwem bȩdzie ujemna, a wiȩc de facto wyst api zysk). W swoich decyzjach kieruje siȩ maksymalizacj a funkcji użyteczności o postaci: u(x) = exp( 1 5 x). Decydent dokonuje wyboru wspó lczynnika β [0, 1], w efekcie czego w jego udziale pozostanie strata w wysokości β X, natomiast pozosta l a czȩść straty w wysokości (1 β) X pokryje ubezpieczyciel za cenȩ równ a 6 5 (1 β) µ. Decydent wybierze wspó lczynnik β równy: (A) 0 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 2 3 (E) 1 Niech G oznacza sk ladkȩ, jak a decydent gotowy jest zap lacić za ubezpieczenie losowej szkody S = (1 β)x, tzn. zgodnie z za lożeniem G = 6 (1 β) µ. 5 8 EA: (1) - AW 10

11 Z drugiej strony szkoda S ma rozk lad normalny z parametrami (2, 6), funkcja użyteczności jest postaci u(x) = e 1/5x, a maj atek wyjściowy w = 10, wiȩc G spe lnia równanie u(w G) = E[u(w (1 β)s)]. Wstawiaj ac wartość G zależn a od β otrzymujemy równoważne równania: Zatem e 1/5(10 6/5(1 β)2) = E[ e 1/5(10 (1 β)s) ], e 2+12/25(1 β) = e 2 E[e 1/5(1 β)s ], e 38/25 12/25β = e 2 M S (1/5(1 β)) = e 2 e 3/25(1 β)2 +2/5(1 β), Odpowiedź (B) β = (1 β)2 + 2 (1 β). 5 β = 1 3. Zadanie 9 9 Rozk lad wartości szkody X określony jest na zbiorze liczb naturalnych. Mamy nastȩpuj ace dane: Ile wynosi wartość P (X = 8)? Ponieważ st ad d E[X d] E[X 7] + = P (X = 8) + 2P (X = 9) + 3P (X = 10) +, E[X 8] + = P (X = 9) + 2P (X = 10) + 3P (X = 11) +, E[X 7] + E[X 8] + = P (X = 8) + (P (X = 9) + P (X = 10) + ). Z drugiej strony St ad E[X 8] + E[X 9] + = P (X = 9) + P (X = 10) +. E[X 7] + E[X 8] + = P (X = 8) + (E[X 8] + E[X 9] + ) oraz P (X = 8) = E[X 7] + 2E[X 8] + + E[X 9] +. 9 EA: (5) 11

12 Zadanie Dla pewnego ryzyka sk ladka netto za nadwyżkȩ l acznej szkody X ponad d jest dla d [1, 2] dana wzorem E[(X d) + ] = 2 3 d+ 1 2 d d3. Jaki jest zbiór możliwych wartości E[X]? Korzystamy z wypuk lości (na ca lej dziedzinie) funkcji K(d) = E[(X d) + ]. Styczna do K(d) w punkcie 1 ma postać y(x) = 1 1 (x 1) i y(0) = 1 3. Wartość E[X] musi wiȩc być wiȩksza od 1 3. Z drugiej strony E[X 1] = E[(X 1) + ] + E[(X 1)I{X < 1}]. St ad E[X] = E[(X 1) + ] + E[(X 1)I{X < 1}] + 1. Ponieważ E[(X 1)I{X < 1}] ( 1, 0) mamy Czy czegos nie gubie??? E[X] < E[(X 1) + ] + 1 = Zadanie O rozk ladzie szkody Y wiadomo, że jest to rozk lad ci ag ly z dystrybuant a ściśle rosn ac a na przedziale (0, M) oraz P (Y (0, M)) = 1. Wiemy, że dla d (4, 7) mamy E[(Y d) + ] = (10 d) Jaki jest zbiór dopuszczalnych wartości E[Y ] oraz M? Postȩpuj jak w zadaniu 10. Zadanie O rozk ladzie zmiennej losowej X wiadomo, iż P (X = 0) = 0.8, P (X > 0) = 0.2, E[X X > 0] = 100. Jaki jest zbiór dopuszczalnych wartości dla E[I 10 (X)]? Korzystamy z wypuk lości (na ca lej dziedzinie) funkcji K(d) = E[(X d) + ]. Mamy E[I 0 (X)] = E[X] = E[X X > 0] P (X > 0) = 20. Na odcinku (0, 10) funkcja K(d) musi zmniejszyć sw a wartość co najmniej o 10, st ad E[I 10 (X)] EA: (9) 11 EA: (4) 12 EA: (4) 12

13 Zadanie Wartość szkody Y ma rozk lad Gamma(α, β). Ile wynosi wartość oczekiwana nadwyżki szkody ponad wartość oczekiwan a E[(Y E[Y ]) + ]? Zrób to najpierw dla przypadku rozk ladu wyk ladniczego (porównaj Zadanie 14). Zadania inne Zadanie 14 Wiedz ac, że szkoda ma gȩstość f dan a wzorem f(x) = β exp( βx), β > 0, x > 0, oblicz dla dowolnego d > 0, E[X d] +. Mamy ca lkuj ac przez czȩści. E[X d] + = E[(X d)i{x > d}] = E[XI{X > d}] dp (X > d) = d βx exp( βx) dx d exp( dβ) = d exp( dβ) + 1 exp( dβ) d exp( dβ) β = 1 β exp( dβ). Zadanie 15 Rozk lad losowej straty X jest dany przez gȩstość f(x) = 1 100, 0 < x < 100 a) Policz E[X], V ar[x]; b) Niech I(x) = kx, k (0, 1) bȩdzie polis a proporcjonaln a oraz I d (x) = (x d) + bȩdzie polis a stop-loss. Wyznacz takie k i takie d, aby cena polisy wynosi la P = 12.5; c) Używaj ac k i d z b) pokaż, że V ar(x I(X)) > V ar(x I d (X)). a) Mamy E[X] = x dx = 50 oraz E[X 2 ] = x 2 dx = St ad V ar[x] = EA: (3) 13

14 b) Szukamy k by E[kX] = Z a) mamy E[X] = 50, czyli k = Szukamy d by E[I d (X)] = Mamy E[I d (X)] = d (x d) dx = 50 d d2 i wartość d otrzymujemy przyrównuj ac powyższe wyrażenie do Mamy d = 50 lub d = 100. Oczywiście wziȩcie d = 150 nie ma sensu, gdyż zmiena losowa X przyjmuje wartości od 0 do 100. St ad d = 50. c) Ponieważ z b) E[X I(X)] = E[X I d (X)] wystarczy pokazać nierówność dla drugich momentów. Mamy oraz E[(X I(X)) 2 ] = (1 k) 2 E[X 2 ] = E[(X I d (X)) 2 ] = E[(min{X, d}) 2 ] Zadanie 16 Ryzyko X ma rozk lad Oblicz E[I d (X)] dla d = 2.5 d = = x 2 dx x P (X = x) d d 2 dx Mamy E[I d (X)] = 0.3(3 d) + 0.4(10 d). Zadanie 17 Kapita l pocz atkowy wynosi w = 100. Inwestor ma awersjȩ do ryzyka z funkcj a u(w) = exp( αw), α > 0. Szkoda mu zagrażaj aca ma rozk lad wyk ladniczy X Exp(2). Jak a sk ladkȩ G jest gotowy p lacić inwestor? Równanie u(w G) = E[u(w X)] 14

15 przyjmuje postać co jest równoważne exp( α(w G)) = E[exp( α(w X))] exp(αg) = E[exp(αX)]. St ad log E[exp(αX)] G =. α Zauważ, że sk ladka G nie zależy od kapita lu pocz atkowego w. Zadanie 18 Kapita l pocz atkowy wynosi w = 100. Inwestor ma awersjȩ do ryzyka z funkcj a u(w) = w 1/2. Szkoda mu zagrażaj aca ma rozk lad X U(0, 10). Jak a sk ladkȩ G jest gotowy p lacić inwestor? Postȩpuj jak w Zadaniu 17. Zadanie 19 Jeśli za lożymy, podobnie jak J. Bernoulli, że funkcja użyteczności u(w) posiadanego maj atku spe lnia równanie różniczkowe du(w) dw = k, w > 0, k > 0, w to znajdź jej postać. Jeśli teraz podejmuj acy decyzjȩ posiadacz kwoty w, w > 1 używa takiej w laśnie funkcji u oraz stoi w obliczu losowej straty X o rozk ladzie jednostajnym na [0, 1], pokaż, że maksymalna kwota jak a on zap laci jako sk ladkȩ w celu ubezpieczenia siȩ od tej straty wynosi Funkcja u ma postać Ponieważ G = w E[ln(w X)] = w w e(w 1) w 1 u(w) = k ln w. 1 0 ln(w x) wiȩc nak ladaj ac exp na obie strony równania dostajemy G. = ln(w 1) w 1 w ln w + 1, u(w G) = E[u(w X)] 15

16 Zadanie 20 Zaóżmy, ż funkcja użyteczności u jest dwukrotnie różniczkowalna oraz G jest zmienn a losow a o skończonej wariancji. Pokaż, że G E[X] u (w E[X]) 2u (w E[X]) V ar[x]. Korzystaj ac z Twierdzenia Taylora w równaniu zastosuj przybliżenia u(w G) = E[u(w X)] u(w G) u(w E[X]) + (E[X] G)u (w E[X]), u(w x) u(w E[X])+(E[X] x)u (w E[X])+1/2(E[X] x) 2 u (w E[X]). Zadanie 21 Pokaż, że dla funkcji użyteczności i zmiennej losowej X z zadania 19 mamy G E[X] + Skorzystaj z Zadania 20. V ar[x] 2(w E[X]). Zadanie 22 Za lóżmy, że X przyjmuje wartości ca lkowite nieujemne. Oznaczmy X n = (X n) +, X n = min(x, d). Udowodnij: a) E[X n+1 ] = E[X n ] + P (X > n) b) E[X n+1 ] = E[X n ] + P (X > n) c) E[X k n+1] = ( ) k k j=0 j ( 1) k j E[X j n] d) E[X k n+1] = E[X k n] + [ (n + 1) k n k] P (X > n) Postȩpuj jak w Zadaniu 5. Zadanie 23 Dla zmiennej losowej X o rozk ladzie Pareto i gȩstości f(x) = α λ ( ) λ α+1, x > 0, λ + x udowodnij: E[(I d (X))] = ( λ λ+d) α 1 E[X 1 ], jeżeli 1 < α. 16

17 Mamy ( ) λ α+1 E[I d (X)] = (x d) dx d λ + x = (x + λ) α ( ) λ α+1 dx (d + λ) α ( ) λ α+1 dx d λ λ + x d λ λ + x = αλ α (λ + x) α dx (d + λ)αλ α (λ + x) α 1 dx. = d λ α α 1 (λ + d) α+1. Z drugiej strony E[X] = E[I 0 (X)] = λα α 1 λ α+1. Zadanie Dla pewnego ubezpieczenia w roku 1998 wartość szkody ma rozk lad jednostajny na odcinku (0, 1000). Udzia l w lasny ubezpieczonego w szkodzie wynosi 20% jej wartości, jednak nie wiȩcej niż 100. W wyniku inflacji wysokość szkód w roku 1999 wzrośnie o 10%. Udzia l w lasny ubezpieczonego pozostaje taki sam jak w 1998 roku (tj., odpowiednio, 20% i 100). O ile wzrośnie wartość oczekiwana wyp laty? Wartości oczekiwane wyp laty przed i po inflacji wynosz a i P 1 = E[min{0.2X, 100}] P 2 = E[min{ X, 100}], odpowiednio. Policzymy wiȩc E[min{kX, 100}] dla k (0, 10). E[min{kX, 100}] = E[kXI{kX < 100}] + E[100I{kX 100}] = ke[xi{x < 100/k}] + 100P (X > 100/k) = k /k 0 = k. d x dx + 100P (X 100/k) Podstawiamy teraz odpowiednio k = 0.2 i k = i dostajemy P 1 = 75, P 2 = Zadanie Za lóżmy, że ubezpieczamy (deterministyczn a) sumȩ V. Przyjmijmy, że może zajść tylko jedna szkoda (z prawdopodobieństwem p) o wielkości 14 EA: (2) 15 Sundt, s sprawdz, nie rozumiem zadania 17

18 Y. Wprowadzamy zmienn a losow a Z = Y/V. Zmienna ta przyjmuje wartośc z przedzia lu (0, 1), a wiȩc jest sens modelować jej rozk lad za pomoc a rozk ladu B(α, β). Niech X = Y I, gdzie I Bin(1, p). Jaki jest rozk lad zmiennej losowej X? Oblicz sk ladkȩ dla X za pomoc a metod: wartości oczekiwanej, wariancji. Zadanie Wiedz ac, że szkoda ma gȩstość f dan a wzorem f(x) = β α x α 1 exp( βx)/γ(α) oblicz sk ladkȩ korzystaj ac z formu ly wyk ladniczej, formu ly Esschera i formu ly odchylenia standardowego. Zadanie Mamy do wyboru trzy kontrakty ubezpieczeniowe: szkoda x P r(x = x) I 1 (x) I 2 (x) I 3 (x) 0 2/3 4/3 2 Jaki kontrakt I j wybierze on jeśli oferowane s a one po cenach sk ladki netto? Zadanie 28 Wykres funkcji użyteczności decydenta przejawiaj acego awersjȩ do ryzyka przechodzi przez punkty (0, 0), (1, 1), (x, 2.5), (9, 3), (13, 3.5). Jakie wartości może przyj ać parametr x? 16 Sundt, s Brakuje danych??, cos o funkcji uzytecznosci?? 18