R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976]

Transkrypt

1 R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] Programowanie seminarium grupy zaawansowanej Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 1 lipca 2009

2 1 Motywacja Funkcje semantyczne 2 Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP 3 Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania

3 Motywacja Funkcje semantyczne See the little phrases go, Watch their funny antics. The men who make them wiggle so Are teachers of semantics.

4 Motywacja dla rozwoju semantyk Motywacja Funkcje semantyczne precyzyjna i kompletna referencja niezależność od implementacji standaryzacja terminologii pozwala dostrzec podobieństwa optymalizacja (lub nawet generacja) kompilatorów dowodzenie własności programów

5 Funkcje semantyczne Motywacja Funkcje semantyczne zdefiniowano bardzo prosty język LOOP, zbiory zmiennych, wyrażeń, instrukcji, programów, itd. wartości funkcji semantycznych zależą od zawartości store (pamięci) np. ξ σ = σ(ξ) (ξ - zmienna) np. ξ = E σ = σ[ξ = E ] np. Γ 1 ; Γ 2 = Γ 2 Γ 1 itd.

6 LOOP jest prosty i imperatywny Motywacja Funkcje semantyczne nie ma goto i etykiet nie ma λ-wyrażeń nie ma funkcji ani procedur nie ma problemów z dziedzinami funkcji semantycznych Autor na tym przykładzie pokazał podstawy denotacji, abstrahując na razie od pojęć środowiska/kontekstu oraz kontynuacji.

7 Języki aplikatywne Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Autor definiuje je jako mające właśność referential transparency, czyli wyrażenia bez skutków ubocznych. Inaczej: języki deklaratywne, funkcyjne. Przykłady wyrażeń: 1 let x = 5 in x x + 3 where x = 5 3 let f (x) = x + 3 in f (5) 4 6 i=1 (i + 3) 5 f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. W każdym przykładzie identyfikatory są wiązane z wartościami; dlatego wartościowanie wyrażeń odbywa się przy zadanym środowisku (wartościowaniu zmiennych wolnych wyrażenia).

8 Języki aplikatywne Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Autor definiuje je jako mające właśność referential transparency, czyli wyrażenia bez skutków ubocznych. Inaczej: języki deklaratywne, funkcyjne. Przykłady wyrażeń: 1 let x = 5 in x x + 3 where x = 5 3 let f (x) = x + 3 in f (5) 4 6 i=1 (i + 3) 5 f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. W każdym przykładzie identyfikatory są wiązane z wartościami; dlatego wartościowanie wyrażeń odbywa się przy zadanym środowisku (wartościowaniu zmiennych wolnych wyrażenia).

9 Języki aplikatywne Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Autor definiuje je jako mające właśność referential transparency, czyli wyrażenia bez skutków ubocznych. Inaczej: języki deklaratywne, funkcyjne. Przykłady wyrażeń: 1 let x = 5 in x x + 3 where x = 5 3 let f (x) = x + 3 in f (5) 4 6 i=1 (i + 3) 5 f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. W każdym przykładzie identyfikatory są wiązane z wartościami; dlatego wartościowanie wyrażeń odbywa się przy zadanym środowisku (wartościowaniu zmiennych wolnych wyrażenia).

10 Języki aplikatywne Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Autor definiuje je jako mające właśność referential transparency, czyli wyrażenia bez skutków ubocznych. Inaczej: języki deklaratywne, funkcyjne. Przykłady wyrażeń: 1 let x = 5 in x x + 3 where x = 5 3 let f (x) = x + 3 in f (5) 4 6 i=1 (i + 3) 5 f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. W każdym przykładzie identyfikatory są wiązane z wartościami; dlatego wartościowanie wyrażeń odbywa się przy zadanym środowisku (wartościowaniu zmiennych wolnych wyrażenia).

11 Języki aplikatywne Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Autor definiuje je jako mające właśność referential transparency, czyli wyrażenia bez skutków ubocznych. Inaczej: języki deklaratywne, funkcyjne. Przykłady wyrażeń: 1 let x = 5 in x x + 3 where x = 5 3 let f (x) = x + 3 in f (5) 4 6 i=1 (i + 3) 5 f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. W każdym przykładzie identyfikatory są wiązane z wartościami; dlatego wartościowanie wyrażeń odbywa się przy zadanym środowisku (wartościowaniu zmiennych wolnych wyrażenia).

12 Struktura aplikatywna Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Okazuje się, że (tak jak w λ-rachunku) wystarczy niewiele, aby zadać całą strukturę takich wyrażeń: atomy aplikacje abstrakcje Niech. Exp... - interpretacja wyrażeń. Example (1,2) let x = 5 in x + 3 = x + 3 where x = 5 = (λx.x + 3)(5) Example (3) let f (x) = x + 3 in f (5) = let f = λx.x + 3 in f (5) = (λf.f (5))(λx.x + 3)

13 A co z sumą i silnią? Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Example (4) 6 i=1 (i + 3) Można to zapisać jako Sigma(1, 6, λi.i + 3), gdzie Sigma zdefiniowano rekurencyjnie, ale nie wiadomo, czy ta definicja jest poprawna.

14 A co z sumą i silnią? Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Example (5) f (5) where f (n) = { 1 jeśli n = 0 n f (n 1) w p. p. Rozważamy równanie ze względu na zmienną funkcyjną f : f = λn. if n = 0 then 1 else n f (n 1) Niech Y - funkcjonał znajdujący punkt stały, tzn. YF = F (YF ). Np. dla silnii mamy F (g) = λn. if n = 0 then 1 else n g(n 1) Więc silnię można definiować tak: f (5) where f = YF where F (g)(n) = if n = 0 then 1 else n g(n 1), co umiemy interpretować.

15 Kombinator punktu stałego Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Gdyby ograniczać się do λ-rachunku, to mamy Twierdzenie Istnieje kombinator punktu stałego Y taki, że YF = β F (YF ). Dowód. Np. Y = λf.(λx.f (xx))(λx.f (xx)).

16 Twierdzenie o punkcie stałym Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Twierdzenie (Kleene) Niech L będzie porządkiem zupełnym, a f L L funkcją ciągłą. Wtedy najmniejszym punktem stałym f jest kres górny ciągu {f n ( ) n N}: f ( ) f (f ( )) f 3 ( )... Do uogólnienia tego wyniku potrzebne są metody teorii dziedzin.

17 Gramatyka języka AEXP Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP B: Bas (wartości bazowe, literały) z interpretacją Υ I : Ide (identyfikatory zmiennych) E: Exp (wyrażenia) Definicja E = B I λi.e E 1 E 2

18 Denotacja języka AEXP Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Niech: D - wartości denotowalne ρ U = Ide D - środowiska φ F = D D - funkcje Definicja (. Exp U D) B ρ = Υ(B) I ρ = ρ(i ) λi.e ρ = φ, gdzie φ(δ) = E (ρ[i = δ]) E 1 E 2 ρ = φ(δ), gdzie φ = E 1 ρ oraz δ = E 2 ρ

19 FAIL Wyrażenia i języki aplikatywne Definicje rekurencyjne Przykładowy język AEXP Ta definicja jest niepoprawna.

20 Czemu jest źle (1) Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Example λi.e ρ = φ F Ale przeciwdziedziną funkcji. ρ jest D. Example E 1 E 2 ρ = φ(δ), gdzie φ = E 1 ρ oraz δ = E 2 ρ czyli δ D, φ D, ale φ D D, tzn. φ F Można mieć nadzieję, że F D. Możemy stosować injekcje (wstrzyknięcia) (φ in D) projekcje (rzutowania) (ɛ F ) co sformalizujemy później. Ale to nie wystarczy.

21 Czemu jest źle (2) Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania funkcje wyższego rzędu są problematyczne ze względu na rekursję w AEXP mieliśmy przestrzeń funkcji F = D D skoro F D, to dla każdej funkcji φ znaczenie φ(φ) ma być zdefiniowane, co prowadzi do sprzeczności: Dowód. Niech p będzie predykatem spełnionym wtw, gdy jego argument po zaaplikowaniu do siebie samego zwraca fałsz. Tzn. p(q) = q(q). Wtedy p(p) = p(p).

22 Czemu jest źle (3) Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Naszej definicji nie da się też zapisać w Haskellu. data Var = X Y Z deriving Eq data LambdaE = Abs Var LambdaE App LambdaE LambdaE Var Var get _ [] = error "dsfargeg" get x ((y,v):ys) x == y = v otherwise = get x ys denot (Var var) store = get var store denot (Abs var lambda) store = \x -> denot lambda ((var,x):store) Już po tej deklaracji dostajemy: Occurs check: cannot construct the infinite type: t = t -> t1 Expected type: [(Var, t)] Inferred type: [(Var, t -> t1)] In the second argument of (:), namely store

23 Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Teorię dziedzin stworzył Dana Scott w latach 60, korzystając z teorii krat i topologii. dziedzina - typ danych funkcje (w tym wyższego rzędu) wystarczająco ogólne, aby pozwolić na zapis naturalnych modeli obliczeń (np. rekursja, samoaplikacja) ale wystarczająco ograniczone, by system pozostał niesprzeczny podstawowa cecha: ciągi przybliżeń (pewnych częściowych obiektów) w dziedzinie powinny być zbieżne granica też powinna należeć do dziedziny i być zachowywana przez operacje (ciągłe przekształcenia)

24 Proste dziedziny Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Proste dziedziny to skończone lub przeliczalne zbiory uzupełnione o elementy i. Ozn. A = A {, }. Example N = {..., 2, 1, 0, 1,... } T = {true, false} W takich prostych dziedzinach zadajemy porządek przybliżeń : Definicja ( x) x inne pary są nieporównywalne

25 Tworzenie dziedzin Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Definicja Niech D, D 1 i D 2 - dziedziny. Definiujemy następujące dziedziny: 1 D 1 D 2 (iloczyn) 2 D 1 + D 2 (suma) 3 D 1 D 2 (funkcje) 4 D n = D D D (listy długości n) 5 D = D 0 + D 1 + D (skończone listy) Do każdej dziedziny należą dodatkowo i. Porządek przybliżeń wyprowadzamy ze składowych. Example (D 1 D 2 ) f g ( x D 1 ) f (x) g(x)

26 Inspekcje, injekcje i projekcje Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Dla sumy X =... + Y +... definiujemy: Definicja (x X ) xey = { T jeśli x odpowiada pewnemu y Y F w p. p. Definicja (x X ) x Y = { y jeśli x odpowiada y Y gdy x nie odpowiada żadnemu y Y Definicja (y Y ) y in X = x, gdzie x X odpowiada y

27 Ciągłość, strictness Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Na prostych dziedzinach ciągłość monotoniczność: Definicja f jest monotoniczna ( x, y) x y f (x) f (y) Każda funkcja częściowa na zbiorze może być rozszerzona do ciągłej funkcji całkowitej na odpowiadającej dziedzinie: 1 f ( ) =, 2 f ( ) =, 3 f (x) =, jeśli funkcja częściowa jest niezdefiniowana dla x. Taką funkcję nazywamy doubly strict. Funkcje nie muszą takie być: Example if-then-else(true, 2, ) = 2

28 Rekursja Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Dla ustalonej dziedziny D szukamy kombinatora punktu stałego Y D, który rozwiązuje równania postaci f = F (f ) dla F D D. Mamy z monotoniczności F ( ) F (F ( ))... F i ( )... i ten ciąg, z ciągłości, zbiega do granicy f takiej, że ( i 0) F i ( ) f oraz F (f ) = f Twierdzenie Dla każdej dziedziny D istnieje ciągła funkcja Y D (D D) D taka, że dla każdego ciągłego F D D: 1 Y D (F ) = lim i F i ( ) jest rozwiązaniem równania f = F (f ) 2 Y D (F ) przybliża każde inne rozwiązanie

29 Samoaplikacja Problem z dziedzinami denotacji Dziedziny Rekursja i zastosowania Można też rekurencyjnie definiować dziedziny i ich elementy. Example Można skonstruować dziedzinę D taką, że: 1 D = B + (D D) 2 B - wartości bazowe czyli każde δ D odpowiada albo wartości bazowej, albo funkcji φ D D, którą można zaaplikować do każdego elementu D, w tym do φ in D.