Elementarz rachunku błędu pomiarowego /warsztaty pomiarowe/
|
|
- Bogdan Marciniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementarz rachunku błędu pomiarowego /warsztaty pomiarowe/ Piotr Jaracz, Zygmunt Szefliński (współpraca) Pracownia Fizyczna I Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 005
2 1. Podstawy 1.1. Czy ogólna teoria względności jest prawdziwa? Każda teoria w naukach przyrodniczych podlega sprawdzeniu w doświadczeniu (eksperymencie fizycznym). 1916, Albert Einstein ogólna teoria względności (OTW): światło ma energię, energia jest równoważna masie, a więc w pobliżu innej masy światło waży! Promień świetlny biegnący w pobliżu ciała o dużej masie (np. Słońca) jest odchylany przez siłę grawitacji: ϕ = A. Einstein OTW mechanika klasyczna To można badać przy całkowitym zaćmieniu Słońca. Całkowite zaćmienie Słońca, Ameryka Południowa, 1919: ϕ =.0 ± 0.3 F.W. Dyson, A.S. Eddington, C. Davidson. (Ponownie w 1947 i 195; wyniki podobne) Ponieważ 1,8 mieści się w przedziale,0 ± 0,3, więc wydaje się, że OTW jest prawdziwa...
3 Dlaczego nie powiemy po prostu OTW jest prawdziwa? Zainteresowany Czytelnik znajdzie odpowiedź w Dodatku Nr 1. Wynik pomiaru wartość pomiaru ± błąd pomiarowy. 1.. Pomiar i błąd pomiarowy Wielkość fizyczna właściwość ciała lub zjawiska fizycznego, której można przypisać wartość liczbową. Pomiar pewna sekwencja czynności doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej. Ta wybrana sekwencja powinna minimalizować wpływ oddziaływań zewnętrznych na badane zjawisko i przyrządy pomiarowe. Błąd pomiarowy przypadkowy (statystyczny) jest to średnia wartość zmiennych zaburzeń mierzonej wielkości fizycznej, pochodzących od wielu słabych oddziaływań zewnętrznych, lub skutek tzw. nieokreśloności obiektu. Błąd ten jest najczęściej nieznany, a wyznacza się go w pomiarach (razem z wartością pomiaru, jako tzw. błąd pojedynczego pomiaru). Błąd pomiarowy systematyczny jest to stała, nieznana, wartość zmiany wyniku pomiaru, wynikająca z ograniczoności modelu fizycznego zjawiska, którym się (w danej chwili) posługujemy, ograniczoności metody pomiaru, czy też niewłaściwej kalibracji przyrządu pomiarowego; błąd ten ujawnia się zwykle dopiero po zmianie metody pomiaru lub modelu fizycznego zjawiska. Błąd systematyczny o znanej wartości nazywamy poprawką. 3
4 Błąd pomiarowy niepewność pomiarowa, dokładność pomiaru Błąd w pomiarach pomyłka. W przyrodzie wszystko oddziaływuje ze wszystkim. Przygotowując pomiar staramy się uprościć sytuację przeprowadzając izolację danego zjawiska od innych zjawisk (wpływów zewnętrznych). To się do końca nie udaje, a skutek zauważamy w postaci błędu pomiarowego przypadkowego. Z kolei, błąd pomiarowy systematyczny może być spowodowany zbyt uproszczonym modelem teoretycznym zjawiska fizycznego, nie uwzględniającym pewnych istotnych czynników. Błąd ten jest trudniejszy do zauważenia wymaga zmiany modelu teoretycznego lub co najmniej metody pomiaru. Przykłady: Nr 1 ( bardzo prosty ). Pomiar długości stołu Przyrządy: liniał długi ( l = 1 mm), liniał krótki ( l = 1 mm), taśma miernicza ( l = 5 mm), flamaster, kartka papieru. Przygotowanie eksperymentu: - mierzyć liniałem, nie taśmą mierniczą (wybór przyrządu błąd przypadkowy przyrządu). mierzyć liniałem krótkim, nie długim; znakować flamastrem (wybór metody błąd przypadkowy metody: dokładność przyłożenia liniału, dokładność znakowania flamastrem) liniał nie ma urwanego końca (błąd systematyczny poprawka lub błąd w pomiarach). 4
5 Nr ( dość wymyślny ). Pomiar średnicy kuli Występuje tu tzw. błąd paralaksy; przy pomiarach wielokrotnych błąd przypadkowy metody. Uwaga! Błąd paralaksy może mieć nieznaną składową w postaci błędu systematycznego Błędy przypadkowe Błąd przypadkowy manifestuje się rozrzutem wartości pomiaru przy jego powtarzaniu (pomiar wielokrotny): Małe a liczne zaburzenia pomiaru: efekty mechaniczne (zmienne tarcie, kurczliwość, wstrząsy), wahania napięcia zasilania przyrządów, prądy powietrza, zmienne pola elektromagnetyczne, itp. Błędy przypadkowe metody (np. błąd paralaksy) Błędy przypadkowe przyrządu Błąd (dokładność) przyrządu jest w błędem przypadkowym pod warunkiem, że przyrząd jest dobrze wykalibrowany, w przeciwnym razie do błędu przypadkowego dochodzi jeszcze błąd systematyczny. 5
6 Błąd przypadkowy obiektu Przykład: Nr 3. Pomiar średnicy walca a) przy pomocy suwmiarki: d = 0.05 mm = 50 µm d Pomiar wielokrotny: 0.15, 0.15, 0.15, 0.15 mm stwierdzamy brak rozrzutu! Rozrzut pojawi się, gdy weźmiemy inny... b) bardziej dokładny przyrząd, np. o d = 1 µm 1 : d d 1 Pomiar wielokrotny: 0.1, 0.19, 0.11, 0.1, 0.09 mm,... (n = 5 pomiarów). Jeśli dodatkowo byłaby możliwość powtarzalności wyboru miejsca pomiaru, wówczas... 1 Nie ma takiego przyrządu, o konstrukcji mechanicznej, ale to tylko przykład myślowy. 6
7 d 1, d,... można uważać nie za... różne wartości tej samej wielkości fizycznej d (pomiar wielokrotny d), lecz za... wartości różnych wielkości fizycznych d 1, d,... (pomiary jednokrotne d 1, d, o wartościach d 1, d,...). Innymi słowy... pojawiły się wątpliwości, czy obmierzamy okrąg, czy też nie okrąg a raczej coś, co przypomina wielobok! Taką niepewność określa się mianem niepewności obiektu (tu: figury geometrycznej obwodu walca), a jej miarą ilościową jest błąd przypadkowy obiektu, obliczony z rozrzutu wartości d 1, d,.... W naszym przykładzie, po wymienionych wyżej pomiarach: d 0.14 ± 0.0 mm. (Rozdz. 1.4, wzory (1) (4)). Nr 4. Pomiar liczby przemian (rozpadów) promieniotwórczych radionuklidu w określonym czasie. Tutaj też mamy do czynienia z pewnym rodzajem błędu przypadkowego obiektu. Niepewnym obiektem jest tu sama liczba rozpadów radionuklidu. Wskutek tzw. kwantowej natury zjawisk atomowych i jądrowych nie istnieje coś takiego jak prawdziwa liczba rozpadów, gdyż z zasady nie można przewidzieć kiedy nastąpi kolejna przemiana promieniotwórcza. Znając mechanikę kwantową można jednak obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia przemiany (rozpadu), a stąd błąd przypadkowy liczby rozpadów. Jeśli liczbę rozpadów promieniotwórczych oznaczymy przez N, to jej błąd przypadkowy: N N. Zatem wynik pomiaru: N ± N. (ćwiczenie Radon w powietrzu w Pracowni). 7
8 1.4. Obliczenia błędu przypadkowego Niech: x wielkość fizyczna mierzona, x i wartości zmierzone, gdzie: i = 1,...n, n liczba pomiarów. Szukamy tzw. wartości prawdziwej µ wielkości fizycznej x, dysponując n liczbami wynikami pomiarów. Czy będzie to któraś z nich? Która? Może wszystkie? Jakaś średnia? Poszukujemy również wartości błędu pomiarowego pojedynczego pomiaru σ, charakteryzującej warunki pomiaru (liczba, ukryta w rozrzucie wartości x i). W statystyce matematycznej można wykazać, że: n xi i= 1 µ x = średnia wyników pomiaru n ( wynik pomiaru ), (1) σ (x i µ) = błąd (średni kwadratowy) n pojedynczego pomiaru. () W miejsce µ we wzorze () możemy podstawić x ze wzoru (1). Okazuje się jednak, że wtedy należy w mianowniku () zamienić n na n-1 : σ (x i x) x =. (a) n - 1 W teorii informacji takie powiększenie wartości błędu ( n-1 zamiast n w mianowniku) odzwierciedla powiększenie niepewności statystycznej wskutek mniejszej dostępnej informacji (zamiast ścisłej wartości µ dysponujemy tylko jej przybliżeniem x ). 8
9 x przyjmowane jest za wartość pomiaru. x nie jest jeszcze błędem pomiarowym ( błędem wartości pomiaru ); jest to dopiero błąd pojedynczego pomiaru, charakteryzujący same warunki pomiaru. Błąd wartości pomiaru będzie zależny również jak to uzasadnimy na następnych zajęciach od krotności pomiarów n: x x = błąd wartości średniej n ( błąd pomiarowy ). (3) Ostatecznie: x ± x wynik pomiaru, (4) gdzie: x wartość pomiaru (1), x błąd pomiarowy (a) i (3). Często podawany jest: x 100 % względny błąd pomiarowy. (5) x Uwaga! W podanych błędach pomiarowych nie uwzględniono jeszcze błędu przypadkowego przyrządu. (Rozdz., wzory (8) i (4a)).. Pomiar przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego.1. Idea pomiaru. Pomiary bezpośrednie T i l. Obliczenie g. Wyznaczymy doświadczalnie wartość przyśpieszenia ziemskiego g badając zjawisko tzw. drgań harmonicznych ( oscylator harmoniczny ) pod wpływem siły ciężkości, w polu grawitacyjnym Ziemi. 9
10 Wahadło matematyczne l α l długość wahadła T okres wahań Z tzw. równania ruchu wahadła, przy małych wychyleniach (model fizyczny drgań wahadła; Dodatek Nr ): l T π, (6) g a stąd: l g 4π. (7) T Zwróćmy uwagę na znak przybliżenia we wzorach (6) i (7), wynikający z przybliżonego charakteru przyjętego modelu zjawiska fizycznego. Mierzymy: T i l ; ze wzoru (7) obliczamy g. Mówimy, że T i l są wyznaczane w pomiarach bezpośrednich, zaś g w pomiarach pośrednich. 10
11 Wykonujemy pomiary wielokrotne. Na podstawie wzorów (1) i (a) obliczamy wartości średnie i błędy pojedynczych pomiarów, odpowiednio: T i l oraz T i l, a następnie: l g 4π. T Na następnych zajęciach: obliczymy błędy wartości średnich T i l, uwzględnimy błędy przyrządów oraz korzystając z tzw. prawa propagacji błędu obliczymy błąd pomiarowy g. Na podstawie wzoru (3) obliczamy błędy wartości średnich: T i l. Powracamy do rozważań teoretycznych. W rozdziale 1.4 i obliczeniach błędów pomiarówt i l dla wahadła nie braliśmy pod uwagę możliwych zaburzeń wprowadzanych przez przyrządy pomiarowe czasu i długości. Przyrząd jest źródłem dodatkowej składowej błędu przypadkowego błędu przypadkowego przyrządu (rozdz. 1.3). W statystyce matematycznej obowiązuje zasada sumowania różnych składowych błędu przypadkowego. Jest to sumowanie specjalnego rodzaju tzw. suma kwadratów pod pierwiastkiem. Zgodnie z tą zasadą całkowite błędy przypadkowe pomiarów okresu wahań i długości wahadła (oznaczane dalej znakiem c ): Tc ( T) + ( Tp ), oraz lc ( l ) + ( lp). (8) gdzie: T p oraz l p odpowiednie błędy przyrządów. Dla ogólnego przypadku wielkości fizycznej x wynik pomiaru (wartość i błąd pomiarowy): x ± x c. (4a). 11
12 3. Prawo propagacji błędu pomiarowego Wiemy już, jak obliczać błędy pomiarowe wielkości fizycznych bezpośrednio mierzonych, np. okresu wahań i długości wahadła w naszych pomiarach. Jak obliczyć błąd pomiarowy wielkości określanej pośrednio (w naszych pomiarach przyspieszenie ziemskie)? Chcemy z wyznaczyć doświadczalnie wartość wielkości fizycznej f mierząc inną wielkość fizyczną x, związaną z f zależnością funkcyjną: f = f ( x ) Funkcja jednej zmiennej Niech: x wielkość fizyczna bezpośrednio mierzona, a wynik jej pomiaru: x ± xc. Jaki jest wynik pomiaru f : f ± f? Zgodnie z intuicją: f = f (x). (9) Chcąc obliczyć błąd pomiarowy f trzeba już znać rachunek różniczkowy. W statystyce matematycznej pokazuje się, że: f df (x) dx x c. (10) Wielkość df to tzw. pochodna funkcji f ( x ) po zmiennej x. dx Jest ona również funkcją zmiennej x. Jak widać, błąd pomiarowy f otrzymujemy podstawiając do tej funkcji wartość x = x, biorąc wartość bezwzględną wyniku (celem pozbycia się możliwego znaku ujemnego) i mnożąc go przez błąd pomiarowy x. c 1
13 Przykład: Chcemy wyznaczyć pole powierzchni koła. W tym celu mierzymy jego średnicę x : x S = S( x ) = π. 4 Wynik pomiaru średnicy: x ± xc. x Z pomiarów wyznaczamy: S = π. 4 Ze wzoru (10) błąd pomiaru pola powierzchni koła: S ds (x) dx xc -1 π x = xc π x = xc 4. Obliczmy błąd względny pomiaru S : S S π x xc π x 4 = x c. (11) x Widać, że błąd względny pomiaru powierzchni koła jest równy podwojonemu błędowi względnemu pomiaru jego średnicy. Ta dwójka ma związek z faktem występowania we wzorze na powierzchnię koła średnicy w potędze! Sugeruje to pewną ogólną regułę, którą omówimy później, a na razie... Zadanie: Ile wynosi błąd względny pomiaru objętości kuli wyznaczony z pomiaru jej średnicy? Jak obliczymy błąd pomiarowy dla wielkości fizycznej zależnej od kilku zmiennych? 13
14 3.. Funkcja dwóch zmiennych Niech: f = f ( x, y ), gdzie: x, y wielkości bezpośrednio mierzone; x ± x c, y ± yc wyniki pomiarów. Jaki jest wynik pomiaru f : Można się spodziewać, że: f ± f? f = f (x, y). (1) Z kolei, w wyrażeniu na f pojawią się dwa wyrażenia podobne do prawej strony wzoru (10), dla każdej zmiennej. W statystyce matematycznej pokazuje się, że: f δf δx ( x, y) x + ( x, y) c δf δy y c. (13) δf Wielkość to tzw. pochodna cząstkowa funkcji f(x, y) δx po zmiennej x ; podobnie dla zmiennej y. Pochodną cząstkową po danej zmiennej wyznacza się tak samo jak zwykłe pochodne, traktując w tym rachunku pozostałe zmienne jak stałe. Przykład: Chcemy zmierzyć małą ilość cieczy stosując następującą metodę pomiaru. Na czułej wadze analitycznej ważymy pojemnik na ciecz ciężar (masa) x. Następnie ważymy pojemnik razem z cieczą masa y. Szukana masa cieczy m wyniesie: m = m( x, y ) = y x. 14
15 W wyniku wielokrotnych pomiarów wyznaczamy: x ± i y ± yc, a następnie masę cieczy: m = y - x. xc Obliczamy błąd pomiarowy m posługując się wzorem (13): ( 1 x ) + ( 1 y ) = ( x ) ( y ) m + c c c c. Dyskusja błędu: Załóżmy, że mamy bardzo złe warunki pomiarowe (np. waga, choć czuła, jest nie izolowana od wstrząsów lub też waga jest mało dokładna). Mimo to chcemy w tych warunkach zmierzyć bardzo małą masę cieczy ( m 0 ). Może się wówczas okazać, że: m m. Taki pomiar nie ma sensu. Trzeba zmienić warunki pomiaru! Zadanie: Posługując się wzorem (13) i uważnie analizując powyższy przykład wykaż, że dla funkcji f = f ( x, y ) = x + y rachunek błędu prowadzi do tej samej wartości f, co dla funkcji f = f ( x, y ) = x y. Zadanie dla ambitnych: Wiedza zdobyta dotychczas może umożliwić uzasadnienie wzoru (3) w rozdz W tym celu należy wykorzystać fakt, że dla funkcji f będącej sumą n zmiennych pomiarowych x, i każda zmierzona z tym samym błędem pomiarowym x, wzór (13) prowadzi do: f = n x. Następnie należy zauważyć, że średnia arytmetyczna to podobna suma i... Powracamy do pomiarów przyspieszenia ziemskiego. 15
16 . Pomiar przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego (c.d.).. Obliczenie błędu pomiarowego przyspieszenia ziemskiego W przyjętej metodzie pomiaru przyspieszenie ziemskie jest funkcją dwóch zmiennych bezpośrednio mierzonych, T i l : l g = g(t, l ) = 4π. T Jest to szczególna forma funkcji potęgowej dwóch zmiennych. Dla obliczeń g dysponujemy już zmierzonymi wartościami: T, l oraz T, l. c c Korzystając kolejny raz ze wzoru (13) można, po pewnych, nieco uciążliwych, przekształceniach pokazać, że względny błąd pomiarowy wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego: g g Tc l c ( ) + (1 ). T l Stąd, znając wartość g, obliczymy błąd pomiarowy g. Zwróćmy uwagę na współczynniki i 1 pod kwadratami odpowiednich cząstkowych błędów względnych, wywodzące się, jak to wskazano w komentarzu do wzoru (11), od wykładników potęgowych we wzorze na g. Zbliżamy się do końca naszych pomiarów. Pozostaje jeszcze zaokrąglić we właściwy sposób otrzymane wyniki liczbowe. 16
17 6. Zaokrąglanie liczb przybliżonych 6.1. Liczby dokładne i przybliżone Z punktu widzenia zagadnienia pomiaru liczby dzielą się na: a) Liczby dokładne 3 We wzorze na objętość kuli 4 V = π r liczby: 3 4, 3, 3, π, a więc: współczynniki liczbowe, wykładniki potęg, liczba π (tak zapisana!)... we wzorach matematycznych (i niektórych fizycznych) są liczbami dokładnymi. Podobnie, we wzorze zamiany jednostek: 1 o = 60 liczby 1 i 60 są liczbami dokładnymi. Pozostałe liczby to... b) Liczby przybliżone wyniki pomiarów (w tym wartość pomiaru i błąd pomiarowy) dane tablicowe (większość stałych matematycznych i fizycznych), np (liczba π, tak zapisana!). Wiele danych tablicowych jest przecież wynikami pomiarów. 6.. Cyfry znaczące Przykłady: cyfry znaczące (c.z.) 9.8 c.z. 17
18 10 c.z c.z c.z c.z c.z c.z c.z. Cyfry znaczące danej liczby to wszystkie jej cyfry (także zera), z wyjątkiem tzw. zer poprzedzających. Z punktu widzenia zagadnienia cyfr znaczących liczby przybliżone i są różnymi liczbami! Druga z nich (3 c.z.) jest bardziej dokładna, tj. mniej przybliżona niż pierwsza ( c.z.). A teraz weźmy dwie liczby przybliżone o tej samej liczbie cyfr znaczących, lecz różniące się wartością: 0.58 i Która z nich są jest bardziej dokładna? Obie są przedstawione z tą samą dokładnością! Czym się różnią? W liczbie 0.58 pierwsza od prawej cyfra znacząca (8) mówimy najczulsza jest na pozycji dziesiętnej setnych, zaś w liczbie ta sama cyfra znacząca jest na pozycji milionowych. Wniosek: Cyfry znaczące to nie to samo co pozycje dziesiętne! Weźmy np. liczbę przybliżoną U = 3.4 V (wynik pomiaru napięcia elektrycznego). Jest to liczba o cyfrach znaczących. Możemy ją zaokrąglić, np. do 3 V (1 c.z.). Zaokrąglanie liczby przybliżonej oznacza zmniejszanie liczby jej cyfr znaczących. Jak dokładna jest liczba przybliżona o danej liczbie cyfr znaczących? 18
19 W podanym przykładzie przy zaokrąglaniu zginęła wartość 0.4 V co oznacza popełnienie błędu zaokrąglenia (szacunkowo) %. Można zaryzykować twierdzenie, że każda liczba przybliżona zapisana z dokładnością 1 c.z. (np. 0.7 V) jest jak mówimy zaokrąglona z dokładnością kilkunastu-kilkudziesięciu% (rzędu 10 %). Liczba przybliżona o liczbie cyfr znaczących... ma dokładność zaokrąglenia (szacunkowo) 1 kilkanaście-kilkadziesiąt % kilka % 3 kilka dziesiątych % itd Zasady zaokrąglania wyników pomiaru Najpierw zaokrąglamy błąd pomiarowy. ZASADA I Błąd pomiarowy zaokrąglamy do 1 lub co najwyżej cyfr znaczących. 19
20 Niech obliczony błąd pomiarowy przyspieszenia ziemskiego: m g , s... oznacza, że liczba została jedynie wstępnie zaokrąglona (tu: do 4 c.z.). Prawidłowo zaokrąglony błąd pomiaru przyspieszenia ziemskiego: g 0.4 m m lub s s Przedstawienie błędu z większą liczbą cyfra znaczących, np. m g stwarzałoby fałszywe wrażenie większej s dokładności (fikcyjna dokładność). Innymi słowy: cyfra 7 (tu: na pozycji tysięcznych) równie dobrze może być zastąpiona przez 6, 8, itp. Dlatego należy ją usunąć, wprowadzając głębsze zaokrąglenie. Dlaczego? Statystyka matematyczna pokazuje się, że błąd przypadkowy nie jest dokładnie określonym pojęciem niepewność jego wyznaczenia jest rzędu kilkunastu do kilkudziesięciu procent, dla typowych, niewielkich krotności pomiaru (n). Jest to swoisty błąd błędu, tym razem wynikający nie z warunków pomiaru a z samej statystyki! Pozostawienie w zaokrąglanym błędzie pomiarowym większej liczby cyfr znaczących niż to zaleca zasada I oznaczałoby kolejny raz fikcyjną dokładność. Wyjątek od ZASADY I Błąd pomiarowy zaokrąglamy zawsze do cyfr znaczących, jeśli pierwsza z lewej (mówimy najmocniejsza ) cyfra znacząca jest 1. W tym wypadku błąd zaokrąglenia wartości błędu pomiarowego może być stosunkowo duży większy niż kilkanaście procent (dlaczego?). W związku z tym celowym będzie pozostawienie w zaokrąglanym błędzie pomiarowym większej liczby cyfr znaczących. 0
21 Po zaokrągleniu błędu pomiarowego przystępujemy do zaokrąglania wartości pomiaru. ZASADA II Wartość pomiaru zaokrąglamy do tej pozycji dziesiętnej, na której znajduje się pierwsza od prawej ( najczulsza ) cyfra zaokrąglonego błędu pomiarowego. Niech określona w wyniku pomiarów wartość przyspieszenia ziemskiego podana jest jako: m g , s gdzie, podobnie jak poprzednio,... oznacza, że liczba ta została wstępnie zaokrąglona (do 5 c.z.) Prawidłowo zaokrąglona wartość pomiaru przyspieszenia ziemskiego, odpowiednio do stopnia przeprowadzonego uprzednio zaokrąglenia błędu pomiarowego: m m g 9.7 lub s s Ostatecznie, wynik pomiaru: g ± g 9.7 ± 0.4 m m lub 9.68 ± s s Inne zapisy są nieprawidłowe, gdyż np.: m 9.7 ± 0.39 (wartość pomiaru zaokrąglona za głęboko s w stosunku do błędu pomiarowego) oznacza stratę dokładności wartości pomiaru na zaokrągleniu w stosunku do (dobrej) dokładności pomiaru. Z kolei... 1
22 m 9.68 ± 0.4 (wartość pomiaru zaokrąglona za płytko ) s oznacza fikcyjną dokładność wartości pomiaru w stosunku do (nie najlepszej) dokładności pomiaru. ZASADA III Zasady I i II odnoszą się do zaokrąglania wyników końcowych pomiaru. Wyniki pośrednie zaokrąglamy co najmniej o jedną cyfrę znaczącą płycej niż mówią zasady I i II. I tak, płycej zaokrąglamy wyniki pomiarowe T, l a także T, l oraz T c, l c, przed podstawieniem ich do wzorów na g i g. Normalnie (tj. wg zasad I i II) zaokrąglamy dopiero liczby przybliżone wyrażające g i g. Dlaczego? DODATKI Nr 1. Istota błędu przypadkowego. Prawdopodobieństwo Przypomnijmy wzory (1) (3) na błąd przypadkowy. Zbadamy je teraz dokładniej. Rozważmy w szczególności: a) Jak powstały i co zawierają liczby: x, x, x? b) Jak zmieniają się one wraz ze wzrostem n? c) Co oznacza fizycznie (statystycznie) wynik pomiaru zapisany jako x ± x? Ad. a) Liczby te utworzono z n liczb x i ; jest w nich zawarta cała informacja jaką posiadamy o: wartości mierzonej wielkości fizycznej (wartość pomiaru ) średnim zaburzeniu pomiaru (błąd pomiarowy przypadkowy).
23 Ad. b) Wartości Jak? x i x, a także x zmieniają się wraz ze wzrostem n. (xi x) x = σ = const n - 1 n Dlaczego? W miarę wzrostu n pojawiają się wartości x i bardziej oddalone od x, dla których prawdopodobieństwo wystąpienia jest małe (potrzebują one większej liczby losowań n, aby ujawnić się). Oznacza to, że licznik i mianownik wyrażenia pod pierwiastkiem rosną, przy czym tak samo szybko, tak że całe wyrażenie dąży do stałej. x ( błąd pojedynczego pomiaru ) reprezentuje średnie warunki pomiaru. x x = n n const n n 0 Ten błąd dąży do zera! Z kolei: x n xi i = 1 = n n µ = const. Wartość const reprezentuje tzw. wartość prawdziwą wielkości mierzonej. Zbliżamy się do niej coraz bardziej, w miarę wzrostu liczby pomiarów n, ( x 0 ). Ad. c) W świetle powyższego, wraz ze wzrostem n coraz bardziej zacieśnia się okrążenie wartości prawdziwej, tzn. lokalizujemy ją coraz lepiej (w coraz mniejszym obszarze wyznaczonym przez x ). Wciąż jednak istnieje pewne prawdopodobieństwo, że kolejny pomiar wypadnie poza obszarem wyznaczonym przez x, tzn. obliczona, nowa wartość x znajdzie się poza przedziałem x ± x! W statystyce matematycznej można pokazać, że prawdopodobieństwo to wynosi: 31.7%. Podsumowanie: Wynik pomiaru x ± x oznacza, że prawdopodobieństwo, iż wartość prawdziwa µ znajduje się we wskazanym przedziale wynosi z 68.3%. 3
24 Mający tę własność, wskazany błąd pomiarowy x jest nazywany błędem 1σ. Moglibyśmy przyjąć za błąd pomiarowy wartość x. Jak można pokazać w statystyce matematycznej nowy wynik pomiaru: x ± x oznacza, że teraz wartość prawdziwa µ znajduje się we wskazanym przedziale z prawdopodobieństwem 95.4% (tzw. błąd σ ). Nadal jednak nie jest to 100%.... Przypomnijmy: Rozdz. 1.. Czy ogólna teoria względności (OTW) jest prawdziwa?... Ponieważ 1,8 mieści sie w przedziale,0 ± 0,3, więc wydaje się, że OTW jest prawdziwa Dlaczego nie powiemy po prostu OTW jest prawdziwa? Teraz możemy odpowiedzieć na to pytanie. Błąd określony w tamtych badaniach (0,3 ) był błędem σ, zatem można powiedzieć, że po pomiarach odchylenia promienia świetlnego (1919) szansa na to, iż ogólna teoria względności jest prawdziwa wynosiła 94.5%. Każda wiedza empiryczna jest w pewnym stopniu niepewna (błąd przypadkowy (statystyczny)). Stopień niepewności rośnie dodatkowo wskutek możliwości wystąpienia błędu systematycznego. W typowych, mniej fundamentalnych pomiarach stosuje się błąd pomiarowy 1σ. Nr. Błędy systematyczne poprawki wynikające z modelu fizycznego wahadła W badaniach fizycznych mamy zwykle do czynienia nie tyle z samym zjawiskiem, ile z jego fizycznym modelem. Rzeczywistość spełnia założenia modelu tylko w pewnym stopniu co jest przyczyną błędów systematycznych. Dobre modele fizyczne i pomiary powinny umożliwiać wyznaczenie poprawek kompensujących błędy systematyczne. Przeanalizujmy skutki przyjętych założeń upraszczających naszego modelu i możliwość poprawek do niego. W przyjętym przez nas modelu drgań wahadła przyjęliśmy m.in., że jest ono tzw. wahadłem matematycznym, a więc punktem materialnym o pewnej 4
25 masie zawieszonym na nieskończenie lekkiej nici. To uproszczenie powoduje zawyżenie zmierzonej wartości g. Poprawka będzie ujemna. Można ją oszacować liczbowo. Kolejne uproszczenie dotyczy braku oporów ruchu: w ośrodku (powietrze) i w punkcie zawieszenia. Powoduje ono zaniżenie (poprawka będzie dodatnia) zmierzonej wartości g (dlaczego?). Można ją oszacować liczbowo, po dodatkowych pomiarach w tym samym, lecz udoskonalonym, układzie pomiarowym. I wreszcie, założyliśmy, że kąt wychylenia wahadła z położenia równowagi α jest nieskończenie mały (warunek, aby ruch był harmoniczny). To uproszczenie powoduje zaniżenie (poprawka będzie dodatnia) zmierzonej wartości g. Tę poprawkę możemy wyliczyć: l 1 α g 4 π [ 1 + sin ], T gdzie: α kąt wychylenia wahadła. Zadanie: Oblicz poprawkę do wartości g ze względu na kąt wychylenia wahadła, dla α = 10 o. Porównaj ją z obliczoną wartością błędu pomiarowego g. Ile wynosi ta poprawka dla α = 0 o? W jakiej sytuacji odnośnie do warunków pomiaru obliczone poprawki miałyby istotne znaczenie? Podziękowania Dziękuję Panu dr hab. Zygmuntowi Szeflińskiemu za współpracę w przygotowaniu programu i układu treści Warsztatów. Copyright Piotr Jaracz 005 warsztaty błędu.pdf 5
LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ
POMIAR PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO METODĄ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Wyznaczymy doświadczalnie wartośd przyśpieszenia ziemskiego g badając zjawisko tzw. drgao harmonicznych ( oscylator harmoniczny ) pod wpływem
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych Dr inż. Marcin Zieliński I Pracownia Fizyczna dla Biotechnologii, wtorek 8:00-10:45 Konsultacje Zakład Fizyki Jądrowej
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów Ochrony Środowiska Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999. [2] A. Zięba, Analiza
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH
ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby
Bardziej szczegółowoNiepewność pomiaru. Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością. jest bledem bezwzględnym pomiaru
iepewność pomiaru dokładność pomiaru Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością X p X X X X X jest bledem bezwzględnym pomiaru [ X, X X ] p Przedział p p nazywany jest przedziałem
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii 2007 Paweł Korecki 2013 Andrzej Kapanowski Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoZajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów
wielkość mierzona wartość wielkości jednostka miary pomiar wzorce miary wynik pomiaru niedokładność pomiaru Zajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów 1. Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoWstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoWyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm.
2 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. Nr pomiaru T[s] 1 2,21 2 2,23 3 2,19 4 2,22 5 2,25 6 2,19 7 2,23 8 2,24 9 2,18 10 2,16 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoTutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi
Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoĆw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
2019/02/14 13:21 1/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie przyspieszenia
Bardziej szczegółowoDoświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyn i współczynnika sztywności zastępczej
Doświadczalne wyznaczanie (sprężystości) sprężyn i zastępczej Statyczna metoda wyznaczania. Wprowadzenie Wartość użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2018/19 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów
Podstawy opracowania wyników pomiarów I Pracownia Fizyczna Chemia C 02. 03. 2017 na podstawie wykładu dr hab. Pawła Koreckiego Katarzyna Dziedzic-Kocurek Instytut Fizyki UJ, Zakład Fizyki Medycznej k.dziedzic-kocurek@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoTemat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać
Bardziej szczegółowoZmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka
Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka Jakub S. Prauzner-Bechcicki Grupa: Chemia A Kraków, dn. 7 marca 2018 r. Plan wykładu Rozważania wstępne Prezentacja wyników
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoĆw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2
1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoKARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU
Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Biologii A i B dr hab. Paweł Korecki e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoTeoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.
Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej
Bardziej szczegółowoPracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu
Pracownia Astronomiczna Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu Każdy pomiar obarczony jest błędami Przyczyny ograniczeo w pomiarach: Ograniczenia instrumentalne
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoDokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru
Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio
Bardziej szczegółowoCharakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Dzięki uprzejmości: Paweł Korecki Instytut Fizyki UJ pok. 256 e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://users.uj.edu.pl/~korecki
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoWyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana
Bardziej szczegółowoPodstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia
Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia 1. Zaokrąglij podane wartości pomiarów i ich niepewności. = (334,567 18,067) m/s = (153 450 000 1 034 000) km = (0,0004278 0,0000556) A = (2,0555 0,2014) s =
Bardziej szczegółowoFizyka (Biotechnologia)
Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,
Bardziej szczegółowoDoświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny
Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo
Bardziej szczegółowoMetrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: obliczenia na liczbach przybliżonych dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Cyfry znaczące reguły Kryłowa-Bradisa: Przy korzystaniu z przyrządów z podziałką przyjęto zasadę, że
Bardziej szczegółowoOpis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoprzybliżeniema Definicja
Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl
Bardziej szczegółowoOkreślanie niepewności pomiaru
Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoBlok I: Wyrażenia algebraiczne. dla xy = 1. (( 7) x ) 2 ( 7) 11 7 x c) x ( x 2) 4 (x 3 ) 3 dla x 0 d)
Blok I: Wyrażenia algebraiczne I. Obliczyć a) 9 9 9 9 ) 7 y y dla y = z, jeśli = 0 4, y = 0 0.7 i z = y 64 7) ) 7) 7 7 I. Uprościć wyrażenia a) 48 6 4 dla 0 5) 4 dla 0 ) 4 ) dla 0 45 4 y ) dla yz 0 I.
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Bardziej szczegółowoPaństwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Kaliszu Ć wiczenia laboratoryjne z fizyki Ćwiczenie Wyznaczanie parametrów ruchu obrotowego bryły sztywnej Kalisz, luty 005 r. Opracował: Ryszard Maciejewski Natura jest
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu drgań wahadła od amplitudy
Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwisko 1. 2. Temat: Rok Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu
Bardziej szczegółowoJak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?
1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowoKOOF Szczecin: www.of.szc.pl
Źródło: LI OLIMPIADA FIZYCZNA (1/2). Stopień III, zadanie doświadczalne - D Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Andrzej Wysmołek, kierownik ds. zadań dośw. plik;
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoSprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoDOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1
DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 I. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE Niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa. Przedstawianie wyników
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoP. R. Bevington and D. K. Robinson, Data reduction and error analysis for the physical sciences. McGraw-Hill, Inc., 1992. ISBN 0-07- 911243-9.
Literatura: P. R. Bevington and D. K. Robinson, Data reduction and error analysis for the physical sciences. McGraw-Hill, Inc., 1992. ISBN 0-07- 911243-9. A. Zięba, 2001, Natura rachunku niepewności a
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metrologii
Laboratorium Metrologii Ćwiczenie nr 1 Metody określania niepewności pomiaru. I. Zagadnienia do przygotowania na kartkówkę: 1. Podstawowe założenia teorii niepewności. Wyjaśnić znaczenie pojęć randomizacja
Bardziej szczegółowoDoświadczalne badanie drugiej zasady dynamiki Newtona
Doświadczalne badanie drugiej zasady dynamiki Newtona (na torze powietrznym) Wprowadzenie Badane będzie ciało (nazwane umownie wózkiem) poruszające się na torze powietrznym, który umożliwia prawie całkowite
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoLaboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R M-2
INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta
Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie
Bardziej szczegółowoAutomatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych. Instrukcja do ćwiczenia III. Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia
Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych Instrukcja do ćwiczenia III Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia (Rys. ) jest to urządzenie
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
Ćwiczenie M6 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego M6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego poprzez analizę ruchu wahadła prostego. M6..
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa,
Bardziej szczegółowoF = e(v B) (2) F = evb (3)
Sprawozdanie z fizyki współczesnej 1 1 Część teoretyczna Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas
Bardziej szczegółowoLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne
LI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne ZADANIE D1 Cztery identyczne diody oraz trzy oporniki o oporach nie różniących się od siebie o więcej niż % połączono szeregowo w zamknięty obwód elektryczny.
Bardziej szczegółowoRozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Bardziej szczegółowoLaboratorium Fizyki WTiE Politechniki Koszalińskiej. Ćw. nr 26. Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych
z 5 Laboratorium Fizyki WTiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 26. Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych. el ćwiczenia Poznanie jednej z metod wyznaczania pojemności zalecanej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoPomiar rezystancji metodą techniczną
Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoFIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)
2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole
Bardziej szczegółowoĆw. 32. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny
0/0/ : / Ćw.. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny Ćw.. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny. Cel ćwiczenia Sprawdzenie doświadczalne wzoru na siłę sprężystą $F = -kx$ i wyznaczenie stałej sprężystości
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoNarodowe Centrum Badań Jądrowych Dział Edukacji i Szkoleń ul. Andrzeja Sołtana 7, Otwock-Świerk
Narodowe Centrum Badań Jądrowych Dział Edukacji i Szkoleń ul. Andrzeja Sołtana 7, 05-400 Otwock-Świerk ĆWICZENIE L A B O R A T O R I U M F I Z Y K I A T O M O W E J I J Ą D R O W E J Zastosowanie pojęć
Bardziej szczegółowo5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE Model klasyczny Gulliksena Wynik otrzymany i prawdziwy Błąd pomiaru Rzetelność pomiaru testem Standardowy błąd pomiaru Błąd estymacji wyniku prawdziwego Teoria Odpowiadania
Bardziej szczegółowoKOOF Szczecin: www.of.szc.pl
3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar
Bardziej szczegółowoSzkoła z przyszłością. Zastosowanie pojęć analizy statystycznej do opracowania pomiarów promieniowania jonizującego
Szkoła z przyszłością szkolenie współfinansowane przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Narodowe Centrum Badań Jądrowych, ul. Andrzeja Sołtana 7, 05-400 Otwock-Świerk ĆWICZENIE
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Numer Projektu: POKL.4.1.1--59/8 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁINśYNIERII
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowo