Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Transkrypt

1 PESEL: Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Egzamin wst pny na studia II stopnia na kierunku INFORMATYKA 30 czerwca 2012 roku Czas rozwi zywania: 150 minut W ka»dym spo±ród 30 zada«podane s trzy warianty: (a), (b) oraz (c). W kratce przy ka»dym z wariantów nale»y odpowiedzie, czy jest on prawdziwy, wpisuj c drukowanymi literami TAK albo NIE. W przypadku omyªkowego wpisu kratk nale»y przekre±li i napisa jedno z tych sªów po jej lewej stronie. Przykªad poprawnego rozwi zania zadania 4. Ka»da liczba caªkowita postaci 10 n 1, gdzie n jest caªkowite i dodatnie, TAK (a) dzieli si przez 9; NIE TAK (b) jest pierwsza; (c) jest nieparzysta. Na stronach testu mo»na pisa wyª cznie we wskazanych wy»ej miejscach i jedynie sªowa TAK oraz NIE. Pisa nale»y dªugopisem lub piórem. Zasady punktacji Zdaj cy zdobywa punkty "du»e"(od 0 do 30) i punkty "maªe"(od 0 do 90): jeden punkt "du»y" kandydat uzyskuje za zadanie, w którym poprawnie wskazaª prawdziwo± albo faªsz ka»dego z trzech zwi zanych z tym zadaniem wariantów odpowiedzi; jeden punkt "maªy" kandydat uzyskuje za ka»de poprawne wskazanie prawdziwo±ci albo faªszu pojedynczego wariantu odpowiedzi. Oznacza to,»e 3 "maªe" punkty uzyskane w jednym zadaniu skªadaj si na jeden "du»y" punkt. Ostatecznym wynikiem egzaminu jest liczba W = D + m/100 gdzie D oznacza liczb "du»ych", a m liczb "maªych" punktów. Na przykªad: 5,50 oznacza,»e kandydat poprawnie wskazaª w caªym te±cie prawdziwo± albo faªsz ª cznie 50 wariantów odpowiedzi, w tym ka»dego z trzech wariantów dla pewnych pi ciu zada«. Zasadnicz rol w ostatecznym wyniku testu maj punkty "du»e". Punkty "maªe" zwi kszaj rozdzielczo±, je±li wielu kandydatów dostaªo tyle samo "du»ych" punktów. Powodzenia!

2 1. Ci g okre±lony dla n 1 wzorem ( n ) (2 n ) jest (a) zbie»ny do 1; (b) rosn cy, pocz wszy od pewnego miejsca; (c) ograniczony. 2. Funkcja f : (0; 1) R zadana wzorem f(x) = sin x (a) jest ró»niczkowalna; (b) jest ci gªa i osi ga swój kres górny; (c) ma pochodn ograniczon. 3. Funkcja f : R R jest zadana wzorem f(x) = sin(nx) n=1. Wynika z tego,»e n 3 (a) funkcja f jest ograniczona na R; (b) funkcja f jest ró»niczkowalna na R; (c) speªniona jest nierówno± 16 > f (0) > W przestrzeni liniowej P R 3 wielomianów rzeczywistych stopnia mniejszego ni» 3 dane s wielomiany p 1 (t) = 1, p 2 (t) = 1 + t 2, p 3 (t) = 1 + t + t 2. Wynika z tego,»e (a) ukªad (p 1, p 2, p 3 ) stanowi baz przestrzeni P 3 R ; (b) je±li q(t) jest wielomianem stopnia pierwszego, to ukªad (p 1, p 2, q) jest liniowo niezale»ny; (c) macierz A = (p i (j)) 3 i,j=1 jest nieosobliwa. 5. Niech R 3 b dzie przestrzeni euklidesow ze zwykªym iloczynem skalarnym ( x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 i niech Y b dzie podprzestrzeni wszystkich x R 3 speªniaj cych ukªad równa«{ x1 x 2 = 0 Wynika z tego,»e x 2 x 3 = 0 (a) zbiór wektorów prostopadªych do Y jest podprzestrzeni o wymiarze 1; (b) istnieje prostopadªy do Y wektor z 0, dla którego z 1 = z 3 ; (c) rzutem prostopadªym wektora [1, 0, 1] T na podprzestrze«y jest wektor zerowy. 6. Niech A b dzie dowolnym zbiorem i niech s, r A A b d relacjami. Je±li s i r s (a) zwrotne, to s r jest relacj zwrotn ; (b) symetryczne, to s r jest relacj symetryczn ; (c) przechodnie, to s r jest relacj przechodni.

3 7. Zbiór A ma moc ℵ 0. Wynika z tego,»e w cz ±ciowym porz dku P(A), (a) ka»dy podzbiór ma kres górny; (b) istnieje ªa«cuch o mocy continuum; (c) istnieje antyªa«cuch o mocy continuum. 8. Niech f : A B b dzie funkcj na B i niech s A b dzie relacj równowa»no±ci na A. Przez f 1 (X) oznaczamy przeciwobraz X przy f. Nast puj ca relacja r jest relacj równowa»no±ci na B: (a) b r b wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 ({b}) f 1 ({b }) jest pewn klas abstrakcji relacji s A ; (b) b r b wtedy i tylko wtedy, gdy istniej a, a A takie,»e a f 1 ({b}) i a f 1 ({b }) oraz a s A a ; (c) b r b wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych a, a A takich,»e a f 1 ({b}) i a f 1 ({b }), zachodzi a s A a. 9. Funkcj tworz c A(x) ci gu (n + 1)2 n n=0 jest (a) 1 (1 2x)(1 x) ; d 1 (b) dx 1 2x ; x dt (c) 1 2t Graf G ma cykl Eulera, ale nie ma cyklu Hamiltona. Wynika z tego,»e (a) dopeªnienie grafu G ma cykl Hamiltona; (b) G ma ±cie»k Hamiltona; (c) G ma wi cej ni» jedn dwuspójn skªadow. 11. Istnieje przestrze«probabilistyczna Ω i zdarzenia A, B Ω takie,»e P (A) = P (B) = 2 3 oraz (a) A i B s niezale»ne; (b) P (A B) = 1 3 ; (c) P (A B) P (B A); 12. Ci g δ = δ 1, δ 2,..., δ n nazywamy k-uporz dkowanym rosn co, gdy ka»dy jego podci g zªo»ony z elementów odlegªych o k jest uporz dkowany rosn co, tzn. δ i < δ i+k dla i = 1, 2,..., n k. Ci g δ mo»na uporz dkowa wykonuj c O(n) porówna«, gdy jest on (a) jednocze±nie 2- i 3-uporz dkowany; (b) 2012-uporz dkowany; (c) log n -uporz dkowany.

4 13. W zbiorze AVL-drzew o 10 w zªach (a) istnieje drzewo o wysoko±ci (czyli najwi kszej liczbie kraw dzi od korzenia do li±cia) równej 4; (b) ka»de drzewo ma wysoko± co najmniej 3; (c) maksymalna ró»nica liczb w zªów podrzew korzenia wynosi Relacja R ma kolumny A, B, C, D, E i zale»no±ci funkcyjne A BC, CA D, B E. Wynika z tego,»e (a) relacja R ma dokªadnie trzy klucze; (b) relacja R jest w trzeciej postaci normalnej; (c) schemat relacji R daje si sprowadzi do postaci Boyce'a-Codda z zachowaniem zale»no±ci funkcyjnych i informacji. 15. Dane s relacje R i Q, ka»da zawieraj ca dokªadnie n krotek. Wynika z tego,»e relacja R Q (zª czenie naturalne R i Q) ma (a) co najmniej n krotek; (b) co najwy»ej n 2 krotek; (c) dokªadnie 2n krotek. 16. Regularny jest j zyk nad alfabetem {a, b} zªo»ony ze wszystkich sªów, w których ka»de podsªowo (a) dªugo±ci trzy wyst puje parzyst liczb razy; (b) dªugo±ci wi kszej ni» trzy wyst puje parzyst liczb razy; (c) wyst puje równie» jako preks. 17. Problem stopu dla maszyn Turinga jest (a) w klasie NP; (b) cz ±ciowo rozstrzygalny; (c) rozstrzygalny. 18. Dla j zyka L, niech Ψ(L) oznacza zbiór dªugo±ci sªów z j zyka L. Istnieje taki j zyk bezkontekstowy L, dla którego Ψ(L) jest zbiorem (a) liczb naturalnych podzielnych przez 11; (b) kwadratów liczb naturalnych; (c) sze±cianów liczb naturalnych. 19. W grae przydziaªu zasobów istnieje cykl. Wynika z tego,»e (a) system jest w stanie blokady; (b) system jest w stanie bezpiecznym; (c) istnieje proces oczekuj cy na zasoby.

5 20. Procesy P 1 i P 2 s synchronizowane algorytmem Petersona. Wynika z tego,»e (a) P 1 i P 2 wchodz do sekcji krytycznej na zmian ; (b) P 1 wejdzie kiedy± do sekcji krytycznej; (c) w dowolnym momencie w sekcji krytycznej przebywa co najwy»ej jeden proces. 21. Zmienna x jest zmienn globaln o warto±ci pocz tkowej 0. W systemie wykonuj si wspóªbie»nie dwa procesy o nast puj cej tre±ci: process P; var i: integer; begin for i := 1 to 5 do x := x + 1; end; Po zako«czeniu wykonania obu procesów warto± zmiennej x jest (a) równa 10; (b) niemniejsza ni» 5; (c) mniejsza ni» Dany jest program w C++: 1 #include <i o s t r e a m > using namespace s t d ; 3 class A { public : 5 void m1( ) { cout << 'A ' ; } virtual void m2( ) { cout << 'B ' ; } 7 virtual void m3( ) { cout << 'C ' ; } } ; 9 class B : public A { 11 public : void m1( ) { cout << 'D ' ; } 13 void m2( ) { cout << 'E ' ; } } ; 15 class C: public B { 17 public : void m3( ) { cout << 'F ' ; } 19 } ; 21 int main ( ) { A a = new B( ) ; 23 a >m1( ) ; a >m2( ) ; 25 a >m3( ) ; } (a) Wywoªanie metody a->m1() spowoduje wypisanie znaku A. (b) Wywoªanie metody a->m2() spowoduje wypisanie znaku B. (c) Wywoªanie metody a->m3() spowoduje wypisanie znaku C.

6 23. Rozwa»amy programy napisane w Javie. Je»eli klasa A jest nadklas B, to w tre±ci klasy B (a) trzeba zdeniowa wszystkie metody zdeniowane w klasie A; (b) mo»na zdeniowa metody o innych nagªówkach ni» metody zdeniowane w klasie A; (c) mo»na zdeniowa metod o takim samym nagªówku jak metoda zdeniowana w klasie A, ale z w»sz widoczno±ci ni» byªa podana w metodzie z klasy A. 24. W strukturze relacyjnej, której no±nikiem jest zbiór liczb caªkowitych, a wszystkie symbole operacji i relacji maj standardowe znaczenie, formuªa logiki Hoare'a {x < a} while x 0 do x := x + 1 {x = 0} (a) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1; (b) jest prawdziwa dla a = 1; (c) jest prawdziwa dla ka»dego a. 25. Dana jest funkcja function coto(n:integer):integer; begin if n=0 then coto := 1 else if n>0 then coto := coto(n-1)+coto(-n) else coto:=coto(n+1)-1 end; Przypisanie y:=coto(x) spowoduje,»e b dzie zachodzi zale»no± (a) y x ; (b) y 1; (c) je±li x = 2012, to y = Dla danego stylu (nie s stosowane»adne inne style): div {color: yellow;} div p {color: red;} div.p {color: green;} p#id {color: green;}.x#id {color: black;} i fragmentu HTML <body><div class="x"><p id="id">xxx</p><p>yyy</p>zzz</div></body> (a) napis XXX ma kolor zielony; (b) napis YYY ma kolor czerwony; (c) napis ZZZ ma kolor»óªty.

7 27. W czterech kolejnych bajtach pami ci, pocz wszy od adresu X, znajduj si odpowiednio warto±ci 1, 3, 5 i 7. Procesor cienkoko«cówkowy (ang. little-endian) wczytaª 32-bitow liczb spod adresu X, odj ª od niej (16) 10 i zapisaª wynik pod adresem X. Po tych operacjach bajt o adresie (a) X zawiera warto± (F1) 16 ; (b) X + 1 zawiera warto± (03) 16 ; (c) X + 2 zawiera warto± (05) Pewien procesor u»ywa jednopoziomowego mechanizmu stronicowania. Rozmiar tablicy stron jest równy rozmiarowi strony. Jeden wpis w tablicy stron zajmuje 4 bajty. Adres wirtualny ma 32 bity. Wynika z tego,»e w tym procesorze (a) strona ma rozmiar 4 KiB; (b) górne ograniczenie na rozmiar pami ci zycznej wynosi 4 GiB; (c) procesowi mo»na przydzieli co najwy»ej stron. 29. W nagªówku TCP znajduje si (a) numer portu nadawcy; (b) adres IP odbiorcy; (c) 32-bitowy numer kolejny pakietu. 30. Od kryptogracznej funkcji skrótu f wymagamy, aby dla danego x trudne obliczeniowo byªo znalezienie takiego y x,»e (a) f(f(y)) = x; (b) f(x) = f(y); (c) f(y) = x.