Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 9 1/5 ĆWICZENIE 9. Kwantowanie sygnałów

Transkrypt

1 Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 1/5 ĆWICZEIE 9 Kwantowanie sygnałów 1. Cel ćwiczenia ygnał przesyłany w cyfrowym torze transmisyjnym lub przetwarzany w komputerze (procesorze sygnałowym) musi mieć postać sygnału cyfrowego, tzn. dyskretne wartości próbek sygnału muszą być zakodowane za pomocą skończonej liczby bitów. Cyfryzacja sygnału wymaga, aby w przetworniku A/C sygnał został skwantowany. Kwantowanie sygnału wprowadza do systemu błąd kwantowania. W ćwiczeniu będą badane metody kwantowania i wprowadzane przez nie błędy kwantowania. 2. Wprowadzenie Urządzenie dokonujące kwantowania sygnału nazywa się kwantyzerem. Za pomocą b bitów b można zapisać L = 2 różnych wartości. Dlatego, jeżeli kwantyzer jest b bitowy, to ma b L = 2 przedziałów kwantowania. Kwantyzer jest liniowy, gdy wszystkie przedziały kwantowania mają jednakową szerokość. zerokość przedziału kwantowania jest też oznaczana symbolem lub 1LB (z ang. Least ignificant Bit). Przedziałowi kwantowania można przypisać dowolny poziom kwantowania wybrany z tego przedziału kwantowania. Poziomów kwantowania jest tyle, ile przedziałów kwantowania. Każdy poziom kwantowania jest kodowany za pomocą b bitów przyjmujących wartości binarne, najczęściej oznaczane jako 1 i 0. W efekcie kodowania sygnał zostaje przetworzony na ciąg zero-jedynkowy. Kodowanie może odbywać się na wiele sposobów, np. można zastosować kod znak-moduł, kod z uzupełnieniem do 1, czy najbardziej popularny kod z uzupełnieniem do 2. W tym ćwiczeniu nie będziemy zajmowali się problemem kodowania. Jeżeli kwantyzerowi liniowemu przypiszemy poziomy kwantowania uzyskane poprzez zaokrąglanie, w środku przedziałów, to kwantyzer jest kwantyzerem bez 0, gdyż jego charakterystyka schodkowa nie ma poziomu zerowego. Ten kwantyzer nazywa się kwantyzerem typu II, a jego charakterystyka jest funkcją nieparzystą. ygnał skwantowany t powstaje poprzez przerzutowanie sygnału analogowego x t przez charakterystykę x () schodkową kwantyzera. ieco innym rodzajem kwantyzera jest kwantyzer liniowy z 0. W tym kwantyzerze przedziałom kwantowania przypisuje się poziomy kwantowania nie poprzez zaokrąglanie, ale poprzez obcinanie, na dolnych krańcach przedziałów kwantowania. W tym przypadku wśród poziomów kwantowania znajduje się poziom 0, co uzasadnia nazwę kwantyzera. Charakterystyka tego kwantyzera nie jest funkcją nieparzystą. W praktyce korzysta się z kwantyzerów typu I, które mają charakterystykę podobną do charakterystyki kwantyzera z 0, z tym, że jest ona przesunięta o pół kwantu w lewo. Kwantyzer typu I charakteryzuje się posiadaniem strefy nieczułości w zakresie ± / 2 wokół zera. Kwantyzer nie reaguje na sygnał wejściowy, szumy i zakłócenia, o ile ich wartości nie przekraczają strefy nieczułości i w koderze jest generowany ciąg samych 0. ie zawsze jest to korzystne. Aby uniknąć generowania długich ciągów samych 0, samych 1 lub okresowo powtarzających się b bitów stosuje się technikę dither. Polega ona na dodaniu do sygnału użytecznego sygnału szumowego o wartości międzyszczytowej około 3, co wymusza zróżnicowanie generowanych ciągów. Technika ta pozwala dla stałego sygnału wejściowego uzyskiwać na wyjściu uśredniony, stały sygnał wyjściowy na poziomie równym sygnałowi ( )

2 Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 2/5 wejściowemu, różnym od któregokolwiek z dyskretnych poziomów kwantowania. Jest to interesujący przypadek, gdy dodanie szumu poprawia możliwość wydobycia informacji. Techniką dither nie będziemy zajmowali się w tym ćwiczeniu. Istnieją sygnały, dla których małe wartości chwilowe są o wiele bardziej prawdopodobne niż duże wartości chwilowe. Przykładem takiego sygnału jest sygnał mowy (funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest z dużą dokładnością funkcją malejącą wykładniczo). Dla takich sygnałów nie ma sensu utrzymywanie stałej szerokości przedziału kwantowania (kwantyzer liniowy), ale bardzo opłaca się zmniejszyć szerokości przedziałów kwantowania w pobliżu zera za cenę ich poszerzenia na skraju charakterystyki kwantyzera (kwantyzer nieliniowy). Wprawdzie dla dużych wartości próbek błąd kwantowania wzrośnie, ale dla małych wartości błąd kwantowania zmaleje, a ponieważ małe wartości próbek są bardziej prawdopodobne niż duże, to w sumie stosunek mocy sygnały do mocy szumu kwantowania wzrośnie. Tego rodzaju zabieg zmiany szerokości przedziału kwantowania nazywa się kompandorowaniem (jest to skrót językowy z kompresji x y dokonywanej po stronie nadawczej i ekspansji y x dokonywanej po stronie odbiorczej, ang. compressor expander = compander). Jeżeli kompandorowanie ma maksymalnie poprawić stosunek, to charakterystyka kompresji musi być dobrana optymalnie dla sygnału o określonej funkcji gęstości prawdopodobieństwa wartości chwilowych. Jak wspomniano, próbki sygnału mowy mają wartości o w przybliżeniu wykładniczej funkcji gęstości prawdopodobieństwa i można obliczyć optymalną charakterystykę kompresji. W wyniku obliczeń otrzymuje się optymalną charakterystykę kompresji dla sygnału mowy i jest to w przybliżeniu funkcja logarytmiczna. ygnały mowy poszczególnych rozmówców różnią się cechami indywidualnymi, zwłaszcza poziomem głośności. Dlatego nie istnieje jedna wspólna, optymalna dla wszystkich rozmówców charakterystyka kompresji. Opracowano standardowe charakterystyki kompresji dla sygnału mowy ze współczynnikiem szczytu k rzędu 10 do 40. Dla sygnałów mowy standardowo używa się dwóch suboptymalnych charakterystyk kompresji. W UA i Japonii jest to charakterystyka kompresji nosząca nazwę µ -prawa ( + µ x ) ln 1 y = sgn( x), x 1, stała µ = 255 (1) ln 1 ( + µ ) Charakterystyka kompresji używana w krajach europejskich nosi nazwę A-prawa i wyraża się następującym wzorem A 1 x, x < y = 1+ ln A A stała A = 87, 6 (2) 1+ ln( A x ) 1 sgn( x), x 1 1+ ln A A Ta charakterystyka chociaż nie będzie optymalna, to będzie dawała poprawę także dla innych sygnałów niż sygnał mowy, dla których małe wartości chwilowe są bardziej prawdopodobne niż duże wartości chwilowe. atomiast dla sygnałów nie spełniających tego warunku (np. sinusoida duże wartości chwilowe są bardziej prawdopodobne niż małe) zamiast poprawy nastąpi pogorszenie. Dla sygnału trójkątnego optymalne jest liniowe kwantowanie (liniowa charakterystyka kompresji, czyli brak kompresji, każdy kwantyzer inny niż liniowy spowoduje pogorszenie ).

3 Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 3/5 W niniejszym ćwiczeniu badania kwantyzerów zostaną przeprowadzone z użyciem interfejsu graficznego kwantyzer. Okno tego interfejsu graficznego pokazano na rys. 1. Rys. 1. Okno interfejsu graficznego kwantyzer Okno interfesu jest podzielone na dwie jednakowe połowy, górną i dolną. Dzięki temu bardzo łatwo można porównać właściwości dwóch kwantyzerów lub właściwości tego samego kwantyzera dla dwóch różnych sygnałów. Do badań są dostępne następujące cztery kwantyzery: - liniowy bez 0 (in. typ II); - liniowy z 0; - liniowy z 0 przesuniętym o 2 (in. typ I); - nieliniowy, typ I z A-prawem. Wyboru rodzaju kwantyzera dokonujemy za pomocą przycisków radiowych. Liczbę bitów kwantyzera wybieramy z przedziału 2 b 8 za pomocą suwaka. Jako sygnał wejściowy kwantyzera można wybrać składający się z 1001 próbek jeden z czterech sygnałów: - sygnał trójkątny; - sygnał sinusoidalny; - sygnał szumu gaussowskiego; - sygnał mowy. Dla wybranego kwantyzera i sygnału komputer oblicza stosunek mocy sygnału do mocy szumu kwantowania [db]. Zostają też wykreślone: charakterystyka kwantyzera, sygnał wejściowy (kolor niebieski), sygnał skwantowany (kolor czerwony) i błąd kwantowania.

4 Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 4/5 3. Wykonanie ćwiczenia 1. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego bez 0 (in. typ II). arysuj charakterystykę kwantyzera (b-dowolne). arysuj liniami przerywanymi na wspólnym wykresie przewidywane zależności [db] w funkcji liczby bitów b dla następujących sygnałów: sygnału trójkątnego ( [ ] 6, 02b db = ), sygnału sinusoidalnego ( [ db ] = 6,02b + 1, 76 ), sygnału szumu ( [ db] = 6,02b 4, 77 ( [ db ] = 6, 02b + C ), sygnału mowy, C jest stałą, którą chcemy wyznaczyć na podstawie pomiarów). a tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z interfejsu graficznego kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki. p. dla sygnału sinusoidalnego przewidywania teoretyczne różnią się od wyników pomiarów z tego powodu, że w obliczeniach 2 teoretycznych przyjmowano, iż szum kwantowania ma moc 12, a tymczasem w rzeczywistości błąd kwantowania nie jest ciągiem składającym się z trójkątów i ma moc nieco inną. Poza tym moce sygnału i błędu kwantowania są obliczane numerycznie, a więc są obarczone błędem obliczeń numerycznych i mogą przyjmować różne wartości w zależności od wyboru chwil próbkowania. 2. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego z 0. arysuj charakterystykę kwantyzera (bdowolne). arysuj liniami przerywanymi na wspólnym wykresie przewidywane zależności [db] w funkcji liczby bitów b dla sygnału trójkątnego, sygnału sinusoidalnego, sygnału szumu, sygnału mowy. Wartość [ db] dla kwantyzera z 0 jest o 6 db mniejsza niż dla kwantyzera bez 0. a tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z interfejsu graficznego kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki. 3. Zbadaj właściwości kwantyzera liniowego z 0 przesuniętym (in. typ I). arysuj charakterystykę kwantyzera (b-dowolne). arysuj liniami przerywanymi na wspólnym db (jak dla typu II, ale pomniejszone o poprawkę) wykresie przewidywane zależności [ ] w funkcji liczby bitów b dla sygnału trójkątnego, sygnału sinusoidalnego, sygnału szumu, sygnału mowy. a tle wykresów teoretycznych nanieś punkty wyników pomiarów z interfejsu graficznego kwantyzer. Przedyskutuj uzyskane wyniki. 4. Zbadaj właściwości kwantyzera nieliniowego, typ I z A-prawem. arysuj charakterystykę kwantyzera (b-dowolne). a wspólnym wykresie nanieś punkty wyników pomiarów [db] w zależności od liczby bitów b dla czterech sygnałów. Przedyskutuj uzyskane wyniki. W porównaniu z kwantyzerem liniowym, dla których sygnałów nastąpiła poprawa [db], a dla których pogorszenie i dlaczego W przypadku sygnału mowy o ile więcej bitów musi mieć kwantyzer liniowy typ I w porównaniu z kwantyzerem nieliniowym typ I, db aby uzyskać ten sam stosunek [ ] 4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany 1. arysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera bez 0 (kwantyzer typu II). Przerzutuj przez nią jeden okres fali:

5 Andrzej Leśnicki Laboratorium CP Ćwiczenie 9 5/5 arysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na 2. arysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera z 0. Przerzutuj przez nią jeden okres fali: arysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na 3. arysuj charakterystykę 3-bitowego kwantyzera typu I. Przerzutuj przez nią jeden okres fali: arysuj sygnał skwantowany i błąd kwantowania. Wyprowadź wzór na