Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 1/11 ĆWICZENIE 5. Analiza widmowa z zastosowaniem okien czasowych

Transkrypt

1 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 / ĆWICZENIE 5 Analiza widmowa z zastosowaniem okien czasowych. Cel ćwiczenia Okna czasowe stosuje się do wycięcia na osi czasu sygnału w celu rzerowadzenia analizy widmowej. Okna znajdują też inne zastosowania, n. w rojektowaniu iltrów cyrowych FIR, ale te zagadnienia wykraczają oza ramy tego ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest zbadanie, jak zmiana kształtu okna i jego długości wływają na widmo okna. W ćwiczeniu wybrane okna zostaną zastosowane do analizy widmowej sygnałów i będzie badany wływ właściwości okna na zdolność analizatora widma do rozróżniania bliskich sobie rążków widma sygnału.. Wrowadzenie Tyowe okno czasowe, jego kształt i widmo okazano na rys.. a) b) w[] n N n= [ ] w n W jω ( e ) R[ db] Tłumienie listków bocznych α = N N n Listek główny W M B N Szerokość listka głównego Rys.. Tyowe okno: a) kształt okna; b) kształt widma okna Listek boczny L,5 Podstawowe okna są dostęne do badań w interejsie graicznym okna. Orócz tego w interejsie graicznym okna3 są dostęne do badań takie okna jak: Parzen, Harris-Nuttall, łaski szczyt ISO, Gauss, Lanczos, odniesiona unkcja róbkowa, okno kodera mowy ITU-T G.79. Dokładniejsze omówienie tych okien wykracza jednak oza ramy tego ćwiczenia. Okno interejsu graicznego okna okazano na rys.. Dla wszystkich wymienionych okien w[] n są odawane cztery wartości ich arametrów. Wartości te są wyznaczane metodami numerycznymi (n. maksima i minima unkcji są wyznaczane numerycznie) i dlatego wartości te nieco różnią się od wartości dokładnych wyznaczonych metodami analitycznymi. W rzyadku okien z arametrem wartość arametru zmienia się suwakiem lub wisuje się ją w ole edycyjne. Długość okna N można zmieniać suwakiem lub orzez wis wartości N w olu edycyjnym. Przyciskami radiowymi wybiera się okna, dla których jω jest sorządzany wykres czasowy W e db. Widmo jest wykreślane od w [ n] i widma ( ) [ ] zera, rzeczywista wartość widma w zerze (równa sumie róbek okna w db) jest odawana

2 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 / jako arametr W ( ) [ db] zadawanej w olu edycyjnym.. Wartość widma jest wykreślana owyżej wartości min db Rys.. Okno interejsu graicznego okna Przykład. Porównamy właściwości okna rostokątnego i okna Bartletta. Przy długości N = 7, okna i ich widma są takie jak na rys.. Jest wyraźnie widoczna wymienność arametrów okien. W orównaniu z oknem rostokątnym, w oknie Bartletta uzyskano dwukrotnie większe tłumienie listków bocznych za cenę dwukrotnego zwiększenia szerokości listka głównego. Kształt listka głównego nieco ogorszył się (mniej rzyomina rostokąt), ale wzrosła dwukrotnie rędkość zanikania listków bocznych z 6dB okt do db okt. Wływ okna na widmo sygnału rzeuszczanego rzez to okno najdogodniej jest rześledzić na rzykładzie sygnałów sinusoidalnych. Sygnał nieskończony będący sumą dwóch sygnałów sinusoidalnych [] n = A cos( π nt + ϕ ) + A cos( π nt + ϕ ) x () ma widmo amlitudowe o ostaci imulsów Diraca (ola imulsów Diraca to odowiednio ( A ) i ( A )) i okazano je na rys. 3a. Sygnał sinusoidalny o rzejściu rzez okno jest sygnałem skończonym i ma widmo będące slotem imulsu Diraca i widma okna, czyli jego widmo jest reliką widma okna rozciągającą się wokół częstotliwości sinusoidy. W rzyadku sumy dwóch sinusoid, sygnał o rzejściu rzez okno ma widmo będące sumą dwóch relik widm okna (rys. 3b).

3 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 3/ a) b) ( A ) ( ) A ~ A ~ A = Rys. 3. Analiza widmowa: a) widmo sygnału oryginalnego; b) widmo sygnału rzeuszczonego rzez okno Analizator widma z wbudowanym oknem zniekształca mierzone widmo sygnału nieskończonego. Z owodu tych zniekształceń dwie sąsiadujące składowe dyskretne widma mogą być trudne do rozróżnienia. Jak widać na rys. 3b, dwie składowe dyskretne widma ani nie mogą znajdować się zbyt blisko siebie, ani zbyt różnić się amlitudami, gdyż widmo odowiadające jednemu rążkowi zniknie na tle drugiego. Zdolność analizatora widma do rozróżniania składowych dyskretnych widma nazywa się jego rozdzielczością częstotliwości i amlitudy. a) Rozdzielczość częstotliwości jest arametrem mówiącym o zdolności rozróżnienia składowych widma sumy dwóch sinusoid o jednakowych amlitudach ( A A = A ) [] n = Acos( π nt + ϕ ) + Acos( π nt + ϕ ) = x () różniących się niewiele częstotliwościami, rzy czym =. Rozdzielczość częstotliwości jest minimalną wartością min, rzy której dwie składowe widma z rys. 3b są jeszcze możliwe do rozróżnienia. O rozdzielczości częstotliwości decyduje głównie szerokość listka głównego ( min W M, zetknięcie się dwóch listków głównych), chociaż ma na nią także wływ kształt listka głównego, ukształtowanie listków bocznych, azy omiarowych sygnałów sinusoidalnych. b) Rozdzielczość amlitudy jest arametrem mówiącym o zdolności rozróżnienia składowych widma sygnału oisanego wzorem () będącego sumą dwóch sinusoid, rzy zadanej wartości =, stałej amlitudzie i zmniejszającej się amlitudzie A. Rozdzielczość min A ( ) amlitudy wyrażona w mierze decybelowej, to log A A min, gdzie A min jest minimalną wartością amlitudy drugiej składowej widma, rzy której jest jeszcze możliwe jej rozróżnienie na rys. 3b na tle ierwszej składowej o amlitudzie A. O rozdzielczości amlitudy decyduje głównie tłumienie listków bocznych R, chociaż ma na nią wływ także ukształtowanie listków bocznych i azy omiarowych sygnałów sinusoidalnych. Zwiększenie długości okna N zawsze sowoduje zwiększenie rozdzielczości częstotliwości i amlitudy analizatora widma, niezależnie od kształtu okna czasowego. Dzieje się tak za cenę zwiększenia czasu omiaru widma, gdyż wzrasta czas obserwacji sygnału i czas obróbki cyrowej coraz większej liczby róbek sygnału. Do badania widm sygnałów rzeuszczanych rzez okna czasowe będziemy używali interejsu graicznego widmo. Okno tego interejsu okazano na rys. 4.

4 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 4/ Rys. 4. Okno interejsu graicznego widmo W interejsie graicznym widmo można wrowadzić sygnał x t będący sumą do dziesięciu składowych sinusoidalnych wisywanych do dziesięciu ól. Kliknięte do edycji ole ma czerwony tekst. Dla każdej składowej sinusoidalnej zadajemy amlitudę A, częstotliwość i azę orzez wis w olu edycyjnym lub za omocą suwaka. Aby wyeliminować nieotrzebnie wisaną składową sygnału należy odstawić wartość amlitudy A =. Składową stałą sygnału wrowadzamy jako sinudoidę o częstotliwości zerowej. Długość N okna w[] n ustalamy suwakiem lub orzez wis w olu edycyjnym. Wyboru okna Bartlett, von Hann, Hamming, Blackman lub Dolh dokonujemy za omocą rzycisku radiowego. Komuter wykreśla najierw nieskończony sygnał x ( t), a nastęnie sygnał sróbkowany x [n] rzeuszczony rzez okno rostokątne (niebieskie o ) oraz rzez inne wybrane okno (czerwone x ). Zostaje też wykreślone widmo amlitudowe sygnału rzeuszczonego rzez okno rostokątne i rzez inne okno. Widma mogą być wykreślone w skali liniowej lub decybelowej. Przykład. Zbadamy właściwości cyrowego analizatora widma z oknem rostokątnym o długości N = 4. Jako sygnał wejściowy wybierzemy sygnał dwuharmoniczny () t cos( π,t ) + cos( π, t) x = 3 (3) Widmo sygnału sróbkowanego i rzeuszczonego rzez okno jest takie jak na rys. 4. Zmierzymy teraz rozdzielczość częstotliwości analizatora widma. Drugą składową sygnału o częstotliwości,3 odświetlamy kliknięciem na czerwono do edycji i suwakiem ()

5 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 5/ zmniejszamy łynnie częstotliwość. Prawy rążek widma zbliża się do lewego rążka, i gdy rążki zbliżą się do siebie na odległość równą rozdzielczości częstotliwości min B N =,5, to listki główne zetkną się i rawy rążek zacznie zanikać na tle rążka lewego. Wyznaczona wartość jest wartością rzybliżoną, gdyż trudno jest jednoznacznie stwierdzić na odstawie wykresu czy rążki widma (listki główne) już się zetknęły i zachodzą na siebie czy jeszcze nie. Przechodzimy teraz do zmierzenia rozdzielczości amlitudy analizatora widma. Pozostawiamy dwa rążki widma w odległości równej rozdzielczości częstotliwości =,5 min. Zmniejszamy suwakiem amlitudę drugiej składowej sygnału, aż rawy rążek widma zacznie niknąć na tle listków bocznych. Uważamy że rążek niknie, gdy osiąga amlitudę równą amlitudzie listków bocznych. W tym rzyadku tak stanie się rzy A, czyli rozdzielczość amlitudy równa się log ( ) log ( 5) 4 db A A = i jest w rzybliżeniu równa tłumieniu listków bocznych okna rostokątnego R = 3,5 db. Wyznaczona wartość jest wartością rzybliżoną, gdyż trudno jest jednoznacznie stwierdzić na odstawie niewielkiego wykresu czy rążek widma już osiągnął oziom listków bocznych czy jeszcze nie. Pomiary rozdzielczości częstotliwości i amlitudy analizatora widma można rzerowadzać osługując się skalą liniową lub decybelową na wykresie widma. Przykład 3. Zbadamy jaki kształt ma w cyrowym analizatorze widmo ali rostokątnej. Fala rostokątna o amlitudzie π 4 ma nastęujące rozwinięcie w szereg Fouriera π (4) () t = cos( t) cos( π 3 t) + cos( π 5 t) cos( π 7 t) + cos( π t) + K x 9 Wybieramy wartość =,5 i aroksymujemy alę rostokątną biorąc ięć kolejnych składowych z owyższego rozwinięcia w szereg Fouriera. Przy długości okna N = wyniki są takie jak na rys. 5. Prążki widma sygnału okresowego nie są okazywane jako nieskończenie wąskie, ale o kształcie takim jak widmo zastosowanego okna. W rzyadku okna rostokątnego są to rążki stosunkowo wąskie o kształcie zbliżonym do listka głównego, ale wystęujące na tle wydatnych listków bocznych. W rzyadku innych okien rążki widma są rzedstawiane jako listki główne szersze niż dla okna rostokątnego, ale za to wystęujące na tle niższych listków bocznych.

6 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 6/ Rys. 5. Widmo ali rostokątnej w cyrowym analizatorze widma Okna czasowe znajdują zastosowanie w dyskretnym, krótkoczasowym rzekształceniu Fouriera (ang. Short-Time Fourier Transorm STFT). Przekształcenie to ozwala badać sygnały, w których widmo lokalne zmienia się w unkcji czasu. Takimi sygnałami są na rzykład sygnały mowy, w których widmo zmienia się w miarę wyowiadania kolejnych głosek. Dyskretne krótkoczasowe rzekształcenie Fouriera jest zdeiniowane jako ciąg widm lokalnych obliczanych w miarę rzesuwania się okna w [ n] wzdłuż sygnału x[] n ( ) [][ ] k = jω jωn X k, e = x n w n k e, < k < (5) Widma nie trzeba obliczać dla każdego indeksu k. Wystarczy je obliczać co ołowę długości okna. Graicznie rzedstawia się zazwyczaj tylko wyniki obliczeń widma amlitudowego i taki wykres nazywa się sektrogramem. Wrawdzie sektrogram jest wykresem unkcji dwóch zmiennych, ale wykonuje się go na łaszczyźnie w układzie wsółrzędnych czas, częstotliwość. Trzeci wymiar (wartość modułu widma) jest wyrażany orzez oziom szarości lub kolor. Wygląda to odobnie jak na maie, gdzie kolorami rzedstawia się wysokość terenu (im wyższa góra, tym więcej koloru brązowego, im niżej ołożona dolina, tym więcej koloru zielonego). Do sorządzania sektrogramów rzygotowano interejs graiczny stt. Okno tego interejsu okazano na rys. 6. Badane sygnały mają ostać lików wav i można je odtwarzać używając rzycisku PLAY, rzy czym jest odawana częstotliwość róbkowania sygnału i liczba róbek sygnału. Wzdłuż sygnału rzesuwa się skokami co ołowę swojej długości

7 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 7/ okno Hamminga o długości z rzedziału od 3 do 53. Długość okna ustalamy osługując się suwakiem lub wisując wartość w olu edycyjnym (jest to zarazem liczba róbek w szybkiej transormacie Fouriera). Na tle rzebiegu czasowego sygnału zostało wykreślone czerwoną linią rzerywaną okno. Pod sodem zamieszczono widmo amlitudowe sygnału i sektrogram (krótkoczasowe widmo amlitudowe). Rys.6. Okno interejsu graicznego stt Przykład 4. Plik gama.wav zawiera róbki sygnału gamy do-re-mi-a-sol-la-si-do. Są to kolejne odcinki o,3 ms sinusoid o częstotliwościach tonów middle C, D, E, F, G, A, B, C, czyli: 6 Hz, 94 Hz, 33 Hz, 349 Hz, 39 Hz, 44 Hz, 494 Hz, 53 Hz. Osiem tonów to oktawa, w ramach której częstotliwość zostaje odwojona (dokładnie od 6, Hz do 53,5... Hz). Widać to na rys. 6 zarówno na widmie amlitudowym jak i na sektrogramie sygnału. Sektrogram daje o wiele leszy wgląd we właściwości widmowe sygnału niż zwykłe, uśrednione w czasie widmo, gdyż ozwala mierzyć zmiany widma w unkcji czasu. Sektrogram kojarzy się z zaisem nutowym muzyki. Podobnie jak na ięciolinii tak i w sektrogramie na osi oziomej zmienną jest czas, a na osi ionowej częstotliwość. Im wyżej na ięciolinii jest umieszczona nuta, tym większa jest częstotliwość tonu. W interejsie graicznym stt orócz sygnału gama są dostęne do badań także inne sygnały oisane oniżej. Plik chirlin.wav zawiera róbki sygnału świergotowego x() t = cos( πµ t ), µ = Hz s, róbkowanego z częstotliwością = 4 Hz. Częstotliwość chwilowa tego sygnału zmienia się liniowo () t µ t =. W czasie od do 4 s częstotliwość rośnie od do

8 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 8/ 8 Hz. Sektrogram okaże w rzedziale czasu od do s liniowe narastanie częstotliwości od do częstotliwości Nyquista = Hz. Dalej sektrogram będzie kreślony N = linią łamaną, gdyż sygnał nie sełnia założeń twierdzenia o róbkowaniu, zachodzą zniekształcenia aliasowe, widmo musi mieścić się w rzedziale Nyquista < N. Rozdzielczości sektrogramu na osi czasu i częstotliwości nie mogą być jednocześnie doskonałe, gdyż wzrost jednej rozdzielczości ociąga za sobą zmalenie drugiej rozdzielczości. Komromisowe rozdzielczości uzyskuje się, gdy stosunek szerokości listka głównego okna do długości okna jest w rzybliżeniu taki jak rędkość zmian częstotliwości sygnału WM τ okno d dt syg (6) W rzyadku sygnału świergotowego oznacza to, że okno Hamminga owinno mieć w rzybliżeniu nastęującą długość L = 4 (7) µ Plik AM.wav zawiera róbki sygnału z modulacją amlitudy = A + mcos π t cos π t, A = 3, m =, 5, = 5 Hz, = 3 Hz, () t [ ( )] ( ) x m róbkowanego z częstotliwością = Hz. Sygnał modulujący, a więc i sygnał zmodulowany mają widmo stałe w unkcji czasu. Dlatego sektrogram sygnału będzie stały w unkcji czasu. Prążki wstęg bocznych mają amlitudę ma. Plik FM.wav zawiera róbki sygnału z modulacją częstotliwości x() t = cos[ π t + β sin( π mt) ], = 5 Hz, m = 5 Hz, β = m = 5, róbkowanego z częstotliwością = Hz. Sygnał modulujący, a więc i sygnał zmodulowany mają widmo stałe w unkcji czasu. Dlatego sektrogram sygnału będzie stały w unkcji czasu. Prążki widma są odległe od siebie co częstotliwość sygnału modulującego i mają amlitudy roorcjonalne do wartości unkcji Bessela ierwszego rodzaju J (β. Ponieważ () J 5 =,466, to należy oczekiwać, że rążki numer dwa we wstęgach bocznych będą raktycznie zerowe. Plik PSK.wav zawiera róbki sygnału z cyrową modulacją PSK, x() t = cos [ π t + ϕ() t ], = Hz, róbkowanego z częstotliwością = 4 Hz. Faza ϕ( t) jest kluczowana w takt sygnału cyrowego (ciągu zero-jedynkowego), dla bitów aza ϕ () t =, a dla bitów aza ϕ()= t 8. Przykładowy cyrowy sygnał modulujący, to tylko cztery bity, każdy trwający sekundę. Plik auto.wav zawiera róbki sygnału rzejeżdżającego samochodu z włączonym klaksonem (częstotliwość róbkowania = 5 Hz ). Sygnał klaksonu jest sygnałem okresowym o częstotliwości odstawowej równej 4 Hz w warunkach, gdy samochód zbliża się do obserwatora. Na skutek zjawiska Dolera częstotliwość ta maleje w warunkach, gdy samochód oddala się od obserwatora. Obserwator słyszy sygnał o częstotliwości ozornej różniącej się od częstotliwości oryginalnej, rzy czym zmiany częstotliwości ozorna oisuje nastęujący wzór m k )

9 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 9/ ozorna v = (8) v m v s gdzie vs jest rędkością samochodu, zaś v jest rędkością dźwięku w owietrzu zależną od temeratury v = 33 [ C] t + 73 m s Na sektrogramie można zaobserwować jak zmalała częstotliwość klaksonu o minięciu obserwatora. Ósma harmoniczna częstotliwości klaksonu samochodu zbliżającego się miała wartość = 3 Hz i częstotliwość tej harmonicznej zmalała do wartości = 9 Hz z chwilą, gdy samochód zaczął oddalać się od obserwatora. Oznacza to, że rzy rędkości rozchodzenia się dźwięku w owietrzu równej 333 m/s, rędkość samochodu miała nastęującą wartość 3 9 m km v s = v = 333 = 6,4 = 59 () s godz Kolejnych dziesięć lików wav interejsu graicznego stt zawiera róbki dziesięciu głosek mowy róbkowanych z częstotliwością = 8 Hz. Znajomość właściwości widmowych oszczególnych głosek jest niezbędna w zagadnieniach rozoznawania i syntezy mowy. Głoski dzielą się na dźwięczne (n. a, e) i bezdźwięczne (n. s, sz). Organ mowy ludzkiej jest tak zbudowany, że rzyomina udło rezonansowe, w którym człowiek jest w stanie wytworzyć cztery częstotliwości rezonansowe (cztery ormanty). Tak więc organ mowy rzyomina iltr z charakterystyką częstotliwościową o czterech rzestrajanych maksimach. Przy wydawaniu głosek dźwięcznych iltr jest obudzany sygnałem okresowym (ciągiem delt Kroneckera o okresie większym dla mężczyzn o mutacji i mniejszym dla kobiet i dzieci). Przy wydawaniu głosek bezdźwięcznych iltr jest obudzany szumem. Na rzykład dla głoski dźwięcznej eee częstotliwości ormantów to w rzybliżeniu 6Hz, 8 Hz, 5 Hz, 34Hz, a częstotliwość odstawowa obudzenia okresowego to Hz. Z kolei na rzykład dla głoski bezdźwięcznej szsz częstotliwości ormantów to w rzybliżeniu 6Hz, Hz, 34Hz i nie ma w widmie rążków, co wskazuje na szumowe, a nie okresowe obudzenie iltru. Te sostrzeżenia stanowiły odstawę do oracowania bardzo skutecznych metod syntezy, rozoznawania i komresji sygnałów mowy. Do odbiorcy wystarczy rzesyłać wsółczynniki iltru (kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej, ormantów w takt wyowiadanych głosek) z inormacją, czy iltr ma być obudzany sygnałem okresowym, czy szumem. (9) 3. Wykonanie ćwiczenia. Wybierz do badań dwa okna odobnie jak w rzykładzie. Narysuj te okna i ich widma, odaj wartości arametrów. Przedyskutuj wyniki wykazując wymienność arametrów okien.

10 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 /. W literaturze odaje się, że okno Kaisera z odowiednio dobraną wartością arametru β aroksymuje inne okno. I tak, dla β = 5 jest aroksymowane okno von Hanna, dla β = 6 jest aroksymowane okno Hamminga, dla β = 8, 6 jest aroksymowane okno Blackmana. Wybierz jeden z tych trzech rzyadków i okaż na ile dokładna jest ta aroksymacja w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości. 3. Zmierz rozdzielczość częstotliwości i amlitudy cyrowego analizatora widma osługując się interejsem graicznym widmo odobnie jak w rzykładzie. Wybierz jedno z dostęnych okien i wybierz jego długość N. Narysuj widmo z zaznaczoną rozdzielczością częstotliwości i widmo z zaznaczoną rozdzielczością amlitudy. Przedyskutuj uzyskane wyniki, orównaj z rzewidywaniami teoretycznymi. 4. Fala trójkątna o amlitudzie π 8 ma nastęujące rozwinięcie w szereg Fouriera 9 5 () t = cos( π t) + cos( π 3 t) + cos( π 5 t) + cos( π 7 t) + cos( π t) + K x 9 Podobnie jak w rzykładzie 3 okaż, jakie jest widmo tego sygnału w cyrowym analizatorze widma (stosuj skalę liniową i decybelową) z wybranym oknem o wybranej długości. Narysuj sygnał i jego widmo. Czy rążki widma wystęują na częstotliwościach takich jak rzewidywano? Czy wysokości rążków są takie jak rzewidywano, n. czy rążek trzeciej harmonicznej jest 9 razy mniejszy niż rążek odstawowej harmonicznej? Przedyskutuj jak zależy kształt rążków widma sygnału od rodzaju i długości okna. 5. Wybierz do badań inny sygnał niż w rzykładzie 4. Zbadaj właściwości widmowe wybranego sygnału osługując się interejsem graicznym stt. Oisz te właściwości. Jakie wnioski wynikają z obserwacji uśrednionego widma sygnału, a jakie ze sektrogramu? Zadania testowe na wejściówki i srawdziany. Narysuj okno: a) rostokątne w[] n o długości N = 7 ; b) trójkątne w [ n] o długości N = 7 ; c) von Hanna w [] n o długości N = 7 ; d) Hamminga w [] n o długości N = 7 ; e) Blackmana w n o długości N = 7. [] jω Oblicz i wykreśl widmo okna ( e ) listków bocznych R [ db] W. Oblicz szerokość listka głównego W, M B i tłumienie. Jaka będzie w rzybliżeniu rozdzielczość częstotliwości i rozdzielczość amlitudy analizatora widma z takim oknem? []. Sygnał x n jest kosinusoidą o amlitudzie i okresie 8 T, gdzie T jest okresem róbkowania. Sygnał ten rzeuszczono rzez: a) okno rostokątne w[] n o długości N = 5 ; b) okno Bartletta w n o długości N = 5 ; []

11 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5 / [] c) okno von Hanna w n o długości N = 5 ; d) okno Hamminga w[] n o długości N = 5 ; e) okno Blackmana w[] n o długości N = 5 ; i otrzymano sygnał. Narysuj sygnały n n y [] n [ ] x, w [ ], [ n] y i ich widma amlitudowe. 3. Naszkicuj sektrogram sygnału świergotowego x( t) = cos( π t + πµ t ) zera do róbkowanego z częstotliwością rzy nastęujących wartościach t max arametrów: a) =, µ = khz, tmax = s, = 4 khz ; b) = khz, µ = khz, tmax = s, = 8 khz ; c) = khz, µ = khz, tmax = 4 s, = 8 khz. o czasie trwania od