Matematyka dyskretna

Transkrypt

1

2 Matematyka dyskretna

3

4 Andrzej Szepietowski Matematyka dyskretna Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk 2018

5 Recenzja prof. dr hab. Marek Zaionc Redakcja wydawnicza Dorota Zgaińska Projekt okładki i stron tytułowych Gabriela Gic-Grusza Skład i łamanie Marcin Babnis Wydanie drugie poprawione c Copyright by Uniwersytet Gdański Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ISBN Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ul. Armii Krajowej 119/121, Sopot tel./fax , tel wydawnictwo@ug.edu.pl Księgarnia internetowa:

6 Spis treści Przedmowa 13 1 Podstawowe pojęcia, oznaczenia Sumy Iloczyny Zbiory Różnica symetryczna zbiorów Iloczyn kartezjański Rodzina zbiorów Grafy (nieskierowane) Drzewa Drzewa ukorzenione Grafy skierowane Słowa Zaokrąglenia Przedrostki Notacja asymptotyczna Wielomiany Dzielenie wielomianów Schemat Horna Pierwiastki wielomianu Zadania Arytmetyka System dziesiętny System dwójkowy Zwiększanie liczby o jeden Porównywanie liczb Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Zamiana systemu Długość liczby Duże liczby Ułamki System szesnastkowy Reprezentacja liczb w komputerze Integer Real

7 6 Spis treści 2.12 Wyrażenia arytmetyczne w języku Pascal Poszukiwania binarne (binary search) Poszukiwanie pierwiastka Zadania Problemy Uzupełnieniowy zapis liczb ujemnych Liczby w postaci ósemkowej i szesnastkowej w języku C Sumy potęg dwójki Waga Kombinatoryka Zasada podwójnego zliczania Ciągi Funkcje Ciągi bez powtórzeń Permutacje Podzbiory Podzbiory k-elementowe Dwumian Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada sumy Zasada włączania i wyłączania Przestawienia Generowanie obiektów kombinatorycznych Generowanie podzbiorów Generowanie k-elementowych podzbiorów Generowanie permutacji Zadania Problemy Najkrótsze drogi Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach Wybór n przedmiotów k rozróżnialnych typów Kombinacje z powtórzeniami Permutacje z powtórzeniami Podziały uporządkowane Permutacje bez punktów stałych Liczba surjekcji Twierdzenie Ramseya Twierdzenie Halla o różnych reprezentantach Rachunek prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenia Dalsze przykłady przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, rozkład jednostajny Własności prawdopodobieństwa

8 Spis treści Prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Prawdopodobieństwo całkowite Schemat dwumianowy (Bernoulliego) Rzut symetryczną monetą Kolorowanie wierzchołków grafu Trzykrotny rzut niesymetryczną monetą Ogólny schemat n-krotny rzut niesymetryczną monetą Zmienna losowa Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Dalsze przykłady zmiennych losowych Rozkład jednopunktowy Rozkład zero-jedynkowy Łączny rozkład prawdopodobieństwa Gęstość łącznego rozkładu Niezależność zmiennych losowych Własność niezależnych zmiennych losowych Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Wartość oczekiwana, średnia Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana rozkładu jednopunktowego Wartość oczekiwana rozkładu zero-jedynkowego Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego Wartość oczekiwana liczby różnokolorowych krawędzi Własności wartości oczekiwanej, cd Nierówność Markowa Wariancja Wariancja rozkładu jednopunktowego Wariancja rozkładu zero-jedynkowego Wariancja rozkładu dwumianowego Wariancja liczby różnokolorowych krawędzi Nierówność Czebyszewa Krańce rozkładu dwumianowego Problem dnia urodzin Algorytmy probabilistyczne Algorytm z jednostronnym błędem Algorytm sprawdzający mnożenie wielomianów Algorytmy z błędem obustronnym Algorytm kolorowania wierzchołków grafu Zadania Problemy Niezależność zmiennych losowych

9 8 Spis treści 5 Funkcje boolowskie Algebra Boole a Algebra podzbiorów Alternatywa wykluczająca, xor Wyrażenia boolowskie Wyrażenia boolowskie w języku Pascal Funkcje boolowskie Funkcje boolowskie jednej zmiennej Funkcje boolowskie dwóch zmiennych Alternatywa i koniunkcja n zmiennych Funkcja progowa Postacie normalne funkcji boolowskich Wielowartościowe funkcje boolowskie Sieci boolowskie Sieć dla alternatywy kilku zmiennych Sumator Operacje boolowskie na wektorach Reprezentacja zbioru Operacje na wektorach w języku Pascal Operacje na wektorach w języku C Flagi Reprezentacja ustawienia bierek w grze w szachy Szyfrowanie w systemie one-pad Funkcja parzystości (parity) Odciski, zabezpieczanie danych Zadania Problemy Gra w kamienie Tożsamości w algebrze podzbiorów Sieci funkcji progowych i sortujących Wspólne losowanie bitów Teoria liczb Dzielenie całkowitoliczbowe Podzielność liczb Relacja kongruencji Klasy abstrakcji Pierścień Z m PierścieńZ PierścieńZ Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa Rozszerzony algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i względnie pierwsze Rozkład liczb na czynniki pierwsze Elementy odwracalne Funkcja liniowa

10 Spis treści Szyfry liniowe Chińskie twierdzenie o resztach Obliczenia na dużych liczbach Szybkie potęgowanie Pierwiastki kwadratowe Funkcja Eulera Małe twierdzenie Fermata Szyfry RSA Testy pierwszości Test naiwny Test Fermata Test Millera-Rabina Losowanie liczb pierwszych Zadania Problemy Największy wspólny dzielnik Najmniejsza wspólna wielokrotność Liczby względnie pierwsze Liczby pierwsze Chińskie twierdzenie o resztach System szyfrowania one-pad Przestrzeń liniowa Uogólnienie małego twierdzenia Fermata Algorytm Euklidesa dla wielomianów Wspólne losowanie liczby, gra w marynarza Stosy, kolejki i drzewa Listy Stosy i kolejki Implementacja stosu Implementacja kolejki Drzewa ukorzenione Drzewa binarne Drzewa wyrażeń arytmetycznych Przeszukiwanie drzew binarnych Przeszukiwanie drzewa w głąb Przeszukiwanie drzewa wszerz Drzewa decyzyjne Drzewo gry Algorytm waluacji drzewa gry Zadania Problemy Szukanie fałszywej monety

11 10 Spis treści 8 Rekurencja Wieże Hanoi Drzewo rekursji Algorytm Euklidesa, wersja rekurencyjna Rekurencyjne algorytmy przeszukiwania drzew Drzewa poszukiwań binarnych Funkcje rekurencyjne Funkcja (ciąg) Fibonacciego Algorytm sortowania przez scalanie Rozwiązywanie równań i nierówności rekurencyjnych Metoda podstawiania Metoda iteracyjna Metoda rekurencji uniwersalnej Funkcje tworzące Zadania Problemy Wieże Hanoi Grafy (nieskierowane) Izomorfizm grafów Drogi i cykle Drzewa Przeszukiwanie grafów w głąb Algorytm przeszukiwania grafu wszerz Liczenie składowych spójności Drzewa spinające Fundamentalny zbiór cykli Minimalne drzewo spinające Cykle i drogi Eulera Drogi i cykle Hamiltona Kolorowanie grafów Kolorowanie z nawrotami Kolorowanie grafu dwoma kolorami Heurystyki kolorowania grafów Hiperkostka Rozgłaszanie wiadomości Zbieranie informacji Plotkowanie Zadania Problemy Drzewa spinające Skojarzenia Minimalne drzewo spinające Cykle Eulera

12 Spis treści Grafy skierowane Podstawowe definicje Najkrótsze drogi w grafie II etap Algorytm Forda-Bellmana Dodatnie długości, algorytm Dijkstry Najkrótsza droga w grafach acyklicznych Zadania Problemy Spójność Cykl Eulera w grafie skierowanym Ciąg de Bruijna Bibliografia 247 Skorowidz 248

13