1. SYGNAŁY I OBWODY ELEKTRYCZNE

Transkrypt

1 . SYGNAŁY OBWODY EEKTRYZNE.. POJĘA PODSTAWOWE NAPĘE EEKTRYZNE Napięcie jest wielkścią charakteryzjącą ptencjalne ple elektryczne i wyraża się stsnkie pracy ptrzebnej d przeniesienia ładnk ddatnieg z pnkt A d B, d wartści teg ładnk. Różnicę ptencjałów dwóch pnktów A i B pla elektryczneg nazyway napięcie elektryczny iędzy tyi pnktai, AB V V (.) A B Pnieważ napięcie elektryczne AB A B ( VB VA ) BA V V (.2) jest wielkścią skalarną patrzną znakie, nazyway je skalare zwrtny. Jednstką napięcia elektryczneg jest wlt (V). WAGA: Przyjje się, że strzałka napięcia związana z dwa pnktai śrdwiska, psiada grt skierwany d pnkt wyższy ptencjale. Jeśli pnkt, d któreg skierwany jest grt strzałki napięcia psiada ptencjał niższy t znacza, że wartść teg napięcia jest jena. V A > V B V A V B A B AB Strzałkwanie napięcia e-ail: szli@wat.ed.pl /39

2 PRĄD EEKTRYZNY Pd pjęcie prąd elektryczny, rziey: zjawisk prządkwaneg rch ładnków elektrycznych przez badany przekrój pprzeczny śrdwiska występjące pd wpływe działająceg pla elektryczneg; wielkść skalarną stanwiącą skrót terin natężenie prąd elektryczneg. Natężenie prąd elektryczneg i nazyway granicę stsnk ładnk elektryczneg Δq przenszneg przez cząstki naładwane w ciąg pewneg czas Δt pprzez dany przekrój pprzeczny śrdwiska, d rzpatrywaneg czas, gdy czas ten dąży d zera, tzn. i Δ q dq li (.3) t Δt dt Δ 0 Jednstką prąd elektryczneg jest aper (A), [i] A /s. WAGA: Prąd elektryczny jest skalare zwrtny znacza się g za pcą strzałki grcie skierwany d bszar niższy ptencjale (strzałka prąd wskazje wny kiernek przepływ ładnk ddatnieg), a więc prąd strzałkje się dwrtnie niż napięcie. Ziana zwrt prąd lb napięcia jest równznaczna ze zianą znak tej wielkści. śrdwisk w który występje prąd Strzałkwanie prąd i e-ail: szli@wat.ed.pl 2 /39

3 MO ENERGA EEKTRYZNA Z każdy eleente przewdzący, prócz prąd i raz napięcia, związana jest także c p kreślna wzre p i (.4) Pnieważ (t), i i(t), zate także p p(t), c pdkreśla się częst ówiąc c chwilwa. Jednstką cy jest wat (W) przy czy WJ/s. Przy standardwy strzałkwani prąd raz napięcia c kreślna zależnścią (.4) jest cą pbieraną przez eleent z tczenia. Jeśli w chwili t 0 p ( t 0 ) > 0 p ( t 0 ) < 0 (c pbierana jest ddatnia) (c pbierana jest jena) znacza t, że c jest faktycznie pbierana przez eleent z tczenia ddawana przez eleent d tczenia Energia pbrana przez eleent w przedziale czas d t d t 2 jest całką z cy pbieranej. Oznaczając ją syble W(t, t 2 ) piszey: W t2 ( t t2 ) p( t)dt, (.5) t e-ail: szli@wat.ed.pl 3 /39

4 .2. KASYFKAJA SYGNAŁÓW EEKTRYZNYH W język ptczny sygnał kjarzy się ze znakie słżący d przekazywania infracji, np. dźwięk, dy itp. W naszy przypadk będziey skpiali się wyłącznie na zjawiskach elektrycznych wywłjących falę napięcia lb prąd. Sygnał elektryczny jest t fala napięcia lb prąd rzchdząca się ze źródła wzdłż pewnych kiernków zwanych prieniai fali. Tak zdefiniwany sygnał pisany jest przez fnkcję wyrażną analitycznie lb przedstawiną w pstaci wykres. W przypadk gólny jest t fnkcja współrzędnych przestrzennych i czas. W terii bwdów paraetrach skpinych PRZEBEG ZASOWE napięcia (t) lb prąd i(t) elektryczneg nazyway SYGNAŁAM EEKTRYZNYM. Sygnały elektryczne gą być dwlnyi fnkcjai rzeczywistyi czas, a więc ziennej rzeczywistej t. Badając ziennści tych fnkcji: SYGNAŁY EEKTRYZNE SYGNAŁY ZDETERMNOWANE Sygnałe zdeterinwany nazyway sygnał, któreg wystąpienie żna przewidzieć i pisać równanie kreślający jeg wartść w dwlnej chwili czas SYGNAŁY STOHASTYZNE Sygnałe stchastyczny nazyway sygnał, któreg wystąpienia ani wartści nie żey przewidzieć. e-ail: szli@wat.ed.pl 4 /39

5 SYGNAŁY ZDETERMNOWANE STAŁE f(t) cnst. dla t (, + ), znaczane:, ZMENNE t, +, znaczane: (t), i(t), f(t) cnst. dla ( ) Jeżeli warnek kreswści f ( t) f ( t + kt ) T >0 t T- kres właściwy, k liczba całkwita jest spełniny OKRESOWE nie jest spełniny NEOKRESOWE Jeżeli warnek: T 0 f () t dt 0 jest spełniny PRZEMENNE nie jest spełniny TĘTNĄE sinsidalne niesinsidalne HARMONZNE f() t + T - t NEHARMONZNE f() t - + T t ft () - + T t 2π f () t F sin t + Ψ T t, + dla ( ) ODKSZTAŁONE e-ail: szli@wat.ed.pl 5 /39

6 .3. OPS SYGNAŁ HARMONZNEGO SYGNAŁ HARMONZNY W grpie przebiegów kreswych szczególne znaczenie ają sygnały harniczne, tzn. csinsidalne i sinsidalne. Pnieważ jednak sin ( ωt + π 2) cs ωt, nazwiey je gólnie sinsidalnyi (sinsidalnie-ziennyi). Sygnałai harnicznyi nazyway sygnały, których przebieg jest sinsidalną fnkcją czas Załóży, że rzpatrjey sygnał sinsidalny w pstaci napięcia: () t ( ω t + Ψ ) sin (.6) Ψ t () T T/2 0 π 2π t ωt W czasie dpwiadający jedne kreswi faza napięcia zienia się 2π, tzn. ω T 2 π. Na rys. na si dciętych znaczn skalę czas i skalę kątwą. gdzie: (t) - wartść chwilwa napięcia; - wartść aksyalna napięcia (największa wartść chwilwa jaką sygnał siąga - nazywana aplitdą); Ψ - pczątkwy kąt fazwy, faza pczątkwa napięcia w chwili t 0; ω t + Ψ - kąt fazwy, faza napięcia w chwili t; ω 2π f - plsacja (częsttliwść kątwa) ierzna w rad/s; f /T - częsttliwść ierzna w Hz, będąca dwrtnścią kres. e-ail: szli@wat.ed.pl 6 /39

7 WARTOŚĆ SKTEZNA SYGNAŁ F T f (.7) 2 () t dt f () t 2 sk T 0 Oznaczana F sk lb sa F jest t pierwiastek kwadratwy z wartści średniej kwadrat sygnał blicznej za jeden kres T waga: Wartść skteczna prąd (napięcia) kresweg jest równa takiej wartści prąd (napięcia) stałeg, który przepływając przez identyczną rezystancję R wydzieliłby w czasie dpwiadający kreswi T taką saą ilść ciepła c przebieg kreswy. Wartść skteczna napięcia sinsidalneg zgdnie ze wzre (.7) wynsi T T 707 T T () t dt sin ω t dt 0, (.) 0 0 Oznacza t, że równanie pisjące napięcie harniczne żey przedstawić jak () t ( ω t + Ψ ) 2 sin( ω t + Ψ ) sin (.8) SYGNAŁ WYKŁADNZY Przyjijy, że sygnał wykładniczy a pstać: s t ( + ) x( t) Ae dla t, (.9) Współczynnik s występjący w wykładnik jest zesplny s σ + jω (.0) a zate ( σ + jω ) t σ t jω t x( t) Ae Ae e (.) e-ail: szli@wat.ed.pl 7 /39

8 Jeżeli s jest liczbą rjną (tzn. σ0) wtedy jω t x( t) Ae sygnał x(t) że być interpretwany na płaszczyźnie ziennej zesplnej za pcą tzw. wektra wirjąceg bracająceg się z prędkścią kątwą ω w kiernk przeciwny d rch wskazówek zegara. Płżenie teg wektra na płaszczyźnie w danej chwili t kreślne jest za pcą kąta ωt. zynnik natiast j t e ω A spełnia rlę peratra brt, jest dłe wektra. Ae jωt ωt 0 t 0 A ω Re względniając wzór Elera e j ω cs ωt + j sinωt (.2) żna wektr wirjący wyrazić za pcą dwóch składwych x jω () t Ae Acs ωt + j Asinωt (.3) zęść rzeczywista wektra wirjąceg przedstawia sygnał charakterze csinsidalny jω t [ Ae ] Acs t Re ω (.4) zęść rjna wektra wirjąceg przedstawia sygnał charakterze sinsidalny jω t [ Ae ] Asin t ω (.5) Wynika stąd, że najczęściej sptykane przebiegi wielkści elektrycznych stanwią szczególne przypadki sygnał charakterze wykładniczy. e-ail: szli@wat.ed.pl 8 /39

9 OPS SYMBOZNY Rzpatrzy pnwnie sygnał sinsidalny w pstaci napięcia (.6). Związek piędzy wektre wirjący na płaszczyźnie ziennej zesplnej a rzpatrywany sygnałe sinsidalny przedstawia rysnek. ω t () (0) (0) Ψ Re t 0 Ψ 0 ωt Wartść chwilwa napięcia dla chwili t 0 wynsi ( 0 ) sinψ W chwili tej wektr wirjący aplitdzie jest nachylny względe si liczb rzeczywistych pd kąte Ψ. Rzt teg wektra na ś liczb rjnych wynsi (0), czyli wartść chwilwa sygnał sinsidalneg jest równa rztwi wektra wirjąceg na ś liczb rjnych. Analitycznie żna t jąć, zgdnie z zależnścią (.5), następjąc: dla każdej chwili t j () t ( t ) e ( ω t +Ψ + Ψ ) T [ ] () t [ ] sin ω (.6) e-ail: szli@wat.ed.pl 9 /39

10 Sygnał sinsidalny: () t sin ( ω t + Ψ ) 2 sin( ωt + Ψ ) (rzeczywista) wartść chwilwa aplitda (wartść ax.) wartść skteczna psiada następjącą POSTAĆ SYMBOZNĄ (sybliczną wartść chwilwą) j( ωt+ Ψ ) j j t j j t t e Ψ e ω Ψ e e ω ( ) 2 e (.7) sybliczna aplitda /pstać zesplna aplitdy/ /wskaz aplitdy/ sybliczna wartść skteczna /wskaz wartści sktecznej/ zyli: j( ωt+ Ψ ) jωt j t ( t) e e 2 e ω (.8) WAG: nie zachdzi równść ( t) ( t) tylk dpwiedniść ( t) ( t) * ( ) ( ) t t natiast: () t [ () t ] (.9) 2 j Metda sybliczna zapis przebiegów sinsidalnych pzwala traktwać je jak przebiegi wykładnicze. ˆ e-ail: szli@wat.ed.pl 0 /39

11 PRZYKŁAD Dla (RZEZYWSTEJ) wartści chwilwej napięcia ( t) 282 sin( 34t + 30 )V Aplitda: 282V Wartść skteczna: V 2,4 Plsacja rad ω 34 s pnieważ ω 2π f ω 34 stąd częsttliwść f 50 2 π 2 3,4 Jeśli f T T zate kres 0, f [ Hz] [] s Faza pczątkwa Ψ 30 π inaczej Ψ 30 0, Jej SYMBOZNA wartść chwilwa wynsi: ( t ) e j ( ωt + Ψ ) e j ( 34t ) V rad Sybliczna aplitda: e jψ 282e j 30 V Sybliczna wartść skteczna: e 2 jψ jψ j 30 e 200e V e-ail: szli@wat.ed.pl /39

12 .4. KŁAD JEGO PROESY ENERGETYZNE kłade elektryczny nazyway taki kład fizyczny, w który dinją zjawiska elektryczne bądź agnetyczne lb też ba te zjawiska łącznie. Tab... Rdzaje pdstawwych zjawisk występjących w kładzie elektryczny Zjawisk fizyczne GENERAJA Opis wytwarzanie pla elektryczneg - energii elektr. w kładzie fiz. na drdze przeian innych fr energii AKMAJA energii pwstawanie pla agnetyczneg w pl agnetyczny wkół przewdników z prąde AKMAJA energii w pl elektryczny DYSYPAJA gradzenie ładnków elektrycznych na przewdnikach, pd wpływe pla elektryczneg rzpraszanie energii w przewdnikach z prąde (np. ziana energii prąd elektr. w energię cieplną) Prces energetyczny Wytwarzania energii Gradzenia energii Rzpraszania energii Badanie dwlneg kład wyaga kreślenia, która wielkść fizyczna lb ich zespół stanwi przyczynę zjawiska, a która wielkść charakteryzje zjawiska zaistniałe w wynik działania kreślnych przyczyn. W ty cel wprwadza się pjęcia: wyszenia i dpwiedzi kład. Wyszenie wielkść fizyczna stanwiąca zewnętrzną przyczynę zjawisk badanych w dany kładzie. Odpwiedź wielkść fizyczna charakteryzjąca zjawisk pwstałe w kładzie pd wpływe wyszenia. waga: Na kład że działać jedn lb wiele wyszeń a badanie kład że dtyczyć jednej lb wiel dpwiedzi. Obwód elektryczny jest dele kład elektryczneg, w który t del przy dpwiedni dbrze eleentów i spsb ich wzajeneg ddziaływania (płączeń) zachdzą prcesy zbliżne d rzeczywistych. e-ail: szli@wat.ed.pl 2 /39

13 waga: Obwód elektryczny jest prządkwany zbire eleentów Eleent bwd t część bwd niepdzielna pd względe fnkcjnalny bez traty swych charakterystycznych własnści. Eleent idealny jest t eleent bwd, w który zachdzi tylk jeden z dpszczalnych prcesów energetycznych. Eleent a wyróżnine zaciski, tj. pnkty. Każdy z eleentów knikje się (łączy się) z innyi eleentai bwd (tczenie) WYŁĄZNE za pśrednictwe zacisków (biegnów, kńcówek przewdów) - z wyjątkie źródeł sterwanych. ZASKOWA KASYFKAJA EEMENTÓW Klasyfikację eleentów bwd elektryczneg żey prwadzić przyjjąc różne kryteria. Jedny z pdstawwych jest kryteri ZBY POŁĄZEŃ eleent z tczenie - rys. a) DWÓJNK - lb zacisk b) TRÓJNK - lb d) WEOBEGNNK - ( -biegnnik) 2 3 e-ail: szli@wat.ed.pl 3 /39

14 .5. PARAMETRY PERWOTNE EEMENTY DEANE Paraetry pierwtne pisją pdstawwe zjawiska fizyczne występjące w kładzie elektryczny Paraetry pierwtne (cechy fizyczne) są ierzalne. Eleenty idealne t takie eleenty, w których zachdzi tylk jedn zjawisk fizyczne. Każdy eleent idealny charakteryzwany jest tylk jedny paraetre pierwtny REZYSTANJA R Jest t wielkść fizyczna charakteryzjąca zdlnść kład d (jednkiernkwej) zaiany energii elektrycznej na energię cieplną (DYSYPAJA - ROZPRASZANE). Rezystancję żna definiwać w parci c rzpraszaną p R (t): df ( t) () t pr R (.20) 2 i Jednstką rezystancji jest (Ω). zęst psłgjey się inny paraetre zwany kndktancją G, związaną z rezystancją relacją R G (.2) jednstką kndktancji jest siens (S), [G] S Ω -. DEANY REZYSTOR jest eleente dwóch zaciskach, w który zachdzi jedynie prces dysypacji energii elektrycznej. Oznacza t, że jest charakteryzwany tylk rezystancją R. R R Między prąde i napięcie (parą wielkści zaciskwych) idealneg rezystra występje prprcjnalnść wyrażna prawe Oha R R ir lb ir R G R (.22) R e-ail: szli@wat.ed.pl 4 /39

15 NDKYJNOŚĆ Jest t wielkść fizyczna charakteryzjąca zdlnść kład d wytwarzania pla agnetyczneg (gradzenia energii w pl agnetyczny - AKMAJA). df Ψ cnst. (.23) i Jednstką indkcyjnści jest henr (H), []Wb/AV s/aω sh DEANA EWKA jest dwójnikie, w który zachdzi jedynie prces aklacji energii w pl agnetyczny. Oznacza t, że pisje ją tylk indkcyjnść. i ( t) t () Napięcie na zaciskach cewki pisje zależnść: d d di () [ ()] ( t) t Ψ i t (.24) dt dt dt POJEMNOŚĆ Wielkść kreślająca zdlnść kład d gradzenia ładnk elektryczneg pd wpływe przyłżneg napięcia - lb inaczej d gradzenia energii w pl elektryczny (AKMAJA). df q cnst. (.25) Jednstką pjenści jest farad (F), [] /V A s/v F. DEANY KONDENSATOR jest dwójnikie, w który zachdzi jedynie prces aklacji energii w pl elektryczny. Oznacza t, że pisje g tylk pjenść. i ( t) () t Prąd kndensatra pisje zależnść: dq d d () [ ()] ( t) i t t (.26) dt dt dt e-ail: szli@wat.ed.pl 5 /39

16 NAPĘE ŹRÓDŁOWE 0 jest paraetre, występjąceg w kładzie elektryczny, prces przeiany inneg rdzaj energii (echanicznej, cheicznej, świetlnej itp.) w energię elektryczną, a zate jest paraetre pisjący własnści generacyjne występjące w kładzie. Tę własnść niezależną d innych warnkwań kład pisje zależnść ( t) ( t) Jednstką napięcia źródłweg jest wlt (V). (.27) i 0 DEANE ŹRÓDŁO NAPĘA eleent dwóch kńcówkach (zaciskach), w który zachdzi wyłącznie generacja energii zewnętrzniająca się pd pstacią napięcia źródłweg 0 (występjąceg piędzy zaciskai eleent), niezależneg d bciążenia (prąd w kładzie). t 0( ) t () it () PRĄD ŹRÓDŁOWY i Z Własnści generacyjne kład elektryczneg gą być również charakteryzwane paraetre nazywany natężenie prąd źródłweg lb krótk - prąde źródłwy. Wartść paraetr zwaneg prąde źródłwy jest niezależna d stan pracy kład elektryczneg, c zapiszey w pstaci ( t) i Z ( t) Z Jednstką prąd źródłweg jest aper (A). i (.28) DEANE ŹRÓDŁO PRĄD eleent dwóch kńcówkach (zaciskach), w który zachdzi wyłącznie generacja energii zewnętrzniająca się pd pstacią prąd źródłweg iz niezależneg d bciążenia (napięcia na zaciskach). i t Z( ) t () it () e-ail: szli@wat.ed.pl 6 /39

17 DEANE ŹRÓDŁA STEROWANE charakteryzją się ty, że ich paraetr tj. napięcie źródłwe 0 bądź prąd źródłwy i Z jest fnkcją napięcia lb prąd związaneg z inną parą zacisków bwd. Zate istnienie takich źródeł niezerwy paraetrze nie jest wynikie przetwarzania w jeg strktrze innej fry energii na energię elektryczną, a jedynie knsekwencją niezerwych napięć bądź prądów w innej części bwd, które nazyway wielkściai sterjącyi. Nie są t zate źródła w dkładny sensie teg słwa generacyjne lecz psedgeneracyjne i dlateg nazyway je źródłai nieatnicznyi. Skr paraetr ( bądź i 0 Z) takieg źródła jak eleent dwzaciskweg zależy d wielkści elektrycznej ( bądź i) innej pary zacisków, t del bwdwy takieg źródła sterwaneg pwinien zawierać cztery zaciski (tab..2). Tab..2. Typy źródeł sterwanych Nazwa źródła ŹRÓDŁO NAPĘOWE STEROWANE NAPĘEM (NSN) Sybl graficzny i równania i 0 0 k ŹRÓDŁO NAPĘOWE STEROWANE PRĄDEM (NSP) 0 i r i 0 ŹRÓDŁO PRĄDOWE STEROWANE PRĄDEM (PSP) 0 i i ai Z ŹRÓDŁO PRĄDOWE STEROWANE NAPĘEM (PSN) i 0 iz g e-ail: szli@wat.ed.pl 7 /39

18 .6. SHEMAT DEOWY OBWOD Scheate idewy bwd (siecią) nazyway graficzne przedstawienie bwd, pkazjące klejnść i spsób płączeń jeg eleentów. Wszystki względniny w del paraetr kład dpwiadają kreślne eleenty, ich syble graficzne raz wartści, natiast dcinki łączące eleenty traktjey jak idealne przewdniki (nie rzpraszające i nie akljące energii). Na scheacie wyróżniay: gałęzie, węzły i czka. Gałąź bwd jest t kład zawierający jeden lb wiele dwlnie płącznych eleentów (zarówn pasywnych jak i aktywnych), psiadający dwie wyprwadzne kńcówki (zaciski) d płączenia z pzstałą częścią bwd. Gałąź jest więc dwójnikie d pis któreg wystarczy znajść napięcia gałęziweg g i prąd gałęziweg ig. 2 g Gałąź bwd Kńcówk gałęzi częst narzca się klejnść, tzn. znaczay jedną z nich jak pierwszą (), która stanwi pczątek gałęzi a pzstałą jak drgą (2), stanwiącą jej kniec. e-ail: szli@wat.ed.pl 8 /39

19 Węzłe bwd nazyway kńcówkę (zacisk) gałęzi, d której jest przyłączna jedna następna gałąź lb kilka gałęzi. Węzłe główny bwd nazyway kńcówkę (zacisk) gałęzi d której dłączn c najniej dwie inne gałęzie (w i w3). Zate węzeł główny (zwany ptcznie węzłe), t taki pnkt (zacisk) bwd w który zbiegają się c najniej trzy kńcówki różnych gałęzi. Jeśli liczba zbiegających się w pnkcie kńcówek gałęzi jest równa dwa, t pnkt nazyway węzłe pcniczy. (w2). w3 w w2 lstracja pjęcia węzła główneg i pcniczeg Oczk bwd elektryczneg jest t zbiór płącznych ze sbą gałęzi twrzących zakniętą drgę dla prąd i psiadającą tę właściwść, że p snięci dwlnej gałęzi czka pzstałe gałęzie nie twrzą drgi zakniętej. czk lstracja pjęcia czka bwd e-ail: szli@wat.ed.pl 9 /39

20 Gałęzie bwd gą twrzyć płączenie: szeregwe, równległe, gwiazdwe lb wielbczne (wielkątne). kład płączeń nazyway szeregwy, wtedy gdy w każdej gałęzi kład występje ten sa prąd elektryczny. Płączenie szeregwe kład płączeń nazyway równległy, wtedy gdy na każdej gałęzi kład występje t sa napięcie elektryczne. Płączenie równległe e-ail: szli@wat.ed.pl 20 /39

21 ŁĄZENE EEMENTÓW DEANYH SZEREGOWE RÓWNOEGŁE... 2 n 2 n... REZYSTORÓW R n R k k G n k G k ; R n k R k EWEK n k k n k k KONDENSATORÓW n k k n k k ŹRÓDEŁ NAPĘA 0 n k 0 k żliwe tylk w jedny przypadk ŹRÓDEŁ PRĄD żliwe tylk w jedny przypadk i Z i Z k n k e-ail: szli@wat.ed.pl 2 /39

22 .7. EEMENTY R,, W OBWODAH PRĄD HARMONZNEGO REZYSTOR Przy występwani prąd, pisaneg sybliczną wartść chwilwą jωt i( t ) e (.29) w rezystrze rezystancji R, na jeg zaciskach pjawi się (zgdnie z prawe Oha) napięcie ( t ) Ri( t ) e j ω t R e jωt (.30) Zate lb inaczej znacza, że R (.3a) R G (.3b) R (.32a) lb inaczej R G (.32b) Przedstawiając sybliczne wartści skteczne w pstaci wykładniczej (dla.32a), trzyjey e jψ jψi (.33) R e Z przyrównania dłów w wyrażeni (.33) znajdjey R, G (.34a,b) a z przyrównania argentów Ψ Ψ i (.35) e-ail: szli@wat.ed.pl 22 /39

23 R Pdswjąc R Pnżenie wskaz przez R spwdje jedynie zianę dłgści teg wskaz R razy. Wbec teg wskaz napięcia znajdje się na tej saej prstej c wskaz prąd Ψ Ψ i it (), t () Napięcie na zaciskach idealneg rezystra jest w fazie z prąde Ψ i Ψ 0 ωt zyli przesnięcie fazwe ϕ iędzy przebiegai (t) raz i(t) rezystra wynsi zer: ϕ Ψ Ψ i 0 Przykładwe przebiegi czaswe napięcia i prąd dla rezystra e-ail: szli@wat.ed.pl 23 /39

24 EWKA NDKYJNA Przy przepływie prąd, pisaneg sybliczną wartść chwilwą jωt i( t ) e (.36) w idealnej cewce indkcyjnści, napięcie na jej zaciskach (zgdnie z.24) wyraża zależnść Zate () t () t jωt jωt di e jω e (.37) dt jω (.38a) lb inaczej znacza, że jω j ω (.38b) jω (.39a) lb inaczej jω j ω (.39b) Przedstawiając sybliczne wartści skteczne w pstaci wykładniczej (dla.39a), trzyjey jψ π j Ψ i + 2 e ω e (.40) Z przyrównania dłów w wyrażeni (.40) znajdjey ω X, B (.4a,b) ω reaktancja indkcyjna ssceptancja indkcyjna π a z przyrównania argentów Ψ Ψ i + (.42) 2 e-ail: szli@wat.ed.pl 24 /39

25 Pdswjąc jω jx Pnżenie wskaz przez jω (jx ) pwdje zianę dłgści teg wskaz ω (X ) razy raz jeg brót 90 w przód Ψ ϕ π/2 Ψ i Napięcie na zaciskach idealnej cewki wyprzedza prąd 90 t (), it () Ψ Ψ i π/2 0 ωt zyli przesnięcie fazwe ϕ iędzy przebiegai (t) raz i(t) cewki wynsi: π ϕ Ψ Ψi 2 Przykładwe przebiegi czaswe napięcia i prąd dla cewki e-ail: szli@wat.ed.pl 25 /39

26 PRZYKŁAD 2 Obliczyć rzeczywistą wartść chwilwą prąd płynąceg przez cewkę indkcyjnści 0,2H, gdy dana jest rzeczywista wartść chwilwą napięcia () t 4 sin( 00t + 40 )V i ( t) t () Sybliczna aplitda napięcia: Sybliczna wartść skteczna napięcia: 4 4 e 2 e j 40 j 40 V 00 e j 40 [ V ] Reaktancja indkcyjna: Ssceptancja indkcyjna: X ω 00 0,2 20 [ ] Ω B 0, X ω [ S] Zgdnie z (6.37) sybliczna wartść skteczna prąd: j ω ( ) j 50 j 40 j e 00 e 00 j e 5e jx j j e inaczej jω j0,05 00 e j ω j 40 jb 0,05 e j e j 40 5 e j ( ) j 50 5e zyli sybliczna aplitda prąd: 5 2 e j 50 [ A] Stąd rzeczywista wartść chwilwą prąd ( t) 5 2 sin( 00t ) A i 50 e-ail: szli@wat.ed.pl 26 /39

27 KONDENSATOR Gdy istnieje napięcie, pisane sybliczną wartść chwilwą jωt i( t ) e (.43) na zaciskach idealneg kndensatra pjenści, t prąd płynący przez kndensatr (zgdnie z.24) wyraża zależnść Zate i () t () t j t j t d ω ω e jω e (.44) dt jω (.45a) lb inaczej znacza, że jω j (.45b) ω jω (.46a) lb inaczej jω j (.46b) ω Przedstawiając sybliczne wartści skteczne w pstaci wykładniczej (dla.46a), trzyjey jψ π j Ψ + 2 e i ω e (.47) Z przyrównania dłów, znajdjey ω B X ω (.48a,b) ssceptancja pjenściwa reaktancja pjenściwa π a z przyrównania argentów Ψ i Ψ + (.49) 2 e-ail: szli@wat.ed.pl 27 /39

28 Pdswjąc j ω jx Pnżenie wskaz przez /jω (-jx ) pwdje zianę dłgści teg wskaz /ω (X ) razy raz jeg brót 90 wstecz Ψ i ϕ- π/2 Ψ Prąd płynący przez idealny kndensatr wyprzedza napięcie 90 t (), it () Ψ i Ψ π/2 0 ωt zyli przesnięcie fazwe ϕ iędzy przebiegai (t) raz i(t) kndensatra wynsi: π ϕ Ψ Ψi 2 Przykładwe przebiegi czaswe napięcia i prąd dla kndensatra e-ail: szli@wat.ed.pl 28 /39

29 .8. PODSTAWOWE PRAWA W POSTA SYMBOZNEJ Praw Oha Sybliczna wartść skteczna napięcia dwójnika równa się ilczynwi ipedancji dwójnika Z i wartści sktecznej prąd w ni płynąceg: Z (.50) pedancja (pór zesplny) Z charakteryzje przewdnictw elektryczne dwójnika przy przepływie prąd sinsidalneg. Pdstawiając w (.50) sybliczne wartści skteczne w pstaci wykładniczej, trzyjey Z jψ e j e ( Ψ Ψ i ) (.5) jψ e i czyli: Z, arg Z i ( Ψ Ψ ) ϕ (.52a,b) Zate jϕ Z Z e Z R + j X (.53a,b) rezystancja reaktancja pedancję Z żna przedstawić geetrycznie na płaszczyźnie ziennej zesplnej za pcą trójkąta ipedancji. Z ϕ X Re R e-ail: szli@wat.ed.pl 29 /39

30 Praw Oha żna także przedstawić następjąc: Sybliczna wartść skteczna prąd płynąceg przez dwójnik równa się ilczynwi aditancji dwójnika Y i wartści sktecznej napięcia na jeg zaciskach: Y (.54) Aditancja (przewdnść zesplna jej jednstką jest siens S) dwójnika równa się dwrtnści jeg ipedancji: c znacza, że Y Z e Y (.55) Z jϕ e Z jϕ (.56) czyli: Y, argy Z ϕ (.57a,b) Zate Y jϕ Y e Y G + j B (.58a,b) kndktancja ssceptancja Aditancję Y żna przedstawić geetrycznie na płaszczyźnie ziennej zesplnej za pcą trójkąta aditancji. Y -ϕ B Re G e-ail: szli@wat.ed.pl 30 /39

31 praw Kirchhffa - prądwe praw Kirchhffa (PPK) Algebraiczna sa syblicznych wartści chwilwych prądów i n (t) we wszystkich gałęziach dłącznych d jedneg, dwlnie wybraneg węzła bwd jest w każdej chwili czas równa zer: n Λ λ i ( t) 0 (.59) t k k k gdzie: λ k ± ( + jeśli prąd elektryczny a zwrt d węzła; - jeśli zwrt jest przeciwny, d węzła) a) b) i () t + i () t i () t + i ( t) 0 i ( t) + i ( t) i ( t) lstracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jak bszar Jest n także słszne dla syblicznych aplitd (.60a) raz syblicznych wartści sktecznych (.60b) dpwiednich prądów: n k λ k k 0 (.60a) n k λ k k 0 (.60b) e-ail: szli@wat.ed.pl 3 /39

32 praw Kirchhffa - napięciwe praw Kirchhffa (NPK) Algebraiczna sa syblicznych wartści chwilwych napięć n (t) na wszystkich eleentach, twrzących dwlnie wybrane czk bwd jest w każdej chwili czas równa zer: n Λ ν ( t) 0 (.6) t k k k gdzie: ν k ± ( + jeśli zwrt napicia jest zgdny z przyjęty za ddatni kiernkie bieg czka; - jeśli jest przeciwny) () t () t + ( t) + ( t) ( t) lstracja NPK Jest n także słszne dla syblicznych aplitd (.62a) raz syblicznych wartści sktecznych (.63b) dpwiednich napięć n k ν k k 0 (.63a) n k ν k k 0 (.63b) e-ail: szli@wat.ed.pl 32 /39

33 .9. POŁĄZENA DWÓJNKÓW Płączenie szeregwe n dwójników K + n Z + Z 2 + K+ Z n Z k Z (.64) n k Z n k Z k (.65) Płączenie równległe n dwójników K + n Y + Y 2 + K+ Y n Y k Y (.67) Y n k Y k n k n k lb Z (.68) Z k e-ail: szli@wat.ed.pl 33 /39

34 .0. POŁĄZENA EEMENTÓW R,, Obwód SZEREGOWY R R ipedancji eleent Wartść napięcia na eleencie R Z R R R R Z jω j jω jx X Z j j ω X jω j ω jx Pnieważ Z R + j ω ω [ R + j( X X )] ( R jx ) + (.69) Zate: Z R ω R + ( X X ) R + X (.70) ω ω ω X X X arg Z ϕ arctg arctg arctg (.7) R R R e-ail: szli@wat.ed.pl 34 /39

35 W zależnści d paraetrów i raz częsttliwści, reaktancja X we wzrze (.69) X X X że być: a) X > 0 gdy X > X wówczas ϕ > 0, napięcie wyprzedza prąd bwód a charakter indkcyjny b) X 0 gdy X X wówczas ϕ 0, napięcie i prąd są w fazie c) X < 0 gdy X < X bwód a charakter rezystancyjny wówczas ϕ < 0, napięcie późnia się względe prąd bwód a charakter pjenściwy a) b) c) ϕ>0 R R R ϕ<0 Z R ϕ>0 jx Z R ϕ<0 jx e-ail: szli@wat.ed.pl 35 /39

36 Obwód RÓWNOEGŁY R R aditancji eleent Wartść prąd w eleencie R Y R G R G Y j jb ω j X jω j ω jb Y jω jb j jω jb X Pnieważ Y G + j ω ω [ G + j( B B )] ( G jb) + (.70) Zate: Y G ω G + ( B B ) G + B (.7) ω ω ω B B B arg Y arctg arctg arctg (.72) G G G e-ail: szli@wat.ed.pl 36 /39

37 W zależnści d paraetrów i raz częsttliwści, ssceptancja B we wzrze (.70) B B B że być: a) B > 0 gdy B > B wówczas ϕ < 0, prąd wyprzedza napięcie bwód a charakter pjenściwy b) B 0 gdy B B wówczas ϕ 0, prąd i napięcie są w fazie c) B < 0 gdy bwód a charakter rezystancyjny B < B wówczas ϕ > 0, prąd późnia się względe napięcia bwód a charakter indkcyjny a) b) c) ϕ<0 R R R ϕ>0 Y G ϕ<0 jb Y G ϕ>0 jb e-ail: szli@wat.ed.pl 37 /39

38 PRZYKŁAD 3 Obliczyć sybliczną wartść skteczną prąd i napięcia każdeg eleent bwd sprządzić wykres wskazwy dane: ( t) 75 2 sinωt R R 2 X Ω, X 2 Ω. (t) 0) Napięcie na zaciskach bwd 75e j 0 V ) Aby bliczyć prąd Wyznacza się ipedancję bwd Z R jx j 2 [ ] Ω R2 j X Z 2 0,5 + j 0,5 R + j X Z Z 2,5 + Z 2 j,5 [ ] Ω [ ] Ω raz krzysta z prawa Oha: Z j 0 75e,5 j, j 25 [ A] 2) Oblicza się napięcia na a) rezystrze R : b) kndensatrze: c) ipedancji Z : jak R R 25 j 25 + [ V ] jx 50 j 50 R + [ V ] lb Z 75 j 25[ V ] 3) Oblicza się napięcie na ipedancji Z 2 : Z j [ V ] e-ail: szli@wat.ed.pl 38 /39

39 (t) 4) Oblicza się prądy w a) rezystrze R 2 : b) cewce: 2 2 j 25 R 2 jx [ A] [ A] 5) Wykres wskazwy twrzy się przyjjąc następjącą klejnść ryswania: (w fazie z 2) 3. 3 (późniny względe 2 90 ) 4. (równy 2 + 3) 5. R (w fazie z ) 6. (późnine względe 90 ) 7. (równe R+ ) 8. (równe + 2) e-ail: szli@wat.ed.pl 39 /39