Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Transkrypt

1 Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

2 IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol rezystora: Idealny rezystor w obwodzie prądu przemiennego: L=0; C=0 Wykres wektorowy (wskazowy):

3 IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnego opornika R.

4 MOC CHWILOWA Moc chwilowa p jest funkcja sinusoidalną o podwójnej częstotliwości, bez składowej stałej i co ćwierć okresu zmienia swój znak. Gdy przy zgodnych znakach napięcia i prądu moc chwilowa jest dodatnia p=ui>0, odbiornik pobiera w danej chwili ze źródła moc p oraz w czasie elementarnym dt energie w ilości pdt. Gdy p=ui<0 odbiornik oddaje (zwraca) energię. Co pół okresu następują oscylacje mocy chwilowej między źródłem i odbiornikiem, w ramach procesu odwracalnego, bez wystąpienia strat.

5 IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Moc w obwodzie z rezystorem idealnym Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnego opornika R Moc chwilowa jest funkcją tętniącą. Moc tracona na idealnym rezystorze jest MOCĄ CZYNNĄ

6 IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol kondensatora: Idealna pojemność w obwodzie prądu przemiennego: R=0; L=0 Wykres wektorowy (wskazowy):

7 IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnego kondensatora C. Napięcie chwilowe na pojemności opóźnia się względem prądu chwilowego o kąt fazowy -π/2 (-90 stopni). Lub Prąd chwilowy (i) na pojemności wyprzedza w fazie napięcie chwilowe (u) o kąt fazowy +π/2 (+90 stopni).

8 IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Zależność prądowo-napięciowa : Kąt fazowy : Zależność częstotliwościowa : Reaktancja pojemnościowa lub bierny opór pojemnościowy: Susceptancja pojemnościowa lub przewodność bierna pojemnościowa (jednostką jest 1simens (1S))

9 IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Moc w obwodzie z kondensatorem idealnym : Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnej pojemności C: Idealny kondensator nie pobiera mocy czynnej. Moc tracona na idealnym kondensatorze jest MOCĄ BIERNĄ POJEMNOŚCIOWĄ Q=UIsinϕ dla idealnego kondensatora przy ϕ= - π/2; Q= - UI; moc bierna jest równa co do bezwzględnej wartości mocy pozornej S= Q. Moc bierna pojemnościowa ma znak przeciwny do znaku mocy biernej indukcyjnej.

10 IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol cewki (indukcyjności) : Idealna indukcyjność w obwodzie prądu przemiennego: R=0; C=0 Wykres wektorowy (wskazowy):

11 IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnej indukcyjności L. Napięcie chwilowe na indukcyjności wyprzedza prąd chwilowy o kąt fazowy +π/2 (+90 stopni). Lub Prąd chwilowy (i) na indukcyjności opóźnia się w fazie za napięciem chwilowym (u) o kąt fazowy -π/2 (-90 stopni).

12 IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Zależność prądowo-napięciowa : Kąt fazowy : Zależność częstotliwościowa : Reaktancja indukcyjna lub opór bierny indukcyjny: Susceptancja indukcyjna lub przewodność bierna indukcyjna (jednostką jest 1simens (1S))

13 IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Moc w obwodzie z indukcyjnością idealną : Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnej indukcyjności L: Idealna indukcyjność nie pobiera mocy czynnej. Moc tracona na idealnej indukcyjności jest MOCĄ BIERNĄ INDUKCYJNĄ.

14 MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU ZŁOŻONEGO Wyznaczanie wartości średniej mocy p(t) szeregowego układu RL.

15 MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU ZŁOŻONEGO Moc czynna z wykresu wektorowego wynika, że: zatem Moc bierna z wykresu wektorowego zatem Wykres wektorowy napięć i prądów szeregowego układu RL. Moc pozorna po uwzględnieniu U=ZI otrzymamy S=ZI 2 przy czym

16 MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU RLC Moc średnia układu RLC:

17 MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA Moc w układzie RLC: Napięcie na zaciskach dwójnika jest sumą geometryczną napięć na poszczególnych elementach. U=UR+UL+UC równanie to wyraża drugie prawo Kirchhoffa w postaci zespolonej: suma wektorów wartości skutecznej napięć źródłowych występujących w oczku równa się sumie wektorów wartości skutecznej napięć na wszystkich elementach oczka. Dodaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, odpowiada dodanie geometryczne wektorów odwzorowujących poszczególne napięcia na elementach RLC

18 MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA Wyznaczenie napięcia układu U: (*) gdzie: oraz I wspólny prąd układu; Po obustronnym pomnożeniu równanie (*) przez prąd I: Oznaczając : Otrzymuje się :

19 MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA stąd otrzymamy trójkąt mocy : Trudne S - MOC POZORNA iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu, (jednostka 1 woltoamper [VA]). P - MOC CZYNNA nazywana wartością średnią mocy chwilowej. Iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu oraz kosinusa kata (zwanego współczynnikiem mocy) przesunięcia fazowego między napięciem i prądem (jednostka 1 wat [W]). Q - MOC BIERNA iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu oraz sinusa kata przesunięcia fazowego, (jednostka 1 war [VAr]). Q = 0 ϕ > 0; odbiornik rezystancyjny, Q > 0 ϕ > 0; odbiornik rezystancyjno indukcyjny, Q < 0 ϕ < 0; odbiornik rezystancyjno pojemnościowy,

20 TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO Obustronne dzielenie równania (*) przez prąd I:

21 TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO Z czyli impedancja układu wynosi : Napięcia na reaktancjach wynoszą odpowiednio: XL reaktancja indukcyjna Xc reaktancja pojemnościowa gdzie: ω=2πf Przy połączeniu szeregowym n gałęzi o impedancjach:

22 TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO Z impedancja układu X reaktancja R rezystancja Reaktancja X dwójnika szeregowego R,L,C w zależności od L,C,ω, może być: - dodatnia X L > X C ; - ujemna X L < X C ; - równa zeru X L = X C (rezonans napięć). zatem: X>0 ϕ>0, kąt fazowy jest dodatni, obwód ma charakter indukcyjny, X<0 ϕ<0, kąt fazowy jest ujemny, obwód ma charakter pojemnościowy, X=0 ϕ=0, kąt fazowy jest zerowy, obwód ma charakter rezystancyjny.

23 UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC Układ równoległy RLC i jego wykres wektorowy IR=GU IC=ωCU=BCU IL=(1/ωC)U=BLU

24 UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC Prawo Ohma dla układu równoległego:

25 UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC Trójkąt admitancji: Z impedancja układu X reaktancja R rezystancja B susceptancja G konduktancja Y - admitancja Susceptancja B dwójnika równoległego R,L,C, w zależności od L,C,ω, może być: dodatnia BC>BL; ujemna BC<BL; równa zeru (rezonans prądów) BC=BL. B>0 ϕ<0 kąt fazowy jest ujemny, obwód ma charakter pojemnościowy, B<0 ϕ>0 kąt fazowy jest dodatni, obwód ma charakter indukcyjny, B=0 ϕ=0, rezystancyjny.

26 RÓWNOWANA ZAMIANA UKŁADU OPOROWEGO RLC NA UKŁAD PRZEWODNOSCIOWY. Należy dokonać równoważnej zamiany: stad: Po podstawieniu a, b, c do wyrażeń na G i B, otrzymuje się: Zatem admitancja układu równoległego w zależności od R i X układu szeregowego ma postać:

27 ZJAWISKO REZONANSU Jeżeli częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości drgań swobodnych, mówimy, że w obwodzie elektrycznym (układzie fizycznym) występuje zjawisko rezonansu. Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycznego, przy którym reaktancja wypadkowa (rezonans napięć) obwodu lub susceptancja wypadkowa (rezonans prądów) obwodu jest równa zeru. W stanie rezonansu napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie, tzn. argument impedancji zespolonej (rez. napięć) lub admitancji zespolonej (rez. prądów) jest równy zeru (ϕ=0). Częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru, nazywa się częstotliwością rezonansową i oznaczana jest f r lub f 0. Zachodzi kompensacja napiec lub prądów.

28 REZONANS NAPIEĆ Zjawisko rezonansu napieć w gałęzi szeregowej polega na tym, że przy określonej częstotliwości, zwanej częstotliwością rezonansową napięcia na cewce oraz kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma wektorowa jest równa zeru. Warunek wystąpienia rezonansu napięć:

29 REZONANS NAPIEĆ Warunek wystąpienia rezonansu napięć:

30 DOBROC UKŁADU REZONANSOWEGO Dobroć układu rezonansowego określa: ile razy napięcie na indukcyjności (lub pojemności) przewyższa napięcie na wejściu układu. Dobroć układu rezonansowego Q (dla rezonansu napięć): Wykres wektorowy napięć i prądów w przypadku rezonansu napiec.

31 DOBROC UKŁADU REZONANSOWEGO Określenie dobroci układu rezonansowego Q jeśli {R, L, C i U} = const korzystając z wyrażenia na dobroć Q: otrzymuje się równanie prądowe I = f (ω) z parametrem Q: (**)

32 PRZEBIEGI I, Z, U L, U C W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI Funkcje I, Z, U L, U C = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie szeregowym: = C L R E I ω ω = = C L R E R I R U R ω ω = = C L R E L I X U L L ω ω ω = = C L R C E I X U C C ω ω ω Zostaną przedstawione charakterystyki rezonansowe, tzn. wykresy wartości skutecznych prądu I oraz napięć U R, U L i U C, przy stałej wartości skutecznej E sinusoidalnego napięcia źródłowego o zmiennej pulsacji ω, jako funkcje tej pulsacji. Podstawę sporządzenia wykresów stanowią zależności:

33 PRZEBIEGI I, Z, U L, U C W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI Funkcje I, Z, U L, U C = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie szeregowym: Przebiegi: U, I, Z, UC, UL w funkcji częstotliwości. (wykres charakterystyk amplitudowych) Charakterystyki częstotliwościowe XL, XC, Z, ϕ, I

34 PASMO PRZEPUSZCZANIA Jeśli rezystancja R układu rezonansowego rośnie, jego dobroć Q maleje i odwrotnie. Ilustracja wyznaczania pasma przepustowego (ω1 -ω2) w zależności od dobroci Q układu rezonansowego.

35 PASMO PRZEPUSZCZANIA Moc pobierana przez układ przy rezonansie: P max = U Prąd określony jest z warunku połowy mocy maksymalnej: 1 2 P max U I = 2 stąd: Zatem pasmo przepuszczania wyznacza podział częstości:, Dobroć układu rezonansowego: = ω ω I r U 2 1 ω 2 I r 2 gdy I = I I r 2 I r 2 ω 2 ω ω r 1 = R ω r L = 1 Q

36 PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Dane: R = 10 Ω, L = 1, C = 1 µf, U = 10 mv. Szukane: =?, Q =?, U C =? ω o I Q = = = R U ω o = = 10 [s ] L C 6 10 R = L 0,01 10 = 1[mA] = = U C = Q U = 100 0,01 = 1[V]

37 REZONANS PRĄDÓW Zjawisko rezonansu prądów w gałęziach równoległych polega na tym, że przy określonej częstotliwości, zwanej częstotliwością rezonansową prądy na cewce oraz kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma wektorowa jest równa zeru. Warunek wystąpienia rezonansu prądu:

38 REZONANS PRĄDÓW

39 PRZEBIEGI W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI Funkcje I C I L I G, U, Y = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie równoległym: Przebiegi: B L, B C, Y w funkcji częstotliwości. Rys. 3 Charakterystyki częstotliwościowe obwodu rezonansu prądów

40 Kirchhoff Gustaw Robert ( ) Urodził się w Królewcu, jako trzeci syn radcy prawnego. Podczas studiów na miejscowym uniwersytecie oraz po ich ukończeniu zajmował się głównie badaniem prądów elektrycznych. Wynalazł silne ogniwo elektryczne (znane pod jego nazwiskiem), które składało się z cynku i węgla, a jako elektrolit i depolaryzator użył kwasu siarkowego i azotowego. W latach odkrył prawa przepływu prądu elektrycznego stanowiące podstawę teorii obwodów elektrycznych, nazwane później na jego cześć prawami Kirchhoffa: pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, iż suma algebraiczna prądów przepływających przez wszystkie przewody w sieci łączące się w jednym punkcie jest równa zeru, drugie prawo Kirchhoffa mówi, iż suma algebraiczna sił elektromotorycznych wewnątrz dowolnego obwodu zamkniętego jest równa sumie iloczynów natężenia prądów i oporów elektrycznych w różnych częściach tego obwodu.

41 Kirchhoff Gustaw Robert ( ) W 1950 r. został profesorem we Wrocławiu, zaś mając 30 lat podjął pracę na uniwersytecie w Heidelbergu. W 1857 r. podał ogólną teorię przepływu prądu w przewodnikach. W 1858 r. przedstawił tzw. równanie telegraficzne, za pomocą którego wykazał, że wzdłuż przewodów rozchodzi się "fala elektryczna", na którą nakłada się podobna fala odbita (o kierunku przeciwnym). Wykazał też, że fale te rozchodzą się z prędkością zbliżoną do prędkości światła. Odkrycie to przyczyniło się do powstania jednolitej teorii fal Maxwella. Inne prace związane z elektrycznością Kirchhoffa dotyczyły obliczania pojemności kondensatorów oraz związane były z badaniami pól elektrycznych. Prowadził również badania nad wzajemnym oddziaływaniem pól elektrycznych i magnetycznych z mechanicznymi naprężeniami i odkształcaniem materiałów. Zainteresowania Kirchhoffa obejmowały również inne dziedziny fizyki. Zajmował się optyką, ciepłem, mechaniką ciał stałych, hydrodynamiką, fizyką matematyczną i teorią sprężystości. asługą Kirchhoffa w dziedzinie zjawisk świetlnych, a w szczególności analizy spektralnej, było odkrycie absorpcji światła, co umożliwiło identyfikację pierwiastków znajdujących się na Słońcu i na innych obiektach kosmicznych. Dzięki analizie spektralnej odkrył pierwiastki: cez i rubid. Jego odkrycia przyczyniły się do nadania mu wielu tytułów akademii naukowych.

42 KONIEC WYKŁADU VII