Technika Obliczeniowa i Symulacyjna - wykład. sem. 2, studia I stopnia, EiT, r. ak. 2017/2018

Transkrypt

1 Technik Obiczeniow i Symcyjn - wykłd sem., stdi I stopni, EiT, r. k. 7/8

2 .

3

4 4

5 Zsdy ziczni przedmiot Technik obiczeniow i symcyjn (TOiS) semestr, rok kdemicki 7/8 Udził pnktów w cłości przedmiot Liczb pnktów wymgn w ziczeni* ) Minimm pnktów możiwijące zwonienie z odpłtności z dny rodzj zjęć Wykłd 6 godz. 4 7 Projekt 5 godz. 5 Lbortorim 4 godz. 8 4 Sm pnktów 5 * ) Minimm pnktów z dnego rodzj zjęć możiwijące ziczeni przedmiot, pod wrnkiem że stdent zyskł ze wszystkich rodzjów zjęć smrycznie co njmniej 5 pnktów. Uwg: Stdent powtrzjący przedmiot Technik obiczeniow i symcyjn, posidjący odpowiednią dnotcję o ziczeni wybrnych części przedmiot w biegłorocznym protokoe, zgłsz ten fkt osobiście w terminie do piątk 9 mrc 8 r. w sekretricie Ktedry Systemów Eektroniki Morskiej (pokój 747, te , dorotk@eti.pg.ed.p) odpowidjącej z ziczenie cłości przedmiot TOiS, konieczne jest bowiem indywidne zgodnienie wrnków ziczeni tej części przedmiot. Brk odpowiednio dokmentownego zgłoszeni będzie sktkowł koniecznością powtrzni tkże tych 5 zjęć.

6 Zsdy ziczni przedmiot Technik obiczeniow i symcyjn (TOiS) semestr, rok kdemicki 7/8 Zsdy ziczeni orz mteriły do wykłdów są jż mieszczone n stronie Ktedry: SEM: Oceny z przedmiot wynikjące z smy zysknych pnktów: Smryczn iczb pnktów Ocen 9. 5, , , 6. 7,5 5. 6, 6

7 Wykłd będzie prowdzony od tego 8 r. przez koejnych 8 tygodni zjęć, w wymirze godziny tygodniowo. Ziczenie wykłd w formie sprwdzin pisemnego, w terminie zgodnionym ze stdentmi, nstąpi po zkończeni zjęć wykłdowych. Sprwdzin będzie skłdć się z 6 pytń, kżde z 7 pnktów, w smie 4 pnkty ( pytni z metod nmerycznych i pytni z nrzędzi obiczeniowych i symcyjnych ). Stdent msi zyskć co njmniej 8,5 pnktów z metod nmerycznych i 8,5 pnktów z nrzędzi obiczeniowych i symcyjnych. Lbortorim rozpocznie się 9 kwietni 8 r. i będzie prowdzone w wymirze godzin tygodniowo. W czsie bortorim przewidzinych jest do reizcji 7 ćwiczeń bortoryjnych z kżde możn zyskć 4 pnkty, w smie 8 pnktów. Stdent jest zobowiązny czestniczyć i ziczyć wszystkie ćwiczeni bortoryjne. Szczegółowe zsdy ziczni bortorim zostną podne n pierwszych zjęcich. Grfik terminów Lbortorim TOiS w rok 8 Nr zjęć Dzień tyg Poniedziłek Wtorek Środ Czwrtek Piątek

8 Projekt będzie prowdzony od 6 tego 8 r. w wymirze godzin ekcyjnych co dw tygodnie. Do wykonni będą trzy projekty, oprcowywne indywidnie. Stdent z kżdy projekt może zyskć mksymnie pnktów. Pierwszy projekt będzie oddwny w formie krtkówki, n której stdent otrzym do rozwiązni jedno zdnie z metod nmerycznych. Krtkówk przeprowdzon zostnie po wykłdch z części metod nmerycznych. Pozostłe dw projekty mszą być wykonne i przedstwione do oceny w trkcie trwni semestr w wyznczonych d dnej grpy terminch. Terminy zostną stone n pierwszych zjęcich projektowych. Z zjęci projektowe stdent może zyskć mksymnie pnktów. Terminy pierwszych zjęć projektowych: Proszę by wszyscy przyszi n swój termin podstwowy (zgodnie z grfikiem), nie korzystjąc n rzie z terminów wspónych. Grp Termin rozpoczęci zjęć., godz..5 9., godz..5 6., godz , godz..5 5., godz wsp wsp

9 część : Metody Nmeryczne (cztery wykłdy) Prowdzący: dr inż. Brbr Stwrz-Grczyk Pokój: 449EA E-mi: bstwrz@eti.pg.ed.p Wizytówk: Konstcje: Środ: - 9

10 Metody nmeryczne Metody rozwiązywni probemów mtemtycznych z pomocą opercji n iczbch. Otrzymywne tą drogą wyniki są n ogół przybiżone, jednk dokłdność obiczeń może być z góry okreśon i dobier się ją zeżnie od potrzeb. Wykorzystywne są wówczs, gdy bdny probem nie m w ogóe rozwiązni nitycznego (dnego wzormi), b korzystnie z tkich rozwiązń jest ciążiwe ze wzgęd n ich złożoność.

11 Skrypty: Sztkowski A., Cichosz J.: Metody nmeryczne, Wydwnictwo Poitechniki Gdńskiej, Gdńsk. Smon R.: Mtb podstwy i zstosowni. Skrypt w wersji eektronicznej.

12 Zgdnieni omwine n wykłdzie (część Metody Nmeryczne):. Wstęp do MATLAB.. Błędy w obiczenich.. Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych: - metody dokłdne: metod eimincji Gss, dekompozycji LU, - metody itercyjne: Jcobiego, Gss- Seid. 4. Wybrne metody przybiżonego wyznczni rozwiązń równni nieiniowego: bisekcji, siecznych, stycznych, itercji prostej, reg fsi. 5. Aproksymcj fnkcji: interpocj, proksymcj.

13 Wstęp do MATLAB

14 Wstęp do MATLAB 4

15 Wstęp do MATLAB Podstwowe poeceni poecenie opis hep nzw_fnkcji w głównym oknie progrm MATLAB wyświeti się opis wybrnej fnkcji who whos wykz zmiennych przechowywnych w przestrzeni roboczej wykz zmiennych przechowywnych w przestrzeni roboczej wrz ze szczegółową informcją dotyczącą kżdej zmiennej: >> T = [8,,6;,5,7;4,9,] T = >> whos T Nme Size Bytes Css T 7 dobe rry cer nzw_zmiennej sw zmienną z obszr roboczego cer cc sw wszystkie zmienne z obszr roboczego sw wszystkie informcje z głównego okn 5

16 Wstęp do MATLAB Podstwowe poeceni poecenie opis open ( nzw_pik ) formt short formt ong otwrcie wybrnego pik reprezentcj stłoprzecinkow, 4 cyfry po przecink reprezentcj stłoprzecinkow, 5 cyfr po przecink disp(a) stosje się w ce wyświeteni wynik fnkcji wprowdznie dnych z kwitry: inpt >>n=inpt( Podj wrtość n ) po rchomieni tkiej instrkcji w głównym oknie progrm zostnie wyświetony npis: Podj wrtość n, którą nstępnie trzeb wprowdzić z kwitry 6

17 Wstęp do MATLAB Podstwowe opercje Pkiet MATLAB możiwi obicznie nmeryczne jk również symboiczne, nie wymg dekrowni zmiennych. >>5+* ns = >>tn(pi/4) ns = >>=+* = 9 >>ep() ns =.78 % zwróci wrtość e >>b=sqrt() b = >>c= m kot c = m kot >>b^ ns = 7 >>og() % ogrytm ntrny n >>sini=fctori() sini = 6 >>og() % ogrytm dziesiętny ; - średnik n końc wiersz ozncz, że wynik opercji nie będzie wyświetony w głównym oknie progrm MATLAB, % ozncz początek/koniec komentrz. 7

18 Wstęp do MATLAB Wektory >>v=[, 5, 7, 9, ]; jest równoznczne z >>v=::; odwoływnie się do wybrnych eementów wektor: >>v(:4) ns = [5, 7, 9] zstępownie wybrnych eementów wektor innymi: >>v(:)=[, ] v = [,, 7, 9, ] 8

19 Wstęp do MATLAB Wektory nzw opis min eement wektor o wrtości minimnej m eement wektor o wrtości mksymnej men wrtość średni eementów wektor sm sm eementów wektor sort porządkownie rosnące eementów wektor 9

20 Wstęp do MATLAB Mcierze poecenie A=[ ; ; ] opis wprowdznie mcierzy, koejne wiersze mcierzy oddzie się średnikiem size(a) pobrnie ktnych rozmirów mcierzy size(a,) wrtość ozncz, że chcemy wiedzieć ie jest wierszy size(a,) wrtość ozncz, że chcemy wiedzieć ie jest komn A(,) odwołnie się do eement w drgim wiersz i drgiej komnie A() odwołnie się eement icząc wyrzy komn po komnie A(, :) wyświetenie cłego drgiego wiersz mcierzy A

21 Wstęp do MATLAB Mcierze poecenie opis A trnspozycj mcierzy A+B sm mcierzy A-B różnic mcierzy A*B ioczyn mcierzy A.*B ioczyn poeementowy A/B dzieenie prwostronne mcierzy, odpowid rozwiązni równni mcierzowego B=A A\B dzieenie ewostronne mcierzy, odpowid rozwiązni równni gebricznego A=B - A = B = A B = A\B

22 Wstęp do MATLAB Mcierze poecenie opis det(a) wyzncznik mcierzy norm(a) norm mcierzy eye tworzenie mcierzy digonnej, wszystkie eementy głównej przekątnej mją wrtość, np. eye (4) zeros tworzenie mcierzy wypełnionej zermi, np. zeros () ones tworzenie mcierzy wypełnionej jedynkmi, np. ones (, 4) dig tworzenie mcierzy digonnej

23 Wstęp do MATLAB Opertory recji Opertory ogiczne < mniejszy && i > większy <= mniejszy równy >= większy równy b ~ negcj == równy ~= nierówny

24 Wstęp do MATLAB Wizizcj Rysownie wykresów fnkcji jednej zmiennej reizje się poeceniem pot : >> =-5:.:5; >> y=sin(); >> pot(,y); 4

25 Wstęp do MATLAB Wizizcj poecenie opis figre otwier pste okno grficzne hod on/off pozw n wyrysownie kik fnkcji n jednym wykresie tite mieszcz tytł wykres be opis osi X, np. >>be( f [Hz] ) ybe opis osi Y 5

26 Wstęp do MATLAB Fnkcje Fnkcje njepiej tworzyć jest w oddzienych pikch o tkiej smej nzwie jk nzw fnkcji. Poniżej przedstwiony jest przykłd fnkcji obiczjącej smę i ioczyn dwóch iczb zpisnej w pik smio.m : fnction [sm, ioczyn] = smio (, y) sm = + y; ioczyn = * y; % sm i ioczyn - dne wyjściowe i y dne wejściowe Aby wywołć powyższą fnkcję w progrmie MATLAB neży w inii komend npisć np.: =; y=5; [s, i]=smio (, y) disp(s) disp(i) 6

27 Wstęp do MATLAB Pęte i instrkcje wrnkowe nzw opis for-end for zmienn sterjąc = wyrżenie (np. for i = :) poecenie end whie-end whie wyrżenie (np. whie n>) poecenie end if-ese-end if zmienn z wrnkiem (np. if <6) poecenie eseif zmienn z wrnkiem poecenie ese poecenie end 7

28 Błędy w obiczenich 8

29 Błędy w obiczenich Błąd bezwzgędny w obiczenich definije się jko różnicę między dokłdną wrtością iczbową jej wrtością przybiżoną otrzymną jko wynik rozwiązni pewnego zdni obiczeniowego. W ce okreśeni dokłdności obiczeń okreś się zwyke grniczny (tzn. mksymny) błąd bezwzgędny wyrżny w jednostkch wiekości obicznej b grniczny błąd wzgędny wyrżny w postci łmk b procent wrtości obicznej wiekości 9

30 Błędy w obiczenich Rozptrje się trzy główne przyczyny powstwni niedokłdności w trkcie reizcji obiczeń: błędy dnych wejściowych, błędy obcięci, błędy zokrągeń. Błędy dnych wejściowych powodowne są przez skończoną dłgość słow stosownego w mszynie cyfrowej (skończoną dyskretną reprezentcję iczb stosownych w obiczenich kompterowych) i związną z tym w konsekwencji niemożiwością przedstwieni wrtości rzeczywistej w postci dokłdnego zpis iczbowego d dszych obiczeń. Przez odpowiednią rozbdowę gorytm nmerycznego możn błąd dnych wejściowych czynić dowonie młym, e odbyw się to kosztem zmniejszeni efektywności obiczeń.

31 Błędy w obiczenich Błędy obcięci i zokrągeni powstją tkże podczs opercji rytmetycznych w czsie reizcji progrm. Przyczyną powstwni błędów obcięci jest tkże konieczne ogrniczenie nieskończonego ciąg obiczeń (np. przy stosowni gorytmów itercyjnych) do skończonej iczby dziłń.

32 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych Poszkjemy rozwiązni kłd równń iniowych A = b, det A Rozwiązniem jest wektor * Metody dokłdne: eimincji Gss, dekompozycji LU Otrzymjemy rozwiąznie po okreśonej iczbie dziłń rytmetycznych, któr zeży od iczby równń w kłdzie równń - n Metody itercyjne (przybiżone): Jcobiego, Gss-Seid Nie potrfimy okreśić ie koejnych itercji k neży wykonć, żeby oszcowć wektor zbiżony do wektor * ( k ) f ( ( k )) k,,,...

33 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne Metod eimincji Gss A - jest dną mcierzą n n -wymirową o eementch będących iczbmi rzeczywistymi b - jest wektorem wyrzów wonych - jest wektorem niewidomych () Dw etpy:. Etp eimincji w przód. Etp podstwini wstecz b A, n n nn n n n n n n n b b b

34 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Krok etp eimincji w przód: Zkłd się, że współczynnik: ( ). Pierwsze równnie kłd równń () mnożymy koejno przez i, d i,,,, i n () i odejmjemy stronmi od równni o nmerze i tego kłd równń. Otrzymjemy kłd równń: A b n n b n n b n n nn n bn, () Wyeiminowno zmienną ze wszystkich równń oprócz pierwszego. 4

35 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Krok etp eimincji w przód: Zkłd się, że współczynnik: ( ). Drgie równnie kłd równń () mnożymy koejno przez i, d i,4,,, i n (4) i odejmjemy stronmi od równni o nmerze i tego kłd równń. Otrzymjemy kłd równń: A b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n = b ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) n n b ( ) + + ( ) = ( b ) ( ) ( + + ) = ( b ) n n nn n n n, (5) Wyeiminowno zmienną ze wszystkich równń oprócz pierwszego. Wyeiminowno zmienną ze wszystkich równń oprócz pierwszego i drgiego. 5

36 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Krok k etp eimincji w przód: ( k Zkłd się, że ) kk. Równnie o nmerze k przeksztłconego w poprzednim krok kłd równń mnożymy koejno przez współczynnik: ( k ) ik (6) ik = ( ), d i = k +, k +,, n, k kk i odejmjemy stronmi od równni o nmerze i tego kłd równń. Otrzymjemy kłd równń: ( k+) ( k+ A = b ) Po wykonni n- kroków eimincji w przód otrzymjemy kłd równń mjący postć mcierzy trójkątnej górnej: n n b n n b n n nn n bn, (7) KONIEC ETAPU ELIMINACJI W PRZÓD 6

37 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Etp podstwini wstecz. Krok. Z osttniego równni kłd równń (7) wyzncz się iczbę ( n) ( n = b / ) n n nn, (8) Krok. Otrzymną wrtość * n = n podstwimy w przedosttnim wiersz z i wyznczmy.. n Krok n. Po podstwieni do pierwszego równni wyznczonych poprzednio wrtości * obiczmy wrtość. KONIEC ETAPU PODSTAWIANIA WSTECZ * * * n, n,, 7

38 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Uwgi: W rozwiązywnym równni eementy mcierzy A n głównej przekątnej mszą być. Jeżei ten wrnek nie jest spełniony, to neży pozmienić wiersze miejscmi. N przekątnej głównej wskzne jest mieścić wyrzy mcierzy A o njwiększej bezwzgędnej wrtości. Rozwiąznie kłd skłdjącego się z n równń iniowych metodą eimincji Gss wymg wykonni: n n n dziłń mnożeni i dzieeni i n n 5 6 n dziłń dodwni i odejmowni 8

39 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd: = 5 = 6 = 5 9

40 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : = 5 = 6 = 5 ( ) ( ) = = 4

41 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : = 5 = 6 = 5 ( ) ( ) = = 4

42 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : = 5 = 6 = 5 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = 4

43 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : = 5 = 6 = 5 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = 4

44 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : () () () () () () Od równni o nmerze odejmjemy równnie nmer wymnożone ( ) przez współczynnik = ( ) = () () + + () () + "-" + () () () () () = 5 = 5 = 6 = 5 = () + + () = () 7 () () () () / () 44

45 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : () () () Od równni o nmerze odejmjemy równnie nmer wymnożone ( ) przez współczynnik = ( ) = () () () () () () () "-" + () () () () () = 5 = 5 = 6 = 5 = 5 () () () () () () + + () = 5 / () 45

46 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : () + () () () + () + + () () = 5 = = () 7 5 () () ( ) ( ) = = = 46

47 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, krok : Od równni o nmerze odejmjemy równnie nmer wymnożone przez współczynnik () = ( ) ( ) = + () () () + () + + () () = 5 = = () () () () () + "-" () () = () = 7 = 5 () () 8 6 / () 47

48 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, eimincj w przód, kłd równń po osttnim krok : () + () () + () () = 5 () () 7 = 8 = 6 () () 48

49 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod eimincji Gss Przykłd, podstwinie wstecz, krok : 8 6 () = 8 6 () = podstwinie wstecz, krok : () () () 7 + = = podstwinie wstecz, krok : () () () () + + = 5 = 49

50 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne Metod dekompozycji LU A b det A A - jest dną mcierzą nn -wymirową o eementch będących iczbmi rzeczywistymi b - jest wektorem wyrzów wonych - jest wektorem niewidomych A = b [L U] = b A = L U L mcierz trójkątn don, otrzymn z mcierzy A, U mcierz trójkątn górn, otrzymn z mcierzy A L y = b U = y () wyznczmy y () wyznczmy 5

51 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU Mcierz U U ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) n ( ) = 4 n () Mcierz L L = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) n n n nn (4) 5

52 5 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU Agorytm Crot Przykłd d n = (5) Pomocnicz mcierz Q Q (6)

53 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU Eementy mcierzy Q, d n = 4, są obiczne w koejności zznczonej w poniższej tbicy Nmer ozncz koejność obiczni eementów. Q Njpierw obiczmy eementy mcierzy L (pierwsz komn), potem eementy mcierzy U (pierwszy wiersz, bez pierwszego eement mcierzy U, który jest równy ), potem eementy mcierzy L (drg komn, bez pierwszego eement, który jest równy ), potem eementy mcierzy U (drgi wiersz, e bez pierwszego i drgiego eement mcierzy U, które są odpowiednio równe i ), potem eementy mcierzy L, itd. 5

54 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU Biorąc pod wgę zeżność (5), wykonjemy obiczeni d koejnego eement ij w postci ioczyn i-tego wiersz mcierzy L i j-tej komny mcierzy U,,, , Q ,, 4 4,

55 55,, ,, , Q Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU

56 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU ,, , Q

57 Przykłd A = b A = L U L U = b L y = b U = y L U Q Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU

58 Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU

59 6 8 L U 6 8 Q L y = b y y y y y y 5 y 6 5 y y y y y y Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU 59

60 U = y Metody rozwiązywni kłdów równń iniowych, metody dokłdne, metod dekompozycji LU 6

61 Wykłd pytni Pytni n kookwim z wykłd:. Rodzje błędów w obiczenich nmerycznych; jk powstją?. Podj ogóny gorytm rozwiązywni kłd równń iniowych metodą eimincji Gss.. Podj ogóny gorytm rozwiązywni kłd równń iniowych metodą dekompozycji LU. 6