1. Wprowadzenie STATYCZNE UJÊCIE METODY PUNKTÓW MASOWYCH DO WYZNACZENIA SI OSIOWYCH W PRÊTACH KRATOWNICY P ASKIEJ. Marian Paluch*
|
|
|
- Feliks Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Górnictwo i Geoin ynieria Rok 34 Zeszyt 3/ Marian Paluch* STATYCZNE UJÊCIE METODY PUNKTÓW MASOWYCH DO WYZNACZENIA SI OSIOWYCH W PRÊTACH KRATOWNICY P ASKIEJ Kratownice p³askie stosowane s¹ zarówno w budownictwie naziemnym, ak i podziemnym. Proektant takich konstrukci przy doborze przekroów poprzecznych prêtów musi znaæ si³y osiowe w nich dzia³a¹ce, przemieszczenia wêz³ów i si³y reakci podpór. W pracy omówiono metodê, która est bardzo wygodna do obliczeñ, mo e byæ ca³kowicie zautomatyzowana. Jest konkurencyna w stosunku do metody elementów skoñczonych. 1. Wprowadzenie Rozwa my kratownicê p³ask¹ (rys. 1 z³o on¹ z prêtów prostych po³¹czonych wêz³ami tak, aby osie prêtów przecina³y siê dok³adnie w wêz³ach, do których przynale ¹. Wêz³y s¹ przegubami idealnie g³adkimi. Obci¹ enie zewnêtrzne i podpory przy³o one s¹ w wêz³ach kratownicy. Rys. 1. Kratownica p³aska * AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ Górnictwa i Geoinzynierii 137
2 Przedstawiona na rysunku 1 kratownica sk³ada siê z piêciu wêz³ów i oœmiu prêtów. W wêz³ach A i B znadu¹ siê podpory przegubowe (³o yska sta³e. Jest ona uk³adem dwukrotnie statycznie niewyznaczalnym, gdy warunek na liczbê prêtów w kratownicy statycznie wyznaczalne ustala ich siedem p 2w32537, a mamy osiem prêtów, zaœ liczba reakci podporowych wynosi cztery, a do ich okreœlenia dysponuemy trzema równaniami równowagi. Zatem ( 87 ( 43 2 Podstawowe niewiadome, którymi bêdziemy siê pos³ugiwaæ przy wyznaczaniu si³ osiowych w prêtach kratownicy, to przemieszczenia punktów wêz³owych oraz si³y reakci podpór (rys. 2. Rys. 2. Przemieszczenia wêz³ów kratownicy Nale y zauwa yæ, e tam gdzie zadane s¹ przemieszczenia wêz³ów punkty A i B, nieznane s¹ si³y reakci i est ich tyle, ile wynosi liczba znanych przemieszczeñ. Z przemieszczeniami wêz³owymi zwi¹zane s¹ si³y osiowe w prêtach kratownicy. 138
3 2. Wyprowadzenie równañ metody punktów masowych Rozwa my prêt A i A kratownicy znadu¹cy siê pomiêdzy wêz³ami A i oraz A (rys. 3. Rys. 3. Konfiguraca pocz¹tkowa i koñcowa prêta AA i Konfiguraca pocz¹tkowa prêta A i A okreœlona est po³o eniem wêz³ów A i, A (por. [4, 5]. Prêt ulega deformaci, na któr¹ sk³ada siê translaca (równoleg³e przesuniêcie, rotaca (obrót np. wokó³ punktu A i i w³aœciwe odkszta³cenie (wyd³u enie b¹dÿ skrócenie. Konfiguracê koñcow¹ prêta okreœla¹ punkty A i, A. Na rysunku 3 wprowadzono oznaczenia: A i, A punkty wêz³owe dla prêta A i A li l d³ugoœæ pocz¹tkowa prêta A i A wersor odcinka ³¹cz¹cego punkty A i, A e i e i r ri x xi y yi ex e y l l l ex cos i ex sin i ey (cos i sin i e y (1 139
4 C i i k¹t nachylenia prêta A i A do osi Ox globalnego uk³adu wspó³rzêdnych Oxy Ei E modu³ sprê ystoœci pod³u ne Younga prêta A i A Ai A pole przekrou poprzecznego prêta A i A Ei Ai sztywnoœæ prêta A i A na rozci¹ganie (œciskanie Ei Ai l l modu³ sztywnoœci prêta A i A na rozci¹ganie (œciskanie i N i N i wielkoœæ si³y osiowe w prêcie A i A si³a osiowa w prêcie A i A N N e N i i i i i i ex (cos,sin (2 e y u i, u wektory przemieszczeñ wêz³ów A i, A ex ui uiex wiey ( ui, wi e y ex u u ex w ey ( u, w e y (3 ui u ui ( u ui ex ( w wi ey ex (4 ( u ui, w wi e We wzorach (1, (2, (3, (4 wersory e x, e y stanowi¹ bazê uk³adu wspó³rzêdnych Oxy. Wykorzystu¹c rysunek 3 i twierdzenie Pitagorasa, mo emy dla obu konfiguraci prêta A i A napisaæ nastêpu¹ce zale noœci y [( x xi ( u ui ] [( y yi ( w wi ] ( ll ( x xi 2 ( y yi 2 l (5 Odemu¹c stronami równoœci (5 i dziel¹c przez 2l otrzymuemy wzór na nieliniowe wyd³u enie prêta A i A (por. [2] ( l l 2l 2 ( u u 2l x x 2 i yi l y i l ( u u i ( w wi ( w wi 2l 2 (6 140
5 Poniewa rozwa ania przeprowadzamy dla liniowe teorii sprê ystoœci (uk³ad Clapeyrona, to w równaniu (6 mo emy pomin¹æ wyrazy drugiego rzêdu. S¹ nimi ( l, ( u ui, ( w wi 2l 2l 2l Zatem wyd³u enie prêta A i A est równe: x xi y ui l ( u ui ( w wi l l cos ( u u sin i ( w w i i i u (cos i,sin i w ui w i (7 Wykorzystu¹c zwi¹zek fizyczny Hooke a E, (8 w którym mamy N i, l A l (9 dostaemy wyra enie wi¹ ¹ce wyd³u enie prêta z si³¹ osiow¹ w nim dzia³a¹c¹ Ni l N i l (10 C i Z porównania zale noœci (7 i (10 otrzymuemy wyra enie na wielkoœæ si³y osiowe N i w prêcie A i A u ui Ni Ci lci (cos i,sin i w w (11 i Wykorzystu¹c wzory (1 i (4, nietrudno zauwa yæ, e wyra enie u (cos i,sin i w ui w i wystêpu¹ce w (11 est iloczynem skalarnym wektorów e i i u i. 141
6 Zatem mamy Ni Ci ei ui (12 oraz N N e C ( e u e C ( e e u i i i i i i i i i i i C i D i u i C i i u u i D ( (13 e i, e i We wzorze (13 wykorzystano poêcie diady ako iloczynu zewnêtrznego wersorów D i e i e i (cos e sin e (cos e sin e y i x i y i x i 2 i i i 2 i i i cos cos sin sin cos sin ( d e e ( d e e i i i i e i e (14 Wzór (13 z wykorzystaniem (14 wi¹ e si³ê w prêcie kratownicy z przemieszczeniem ego wêz³ów. Kratownica est w równowadze, gdy e wszystkie wêz³y s¹ w równowadze. Zatem dla i-tego wêz³a kratownicy, w którym schodzi siê k prêtów musi byæ spe³nione równanie równowagi si³ k Ci D i ( u ui Fi 0 (15 We wzorze (15 F i est sum¹ si³ zewnêtrznych przy³o onych do i-tego wêz³a, zaœ numerem kolenego prêta wychodz¹cego z tego wêz³a. Po rozpisaniu równañ (15 dla wszystkich wêz³ów kratownicy i rozwi¹zaniu ich otrzymuemy wielkoœci przemieszczeñ wêz³owych i si³ reakci podporowych. Na te podstawie ze wzoru (11 wyznaczamy si³y osiowe w poszczególnych prêtach kratownicy. Uêcie dynamiczne równania (15 wyprowadzone z zasady d Alemberta mo na znaleÿæ w pracy [1]. Tam te przyêto nazwê metody ako metoda punktów masowych. 3. Przyk³ad obliczeniowy Praktyczne zastosowanie metody punktów masowych przedstawiono na przyk³adzie kratownicy z rysunku 1. Do obliczeñ przyêto P = 10 kn i ednakowy dla wszystkich prêtów modu³ sztywnoœci prêtów C i 200 kn/m. l 142
7 Pos³ugu¹c siê rysunkiem drugim, na którym zaznaczono numery wêz³ów, piszemy dla nich równania (15, zaczyna¹c od wêz³ów o nieznanych przemieszczeniach Wêze³ 1 C1BD1B ( ub u1 C12D12( u2 u1 C D ( u u C D ( u u F A 1 A Wêze³ 2 A C D ( u u C D ( u u A 2 A A 2 C D ( u u C D ( u u F B 2B B (16 Wêze³ 3 C D ( u u C D ( u u 3A 3A A C D ( u u F Wêze³ A C D ( u u C D ( u u A1 A1 1 A A2 A2 2 A C D ( u u F A3 A3 3 A A 0 Wêze³ B (17 C D ( u u C D ( u u F B2 B2 2 B B1 B1 1 B B 0 Wystêpu¹ce we wzorach (16, (17 diady ma¹ nastêpu¹ce elementy: ( d i 1 0 1B 0 0, (,, d i 12 05, 05,, ( d i , ( 064, 048, d i 1 A 048, 036, 036, 048, ( d i , 064,, ( d i 2 A , ( d i 21 ( d i 12, ( d 0 0 i 2B 0 1,, ( d i 3 A 05, 05,, ( d i 31 ( d i 13, ( di ( di (18 ( d ( d, ( d ( d, ( d ( d i A1 i 1A i A 2 i 2A ( d ( d, ( d ( d i B 2 i 2B i B1 i 1B i A 3 i 3A 143
8 Si³y zewnêtrzne przy³o one do wêz³ów F1 ( 0, 15, F2 ( 20, 0, F3 ( 10, 0 FA ( H A, VA, FB ( HB, VB (19 Wektory przemieszczeñ wêz³owych to u1 ( u1, w1, u2 ( u2, w2, u3 ( u3, w3 ua (,, 00 ub (, 00 (20 Podstawia¹c (18, (19, (20 do (16 i (17, otrzymuemy nastêpu¹cy uk³ad równañ u ,, u u1 w1 05, 05, w2 w1 0 0 u3 u1 0,64 0, 48 u w3 w ,, w , 048, u3 u , 064, u2 w3 w w2 05, 05, u1 u u 05, 05, w w w2 0 05, 05, u , 05, u u3 w3 0 1 w1 w3 036, 048, u2 u , 064, w2 w3 0 (21 064, 048, u 048, 036, u2 w1 0 0 w2 05, 05, u3 H A 05, 05, w3 V A u u1 0 1w2 0 0 H B w1 V b (22 Ich ostateczna postaæ to 214, u1 0, 5u2 0, 02w1 0, 5w2 0 0, 02u1 0, 5u2 186, w 1 0, 5w2 w3 0, , u1 186, u2 036, u3 05, w1 002, w2 048, w3 01, 05, u1 002, u2 048, u3 05, w1 214, w2 064, w3 0 0,36u2 0, 86u3 0, 48w2 0, 02w3 0, 05 0, 48u2 0, 02u3 w1 0,64w2 214, w3 0 (23 144
9 H A 200[, 0 64u1 u2 0, 5u3 0, 48w1 0, 5w3] V A 200[ 0, 48u1 05, u3 036, w1 05, w3] HB 200u1 VB 200w2 (24 Uk³ad równañ (23 ma nastêpu¹ce rozwi¹zanie u1 0, m u1 : w1 0, m u2 0, m u2 : w2 00, 1740 m u3 0, m u3 : w3 0, m (25 Wstawia¹c (25 do równañ (24, otrzymuemy si³y reakci podporowych H V A A 8, 546 kn 11520, kn H B 1454, kn VB 3, 480 kn Ze wzoru (11 obliczamy si³y osiowe w prêtach analizowane kratownicy u1 N A1 200(,; 0 8 0, 6 7, 713 kn w1 u2 N A 2 200(; 10 9, 268 kn w u N A ; 97, 47 kn 2 2 w3 u1 N 1B 200(; , kn w u2 u1 N 12 ; 10, 783 kn 2 2 w2 w1 u3 u1 N (; 01 2, 748 kn w3 w1 u2 N B 2 200(; 01 3, 480 kn w2 u3 u2 N ( 0608, ;, 5180, kn w3 w2 145
10 Znak minus przy sile osiowe oznacza œciskanie prêta. Na rysunku 4 zestawiono wszystkie si³y dzia³a¹ce na analizowan¹ kratownicê. Rys. 4. Si³y osiowe w prêtach kratownicy Bardzo wa nym przyk³adem zastosowania metody punktów masowych est wyznaczenie si³ pod³u nych w prêtach zginane ramy, gdy w ednym wêÿle schodz¹ siê wiêce ni dwa prêty (rys. 5. Rys. 5. P³aska rama z obci¹ eniem 146
11 Przedstawiona na rysunku 5 rama est szeœciokrotnie statycznie niewyznaczalna, zaœ ednokrotnie kinematycznie niewyznaczalna. Zatem do e rozwi¹zania, a wiêc sporz¹dzenia wykresów momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych, wygodnie est zastosowaæ metodê przemieszczeñ nale ¹c¹ do edne z podstawowych metod mechaniki budowli (por. [4, 6]. Na podstawie te metody obliczono dla zadane ramy, poddane obci¹ eniu ak na rysunku 5, wartoœci momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych. Wykresy M i Q podano na rysunku 6. Rys. 6. Wykres momentów zgina¹cych i si³ poprzecznych w ramie 147
12 Teraz nale y postawiæ pytanie, ak wyznaczyæ si³y pod³u ne w prêtach ramy. Pytanie to est wa ne, poniewa w wêÿle nr 1 schodz¹ siê cztery prêty. Rozwa a¹c ego równowagê, mo emy napisaæ dwa równania równowagi przy czterech niewiadomych si³ach pod³u nych, którymi s¹ si³y w prêtach 1-A, 1-B, 1-C, 1-D. Mamy zatem do wyznaczenia cztery si³y pod³u ne. Aby e wyznaczyæ, zastosuemy metodê punktów masowych. W tym celu wytnimy myœlowo wêze³ nr 1 i zaznaczmy wszystkie si³y w nim dzia³a¹ce (rys. 7. Rys. 7. Równowaga wêz³a nr 1 Na rysunku 7 zaznaczono nieznane si³y pod³u ne N 1, N 2, N 3 i N 4. Pozosta³e si³y dzia³a¹ce na ten wêze³ zastêpuemy si³¹ równowa n¹ F 1 zaczepion¹ w tym punkcie. Sk³adowe F 1x, F 1y si³y s¹ nastêpu¹ce F F 1x 1 y 4, , 2, 880, 8 3, 674 kn 3, 674, F 976, 288, 06, 8, 032 kn 1 8, 032 Na rysunku 8 zaznaczono sk³adowe przemieszczenia wêz³a nr 1. Przemieszczenie wêz³a nr 1 okreœla wektor u 1 u 1 u u 1x 1 y Modu³y sztywnoœci prêtów s¹ nastêpu¹ce C C 1 A 1C 025,, C 4 02,, C 5 1D 1B 025,,
13 Rys. 8. Przemieszczenia wêz³ów ramy Dla wêz³a nr 1 piszemy równanie równowagi (15 C D ( u u C D ( u u C D ( u u 1A 1A A 1 1B 1B B 1 1C 1C C 1 C D ( u u F 1D 1D D Wystêpu¹ce w tym równaniu diady ma¹ elementy ( d i A 0 0, ( d i 1B , 036, 048, ( d i 1C 048, 064,, ( d i 1D Wstawia¹c e do równania równowagi otrzymuemy: u1 x u1 x,, 0 0 u1 0 1 y u 1 y 036, 048, u1 x 1 02, ,, u 0 0 u 1 y u 1x 1 y 3, ,
14 Po wykonaniu zaznaczonych dzia³añ otrzymuemy dwa równania o niewiadomych u 1x, u 1y 0, 322u x, u1y, 0, 096u1x 0, 711u1y 8, u u 1x 1 y 8, , Teraz z równañ (11 wyznaczamy wartoœci si³ pod³u nych, a w prêtach ramy N N N N N 8, , ( 10 ; 209, kn 10165, N 8, 379 0, 25( 0; 1 254, kn 10165, N 8, ,(,; 0608, 263, kn 10165, N , 9 (; 339, kn 10165, 1A 1 1B 2 1C 3 1D 4 Wykres si³ pod³u nych dla rozwa ane ramy podano na rysunku 9. Rys. 9. Wykres si³ pod³u nych w ramie 150
15 4. Podsumowanie Ju po tych przyk³adach widaæ, e przedstawiona metoda punktów masowych œwietnie nadae siê do obliczeñ si³ osiowych w kratownicach p³askich i si³ pod³u nych w z³o onych ramach, gdzie schodz¹ siê w wêÿle wiêce ni dwa prêty. Jest ona bardzo prosta i skuteczna. Pozwala wyznaczyæ przemieszczenia wszystkich wêz³ów kratownicy, si³ reakci podpór i si³ osiowych w poszczególnych prêtach kratownicy. Przy wiêksze liczbie prêtów szczególnie w uk³adzie statycznie niewyznaczalnym proces obliczeñ mo na zautomatyzowaæ. Wydae siê, e omówiona w ninieszym artykule metoda est metod¹ konkurencyn¹ w stosunku do metody elementów skoñczonych. LITERATURA [1] Böhm F.: Fahrzeugdynamik bei Berücksichtigung elastischer und plastischer Deformationen sowie Reibung, VDI Berichte Nr. 1007, 1992, s [2] Jakubowicz A., Or³oœ Z.: Wytrzyma³oœæ materia³ów, WNT, Warszawa, 1984 [3] Gawêcki A.: Podstawy mechaniki konstrukci prêtowych, Politechnika Poznañska, Poznañ, 1985 [4] Paluch M.: Podstawy mechaniki budowli podrêcznik akademicki dla studentów wy szych szkó³ technicznych, Wyd. 2. Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki AGH, Kraków, 2004 [5] Paluch M.: Podstawy teorii sprê ystoœci i plastycznoœci z przyk³adami, Wydawnictwo Politechniki Krakowskie, Kraków, 2006 [6] Pietrzak J., Rakowski G., Wrzeœniowski K.: Macierzowa analiza konstrukci, PWN, Warszawa Poznañ, 1986
gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.
III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +
Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci
56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹
Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Kratownice Wieża Eiffel a
Kratownice Wieża Eiffel a Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna,
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Ćwiczenie nr 5 Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji Obliczenia statycznie obciążonej belki
Marcin Barszcz 1, Mykhaylo Pashechko 1 WYKORZYSTANIE PROGRAMU MATHCAD DO ROZWI ZYWANIA ZAGADNIEÑ IN YNIERSKICH NA PRZYK ADZIE KONSTRUKCJI KRATOWEJ Streszczenie. W artykule przedstawiono mo liwoœci wykorzystania
Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17)
4.6. Metody iteracyjne 65 Z definicji tej wynika, e istnieje skalar, taki e Av = v. Liczbê nazywamy wartoœci¹ w³asn¹ macierzy A. Wartoœci w³asne macierzy A s¹ pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Instrukcja Laboratoryjna
Karkonoska Państwowa Szkoła Wyższa w Jeleniej Górze Wydział Przyrodniczo-Techniczny Edukacja Techniczno-Informatyczna Instrukcja Laboratoryjna Komputerowe wspomaganie w technice i nowoczesne techniki informatyczne
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest
38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ
MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
Przyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.
Zadanie. Przyk³adowe zdania Napisz równanie prostej przechodz¹cej przez punkty A (, ) i B (, 4 ). Zadanie. Napisz równanie prostej, której wspó³czynnik kierunkowy równy jest, wiedz¹c, e przechodzi ona
8. Zginanie ukośne. 8.1 Podstawowe wiadomości
8. 1 8. ginanie ukośne 8.1 Podstawowe wiadomości ginanie ukośne zachodzi w przypadku, gdy płaszczyzna działania obciążenia przechodzi przez środek ciężkości przekroju pręta jednak nie pokrywa się z żadną
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej
2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu
Wyk³ad INTERPOLACJA.
Wyk³ad 1. 3.10.2003 INTERPOLACJA. G³ównym zadaniem interpolacji jest wyznaczenie mo liwie szybki sposób wartoœci funkcji f(x) dla zmiennej niezale nej x, która nie nale y do tablicy danych (x i,y i ).
WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH Prowadzący: mgr inż. A. Kaczor STUDIUM ZAOCZNE, II
1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
PAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.
2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno
1. Wstêp Charakterystyka linii napowietrznych... 20
Spis treœci Od Autora... 11 1. Wstêp... 15 Literatura... 18 2. Charakterystyka linii napowietrznych... 20 3. Równanie stanów wisz¹cego przewodu... 29 3.1. Linia zwisania przewodu... 30 3.2. Mechanizm kszta³towania
SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA
Górnictwo i Geoin ynieria Rok 29 Zeszyt 4 2005 Ryszard Snopkowski* SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA 1. Wprowadzenie W monografii autora
Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI
Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI
ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Wyznaczanie statycznego i kinetycznego współczynnika tarcia przy pomocy równi pochyłej
Wyznaczanie statycznego i kinetycznego współczynnika tarcia przy pomocy równi pochyłej Równia pochyła jest przykładem maszyny prostej. Jej konstrukcja składa się z płaskiej powierzchni nachylonej pod kątem
Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice
Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił
Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,
Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.
Zestaw nr 1 Imię i nazwisko zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Razem punkty Zad.1 (5p.). Narysować wykresy linii wpływu sił wewnętrznych w przekrojach K i L oraz reakcji w podporze R. Zad.2 (5p.). Narysować i napisać
PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
METODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Przedmowa Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11
Spis treœci Przedmowa... 9 Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11 1. Wstêp... 13 1.1. Rys historyczny... 14 1.2. Klasyfikacja automatów... 18 1.3. Automaty komórkowe a modelowanie
IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH
IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH 4.1. Wprowadzenie Uk³ad równañ liniowych gdzie A oznacza dan¹ macierz o wymiarze n n, a b dany n-elementowy wektor, mo e byæ rozwi¹zany w skoñczonej liczbie kroków za pomoc¹
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Przykład 1.a Ściana wewnętrzna w kondygnacji parteru. Przykład 1.b Ściana zewnętrzna w kondygnacji parteru. Przykład 1.c Ścian zewnętrzna piwnic.
Przykład 1- Sprawdzenie nośności ścian budynku biurowego Przykład 1.a Ściana wewnętrzna w kondygnacji parteru. Przykład 1.b Ściana zewnętrzna w kondygnacji parteru. Przykład 1.c Ścian zewnętrzna piwnic.
Mechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.
POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. Do pomiaru strumienia przep³ywu w rurach metod¹ zwê kow¹ u ywa siê trzech typów zwê ek pomiarowych. S¹ to kryzy, dysze oraz zwê ki Venturiego. (rysunek
Transport Mechaniczny i Pneumatyczny Materiałów Rozdrobnionych. Ćwiczenie 2 Podstawy obliczeń przenośników taśmowych
Transport Mechaniczny i Pneumatyczny Materiałów Rozdrobnionych Ćwiczenie 2 Podstawy obliczeń przenośników taśmowych Wydajność przenośnika Wydajnością przenośnika określa się objętość lub masę nosiwa przemieszczanego
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut
1. METODA PRZEMIESZCZEŃ
.. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:
WYNIK D UGOTRWA EGO BADANIA WSPÓ CZYNNIKA PARCIA BOCZNEGO W O RODKU ROZDROBNIONYM METOD POMIARU OPORÓW TARCIA. 1. Wst p
Górnictwo i Geoin ynieria Rok 35 Zeszyt 2 2011 Janusz Kaczmarek* WYNIK D UGOTRWA EGO BADANIA WSPÓ CZYNNIKA PARCIA BOCZNEGO W O RODKU ROZDROBNIONYM METOD POMIARU OPORÓW TARCIA 1. Wst p Specyfika problemu
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas
gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Projektowanie mechanistyczno - empiryczne
Wykonanie nawierzchni drogowych stanowi często nawet 70% kosztów całej inwestycji. W związku z tym projekt wzmocnienia lub budowy nawierzchni jest bardzo ważnym elementem dokumentacji projektowej. Projektant
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Technologie Walcowania Wyrobów Płaskich Rolling technology for flat products Kierunek: Kod przedmiotu: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji ZiIP.G.D1.2. Management and Production Engineering
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu
Witold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam!
Witold Bednarek Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam! OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Spis treœci Od autora......................................... 4 Rozgrzewka.......................................
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk
1. Obciążenie statyczne
. Obciążenie statyczne.. Obliczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności n = Σ ϕ + Σ = + = p ( ) Σ = w p + d u = 5 + 5 + 0 0 =. Schemat podstawowy metody przemieszczeń . Schemat odkształceń łańcucha
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkê z kodem szko³y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Przed matur¹ MAJ 2011 r. Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-611-s Punkty ECTS: 4. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Napęd elektryczny Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EEL-1-611-s Punkty ECTS: 4 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika Specjalność:
Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek
Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania
GABRIELA MAZUR ZYGMUNT MAZUR MAREK DUDEK Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania 1. Wprowadzenie Badania struktury kosztów logistycznych w wielu krajach wykaza³y, e podstawowym ich
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12
14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2013/2014 Kod: GGiG-1-414-n Punkty ECTS: 5 Wydział: Górnictwa i Geoinżynierii Kierunek: Górnictwo i Geologia Specjalność: Poziom studiów: Studia I
Spis treści STATYKA 1. Si³y i ich w³asnoœci 2. P³aski uk³ad si³ 3. Przestrzenny uk³ad si³ 4. Tarcie 5. Œrodek ciê koœci cia³a
Spis treści STATYKA 1. Si³y i ich w³asnoœci..................................................... 10 1.1. Dzia³ania na wektorach............................................ 10 1.2. W³asnoœci si³y....................................................
6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
WP YW OBCI ENIA DYNAMICZNEGO NA PARAMETRY PRACY Z CZA CIERNEGO. 1. Wst p. Górnictwo i Geoin ynieria Rok 35 Zeszyt
Górnictwo i Geoin ynieria Rok 35 Zeszyt 2 2011 Jaros aw Brodny* WP YW OBCI ENIA DYNAMICZNEGO NA PARAMETRY PRACY Z CZA CIERNEGO 1. Wst p Podstawow cz ci obudowy podatnej, szeroko stosowanej w górnictwie
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MMA-R1A1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdaj¹cego POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut 1. Proszê
Przenośnik taśmowy Zasada działania
Przenośnik taśmowy zasada działania Katedra aszyn Górniczych, Przeróbczych i Transportowych AGH Przenośnik taśmowy Zasada działania Dr inż. Piotr Kulinowski pk@imir.agh.edu.pl tel. (1617) 30 74 B- parter
Twierdzenia o wzajemności
Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła G. Zadanie rozwiąż metodą sił.
Zadanie: Narysuj wykres sił normalnych dla zadanej kratownicy i policz przemieszczenie poziome węzła. Zadanie rozwiąż metodą sił. P= 2kN P= 2kN Stopień statycznej niewyznaczalności: n s l r l pr 2 w 6
Kurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: MECHATRONIKA Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium ROBOTYKA Robotics Forma studiów: stacjonarne Poziom przedmiotu: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały