Laboratorium z Matematyki Obliczeniowej z wykorzystaniem pakietu octave. Leszek Marcinkowski

Transkrypt

1 Laboratorium z Matematyki Obliczeniowej z wykorzystaniem pakietu octave Leszek Marcinkowski 12 grudnia 2011

2 Streszczenie W tym skrypcie omówimy wykorzystanie pakietu obliczeniowego octave do implementacji i analizy metod numerycznych omówionych w semestralnym wykªadzie z Matematyki Obliczeniowej.

3 Spis tre±ci 1 Wst p 2 2 Octave i matlab - czym s te pakiety? 4 3 Octave - podstawy Pierwsza sesja w octave'ie Octave jako kalkulator, podstawowe zmienne Macierze i operacje na macierzach Octave jako j zyk programowania - skryptu i m-pliki Funkcje Podstawowa graka Przykªadowy skrypt Przykªadowa sesja matlaba Arytmetyka zmiennopozycyjna Redukcja cyfr przy odejmowaniu Przykªad Obliczanie funkcji z rozwini cia w szereg Obliczanie przybli»onej warto±ci pochodnej Interpolacja wielomianowa i splajnowa Wielomiany w octavie Interpolacja wielomianowa Interpolacja Lagrange'a Interpolacja Hermite'a Interpolacja zespolona. Algorytm FFT Interpolacja splajnowa Obliczanie caªek. Kwadratury Funkcja octave'a quad() Kwadratury zªo»one

4 6.3 Normy caªkowe Rozwi zywanie równa«nieliniowych Funkcja octave'a fzero() Metoda bisekcji Metoda Newtona Odwracanie funkcji Rozwi zywanie równa«liniowych Operator backslash Macierz odwrotna Wspóªczynnik uwarunkowania macierzy Rozkªady macierzy Rozkªad LU Rozkªad QR Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Regularne LZNK Nieregularne LZNK i rozkªad SVD Zadanie wªasne 100 2

5 Rozdziaª 1 Wst p W tym skrypcie omówimy, jak implementowa i testowa metody numeryczne przy wykorzystaniu ±rodowiska octave, czyli pakietu oblicze«numerycznonaukowych. Chodzi nam o metody, które s omawiane w czasie standardowego semestralnego wykªadu z Matematyki Obliczeniowej na wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Gªównym celem zaj w laboratorium komputerowym, odbywaj cych si równolegle z wykªadem i wiczeniami z Matematyki Obliczeniowej, jest przetestowanie metod, które s zaimplementowane w pakiecie octave. Omawiamy te» implementacj metod rozwi zywania numerycznych zada«z wykorzystaniem octave'a. Wykorzystanie pakietu/±rodowiska matlab jest alternatyw dla pakietu octave. Pakiet ten jest komercyjny i w du»ym stopniu kompatybilny z octavem. Szczegóªowiej omawiamy kwesti pakietów w rozdziale 2. Zapoznanie si ze ±rodowiskiem octave'a lub matlaba jest ubocznym celem laboratorium. Warto doda,»e zdecydowana wi kszo± omawianych w tym skrypcie kodów octave'a b dzie dziaªaªa równie» w matlabie. Wszystkie zadania i algorytmy omawiane w tym skrypcie s opisane w podstawowych podr cznikach do matematyki obliczeniowej. Na wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego w semestrze letnim 2010/11 podstawowym podr cznikiem do wykªadu z Matematyki Obliczeniowej byªa ksi»ka [11]. W tej pozycji mo»na znale¹ równie» sporo zada«komputerowych, które mog stanowi ciekawe uzupeªnienie tego skryptu. Metody numeryczne omawiane w tym skrypcie s szczegóªowo omawiane w innych podr cznikach dotycz cych analizy numerycznej, czyli inaczej matematykie obliczeniowej. Spo±ród nich warto równie» poleci : [8],[3], [1], [16] i [17]. Oczywi±cie w j zyku angielskim opublikowano wiele podr czników do matematyki obliczeniowej. Niektóre z nich zawieraj zadania komputerowe. 3

6 Szczególnie polecam ksi»ki: [15], [14] zawieraj ce wi cej materiaªu, ni» obejmuje program standardowego kursu Matematyki Obliczeniowej na wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Warto te» poleci inne podr czniki i monograe: [5], [6], [2], [12], [13], [9], [18], [10], [7] i inne. Zazwyczaj tre± tych ksi»ek tylko w jakiej± cz ±ci pokrywa si z zakresem materiaªu przedstawionym w tym skrypcie. Co do samego octave'a - warto przeczyta manual, tzn. [4], dost pny w dziale dokumentacji na stronach octave'a on-line pod adresem: Kolejno± zagadnie«wykªadanych w wykªadzie z Matematyki Obliczeniowej mo»e si ró»ni w kolejnych edycjach wykªadu. W tym skrypcie przyj li±my kolejno± zaprezentowan w wykªadzie z Matematyki Obliczeniowej z semestru letniego 2010/11. W rozdziale 2 omówimy krótko czym s w ogólno±ci pakiety octave i matlab, oraz sk d mo»na pobra darmowe dystrybucje pakietu octave. W rozdziale 3 omówimy podstawowe obiekty pakietu octave, czyli macierze i operacje na nich, oraz podstawowe struktury programistyczne: p tle, instrukcje warunkowe, operacje macierzowe i wektorowe, skrypty, operatory logiczne, itd. Rozdziaª 4 jest po±wi cony arytmetyce zmiennopozycyjnej, czyli bª dom zaokr gle«i ich wpªywowi na obliczenia numeryczne. W kolejnym rozdziale 5 omawiamy zagadnienie interpolacji wielomianowej i splajnowej. W rozdziale 6 mówimy o caªkowaniu numerycznym. Rozdziaª 7 dotyczy metod rozwi zywania nieliniowych równa«skalarnych. Rozdziaª 8 dotyczy numerycznej algebry liniowej, w szczególno±ci rozwi zywania ukªadów równa«liniowych, a rozdziaª 9 dotyczy kolejnego zadania z numerycznej algebry liniowej, a mianowicie liniowego zadania najmniejszych kwadratów. 4

7 Rozdziaª 2 Octave i matlab - czym s te pakiety? Pakiet octave jest zarówno ±rodowiskiem oblicze«numerycznych, jak i j zykiem programowania. Umo»liwia on proste rozwi zywanie podstawowych zada«numerycznych takich jak: numeryczne obliczenie caªki, rozwi zanie równa«liniowych i nieliniowych, caªkowanie przybli»one równa«ró»niczkowych zwyczajnych itp. Mo»na go u»ywa z linii komend - jak kalkulator naukowy, pisa skrypty, czy m-pliki (czyli pliki z implementacjami funkcji octave'a). Pakiet octave jest programem ogólnodost pnym jako wolne oprogramowanie. Rozprowadzany jest na zasadach licencji GNU GPL. Pakiet octave jest wolnym odpowiednikiem ±rodowiska matlab, które jest programem komercyjnym, szeroko stosowanym do oblicze«numerycznych. Zalet octave'a jest to,»e jest dost pny bez opªat. Octave jest dystrybuowany w wersjach binarnych zarówno pod ró»ne dystrybucje Linuxa, jak i w wersji binarnej pod system Windows. Poni»ej zaª czamy linki do stron octave'a: 1. Gªówna strona octave'a 2. Rozbudowany podr cznik do octave'a - w j zyku angielskim dost pny on-line 3. Strona z linkami do plików z octavem 4. Strona octave-forge'a - czyli rozszerze«octave'a Tutaj podajemy link to strony producenta matlaba: Jest to pakiet komercyjny. 5

8 Rozdziaª 3 Octave - podstawy 3.1 Pierwsza sesja w octave'ie W systemie unix np. w linuxie najpierw musimy uruchomi terminal (np. xterminal). Otworzy si wówczas okienko z lini komend z promptem - za- Rysunek 3.1: Terminal z lini komend. zwyczaj migaj cym, w której mo»emy wpisywa komendy unixa, por. rysunek

9 Wpisujemy komend octave i potwierdzamy Enter. W okienku terminala wy±wietli si nagªówek z numerem wersji i z lini komend octave'a, por. rysunek 3.2. Rysunek 3.2: Terminal z wywoªanym octavem. Dalej, w linii komend octave'a wpisujemy polecenia octave'a Octave jako kalkulator, podstawowe zmienne Najprostsze zastosowanie octave'a to kalkulator naukowy. W lini komend wpisujemy np.: Otrzymujemy: ans=310 - zmiennej octave'a ans zostaje przypisana warto± 310, któr mo»na dalej wykorzysta np. ans 1. Wówczas otrzymamy 309. W octavie s funkcje takie, jak pierwiastek kwadratowy sqrt(), sin(), cos(), exp() itp. Je±li chcemy zapami ta wynik - musimy u»y zmiennej np.: > a=12+34; > sin ( a ) ans = Typów zmiennych nie deklarujemy - octave domy±lnie przyjmuje typ reprezentowany przez dan zmienn. W octavie s np. zmienne typu zespolonego: 7

10 > a= sqrt ( 1) a = i > b=1+4 i b = i > c=a b c = i > d=a+b d = i Zach cam do samodzielnego testowania. Prosz zauwa»y,»e je±li wywoªamy jak ± funkcj albo operator, który zwraca warto±, np.: 2+3 zwraca warto± 5, i nie przypiszemy tej warto±ci zmiennej, to octave automatycznie przypisze t zwracan warto± do zmiennej ans, któr pó¹niej mo»na wykorzysta. Wszystkie zmienne, jakie s w pami ci sesji octave'a, mo»emy wy±wietli poleceniem who, czy whos - wersj poprzedniej funkcji, zwracaj c dokªadny opis zmiennych. Zmienne mo»emy usuwa z pami ci octave'a poleceniem clear np. > a= sqrt ( 1); > b=1+4 i b = i > who V a r i a b l e s in the c u r r e n t scope : A B C a ans b c d f > clear a > who V a r i a b l e s in the c u r r e n t scope : A B C ans b c d f Zmienna a znikn ªa z sesji octave'a. Podanie ±rednika po poleceniu spowoduje,»e wynik nie zostanie wy±wietlony w terminalu. Pomoc do octave'a wywoªujemy poleceniem help, pomoc do konkretnej funkcji wywoªujemy poleceniem help nazwa_funkcji np. help sin: > help sin ` sin ' i s a b u i l t in function Mapping Function : sin (X) Compute the s i n e for each element o f X in r a d ians. 8

11 See a l s o : asin, sind, sinh Pomoc jest w j zyku angielskim Macierze i operacje na macierzach Podstawowym typem zmiennym s macierze. Macierz mo»emy zdeniowa wprost podaj c jej warto±ci: A= [ 1, 2, 3, 4 ; ] ; - prosz zauwa»y,»e elementy macierzy w wierszu oddzielamy przecinkiem albo spacj, a kolejne kolumny - ±rednikiem. Do elementu macierzy o wspóªrz dnych (i, j) odwoªujemy si nast puj co: A(i,j). Je±li zdeniujemy element macierzy spoza zakresu, np. w tym przypadku A(3,3)=7; octave rozszerzy macierz, przyjmuj c domy±lnie pozostaªe niezdeniowane warto±ci macierzy za zera. Wa»n rol peªni operator ±rednik: a : h : b Generuje on wektor z a + k h b. Wywoªanie: a : b [a, a + h,..., a + k h] dziaªa jak a:1:b, czyli z h równym jeden. Z macierzy mo»emy tworzy inne macierze wycinaj c podmacierze. Rozpatrzymy macierz A wymiaru M N. We¹miemy teraz dwa wektory indeksów i = [i(1),..., i(k)] oraz j = [j(1),..., j(l)] dla 1 i(s) M, 1 j(s) N. Wtedy polecenie: B=A( i, j ) ; stworzy macierz wymiaru K L tak,»e B(r,s)=A(i(r),j(s)), np. > A=[3 3 3 ; ] A =

12 > i =[ 2 1 ] ; j =[2 3 ] ; > B=A( i, j ) B = W ten sposób mo»na wycina te» podmacierze lub np. wiersze macierzy: A=[3 3 3 ; ] ; B=A( 1 : 2, 2 ) ; kolumny, czy Warto zauwa»y,»e je±li wywoªamy polecenie x=a(:,3) to jest to równowa»ne x=a(1:2,3), czyli x staje si trzeci kolumn macierzy A. Macierze mo»emy tworzy z innych macierzy blokowo: B=[A,A ] ; C=[A;A ] ; Je±li A miaªa wymiar M N, to macierz B ma wymiar M 2N, a jej odpowiednie podmacierze zªo»one z pierwszych N kolumn i ostatnich N kolumn s równe macierzy A. Macierz C analogicznie ma wymiar 2M N, a jej podmacierze zªo»one z pierwszych i ostatnich M wierszy s równe A. Przy takich denicjach musimy operowa macierzami o odpowiednich wymiarach. Popatrzmy na wyniki: octave :6> A=[3 3 3 ; ] A = octave :7> B=A( 1 : 2, 2 ) B = 3 5 octave :8> B=[A,A] B =

13 octave :9> C=[A;A] C = octave :10> Istniej funkcje deniuj cych okre±lone macierze - wymienimy teraz podstawowe: zeros(m,n) - tworzy macierz zerow o M wierszach i N kolumnach. ones(m,n) - tworzy macierz o wszystkich warto±ciach równych jeden o M wierszach i N kolumnach eye(m,n) - tworzy macierz identyczno±ciow o M wierszach i N kolumnach, tzn. o warto±ciach: jeden - na gªównej przek tnej i zero - na pozostaªych pozycjach rand(m,n) - tworzy macierz o M wierszach i N kolumnach o losowych warto±ciach wedªug rozkªadu jednostajnego na odcinku [0, 1] hilb(n) - tworzy macierz Hilberta N N vander(x) - tworzy macierz Vandermonde'a dla punktów {x k } z wektora x = [x(1),..., x(n)] diag() - tworzy macierz diagonaln, ale równie» pozwala otrzyma odpowiednie diagonale macierzy przy odpowiednim wywoªaniu Wi kszo± funkcji elementarnych typu sin() mo»e by wywoªywana na macierzach. Wtedy: w octave'ie a=sin(a) zwraca macierz tego samego wymiaru co A, ale o elementach (sin(a(i, j)) i,j. Mówimy,»e implementacja takiej funkcji jest wektorowa. Popatrzmy na przykªad: octave :6> A=0.5 pi [ 0 : 6 ; 3 : 3 ] ' A =

14 octave :7> a=sin (A) a = octave :8> Macierze mo»emy dodawa i mno»y, o ile zgadzaj si wymiary: octave :15> A=2+eye ( 2, 2 ) A = octave :16> B=ones (2,2)+2 A B = octave :17> C=A B C = octave :18> 12

15 Operacje arytmetyczne mo»emy te» wywoªa w wersji wektorowej, tzn. je±li np. dwie macierze A, B maj ten sam wymiar, to wywoªanie C=A. B zwróci macierz C tego samego wymiaru tak,»e C(k, l) = A(k, l) B(k, l). To samo dotyczy innych dziaªa«: dzielenia C=A.\B odejmowania C=A. B dodawania C=A.+B podnoszenia do pot gi C=A.^B W przypadku dodawania i odejmowania operatory bez kropek dziaªaj tak samo. Macierz rzeczywist mo»emy transponowa operatorem C=A'. W przypadku macierzy zespolonej operator ten zwróci sprz»enie hermitowskie, a operator z kropk A.' zwróci zwykªe transponowanie. Najlepiej zobaczy to na przykªadzie: octave :37> A=[1+ i 3+4 i ; 8+2 i 5+7 i ] A = i i i i octave :38> A' ans = 1 1 i 8 2 i 3 4 i 5 7 i octave :39> A. ' ans = i i i i octave :40> Istnieje wiele funkcji pozwalaj cych na manipulowanie macierzami np.: iplr () - odwraca kolejno± kolumn ipud() - odwraca kolejno± wierszy 13

16 reshape() - tworzy now macierz o okre±lonych wymiarach z elementów macierzy wyj±ciowej rot90() - obraca macierz o wielokrotno± 90 stopni w kierunku przeciwnym obrotowi wskazówek zegara Wektory traktowane s jako macierze o jednej kolumnie, albo jednym wierszu, jakkolwiek istniej specjalne funkcje dziaªaj ce tylko na wektorach, np. funkcja length(x) zwraca dªugo± wektora x pionowego lub poziomego. Polecenie [m,n]=size(a) zwraca wymiar macierzy jako dwie warto±ci w wektorze. octave :40> x=[ ] x = octave :41> length ( x ) ans = 4 octave :42> size ( x ) ans = 1 4 octave :43> 3.2 Octave jako j zyk programowania - skryptu i m-pliki Octave mo»e by równie» traktowany jako j zyk programowania. Istnieje mo»liwo± pisania skryptów, a nast pnie ich wywoªywania z linii komend octave'a. Skrypty to po prostu pliki tekstowe o rozszerzeniu.m, tzn. np. skryptem mo»e by plik o nazwie nazwaskryptu.m, zawieraj ce w kolejnych liniach komendy octave'a utworzone przez dowolny edytor tekstowy, np. vi w unixie, czy wordpad w systemie windows. Skrypt wywoªujemy podaj c nazw bez rozszerzenia, czyli skrypt zawarty w pliku tekstowym skrypt.m wywoªujemy z linii komend komend : skrypt Po wywoªaniu np. nast puj cego skryptu: 14

17 #s k r y p t.m #Prosty s k r y p t ta l i n i a to komentarz a=2+3 octave wykona wszystkie polecenia po kolei - o ile nie b dzie w nich jakiego± bª du. W tym przypadku zwróci a=5. Tak wi c octave jest interpreterem - nie ma etapu kompilacji skryptu przed wykonaniem. Pisz c skrypty w octavie najlepiej mie na pulpicie komputera co najmniej dwa okna - jedno z sesj octave'a, a drugie z edytorem, w którym edytujemy plik tekstowy ze skryptem. Tu warto doda,»e komentarze w octavie wstawiamy po znakach # lub %. Octave jako j zyk programowania dostarcza równie» wi kszo± konstrukcji imperatywnych, m.in. instrukcja warunkowa if - przykªad: #i n s t r u k c j a warunkowa i f ( x>0) x=1; else x=0; endif ; instrukcja switch wielokrotnego wyboru zast puj ca if je±li k przyjmuje okre±lon ilo± warto±ci switch ( t a k n i e ) case {"T" " t "} x = 1 ; case {"N" "n" } x = 0 ; otherwise error ( " t y l k o t lub n" ) ; endswitch p tla while( ) #sumowanie k=0; a=0; while ( k<=10) do 15

18 a+=k ; k++; endwhile ;! p tla z warunkiem zatrzymania na ko«cu: do intrukcje until( ); k=0; do k++; until ( k>10) p tla for: a=0; for k =1:10, a+=k ; endfor funkcje octave'a function []=f() function [ s ]= f ( a, b) s=a+b ; endfunction Wi cej informacji o funkcjach podamy w nast pnym rozdziale. W tym miejscu omówimy operacje logiczne octave'a. Ogólnie ujmuj c - warto± ró»na od zera traktowana jest jako prawda, 0 to faªsz. Operatory logiczne octave'a s takie same jak w j zyku C tzn: a && b - operator logiczny dwuargumentowy a I b zwraca warto± jeden (prawda), jak a i b s ró»ne od zera, w przeciwnym przypadku operator zwraca zero (faªsz) a b - operator logiczny dwuargumentowy a LUB b zwraca jeden, je±li które± z a lub b jest równe jeden, w przeciwnym przypadku zwraca zero!a - operator logiczny jednoargumentowy negacji N IEP RAW DA a, je±li a jest ró»ne od zera - to operator zwraca zero, w przeciwnym przypadku operator zwraca jeden a==b - operator dwuargumentowy równo±ci, je±li a ma t sam warto± co b, to operator zwraca jeden, w przeciwnym razie operator zwraca zero 16

19 a!=b - operator dwuargumentowy bycia ró»nym, je±li a jest ró»ne od b to zwraca jeden, w przeciwnym razie operator zwraca zero a < b - operator dwuargumentowy porównania, zwraca jeden gdy a jest mniejsze od b, w przeciwnym razie operator zwraca zero. Pozostaªe operatory porównania ( a > b, a<=b, a>= b) s zdeniowane analogicznie Funkcje Funkcje w octave'ie mo»emy deniowa z linii komend, czy jako cz ± kodu w skrypcie: function [w, s ]= f ( a, b) #pomoc do danej f u n k c j i s=a+b ; w=a b ; endfunction Wywoªujemy je z linii komend (lub w linii skryptu, czy w innej funkcji) w=f ( 1, 2 ) [w, s ]= f ( 1, 2 ) Pierwsze wywoªanie spowoduje,»e funkcja zwróci tylko pierwsz warto± tj. w. Niektóre ostatnie parametry funkcji mog przyjmowa domy±ln warto± tzn. function [w, s ]= f ( a, b=0) #pomoc do danej f u n k c j i s=a+b ; w=a b ; endfunction Wtedy wywoªanie funkcji [w, s ]= f ( 1 ) zwróci warto±ci funkcji dla parametru b = 0. Funkcje mo»na przekazywa jako parametry do innych funkcji poprzez przekazanie nazwy funkcji jako napisu - ci gu znaków lub jako tzw. uchwyty do funkcji - tu przykªad przekazania nazwy funkcji sin() do funkcji quad() obliczaj cej caªki: > f=@sin ; > quad( " s i n ", 0, 1 ) 17

20 ans = > quad( f, 0, 1 ) ans = > 0, 1 ) ans = Oba sposoby s równowa»ne. Proste funkcje mo»na deniowa jako tzw. funkcje anonimowe: > f=@( x ) + sin ( x ) ; #f ( x)=x+s i n ( x ) > f ( 1 ) ans = czyli deniujemy od razu uchwyt do funkcji. W octavie wprowadzono za matlabem tzw. m-pliki, czy - inaczej - pliki funkcyjne. S to pliki z rozszerzeniem m np. f.m, zawieraj ce denicje funkcji o tej samej nazwie co plik (bez rozszerzenia). M-plik o nazwie test.m powinien wi c zawiera denicj funkcji test (), czyli w pierwszej linii powinien znajdowa si nagªówek funkcji. Poni»ej widzimy ogóln struktur funkcji: function [ zwracane w a r t o s c i ]= t e s t ( parametry ) # #pomoc do f u n k c j i # komendy zwracane w a r t o s c i powinny byc zdefiniowane endfunction Wywoªanie polecenia help test powinno wy±wietli pomoc do funkcji tzn. wykomentowane linie spod nagªówka funkcji. Funkcje mo»na te» deniowa w skryptach, które maj te same rozszerzenie m. Wa»ne, aby w pierwszej niepustej linii skryptu nie byªo sªowa kluczowego function, tzn. aby przed deniowaniem funkcji w skrycie poda jak kolwiek komend. W przeciwnym przypadku octave potraktuje skrypt jako m-plik. W m-plikach, pod denicj gªównej funkcji o tej samej nazwie co m- plik, mog si znajdowa tzw. pod-funkcje (ang. subfunctions), które mog by wywoªane przez t gªówn funkcj z m-pliku i inne pod-funkcje tylko w tym m-pliku. Tutaj podajemy przykªad takiego m-pliku z funkcj gªówn obliczaj c przybli»enie normy typu L 2 i pod-funkcjami: 18

21 #m p l i k c z y l i p l i k t e k s t o w y normal2.m function [ nl2]=normal2 (FCN, a, b) #norma L^2(a, b ) z f u n k c j i o uchwycie FCN # na [ a, b ] s f=uchwytkwad (FCN) ; nl2=sqrt (quad( sf, a, b ) ) ; endfunction function [SFCN]=uchwytkwad ( f ) #tworzy uchwyt do f u n k c j i g ( x)= f ( x ) f ( x ) SFCN=@( x ) f ( x ) f ( x ) ; endfunction #koniec m p l i k u normal2.m Oczywi±cie pod-funkcja jest tutaj wprowadzona sztucznie, nie jest ona konieczna. W funkcji octave'a mo»na u»ywa automatycznych zmiennych nargin i nargout, które przy wywoªaniu danej funkcji przyjmuj warto±ci: nargin - ilo±ci parametrów, z jak funkcja zostaªa wywoªana. nargout - ilo±ci zwracanych warto±ci, z jak funkcja zostaªa wywoªana. Tu podajemy przykªad wykorzystania tych zmiennych w konkretnej funkcji: function [ y1, y2]= t e s t ( a, b ) # t e s t nargin nargout i f ( nargin <2) b=a ; endif y1=a+b ; i f (nargout>1) y2=a b ; endif endfunction Sprawd¹my, jak taka funkcja dziaªa: octave :46> t e s t ( 1 ) ans = 2 octave :47> t e s t ( 1, 2 ) 19

22 ans = 3 octave :48> [ y1]= t e s t ( 1, 2 ) y1 = 3 octave :49> [ y1, y2]= t e s t ( 1, 2 ) y1 = 3 y2 = 1 octave :50> 3.3 Podstawowa graka Octave posªuguje si zazwyczaj zewn trznym narz dziem do graki w linuxie. Najcz ±ciej jest to program gnuplot, ewentualnie grace lub inny. W przypadku systemu windows w binarnej wersji octave'a zawarta jest te» gra- ka. Podstawow funkcj umo»liwiaj c rysowanie wykresów jest plot(). Rysunek 3.3: Mo»liwie prosty wykres funkcji Najprostsze wywoªanie: plot(x) dla wektora x otworzy nowe okno i w nim narysuje punkty (k, x(k)). Punkty mog pozosta poª czone prostymi w zale»no±ci od ustawienia domy±lnych opcji octave'a. 20

23 Innym wywoªaniem plot() pozwalaj cym np. na rysowanie wykresów jest plot(x,y) dla wektorów x, y tej samej dªugo±ci. W tym przypadku octave narysuje punkty (x(k), y(k)). Tak wi c, je±li stworzymy w wektorze x siatk stupunktow równomiern na [0, 3] - wygodnym poleceniem jest linspace(,a,b,n) - a potem policzymy warto±ci np. funkcji y(k) = sin(x(k)), to polecenie plot(x,y) narysuje wykres sin() na tym odcinku, por. rysunek 3.3. x=linspace ( 0, 3 ) ; y=sin ( x ) ; #s i n j e s t wektorowa f u n k c j a plot ( x, y ) Rysunek 3.4: Dwa wykresy Istnieje mo»liwo± umieszczania kilku wykresów na jednym obrazku np. x=linspace ( 0, 3 ) ; y=sin ( x ) ; #s i n j e s t wektorowa f u n k c j a z=cos ( x ) ; plot ( x, y, x, z ) 21

24 Tu plot(x,y,x,z) narysuje punkty (x(k), y(k) i (x(k), z(k), czyli wykresy sin() i cos() na jednym rysunku. Rysunek 3.5: Dwa wykresy w ró»nych stylach i podpisane Inn mo»liwo±ci jest zastosowanie odpowiednich funkcji dotycz cych gra- ki; np. hold on powoduje,»e kolejne wywoªania plot sprawia rysowanie wykresów na jednym obrazku. Polecenie hold o likwiduje t wªasno±. Mo»emy dobra kolor wykresu, styl wykresu, doda opis, np. wykres sinusa mo»e by w kolorze czerwonym narysowany plusami, a cosinusa w kolorze niebieskim narysowany gwiazdkami x=linspace ( 0, 3, 4 0 ) ; y=sin ( x ) ; #s i n j e s t wektorowa f u n k c j a z=cos ( x ) ; plot ( x, y, "+r ; s i n ; ", x, z, " b ; cos ; " ) #+ wykres plusami r red ( czerwony ) # wykres gwiazdkami, b b l u e ( n i e b i e s k i ) Podamy teraz kilka przydatnych funkcji zwi zanych z grak : xlabel - etykieta osi poziomej ylabel - etykieta osi pionowej 22

25 title - tytuª rysunku gure - kontroluje okienka z wykresami - mo»emy ich mie kilka, czyli x=linspace ( 0, 3, 4 0 ) ; figure ( 1 ) ; y=sin ( x ) ; plot ( x, y ) figure ( 2 ) z=cos ( x ) ; plot ( x, z ) stworzy dwa okienka z wykresem sin() w pierwszym i cos() w drugim. semilogx - wykres w skali póªlogarytmicznej - wzgl dem zmiennej poziomej semilogy - wykres w skali póªlogarytmicznej - wzgl dem zmiennej pionowej loglog - wykres w skali logarytmicznej bar - wykres sªupkowy. stairs - wykres schodkowy. Zach cam do zapoznania si z tymi funkcjami u»ywaj c pomocy octave'a. Istnieje te» mo»liwo± u»ywania prostej graki trójwymiarowej, ale w przypadku matematyki obliczeniowej nie b dziemy tego potrzebowali. 3.4 Przykªadowy skrypt Poni»ej zamieszczamy prosty skrypt, w którym przedstawiamy przykªady u»ycia wi kszo±ci operacji, zmiennych omawianych w tym rozdziale. 23

26 echo on #Ostatnia modyfikacje ############################################## # # Prosty s k r y p t octave ' a mobasic.m z przykladami # o p e r a c j i na macierzach # wektorach z podstawowymi # s t r u k t u r a m i programistycznymi # ############################################## ############################################ # # WAZNE # # s k r y p t w o c t a v i e zawiera dowolna # sekwencje komend octave ' a # tak j a k b y pisanych z l i n i i komend a l e # NIE MOZE ZACZYNAC SIE OD SLOWA KLUCZOWEGO # f u n c t i o n # # ( gdyz, wowczas j e s t to tzw. p l i k funkcyjny # czy m p l i k, i p e l n i r o l e f u n k c j i ) # ############################################ #Podstawowe o b i e k t y macierze #generujemy macierze w r o z n e j p o s t a c i #wprost ; o d d z i e l a w i e r s z e #s p a c j a a l b o, kolumny A= [ 1, 2 ; 4, 5 ; 6 7 ] #Mozna odwolywac s i e do elementu A( 1, 2 ) #Mozna d e f i n i o w a c macierz i n a c z e j B=[ ] 24

27 #mozna o b l i c z a c wspolrzedne za pomoca wzoru x=[1+2, sqrt ( 2 ), 15/7] #mozna p o l i c z y c f u n k c j e od wektora sin ( x ) #warto d o w i e d z i c s i e j a k wywolac h e l p # do danej f u n k c j i np s i n #h e l p s i n #Jak nie znamy nazwy f u n k c j i mozemy sprobowac #h e l p i s i n #mozna zmienic element macierzy A(1,1)= 3 #czy r o z s z e r z y c z a k r e s x (6)=4.56 A(1,7)=10 #mozna o b e j r z e c j a k i e o b i e k t y sa w pamieci who #ze s z c z e g o l a m i whos #o b e j r z e c o b i e k t B B #usunac o b i e k t clear B #usunac clear who wszystko #mozna wygenerowac wektor ( macierz ) #przy pomocy operatora a : h : b #( g e n e r u j e wektor o elementach #od a do b z krokiem h tzn. # x ( i )=a +(i 1) h #d l a i = 1, 2,... t a k i e ze a+i h <=b ) #tu domyslny krok h=1 x=1:5 y = 0 : 0. 1 : 1 25

28 A=[1:4 ; 0 5 : 7 ; 3:0] #Mozna p o p e l n i c b l a d w #d e f i n i o w a n i u macierzy #wykomentowano bo j e s l i wystapi blad, to wykonanie #s k r y p t u p r z e z octave ' a s k r y p t u konczy s i e. #B=[1:3 ; 1 : 2 ] #mozna wykrawac pod macierze A1=A( 1 : 2, 2 : 3 ) #J e s l i chcemy pod macierz np. #z dwoma pierwszymi wierszami A2=A( 1 : 2, : ) #Mozna z macierzy budowac macierz #dodajemy kolumne do A2 [ A2, [ 1 ; 2 ] ] #dodajemy w i e r s z do A2 [ A2 ; 1 : 4 ] #a l b o j e s z c z e i n a c z e j [ A2 ; A2 ] [ A2, A2 ] [ A2,A2 ; A2, A2 ] #Mozna z macierzy zbudowac #nowa macierz w innym formacie #( a l e o tych samych elementach ) [m, n]= size (A2) # dostaniemy wymiary macierzy A2 #Budujemy wektor o elementach z macierzy A2 # kolumnowo tzn #w wektorze beda k o l e j n e kolumny z A2 reshape (A2,m n, 1 ) #i z powrotem tu ans wynik o s t a t n i e j o p e r a c j i reshape (ans,m, n) #Inne f u n k c j e zmieniajace porzadek w macierzy to #np. : #f l i p l r ( ) odwraca k o l e j n o s c kolumn, #f l i p u d ( ) odwraca k o l e j n o s c wierszy, #rot90 ( ) obraca macierz o w i e l o k r o t n o s c i 90 s t o p n i B=[1 2 ; 3 4 ] 26

29 f l i p l r (B) flipud (B) rot90 (B) #Jak widac mamy sporo mozliwosci. #Mozna mnozyc macierze p r z e z s i e b i e #o i l e wymiary s i e z g a d z a j a : #np. macierz p r z e z wektor x=1:4 #Trzeba miec wektor pionowy #( macierz jednokolumnowa ) #wiec transponujemy uzywajac " ' " : x=x ' f=a x #Mozna mnozyc macierz p r z e z macierz #( o i l e wymiary odpowiednie ) : B= [ 1 2 ; 3 4 ] C= [ 5 6 ; 1 1 ] B C #Czy kazdy element p i e r w s z e j #macierzy p r z e z odpowiedni #element d r u g i e j : B. C #Czy macierz p r z e z s k a l a r : 2 A #Mozna transponowac m a c i e r z kwadratowa : B=A' #Mozna p o l i c z y c norme e u k l i d e s o w a #tzn. druga wektora : norm( x, 2 ) #Czy pierwsza a l b o supremum : norm( x, 1 ) norm( x, ' i n f ' ) #Czasami nie warto wypisywac w s z y s t k i e g o #na e k r a n i e s r e d n i k ' ; ' po komendzie 27

30 #to zapewni : y=a x ; norm( y, 2 ) #mozna wygenerowac I=eye (10) #czy slynne macierze H=hilb ( 1 0 ) ; #macierz i d e n t y c z n o s c H i l b e r t a #mozna p r z e n i e s c d l u g i e wyrazenia y =[1,2,3, ] #I mozna z a p i s a c n i e k t o r e o b i e k t y w p l i k u. #Najpierw zobaczmy co mamy w pamieci #s e s j i who #Mozna z a p i s a c w p l i k u binarnym w s z y s t k i e #zmienne #( nie mozna o b e j r z e c danych poza octavem ) save binary dane. bin clear who load dane. bi n # Czy p o j a w i l s i e znowu y? Sprawdzamy : who #Zapisujemy konkretna macierz w p l i k u tekstowym #o danej nazwie dane. t x t : save a s c i i dane. txt y #Mozna t e r a z o b e j r z e c ten p l i k 28

31 #w jakims e d y t o r z e #l u b p r z y pomocy programu more #z l i n i i komend : np. : more dane. dat #Czyscimy zmienne z pamieci : clear #Sprawdzamy t e r a z zmienne w pamieci : who #Wczytujemy zmienne z p l i k u : load dane. txt #Powinnien pojawic s i e wektor y a l e pod jaka nazwa? who #Octave w c z y t a l macierz pod nazwa ' dane ', #a l e mozna zmienic nazwe np. : y=dane clear dane #W o c t a v i e mozna uzywac podstawowych obiektow #t a k i c h j a k p e t l e : #w h i l e ( warunek ) # # komendy # #endwhile #Przyklad u z y c i a : k=0; while ( k<3) k++; #k=k +1; endwhile k #Kolejna p e t l a to : #do # # komendy # #u n t i l ( warunek ) #P e t l a ta zawsze przynajmniej #raz s i e wykona. 29

32 #Przyklad : k=0; do k++; until ( k >3); k #Trzecia p e t l a to : #f o r i= wektor w a r t o s c i # # komendy # #endfor #Przyklad : a=0; for k =1:4, a+=k ; #a=a+k ; endfor a #I s t n i e j a t e z inne podstawowe #s t r u k t u r y programistyczne j a k : #I n t r u k c j a warunkowe #i f # # komendy # #e l s e ( opcja ) # # komendy # #e n d i f #Przyklad : k=input ( " podaj wartosc k=?\n" ) ; #t e r a z czeka na i n p ut i f ( k<10) disp ( "k<10" ) ; #d i s p w y s w i e t l a s t r i n g na e k r a n i e else disp ( "k >=10" ) ; endif #Tu warto poznac operatory l o g i c z n e octave ' a #o g o l n i e wartosc rozna od zera j e s t uznawana za prawde 30

33 #zero za nieprawde i f ( 2 ) a=3 else a=1; endif #&& AND l o g i c z n e " i " i =0; ( i <=10)&&(i > 10) ( i <10)&&(i >1) ( i < 1)&&(i >1) # OR l o g i c z n e " l u b " ( i < 1 0 ) ( i > 10) ( i < 1 0 ) ( i >1) ( i < 1) ( i >1) #! negacja ( o p c j o n a l n i e ~)! ( i >0)! ( i <=0) #operator rownosci nie b y c i a rownym j a k w C # = ta sam wartosc ;!= rozna wartosc (5==4) (5==(3+2)) (5!=6) (5!=(3+2)) #Kolejna s t r u k t u r a warta poznania #to i n s t r u k c j a s w i t c h ( t r o c h e inna n i z w C/C++) #s w i t c h ( zmienna ) # case { w a r t o s c i zmiennej } # komendy # # case { w a r t o s c i zmiennej } # komendy # #o t h e r w i s e # # komendy # #endswitch #Przyklad : 31

34 t a k n i e=menu( " t e s t switch ", " yes ", "no", "do not know" ) ; # menu wygodna f u n k c j a gdy oczekujemy wybrania o p c j i switch ( t a k n i e ) case {1} disp ( " yes " ) ; case {2} disp ( "no" ) ; case {3} disp ( "don ' t know" ) ; endswitch #inna i n s t r u k c j a na wprowadzanie danych z k l a w i a t u r y to #k b h i t #f u n k c j e #n a j p r o s t s z a function y=f ( x ) y=x+sin ( x ) ; endfunction #wywolujemy f ( 0 ) f ( 1 ) #f u n k c j a anonimowa f=@( x ) 1+x+sin ( x ) #Formalnie f tu j e s t #uchwytem do f u n k c j i a l e #wywolanie j e s t t a k i e same : #Wywolujemy : f ( 0 ) #p r o s t a g r a f i k a #s i a t k a rownomierna na [ 0, 3 ] x=linspace ( 0, 3 ) ; #wektorowo w a r t o s c i s i n na s i a t c e y=sin ( x ) ; #i cos z=cos ( x ) ; #n a j p r o s t s z y wykres plot ( y ) ; pause ( 1 ) ; #pause aby nie z n i k n e l o od razu 32

35 #Plot r y s u j e wykres #w a r t o s c i y wzgledem indeksow #L e p i e j narysowac wykres y #wzgledem punktow s i a t k i : plot ( x, y ) ; pause ( 1 ) ; #Mozemy z a m i e s c i c #dwa wykresy na jednym plot ( x, y, x, z ) ; pause ( 2 ) ; rysunku #Mozemy wykres podpisac plot ( x, y, " ; s i n ; ", x, z, " ; cos ; " ) ; pause ( 2 ) ; #I mozemy u s t a l i c k o l o r wykresu : plot ( x, y, "k ; s i n ; ", x, z, "g ; cos ; " ) ; pause ( 2 ) ; #Oczywiscie k o l o r y sa w j e z y k u a n g i e l s k i m #r red ; b b l u e ; k b l a c k ; g green #m magenta ; c cyan ; w white #Czy zmienic s t y l wykresy #zaznaczymy punkt p r z e c i e c i a p r z e z czerwony p l u s : zx=pi / 4 ; zy=cos ( pi / 4 ) ; plot ( x, y, "k ; s i n ; ", x, z, "g ; cos ; ", zx, zy, " r +; pkt przec. ; " ) ; pause ( 2 ) ; #i to t y l e podstawowych r z e c z y k t o r e t r z e b a #w i e d z i e c o macierzach i o c t a v i e #( i k t o r e p r z y s z l y mi do glowy ) echo o f f 3.5 Przykªadowa sesja matlaba W tym rozdziale przedstawimy przykªadow sesj matlaba. W przeciwie«stwie do octave'a, matlab posiada ±rodowisko graczne. Ogólnie matlaba wywoªujemy klikaj c na odpowiedni ikon, czy wybieraj c program matlab w odpowiednim menu systemu. W linuxie mo»emy te» 33

36 Rysunek 3.6: Terminal z wywoªanym ±rodowiskiem matlaba. wywoªa ten program z linii komend komend : matlab. Wówczas powinno otworzy si ±rodowisko matlaba, por. rysunek 3.6. Jak wida, w ±rodku mie±ci si Command Window, czyli okno komend, w którym mo»emy wpisywa komendy matlaba, z lewej strony wida podgl d bie» cego katalogu pod nazw Current Folder, z prawej strony, z góry pod nazw Workspace, wida okno ze spisem zdeniowanych zmiennych oraz z doªu, z lewej strony - maªe okno historii komend, por. rysunek 3.7. Ustawienia mo»na zmienia, np. mo»na cz ± okien ukry, czy odª czy. Po szczegóªy odsyªam do pomocy do matlaba. Wpiszmy kilka komend takich samych jak w octave'ie w okno komend: A=[1:3; ] B=[A; A] W oknie komend wida,»e wynik jest taki sam jak w octave'ie. Natomiast w oknie Workspace widzimy,»e w sesji s zdeniowane dwie zmienne A,B, a w oknie historii widzimy dwie nasze komendy, por rysunek 3.7. W ±rodowisku matlaba najwa»niejsze jest okno komend, które peªni t sam rol co terminal z wywoªanym octavem. Pozostaªe okna peªni rol pomocnicz ale niew tpliwie ±rodowisko matlaba uªatwia prac. Dalej nie b dziemy si zajmowa szczegóªowo matlabem, ale zdecydowana wi kszo± 34

37 Rysunek 3.7: Terminal z wywoªanym ±rodowiskiem matlaba po wykonaniu komendy. kodów z tego skryptu dziaªa zarówno w octave'ie, jak i w matlabie. 35

38 Rozdziaª 4 Arytmetyka zmiennopozycyjna Wszystkie obliczenia w octavie s wykonywane w arytmetyce zmiennopozycyjnej (inaczej - arytmetyce ) podwójnej precyzji (double) - cho w najnowszych wersjach octave'a istnieje mo»liwo± u»ywania zmiennych typu single, czyli zmiennych w pojedynczej precyzji arytmetyki zmiennopozycyjnej. Dokªadno± wzgl dna arytmetyki podwójnej precyzji wynosi ok , a dokªadno± arytmetyki pojedynczej precyzji wynosi ok W octavie jest kilka funkcji zwi zanych bezpo±rednio z wªasno±ciami arytmetyki, mianowicie: eps - zwraca epsilon maszynowy arytmetyki, tzn. najmniejsz liczb ɛ tak,»e fl(ɛ + 1) > 1. Tu fl() oznacza wynik dziaªania w arytmetyce zmiennopozycyjnej. Octave domy±lnie dziaªa na liczbach zmiennopozycyjnych w podwójnej precyzji arytmetyki wi c oczywi±cie eps zwróci nam epsilon maszynowy dla arytmetyki podwójnej precyzji. Z kolei wywoªanie eps(a) - dla a liczby zwróci odlegªo± od a do najbli»szej wi kszej od a liczby w arytmetyce zmiennopozycyjnej single (x) - funkcja konwertuj ca zmienn np. typu double, czyli w podwójnej precyzji arytmetyki, do zmiennej typu single, czyli w pojedynczej precyzji arytmetyki zmiennopozycyjnej double(x) - funkcja konwertuj ca zmienn do typu zmiennej w podwójne precyzji arytmetyki, czyli odwrotna do funkcji single (x). Podwójna precyzja jest w octavie domy±lna, wi c wydaje si»e, gªównym zastosowaniem tej funkcji jest konwersja zmiennej typu single z powrotem do typu double Zastosujmy funkcj eps - sprawd¹my, czy rzeczywi±cie eps + 1 w jest wi ksze od jeden, a np. eps/2 + 1 ju» nie - tu fragment kodu octave'a: 36

39 i f ( ( eps+1)>1) printf ( "%g+1>1 w f l \n", eps ) ; else printf ( "%g n i e j e s t epsilonem maszynowym\n", eps ) ; endif i f ((1+eps/2)==1) printf ( " f l (%g+1)=1\n", eps / 2 ) ; endif Rysunek 4.1: Dwa sposoby obliczania f(x) = 1 cos(x) w arytmetyce zmiennopozycyjnej. Przy pomocy eps mo»emy znale¹ najmniejsz liczb dodatni w arytmetyce podwójnej precyzji: octave :33> x=eps ( 0 ) x = e 324 octave :34> Sprawd¹my: 37

40 octave :34> x/2>0 ans = 0 octave :35> Sprawd¹my, jak dziaªaj funkcje zwi zane ze zmian precyzji arytmetyki single i double - tu fragment sesji octave'a: b=s i n g l e ( eps ) i f ( ( s i n g l e ( eps)+1)==1) printf ( " f l ( s i n g l e ( eps)+1)==1\n" ) ; endif i f ( ( double (b)+1)>1) printf ( " f l ( double ( s i n g l e ( eps ))+1) >1.\n" ) ; endif #a t e r a z e p s i l o n maszynowy p r e c y z j a pojedyncza eps ( s i n g l e ( 1 ) ) Otrzymali±my,»e epsilon maszynowy w podwójnej precyzji wynosi: e 16, a w pojedynczej precyzji arytmetyki: e 07. Teraz znajdziemy najmniejsz liczb dodatni w arytmetyce pojedynczej precyzji: octave :52> eps ( s i n g l e ( 0 ) ) ans = e 45 octave :53> 4.1 Redukcja cyfr przy odejmowaniu Inn wªasno±ci arytmetyki, która mo»e powodowa problemy, jest tzw. redukcja cyfr przy odejmowaniu liczb tego samego znaku Przykªad Przetestujmy to na dwóch równowa»nych wzorach na funkcj f(x) = cos(x) 1 = 1 2 sin 2 (0.5 x) 1 = 2 sin 2 (0.5 x). Przetestujmy oba wzory dla x bliskich zeru: f 1=@( x ) cos ( x) 1; f 2=@( x ) 2 sin ( 0. 5 x ). sin ( 0. 5 x ) ; a=1e 7; 38

41 x=linspace( a, a, ) ; plot ( x, f 1 ( x ), " ; wzor 1 ; ", x, f 2 ( x ), " ; wzor 2 ; " ) ; Wykres na rysunku 4.1 pokazuje,»e wzór drugi jest lepszy ze wzgl du na arytmetyk. Mo»emy oczywi±cie policzy te» bª d pomi dzy wynikami: er=f 1 (1 e 7) f 2 (1 e 7) Ró»nica e 18 jest pozornie maªa, bo rz du Jednak f2(10 7 ) jest rz du 10 14, wi c dokªadno± wzgl dna jest rz du Jest to bardzo maªa dokªadno±, jak na arytmetyk podwójnej precyzji, w której bª d wzgl dny oblicze«jest na poziomie Mo»emy policzy wzgl dny bª d wzgl dem f2(10 7 ): abs ( ( f 1 (1 e 7) f 2 (1 e 7))/ f 2 (1 e 7)) i otrzymamy e Obliczanie funkcji z rozwini cia w szereg Inny przykªad na problemy redukcj cyfr, to obliczanie warto±ci funkcji korzystaj ce z rozwini cia w szereg o wyrazach o ró»nych znakach. Rozpatrzmy funkcj sin(x), która ma nast puj ce rozwini cie w globalnie zbie»ny szereg: sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! Zaimplementujmy w octavie funkcj obliczaj c przybli»enie funkcji matematycznej sin(x), korzystaj ce z odpowiedniego obci cia tego rozwini cia dla dowolnego x rzeczywistego. Implementacja tej funkcji b dzie wektorowa, tzn. wywoªanie jej z macierz X jako argumentem zwróci macierz przybli»e«warto±ci sin na odpowiednich elementach macierzy X. function y=n a s z s i n ( x,n=300) #obliczamy wartosc s i n ( x ) #k o r z y s t a j a c z r o z w i n i e c i a w s z e r e g : #x x^3/3!+x ^5/5!...( 1)^( k+1) x^{2k+1}/(2k +1)!+... #N i l o s c wyrazow w s z e r e g u domyslnie 300 kx= x. x ; y=x ; for k=1:n, x=x. kx. / ( ( 2 k ) (2 k +1)); y+=x ; endfor endfunction 39

42 Rysunek 4.2: [11π, 13π] Wykres funkcji sinus obliczanej z rozwini cia w szereg na Przetestujmy nasz funkcj na [ π, π]. w=linspace( pi, pi ) ; plot (w, sin (w), " ; s i n ; ",w, n a s z s i n (w), " ; n a s z s i n ; " ) Na wykresie nie wida ró»nicy. Przetestujmy nasz funkcj dla wi kszych argumentów: [11 π, 13 π]: w=linspace (11 pi,13 pi ) ; plot (w, sin (w), " ; s i n ; ",w, n a s z s i n (w), " ; n a s z s i n ; " ) Wida z rysunku 4.2,»e rozwijanie w szereg nie zawsze ma sens z powodu wªasno±ci arytmetyki zmiennopozycyjnej. Mo»na postawi pytanie, czy w rozwini ciu nie byªo za maªo wyrazów szeregu? w=linspace (11 pi,13 pi ) ; plot (w, sin (w), " ; s i n ; ",w, n a s z s i n (w, ), " ; n a s z s i n ; " ) Prosz sprawdzi,»e zwi kszenie ilo±ci wyrazów szeregu nic nie zmieniªo. 40

43 Rysunek 4.3: Wykres bª du w skali póªlogarytmicznej obliczania funkcji sinus z rozwini cia w szereg Popatrzmy, jak ro±nie bª d na skali logarytmicznej, por. rysunek 4.3: w=linspace (eps,13 pi, ) ; semilogy (w, abs ( sin (w) n a s z s i n (w) ) ) Bª d w skali logarytmicznej ro±nie liniowo. To oznacza,»e bª d ro±nie wykªadniczo Obliczanie przybli»onej warto±ci pochodnej Kolejnym przykªadem sytuacji, w której mog pojawi si problemy, to obliczanie pochodnej za pomoc ilorazów ró»nicowych, czyli wprost z denicji. Przetestujmy przybli»one obliczanie pochodnej z denicji, czyli ze wzoru: f (x) f(x + h) f(x). h Wydawaªoby si,»e im h jest mniejsze, tym lepsze przybli»enie otrzymamy. Ale np. dla f(x) = sin(x) z x = 1 i h < eps, np. dla h = eps/2, otrzymamy 41

44 Rysunek 4.4: Wykres bª du przy obliczaniu pochodnej ilorazem ró»nicowym dsin() dla x = 1 w zale»no±ci od h. w arytmetyce : Sprawd¹my: > h=eps/2 h = e 16 > sin (1+h) sin ( 1 ) ans = 0 #c z y na pewno >sin (1+h)==sin ( 1 ) ans=1 fl(x + h) = fl(1 + h) = 1. Czyli rzeczywi±cie h nie mo»e by dowolnie maªe. Spróbujmy znale¹ dla tego przykªadu optymalne h postaci h = 2 n eksperymentalnie. f=@sin ; h=1;x=1; 42

45 Rysunek 4.5: Wykres bª du przy obliczaniu pochodnej ilorazem ró»nicowym dsin() dla x = 1 w zale»no±ci od h w skali póªlogarytmicznej fx=f ( x ) ; dfx=cos ( x ) ; er=zeros ( 5 3, 1 ) ; eropt=er (1)=abs ( ( f ( x+h) fx )/h dfx ) ; hopt=h ; n=nopt =0; while (h>=eps ) h/=2; n++; er (n)=abs ( ( f ( x+h) fx )/h dfx ) ; i f ( er (n)< eropt ) eropt=er (n ) ; nopt=n ; hopt=h ; endif endwhile printf ( " optymalne h=%g=2^( %d)\n", hopt, nopt ) ; plot ( er ) ; 43

46 Na wykresie nie wida dokªadnie, por. rysunek 4.4, gdzie jest minimum. Na wykresie w skali póª-logarytmicznej minimum jest widoczne, por. rysunek 4.5: semilogy ( er ) Widzimy,»e optymalne h w tym przypadku jest rz du 2 27, czyli ok Mo»na powtórzy te same obliczenia dla przybli»ania pochodnej za pomoc tzw. ilorazu centralnego: f (x) f(x + h) f(x h). 2h W kolejnych rozdziaªach b dziemy omawiali wpªyw arytmetyki zmiennopozycyjnej na wyniki oblicze«dla konkretnych zada«. 44

47 Rozdziaª 5 Interpolacja wielomianowa i splajnowa 5.1 Wielomiany w octavie W octavie istnieje caªa gamma funkcji zwi zanych z wielomianami: polyval( ) - funkcja pozwalaj ca oblicza warto± wielomianu zadanego w bazie pot gowej dla danej warto±ci x, czy caªej macierzy warto±ci polyt( ) - funkcja znajduj ca wspóªczynniki wielomianu zadanego stopnia najlepiej dopasowanego do zadanej tabelki punktów. polyinteg( ) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego caªk nieoznaczon z danego wielomianu polyderiv( ) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego pochodn z danego wielomianu roots( ) - zwraca zera wielomianu conv(a,b) - zwraca wspóªczynniki wielomianu b d cego iloczynem wielomianów o wspóªczynnikach odpowiednio z wektorów a, b B dziemy korzystali przede wszystkim z dwóch pierwszych funkcji. We wszystkich tych funkcjach przyjmowane jest,»e rozpatrujemy wspóªczynniki wielomianu w bazie pot gowej, ale w nast puj cej kolejno±ci: (x n, x n 1,..., 1). 45

48 Wspóªczynniki indeksowane s od jedynki, tzn. wielomian stopnia nie wi kszego od n: n+1 w(x) = a k x n+1 k k=1 jest reprezentowany przez wektor wspóªczynników: (a 1,..., a n+1 ). Je±li chcemy policzy warto± w w danym punkcie x, czy ewentualnie dla tablicy punktów umieszczonych w macierzy X, wywoªujemy polyval(a,x) lub polyval(a,x). Tak wi c, aby narysowa wykres funkcji x 3 2x + 1 na [ 3, 4] mo»na wykona nast puj c sekwencj komend : a =[1,0, 2,1]; #d e f i n i u j e m y wsp. x=linspace ( 3,4);#s i a t k a wx=polyval ( a, x ) ; #wartosc w na plot ( x, wx ) ; #wykres s i a t c e 5.2 Interpolacja wielomianowa Interpolacja wielomianowa polega na tym,»e szukamy funkcji p z pewnej przestrzeni wielomianów (zazwyczaj wielomianów stopnia nie wi kszego od n), które w tych punktach speªniaj odpowiednie warunki interpolacyjne, tzn. p oraz jej pochodne maj w tych punktach zadane warto±ci Interpolacja Lagrange'a W interpolacji wielomianowej Lagrange'a dla zadanych n+1 ró»nych punktów x k i warto±ci y k = f(x k ) szukamy wielomianu p(x) stopnia co najwy»ej n takiego,»e speªnione s nast puj ce warunki interpolacyjne: f(x k ) = p(x k ) = y k k = 1,..., n + 1. Funkcja polyt(x,y,n) znajduje wspóªczynniki wielomianu p w bazie pot gowej dla wektorów x, y dªugo±ci n + 1. Wa»ne aby warto±ci w x byªy ró»ne. Przetestujmy t funkcj dla nast puj cych danych: x = ( 1, 0, 2, 4), y = (1, 1, 2, 1): x =[ 1,0,2,4]; y =[1,1,2, 1]; a=polyfit ( x, y, 3 ) ; s=linspace ( 2,5); plot ( s, polyval ( a, s ), x, y, " r +;war i n t e r p ; " ) 46

49 Rysunek 5.1: Wykres wielomianu interpolacyjnego. Czerwone plusy - warunki interpolacyjne Wida na rysunku 5.1,»e wielomian speªnia warunki interpolacyjne. Mo»emy to sprawdzi te» obliczeniowo: max(abs ( y polyval ( a, x ) ) ) Otrzymali±my wynik: bª d w w zªach jest równy prawie zero. Przetestujmy polyt(x,y,n) dla du»ych n dla w zªów równoodlegªych na [0, 1] i losowe warto±ci y z [ 1, 1], nast pnie policzmy bª d w w zªach w zale»no±ci od N: N=100; er=zeros (N+1,1); for k= 0 :N, x=linspace ( 0, 1, k+1); y=2 (rand ( size ( x )) 0.5); a=polyfit ( x, y, k ) ; er ( k+1)=max(abs ( y polyval ( a, x ) ) ) ; endfor 47

50 max( er ) Widzimy,»e mo»emy otrzyma niepoprawny wynik dla du»ych N. Wynika to ze zªych wªasno±ci algorytmu stosowanego przez octave'a ze wzgl du na zaburzenia powodowane przez niedokªadne obliczenia w arytmetyce zmiennopozycyjnej. Zbadajmy bª d pomi dzy funkcj, a jej wielomianem interpolacyjnym. Na pocz tek rozpatrzmy analityczn funkcj f(x) = sin(x) i w zªy równoodlegªe, oraz norm supremum na odcinku [ 4, 6]. Norm supremum: g,[a,b] := g(t) t [a,b] przybli»ymy poprzez dyskretn norm na siatce N równomiernie rozªo»onych punktów na tym odcinku [a, b], czyli z h = (b a)/n: f h,,[a,b] = max f(a + k h) k x =[ 1,0,2,4]; y =[1,1,2, 1]; a=polyfit ( x, y, 3 ) ; s=linspace ( 2,5); plot ( s, polyval ( a, s ), x, y, " r +;war i n t e r p ; " ) Interpolacja Hermite'a Rozpatrzmy teraz zadanie interpolacji Hermite'a. W interpolacji wielomianowej Hermite'a dla zadanych n + 1 ró»nych punktów x k i naturalnych krotno±ci w zªów p k szukamy wielomianu w(x) stopnia co najwy»ej N dla N = n k=0 p k 1 takiego,»e speªnione s nast puj ce warunki interpolacyjne: w (j) (x k ) = y k,j k = 1,..., n + 1, j = 0,..., p k 1. Tutaj y k,j to N + 1 zadanych warto±ci. W octavie nie ma funkcji realizuj cej interpolacje Hermite'a. Ale czy w szczególnych przypadkach nie mo»emy ªatwo rozwi za tego problemu korzystaj c z odpowiednich funkcji octave'a? Rozpatrzmy przypadek w zªów tej samej krotno±ci; np. n ró»nych dwukrotnych w zªów. 48

51 Rysunek 5.2: Interpolacja Hermite'a sin(3x) - dwa dwukrotne w zªy 1, 1 Chcemy znale¹ wspóªczynniki wielomianu N k=1 a kx k dla N = 2(n + 1) takie,»e w(x k ) = f(x k ), w (x k ) = f (x k ). Czyli rozwi zanie speªnia nast puj cy ukªad równa«liniowych: N k=1 N a k x k j = f(x k ) k=0 j = 0,..., n ka k x k 1 j = f (x k ) j = 0,..., n. Utwórzmy macierz tego ukªadu z pomoc funkcji vander(x), która tworzy macierz Vandermonde'a dla w zªów podanych w wektorze x: function [ a,c, f ]= interpolyh ( x, y, dy ) #tworzy w s p o l c z y n n i k i wielomianu Hermite ' a d l a #wezlow dwukrotnych z x #y= w a r t o s c i w wezlach x ( wektor pionowy ) 49

52 #w a r t o s c i pochodnej w wezlach x ( wektor pionowy ) #output : w s p o l c z y n n i k i wielomainu w b a z i e potegowej # ( Zgodne z p o l y v a l ( ) ) #C opcja macierz n=length ( x ) ; N=2 n 1; A=vander ( x,n+1); D=diag (N: 1 : 0 ) ; B=zeros ( size (A) ) ; B ( :, 1 :N)=A( :, 2 :N+1); B=B D; C=[A;B ] ; f =[y ; dy ] ; a=c\ [ y ; dy ] ; endfunction ukladu Rysunek 5.3: Interpolacja Hermite'a sin(3x) - trzy dwukrotne w zªy 1, 0, 1 Na pocz tku przetestujmy t funkcj dla w zªów 1, 1 dwukrotnych i funkcji sin(3 x). 50

53 x =[ 1;1]; x ) sin (3 x ) ; df=@( x ) 3 cos (3 x ) ; y=f ( x ) ; dy=df ( x ) ; a=interpolyh ( x, y, dy ) ; z=linspace ( 1. 1, 1. 1 ) ; plot ( z, polyval ( a, z ), " ; w i e l H; ", z, f ( z ), " ; f ; ", x, y, " r+" ) ; Z wykresu funkcji i wielomianu widzimy,»e wielomian przecina wykres i jest styczny w punktach 1, 1, por. rysunek 5.2. Zobaczmy co si stanie w przypadku trzech w zªów. Testujemy funkcj dla w zªów 2, 0, 2 dwukrotnych i sin(3 x). x =[ 1;0;1]; f=@( x ) sin (3 x ) ; df=@( x ) 3 cos (3 x ) ; y=f ( x ) ; dy=df ( x ) ; a=interpolyh ( x, y, dy ) ; z=linspace ( 1. 2, 1. 2 ) ; plot ( z, polyval ( a, z ), " ; w i e l H; ", z, f ( z ), " ; f ; ", x, y, " r+" ) ; Z rysunku 5.3 wida,»e funkcja dziaªa poprawnie równie» w tym przypadku. 5.3 Interpolacja zespolona. Algorytm FFT W tym rozdziale omówimy krótko interpolacj zespolon, ale tylko w przypadku okre±lonych w zªów zespolonych równomiernie rozmieszczonych na sferze jednostkowej. Chcemy znale¹ wspóªczynniki zespolone a k C, k = 0,..., N takie,»e N a k zj k = b k k=0 j = 0,..., N dla danych zespolonych b k i z j = exp ( ) 2π i j N+1 dla j = 0,..., N, czyli pierwiastków z jedynki stopnia N + 1. Równowa»nie mo»emy to zadanie sformuªowa jako zadanie znalezienia a k takich,»e N ( ) 2π i j k a k exp = b k j = 0,..., N. N + 1 k=0 51

54 Okazuje si,»e rozwi zanie mo»emy wyrazi poprzez operator dyskretnej transformaty Fouriera, czy równowa»nie jako mno»enie przez macierz F N+1 = 1 N+1 (ωk l N+1 )N k,l=0 : a = F N+1 b gdzie a = (a k ) N k=0, b = (b k ) N k=0, a ω N+1 = exp ( ) 2π i N+1. Mno»enie przez macierz F N+1 mo»na szybko wykona z wykorzystaniem algorytmu szybkiej transformacji Fouriera, czyli FFT (Fast Fourier Transform). Odpowiednia wersja algorytmu FFT sªu»y te» szybkiemu mno»eniu przez macierz odwrotn do F N+1 : F 1 N+1 = (N + 1)F N+1 = (ω k l N+1) N k,l=0. Obliczaj c warto± wielomianu k a kz k w punktach z j, czy równowa»nie warto±ci wielomianu trygonometrycznego N k=0 a k exp (i k x) w punktach x j = 2π j, to przyjmuj c b N+1 j = k a kzj k otrzymujemy: b = F 1 N+1 a. Warto doda,»e cz sto macierz DFT deniuje si bez czynnika 1 N+1, oczywi±cie wtedy macierz odwrotna te» musi by odpowiednio przeskalowana. Funkcja f f t ( ) sªu»y w octave'ie mno»eniu przez macierz F N+1. Jej najprostsze wywoªanie to a=f f t (b) Sprawd¹my, czy funkcja t () oblicza warto± DFT zgodnie z nasz denicj. Policzmy F 4 (4, 0, 0, 0) T, powinni±my otrzyma wektor samych jedynek: a=f f t ( [ 4 ; 0 ; 0 ; 0 ] ) a otrzymali±my: a = i i i 4 0 i To oznacza,»e funkcja t () oblicza warto± mno»enia przez (N + 1) F N+1. Z kolei funkcja it () powinna oblicza mno»enie przez macierz odwrotn do (N + 1) F N+1. Sprawd¹my, jak to dziaªa: 52