NAUKI O FINANSACH FINANCIAL SCIENCES 1(30) ISSN e-issn

Transkrypt

1 NAUKI O FINANSACH FINANCIAL SCIENCES (30). 207 ISSN e-issn Rafał Buła Unwersytet Eonomczny w Katowcach e-mal: rafal.bula@ue.atowce.pl ANALIZA WYMIARU FRAKTALNEGO SPÓŁEK NOTOWANYCH NA GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE ASPEKTY METODYCZNE ANALYSIS OF FRACTAL DIMENSION OF SHARES TRADED AT THE WARSAW STOCK EXCHANGE METHODICAL ISSUES DOI: 0.56/nof JEL Classfcaton: G7 Streszczene: Artyuł jest pośwęcony problematyce szacowana wymaru fratalnego fnansowych szeregów czasowych. Ze względu na mnogość metod szacowana owego wymaru zasadne jest pytane, czy oszacowana uzyswane za pomocą odmennych metod cechują sę podobnym własnoścam w sense statystycznym. Głównym celem artyułu jest zatem uzysane odpowedz na ta postawone pytane w odnesenu do metody segmentowo-waracyjnej, podzału pola oraz metody Hguchego. Badana zostały przeprowadzone w oparcu o ceny acj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe. Oszacowana dostarczane przez metodę podzału pola oazały sę stotne odmenne w porównanu z oszacowanam uzyswanym za pomocą pozostałych metod. Ponadto sformułowano onluzję, że hpotez o wyładnczym bądź lnowym zwązu pomędzy oszacowanam otrzymywanym za pomocą metody segmentowo-waracyjnej podzału pola w śwetle dostępnych danych ne można odrzucć. Słowa luczowe: wymar fratalny, metoda segmentowo-waracyjna, metoda podzału pola, metoda Hguchego. Summary: Ths artcle s devoted to the problem of proper estmaton of fractal dmenson. Three methods of estmaton are dscussed: varaton method, dvson of area method and Hguch method. In the second part of the artcle real fnancal tme seres are used to examne propertes of estmates receved usng abovementoned methods. These are closng prces of shares quoted at Warsaw Stoc Exchange. Multple statstcal tools were used to descrbe propertes of emprcal dstrbutons of fractal dmenson estmates,.e. normalty tests, goodness of ft tests, etc. It was shown that estmates receved usng dvson of area method are strongly dfferent than others. Keywords: fractal dmenson, varaton method, area dvson method, Hguch method.

2 0 Rafał Buła. Wstęp Metody badawcze operające sę na de obetów fratalnych od czasu wydana fundamentalnego dzeła B. Mandelbrota (zob. [Mandelbrot 983]) zaczęto wyorzystywać w analzach najrozmatszych zjaws procesów. Obecne uczen posłują sę nm zarówno w nauach przyrodnczych, np. w geofzyce [De la Torre n. 203], astronom [Movahed n. 2006; 20], nauach społecznych (np. w nauce o omunacj społecznej) [Mularczy, Zdone 203] oraz medycyne [Harne 204]. Metody te znalazły taże zastosowane w nauach eonomcznych [Klonows n. 2004]. Wśród zagadneń analzowanych w oparcu o pojęce fratala samopodobeństwa obetów należy wymenć westę oceny ryzyownośc podejmowanych decyzj nwestycyjnych szczególne odnoszących sę do loowana aptałów na rynu fnansowym. Przyjmuje sę bowem, że fnansowe szereg czasowe, w tym cen czy stóp zwrotu z paperów wartoścowych, cechują sę samopodobeństwem (w sense statystycznym). Fat ten umożlwa doonane ch analzy opsu z wyorzystanem metod oraz aparatu pojęcowego właścwego geometr fratalnej. Pojęcem luczowym w badanu fnansowych szeregów czasowych w ujęcu fratalnym jest wymar fratalny. To obszerne oreślene obejmuje całe spetrum rozmatych mar, z tórych ażda opsuje struturę badanych obetów. W odnesenu do tworów abstracyjnych (o naturze zarówno stochastycznej, ja determnstycznej) możlwe jest (nawet jeśl byłoby to nezmerne somplowane) oreślene teoretycznego wymaru fratalnego danej strutury. Dla fratal naturalnych jest to zasadnczo nemożlwe, co wymusza uceane sę do orzystana ze stosownych metod estymacj wymaru fratalnego. Dotychczas powstało wele metod szacowana wymaru fratalnego, przy czym należy nadmenć, że netóre są wyorzystywane właścwe sporadyczne. Ponadto część metod sutuje uzysanem oszacowań welośc powązanych z wymarem fratalnym jedyne pod warunem spełnena oreślonych założeń. Z tego też względu przedmotem badań autora są metody odwołujące sę bezpośredno do defncj wymaru fratalnego, tj. metoda segmentowo-waracyjna, metoda podzału pola oraz metoda Hguchego. Głównym celem artyułu jest zbadane, czy pozom oszacowań wymaru fratalnego fnansowych szeregów czasowych jest nezależny od wyboru metody estymacj. Z ta sformułowanym celem zasadnczym w naturalny sposób wąże sę cel cząstowy, jam jest oreślene, czy odryta uprzedno przez autora na drodze rozważań teoretycznych zależność mędzy oszacowanam wymaru fratalnego otrzymywanym wsute zastosowana metody segmentowo-waracyjnej oraz Hguchego a za pomocą metody podzału pola występuje w odnesenu do danych emprycznych. Mając na względze zareślony cel badań, autor sformułował zasadnczą hpotezę badawczą następująco: oszacowana uzyswane za pomocą metody podzału

3 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... pola oraz pozostałych metod różną sę stotne. Wspomnana rozbeżność dotyczy zarówno typu rozładu, ja parametrów cechujących odnośne rozłady. Ponadto, nawązując do cząstowego celu artyułu, próbe falsyfacj poddano hpotezę głoszącą, że mędzy wymarem fratalnym szacowanym za pomocą metody podzału pola oraz pozostałym występuje zależność wyładncza. Ze względu na oneczność doonana wyboru odpowednego zboru danych podlegających analze autor podjął decyzję o badanu szeregów czasowych stóp zwrotu z acj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe. W oblczenach wyorzystano logarytmczne stopy zwrotu dla cen zamnęca. Wszele alulacje autor prowadzł z wyorzystanem paetu Mcrosoft Excel oraz języa programowana Vsual Basc for Applcatons, a taże posłując sę programem Statstca. 2. Wymar fratalny jego zastosowane w pomarze ryzya nwestycyjnego Począwszy od drugej połowy XIX weu, początowo wśród pratyów, a następne taże wśród uczonych pojawło sę dążene, by flutuacje cen nstrumentów fnansowych scharateryzować w sposób loścowy. Już w perwszych pracach pośwęconych owej problematyce zaproponowano wyorzystane statystycznych mernów opsujących empryczne rozłady prawdopodobeństwa w szczególnośc popularne szeroo wyorzystywane wówczas odchylene prawdopodobne, a taże odchylene wadratowe (czyl według obecnej nomenlatury odchylene standardowe) [Regnault 863; Buła 204]. Idea ta została następne utrwalona w pracach L. Bachelera [Bacheler 900], by stać sę fundamentem współczesnej teor nwestycj zapoczątowanej przez H. Marowtza [Marowtz 952]. Mmo jej ogromnego nezaprzeczalnego wpływu na rozwój beżący stan wedzy w owym zarese, można stwerdzć, że w swej lasycznej postac ma ona w chwl obecnej znaczene jedyne teoretyczne, stosunowo nłe zaś pratyczne. Model błądzena losowego cen paperów wartoścowych, tórego prawdzwość stanowłaby stotną przesłanę do stosowana metody Marowtza, równeż jest obecne westonowany. Jednocześne ne wydaje sę prawdopodobne, by tóraolwe z onurencyjnych modyfacj modelu wyjścowego zdobyła choćby zblżony status. Wspomnane względy sprawają, że w ramach dotychczasowego paradygmatu możlwośc esplanacyjne wydają sę zdecydowane newystarczające 2. Z tego też powodu na Ne można jedna orzec o owej oncepcj, że została sfalsyfowana, ja bowem zauważa W. Sharpe, Przyjęta w fnansach lasyfacja odróżna teore normatywne (presryptywne) pozytywne (desryptywne). Przełomowa teora portfela oparta na średnej warancj stworzona przez Marowtza (952) newątplwe należy do perwszej ategor [...] [Sharpe 99]. 2 Co zgodne z oncepcją Thomasa Kuhna wnno prowadzć do jego zmerzchu powstana nowego paradygmatu [Kuhn 20].

4 2 Rafał Buła znaczenu zysuje oncepcja załadająca wyorzystane pojęć metod właścwych geometr fratalnej. Najstotnejszym pojęcam w owej oncepcj są pojęca obetu fratalnego oraz wymaru fratalnego. Wśród defncj obetu fratalnego można odnaleźć zarówno oreślena sformalzowane, ja sformułowane mnej rygorystyczne, uwzględnające zmenny przedmot badań. Za najdogodnejszą w analze fnansowych szeregów czasowych autor uznał defncję głoszącą, że Ogólne rzecz borąc, fratale matematyczne naturalne to obety, tórych chropowatość rozdrobnene ne zana an ne flutuuje, lecz pozostaje ne zmenone w stotnym stopnu przy olejnych przyblżenach [Mandelbrot 200]. Na potrzeby nnejszego artyułu przyjęto zatem, że manem fratal należy oreślać obety cechujące sę pewnym formam samopodobeństwa (z onecznośc o charaterze statystycznym). Jao że przedmotem odnośnych badań są fnansowe szereg czasowe, załada sę, że można je opsać jao samopodobne, a zatem jao obety o własnoścach fratalnych. Owo założene ma charater przyjętej w pewnym sense aproryczne hpotezy nauowej, tórej potwerdzene bądź falsyfacja mogą nastąpć dopero w drodze obszernych ntensywnych badań. Poneważ jej odrzucene ne jest w chwl obecnej możlwe, autor uznaje ją na potrzeby prowadzonych badań za nefałszywą, a co najmnej za potencjalne użyteczną. Wśród charaterysty opsujących struturę fratal najstotnejszą jest wymar fratalny 3. Spośród rozmatych defncj tej welośc za najbardzej użyteczną ze względu na obrany przedmot badań autor uznał wymar pudełowy (pojemnoścowy, Mnowsego-Boulganda, nazywany czasem entropą Kołmogorowa czy wymarem entropjnym), stąd też w dalszych rozważanach oreślena wymar fratalny wymar pudełowy będą stosowane zamenne. Oreślenem równoważnym podanemu przez twórców tej welośc, a ne zmuszającym do posłowana sę pojęcem poryca Mnowsego, jest następujące 4 : gdze N ( X) ( ) 0 ( X) ln N dm X = lm, ln B jest lczbą hpersześcanów sat o bou mających co najmnej jeden punt wspólny z analzowanym obetem X. Zapsane w nnej postac: ( ) N X ~ -dm B ( X) dla 0. Wymar pudełowy obrazuje zatem flutuacje lczby wadratów nezbędnych do poryca analzowanego obetu w sytuacj, gdy długość bou sat wadratowej zmnejszamy w grancy do zera. W zależnośc od onstrucj danego tworu wymar fratalny może opsywać struturę jedyne loalne bądź globalne. W odnesenu do grafcznej reprezentacj 3 Łac. fractus złamany. 4 Możlwe jest taże nne, ewwalentne zdefnowane N (X ), jedna ze względu na specyfczny przedmot badań nnejszego artyułu pozostałe oreślena są mało użyteczne [Falconer 2003].

5 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... 3 procesów stochastycznych 5 można uznać, że wymar fratalny charateryzuje globalne flutuacje danej welośc, jeżel mamy do czynena z procesem o samopodobnych stacjonarnych przyrostach, tj. spełnającym warune: d H ( + τ) ( ) = ( + τ) ( ) X t0 X t0 r X t0 r X t0, t 0 0 dla dowolnego r > 0 oraz > 0 X t, t 0 jest rozpatrywanym procesem, a H wyładnem samopodobeństwa powązanym z wymarem fratalnym relacją H = 2-dm B ( X ). Gdy prezentowana zależność pozostaje prawdzwa jedyne dla τ 0, wówczas wymar fratalny opsuje zachowane procesu wyłączne loalne, dla zman zachodzących w relatywne rótch oresach. τ, gdze ( ) Rys.. Szereg czasowe o zróżncowanym wymarze fratalnym:,2;,5 oraz,8 uzysane w drodze symulacj Jeżel analzuje sę proces sumulowanych stóp zwrotu 6 z pewnego nstrumentu fnansowego, cechujący sę wspomnanym własnoścam w ujęcu globalnym, to wówczas wymar fratalny procesu jest ścśle powązany z pozomem zmennośc. Jeśl utożsama sę zmenność z ryzyem, to, ja wyazano [Buła 203] dla nesończene rótch horyzontów nwestycyjnych, wzrost wymaru fratalnego sut- 5 Sformułowane wymar fratalny procesu stochastycznego jest uproszczenem, w rzeczywstośc bowem chodz o wymar fratalny rzywej przedstawającej trajetorę procesu. 6 Najczęścej wyorzystuje sę w tym przypadu stopy logarytmczne ze względu na ch addytywność.

6 4 Rafał Buła uje zwęszenem sę pozomu ryzya. Z ole w nesończene długej perspetywe czasowej wzrost wymaru fratalnego powoduje zmnejszene sę ryzyownośc, tórą obarczony jest rozpatrywany nstrument fnansowy. Wymar fratalny jest zatem stotnym, choć jeszcze nedostateczne rozpoznanym mernem ryzya [Buła, Pera 205]. 3. Metody estymacj wymaru fratalnego Istotnym problemem zwązanym z badanem fnansowych szeregów czasowych w ujęcu fratalnym jest fat, że ch reprezentacje grafczne należałoby zalczyć do lasy fratal naturalnych stochastycznych. Ze względu na nemożność aprorycznego oreślena praw rządzących flutuacjam badanych welośc, nemożlwe jest taże oblczene wymaru fratalnego z onecznośc trzeba sę posłować odpowednm metodam estymacj. Dotychczas zaproponowano wele rozmatych metod, spośród tórych autor w nnejszym artyule, ze względów opsanych uprzedno, wyorzystał metodę segmentowo-waracyjną, metodę podzału pola oraz metodę Hguchego. Każda z użytych metod reprezentuje odmenną flozofę alulacj: w przypadu rzywych położonych na płaszczyźne w metodze segmentowo- -waracyjnej analzowana jest zależność mędzy polem prostoątów porywających daną struturę w olejnych segmentach a długoścą ch podstawy, w metodze podzału pola mędzy olejno uzyswanym polam, w metodze Hguchego zaś mędzy długoścą rzywej a długoścą podstawy segmentu. Metoda segmentowo-waracyjna stanow modyfację metody waracyjnej zaproponowaną przez M. Zwolanowsą (zob. [Zwolanowsa 2000; Zeug-Żebro 205]). Opera sę ona na zależnośc wążącej objętość (w szczególnośc zatem pole) hpersześcanów mających co najmnej jeden punt wspólny z analzowanym obetem: dm B ( X ) lnγ = 2 lm 0 ln ( X ) lnγ ( X ) = lm 0 ln 2, gdze Γ ( X ) rycznych szeregów czasowych luczowe jest właścwe oszacowane Γ ( X ) jest wspomnaną objętoścą dla hpersześcanów o bou. Dla emp-. W metodze segmentowo-waracyjnej wyres szeregu 7 przesalowuje sę ta, by perwsza obserwacja przypadała na chwlę zerową, a ostatna na onec oresu jednostowego. Następne jest on dzelony na segmenty obejmujące m obserwacj (ostatn segment może zawerać ch mnej nż m). ( X ) Γ Γ oblcza sę jao 8 : [( n ) ( )] ( ) m = X h + h ( [ ]), = 7 W sense łamanej zbudowanej z odcnów łączących olejne punty reprezentujące obserwacje. 8 W nnejszym artyule symbol []. jest wyorzystywany wyłączne do oznaczena cechy lczby.

7 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... 5 gdze n to lczba obserwacj, h różnca mędzy masymalną a mnmalną wartoścą danej welośc w -tym segmence, długość segmentu, h różnca mędzy masymalną a mnmalną wartoścą danej welośc w segmence zawerającym mnej nż m obserwacj (jeśl m dzel n bez reszty, to można przyjąć h = 0 ). Postępowane to powtarza sę dla welorotnośc m (przy czym lczba segmentów ne może być mnejsza nż dwa). Wymar fratalny jest szacowany za pomocą regresj 2 lnowej ln Γ ( X ) względem ln. Dla m = 2, m = 3, m = 5, m = 7 uzysuje sę olejne oszacowana wymaru fratalnego. Jeśl ch średna arytmetyczna wynos ½, wówczas za fnalne oszacowane przyjmuje sę ½, gdy średna jest mnejsza wartość mnmalną, gdy węsza zaś masymalną. Rys. 2. Przyładowy podzał na segmenty wyresu szeregu czasowego w metodze segmentowo-waracyjnej Metoda podzału pola opracowana przez G. Przeotę (zob. [Przeota 2003]) opera sę na zależnoścach występujących mędzy polam olejnych prostoątów porywających wyres badanego szeregu. W perwszej olejnośc jest on porywany prostoątem o boach równoległych do os artezjańsego uładu współrzędnych, przy czym wysoość jest równa różncy mędzy masymalną a mnmalną wartoścą obserwowanej welośc, podstawa zaś długośc szeregu 9. Następne dzel sę go na połowy, a prostoątam są porywane fragmenty wyresu znajdujące sę w ażdym z segmentów. Fnalne oblcza sę sumę ch pól (p) oraz pole prostoąta perwotnego (P). Zależność postulowana przez Przeotę jest postac: P p = dm X. B ( ) 2 9 Rozumanej jao lczba obserwacj pomnejszona o jednostę.

8 6 Rafał Buła Powtarzając opsaną procedurę tratując nowo powstałe prostoąty jao perwotne, uzysamy zbór puntów postac ( P 2, p) umożlwający otrzymane oszacowana wymaru fratalnego za pomocą regresj lnowej (bez wyrazu wolnego). Rys. 3. Idea podzału prostoątów porywających wyres szeregu czasowego w metodze podzału pola Metoda Hguchego opera sę na badanu długośc analzowanych rzywych [Hguch 988]. W tym celu oberane jest pewne naturalne, a następne z szeregu X,X 2,...,X n tworzy sę szeregów postac: perwotnego ( ) ( ) ( ) X n m ( m ), X ( m + ), X ( m + ),..., X ( m + [ ] ) 2, m =,2,3,...,. W olejnym rou oblcza sę długość odpowednej rzywej dla ażdego podszeregu: [ n m ] n Lm ( ) = X ( m ) X ( m ( ) ) n m + + [ ] = oraz średną ta uzysanych welośc L ( ). Wymar fratalny uzysuje sę z za- ( leżnośc ( ) ~ dm ) B X L, orzystając najczęścej z metody najmnejszych wadratów dla L( ) ~ dm B ( X ) ln ln. W artyule [Hasegawa n. 203] zaproponowano taże modyfację metody Hguchego polegającą na przypsywanu węszego znaczena obserwacjom najnowszym. W tym celu wyorzystano wag wyładncze 0 : 0 We wzorze podanym w [Hasegawa n. 203] zbędne jest w manownu czynna orygującego wyrażene n m.

9 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... 7 L m [ n m ] n A gdze ( ) [ ] n m A = α ( ) ( ) [ n m ] = X ( m + ) X ( m + ( ) ) ( ) = α, α. Wartość współczynna α uzależnona jest od lczby dostępnych obserwacj w nnejszym artyule autor przyjął za Hasegawą, że α =. n Rys. 4. Idea onstrucj rzywych w metodze Hguchego Wspomnane metody są coraz częścej stosowane w badanach emprycznych do oreślana wymaru fratalnego najrozmatszych welośc. Jednocześne w nedostatecznym stopnu rozpoznano własnośc oszacowań uzyswanych za ch pomocą. Dotychczasowe badana porównawcze odnosły sę do welośc uzysanych w drodze symulacj stochastycznej Monte Carlo, natomast w przypadu danych emprycznych dotyczyły nezmerne szczupłych zborów danych [Buła 202a; 202b]. Z powyższych względów w olejnym punce zostaną zaprezentowane wyn badań dla zdecydowane lcznejszego zboru danych. W tym celu za pomocą przedstawonych metod autor zamerza oszacować wymary fratalne wybranych emprycznych szeregów czasowych. Następne uzysane rezultaty zostaną poddane analze porównawczej z wyorzystanem nstrumentarum statystycznego, by można było otrzymać odpowedź na pytane, jae są ch podstawowe własnośc oraz jae zachodzą mędzy nm relacje.

10 8 Rafał Buła 4. Wyn badań Przedstawone metody zastosowano do oszacowana wymaru fratalnego szeregów czasowych logarytmcznych stóp zwrotu z acj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe. Dane wyorzystane przez autora zostały udostępnone przez serws stooq.pl. Motywacją do posłowana sę wotowanam dostarczanym przez ten serws jest fat, że w odnesenu do acj ch notowana są systematyczne przelczane wsteczne ta, by uwzględnć wypłatę pożytów, a zatem odzwercedlają rzeczywsty pozom dochodowośc nwestycj. Według stanu na 3 lpca 206 r. na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe notowano 482 spół [Buletyn statystyczny GPW 206]. W oblczenach posłowano sę danym dzennym. Wyorzystano notowana, począwszy od 3 paźdzerna 994 r. (od edy to sesje na warszawsej gełdze mają mejsce codzenne). W sład ta oreślonej populacj spółe wchodzą jedna podmoty, tórych hstora notowań jest relatywne róta bądź pomędzy olejnym notowanam występują przerwy o znacznej długośc. Jao że tae zjawsa mogłyby zaburzać uzyswane oszacowana, wyjścowy zbór spółe postanowono ogranczyć. W tym celu sformułowano trzy rytera pomnęto w analzach (przy założenu, że w rou odbywa sę 250 sesj): a) spół, tórych hstora notowań obejmowała mnej nż 250 obserwacj (tj. mnej nż 5 lat), Rys. 5. Udzał spółe, dla tórych przecętna lczba notowań w cągu rou była ne mnejsza nż 225

11 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... 9 b) spół, dla tórych przecętna lczba notowań w cągu rou była mnejsza nż 225 (tj. o węcej nż 0% teoretycznej lczby notowań), c) spół, w przypadu tórych choć jeden odstęp pomędzy notowanam był dłuższy nż 2 dn. Analza danych w śwetle ryterum dostatecznej lczby obserwacj, mnmalnej przecętnej lczby notowań w cągu rou oraz masymalnej długośc przerwy pomędzy olejnym notowanam wsazuje bowem, że dla przyjętych welośc grancznych następuje pewna stablzacja lczby spółe spełnających wspomnane obostrzena. Z tego też względu autor zadecydował o sformułowanu wspomnanych ryterów w prezentowanym brzmenu. Ostateczne badanom poddano 280 spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe. W analzach wyorzystano dzenne logarytmczne stopy zwrotu oraz sumulowane logarytmczne stopy zwrotu oblczone na podstawe cen zamnęca w orese Rys. 6. Udzał spółe, dla tórych lczba dostępnych notowań była ne mnejsza nż 250 Wyorzystując dostępne dane, w perwszej olejnośc oszacowano wymar fratalny wyresów szeregów czasowych sumulowanych logarytmcznych stóp zwrotu za pomocą przedstawonych uprzedno metod. Podstawowe statysty opsowe uzysanych oszacowań przedstawono w tab. oraz na rys. 7. Można zauważyć, że oszacowana uzyswane za pomocą metody podzału pola cechują sę nższym przecętnym pozomem, a jednocześne węszą dyspersją

12 20 Rafał Buła Tabela. Statysty opsowe uzysanych oszacowań wymaru fratalnego Metoda estymacj x Me Mn Mas Q Q 3 σ CV β β 2 SW,4276,4254,286,596,3933,4555 0,0507 0,0355 0,23 3,35 PP,359,374,0908,5349,3092,4246 0,0908 0,0668 0,64 2,99 Hguch,4369,434,3405,6238,4020,4650 0,0488 0,0340 0,7 3,72 Hguch (wył.),4353,4282,3359,6232,3997,4623 0,0490 0,034 0,73 3,78 Rys. 7. Wyres pudełowy dla oszacowań wymaru fratalnego uzysanych za pomocą metody segmentowo-waracyjnej, podzału pola Hguchego w stosunu do oszacowań otrzymywanych z wyorzystanem pozostałych metod. Podobne wnos można sformułować, analzując hstogramy. Następne zbadano, czy rozład oszacowań wymaru fratalnego można uznać za normalny. W tym celu (ze względu na stosunowo poaźną lczbę obserwacj) wyorzystano test c 2, Jarque-Bera oraz Shapro-Wla. Ponadto ewentualne odchylena od normalnośc zlustrowano na wyresach typu wantyl-wantyl. Hpotezy o normalnośc rozładu ne udało sę odrzucć (dla pozomu stotnośc 0,05) jedyne w odnesenu do oszacowań uzysanych za pomocą metody segmentowo-waracyjnej.

13 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych... 2 Rys. 8. Hstogramy oszacowań wymaru fratalnego uzysanych za pomocą metody segmentowo-waracyjnej, podzału pola Hguchego Tabela 2. Rezultaty testów normalnośc rozładu Test Metoda estymacj SW PP Hguch Hguch (wył.) c 2 5,68 20,79 6,0 9,42 p-value 0,28 0,002 0,07 0,024 Jarque-Bera 3,78 8,85 28,99 3,3 p-value 0,5 0,000 0,000 0,000 W 0,99 0,966 0,97 0,970 p-value 0,078 0,000 0,000 0,000 W następnym rou postanowono zbadać, czy za uprawnoną można uznać hpotezę, ż rozład oszacowań wymaru fratalnego jest nezależny od wyboru metody jego estymacj. W tym celu wyorzystano zarówno testy neparametryczne (Kołmogorowa oraz znaów), ja parametryczne, w odnesenu do oszacowanych średnch warancj.

14 22 Rafał Buła Rys. 9. Wyresy wantyl-wantyl oszacowań wymaru fratalnego uzysanych za pomocą metody segmentowo-waracyjnej, podzału pola Hguchego Tabela 3. Rezultaty testów zgodnośc rozładów Test znaów Metoda estymacj Test Kołmogorowa Metoda estymacj SW PP Hguch Hguch (wył.) SW 4,39 0,76 0,63 PP 47 4,90 4,94 Hguch ,2 Hguch (wył.) Pogruboną czconą oznaczono wyn sutujące odrzucenem hpotezy o zgodnośc rozładów dla pozomu stotnośc wynoszącego 0,05. Ponadto postanowono dodatowo zbadać, czy można uznać wartośc oczewane oraz warancje opsujące owe rozłady za równe. Jao że aproryczne można załadać, że oszacowana są slne ze sobą sorelowane, sporządzono macerz ore-

15 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych Tabela 4. Macerz orelacj oszacowań wymaru fratalnego Współczynn orelacj Metoda estymacj Metoda estymacj SW PP Hguch Hguch (wył.) SW 0,608 0,626 0,607 PP 0,244 0,227 Hguch 0,997 Hguch (wył.) Pogruboną czconą oznaczono wyn sutujące odrzucenem hpotezy o zerowym współczynnu orelacj dla pozomu stotnośc wynoszącego 0,05. lacj. Wszyste współczynn oazały sę stotne różne od zera (dla pozomu stotnośc 0,05), dlatego też lasyczne testy równośc średnch warancj ne mają zastosowana. Z tego też względu wyorzystano testy właścwe dla zmennych połączonych, tj. test t oraz test Morgana, poneważ rozłady oazały sę jedna zblżone do normalnego. Tabela 5. Rezultaty testów równośc średnch warancj Test Morgana równośc warancj Metoda estymacj Test t równośc średnch Metoda estymacj SW PP Hguch Hguch (wył.) SW 5,83 0,79 0,70 PP 2,96 4,3 3,69 Hguch 3,63,36 7,84 Hguch (wył.) 2,9,24 0,85 Pogruboną czconą oznaczono wyn sutujące odrzucenem hpotezy o równośc parametrów dla pozomu stotnośc wynoszącego 0,05. Tabela 6. Przecętna wartość bezwzględna różnc oszacowań Względna Przecętna wartość bezwzględna różnc Metoda estymacj Bezwzględna Metoda estymacj SW PP Hguch Hguch (wył.) SW 0,0779 0,0343 0,0348 PP 5,7% 0,094 0,0906 Hguch 2,4% 6,7% 0,003 Hguch (wył.) 2,4% 6,6% 0,2%

16 24 Rafał Buła Przeprowadzone testy wsazują na oneczność odrzucena hpotezy o zgodnośc rozładu oszacowań wymaru fratalnego uzysanych za pomocą metody podzału pola oraz otrzymanych z wyorzystanem pozostałych metod rozłady owe różną sę stotne zarówno ształtem, ja parametram. W przypadu oszacowań otrzymanych za pomocą metody Hguchego wydaje sę, że stosowane mechanzmu wyładnczego ważena obserwacj w newelm stopnu wpływa na uzyswane rezultaty. Efetem jest co prawda stotne statystyczne obnżene przecętnej wartośc oszacowań, jedna przy zblżonym ształce rozładu oraz pratyczne jednostowej orelacj. Wydaje sę zatem, że do celów pratycznych można uznać owe oszacowana za neodróżnalne. Porównując rozład oszacowań wymaru fratalnego uzysanych za pomocą metody segmentowo-waracyjnej oraz Hguchego, należy stwerdzć, że metody te dostarczają, przecętne rzecz ujmując, zblżonych oszacowań. Różnce pomędzy tym rozładam wynają z węszej dyspersj rezultatów otrzymywanych metodą Zwolanowsej (choć w lczbach bezwzględnych stosunowo neznacznej), dlatego też hpoteza o zgodnośc owych rozładów mus zostać odrzucona. Rozstrzygnęce, tórą ze wzmanowanych metod należy uznać za preferowaną, pozostaje problematyczne. W tou prowadzonych rozważań teoretycznych autor sformułował hpotezę o występowanu wyładnczej zależnośc mędzy wymarem fratalnym szacowanym za pomocą metody segmentowo-waracyjnej oraz Hguchego a otrzymywanym z wyorzystanem metody podzału pola. Postulowany zwąze ma postać: D = 2 d, gdze d oznacza wymar szacowany metodą Zwolanowsej bądź Hguchego, D zaś metodą Przeoty. Wyorzystując zgromadzone dane, przeprowadzono taże analzę uerunowaną na zweryfowane hpotezy o stnenu taej zależnośc bądź zwązu lnowego. W tym celu oszacowano parametry regresj w odnesenu do zależnośc: D D = α 0 + αd + ξ, = d α + α ξ, log D α + ξ, 2 = 0 + αd przyjmując, że założena lematu Gaussa-Marowa są w przyblżenu spełnone. Uzysane rezultaty przedstawono w tab. 7. Oblczone welośc słanają do odrzucena hpotezy o występowanu rzeczonej zależnośc zarówno wyładnczej, ja lnowej w sytuacj, gdy zmenną objaśnającą jest wymar fratalny szacowany za pomocą metody Hguchego. Nato- Jeśl pomnąć różnce mędzy średnm owych rozładów, statystya testowa testu znaów przybera wartość 29, co oznacza bra przesłane do odrzucena hpotezy o zgodnośc rozładów.

17 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych Tabela 7. Wyn analzy regresj Typ zależnośc 0 Metoda estymacj αˆ 0 Welość αˆ σˆ αˆ 0 t αˆ t R 2 D = α + α d + ξ SW 0,965,0897 0,0722,6,05 0,370 D = α + α d + ξ Hguch 0,706 0,4544 0,0882 4,54 5,04 0,060 D 0 = 0 + αd α + ξ D = α + α + ξ Hguch (wył.) 0,7566 0,498 0,0886 4,87 5,36 0,05 d 0 2 SW 0,98,57 0,0724,6,72 0,366 D = α + α + ξ d 0 2 Hguch 0,75 0,478 0,0882 4,6 4,59 0,060 d Hguch D = α 0 + α 2 + ξ 0,7600 0,4428 0,0886 4,93 4,89 0,052 (wył.) log D α + α + ξ SW,243,785 0,079,82,9 0,364 2 = 0 d = 0 + αd log D α + ξ Hguch 0,2524 0,484 0,0963 4,40 4,39 0,056 2 log 2 D = 0 + αd α + ξ Hguch (wył.) 0,95 0,442 0,0968 4,74 4,72 0,048 Pogruboną czconą oznaczono wyn sutujące odrzucenem hpotezy zerowej dla pozomu stotnośc wynoszącego 0,05. mast w przypadu metody segmentowo-waracyjnej ne udało sę odrzucć żadnej ze wspomnanych hpotez. Ustalene, czy zwąze mędzy tym zmennym ma charater lnowy, czy też ne, wymaga zatem przeprowadzena dodatowych analz. Warto jednocześne zauważyć, że rozład oszacowań wymaru fratalnego ne jest rozładem jednopuntowym soncentrowanym w ½, co sugerowałby lasyczny model błądzena losowego. W rzeczywstośc na gełdze mamy do czynena z całym spetrum wymarów fratalnych, przy czym zdecydowane domnują tu szereg czasowe o charaterze persystentnym (udzał spółe o wymarze fratalnym mnejszym nż ½ wynos od 89% do 98% w zależnośc od metody estymacj). Uwzględnene tego stanu rzeczy w metodyce wantyfacj ryzya nwestycyjnego jest problemem wymagającym podjęca ntensywnych badań. 5. Zaończene Rozważana oraz wyn badań przedstawone w nnejszym artyule słanają do sformułowana lu podsumowujących wnosów. Po perwsze, zaprezentowane metody estymacj wymaru fratalnego dostarczają zróżncowanych rezultatów. Oszacowana otrzymywane za pomocą metody podzału pola są zdecydowane nższe oraz cechują sę węszą dyspersją nż uzysane za pomocą pozostałych metod. Rezultat ten stanow potwerdzene dotychczaso-

18 26 Rafał Buła wych wnosów z badań autora prowadzonych w oparcu o dane otrzymane wsute zastosowana symulacj stochastycznej Monte Carlo, sugerujących stosowane owej metody co najmnej z daleo dącą ostrożnoścą. Ponadto poazano, że w pratyce posłowane sę zaproponowanym przez Hasegawę n. mechanzmem wyładnczego ważena obserwacj w metodze Hguchego ne prowadz do zdecydowane odmennych rezultatów. Ewentualne różnce w przecętnym pozome oszacowań (choć statystyczne stotne) są na tyle mało znaczące, że ne mogą sutować uznanem owych metod (w sense uzyswanych wynów) za różnące sę. Nezbędne są natomast dalsze badana dotyczące metody segmentowo-waracyjnej metody Hguchego. Choć zblżone w sense wartośc przecętnej, to jedna otrzymane oszacowana są na tyle stotne różne, że ne można ch ze sobą utożsamać. Pozostaje zatem rozstrzygnęce west, tórą metodą w jach warunach należy sę posługwać, by otrzymywać wartośc możlwe najblższe rzeczywstym. Ta westa mus sę stać przedmotem dalszych badań. Jednocześne analza materału emprycznego ne słana do odrzucena hpotezy o wyładnczym bądź lnowym zwązu pomędzy oszacowanam otrzymywanym w metodze podzału pola segmentowo-waracyjnej. Taą hpotezę należy natomast odrzucć dla metody Hguchego. Problem, czy wyprowadzona na grunce teoretycznym dla przypadu grancznego zależność pomędzy analzowanym oszacowanam występuje w odnesenu do danych rzeczywstych, pozostaje zatem nadal nerozwązany. Należy jednocześne podreślć, że przedstawone cząstowe rezultaty dotyczą oreślonego (choć stosunowo lcznego) zboru spółe ch uogólnane bez przeprowadzena dodatowych badań jest neuprawnone. W szczególnośc autor uznaje za celowe przeanalzowane danych dotyczących nnych rynów zarówno w odnesenu do przedmotu obrotu, ja w ujęcu geografcznym. Na margnese rozważań metodycznych trzeba podreślć, że wymar fratalny jest stotne zróżncowany w populacj badanych acj. Stwerdzene to jest przesłaną do podważena rozpowszechnonych w nowoczesnej teor fnansów metod wantyfacj zarządzana ryzyem nwestycyjnym. Problematyce tej autor pośwęc odrębne opracowane. Lteratura Bacheler L., 900, Théore de la Spéculaton, Annales Scentfques de l École Normale Supéreure, 3 e sére, tome 7, s Buletyn statystyczny GPW, 206, (dostęp ). Buła R., 202a, Aspety metodyczne szacowana wymaru fratalnego fnansowych szeregów czasowych, [w:] Kuczera M. (red.), Młodz nauowcy dla polsej nau, Creatvetme, Kraów.

19 Analza wymaru fratalnego spółe notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych Buła R., 202b, Metoda podzału pola a metoda segmentowo-waracyjna szacowana wymaru fratalnego, [w:] Kuczera M. (red.), Nowe trendy w nauach humanstycznych społeczno-eonomcznych, Creatvetme, Kraów. Buła R., 203, Ryzyo nwestycj a wymar fratalny, Studa Eonomczne, nr 55, s Buła R., 204, O teor speulacj nwestycj Julesa Regnaulta, Studa Eonomczne, nr 204, s Buła R., Pera K., 205, Применение концепции фрактальной размерности для оценки инвестиционного риска на финансовых рынках, [w:] Белозеров С.А. (red.), Международный экономический симпозиум 205: материалы Международных научных конференций, посвященных 75-летию экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета апреля 205 г. Сборник статей, Скифия-принт, Санкт-Петербург, s De la Torre C., González-Trejo J., Real-Ramírez C., Hoyos-Reyes L., 203, Fractal dmenson algorthms and ther applcaton to tme seres assocated wth natural phenomena, Journal of Physcs, vol. 475, s. -0. Falconer K., 2003, Fractal Geometry, John Wley & Sons, Chchester. Harne B., 204, Hguch Fractal dmenson analyss of EEG sgnal before and after OM chantng to observe overall effect on bran, Internatonal Journal of Electrcal and Computer Engneerng, vol. 4, no. 4, s Hasegawa S., Anada H., Kanagawa S., 203, Pursut fractal analyss of tme-eres data, org/pdf/ v (dostęp ). Hguch T., 988, Approach to an rregular tme seres on the bass of the fractal geometry, Physca D, vol. 3, s Klonows W., Olejarczy E., Stepen R., 2004, Epleptc sezures n economc organsm, Physca A, vol. 342, s Kuhn T., 20, Strutura rewolucj nauowych, Alethea, Warszawa. Mandelbrot B., 983, The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman & Company, New Yor. Mandelbrot B., 200, A Geometry Able to Include Mountans and Clouds, [w:] Lesmor-Gordon N. (ed.), The Colours of Infnty: The Beauty and Power of Fractals, Sprnger, London. Marowtz H., 952, Portfolo selecton, Journal of Fnance, vol. 7, no., s Movahed S., Jafar G., Ghasem F., Rahvar S., Tabar R., 2006, Multfractal detrended fluctuaton analyss of sunspot tme seres, Journal of Statstcal Mechancs: Theory and Experment, vol. 2. Movahed S., Jafar G., Ghasem F., Rahvar S., Tabar R., 20, Erratum: Multfractal detrended fluctuaton analyss of sunspot tme seres, Journal of Statstcal Mechancs: Theory and Experment, vol. 9. Mularczy A., Zdone I., 203, Analza statysty stron nternetowych Poltechn Śląsej metodam fratalnym, Zeszyty Nauowe Poltechn Śląsej. Organzacja Zarządzane, z. 64, nr 894, s Przeota G., 2003, Szacowane wymaru fratalnego szeregów czasowych metodą podzału pola, Zeszyty Studów Dotorancch, z. 2, s Regnault J., 863, Calcul des chances et phlosophe de la bourse, Mallet-Bacheler & Castel, Pars. Sharpe W., 99, Captal asset prces wth and wthout negatve holdngs, Journal of Fnance, vol. 46, no. 2, s Zeug-Żebro K., 205, Zastosowane wybranych metod szacowana wymaru fratalnego do oceny pozomu ryzya fnansowych szeregów czasowych, Studa Eonomczne, nr 227, s Zwolanowsa M., 2000, Metoda segmentowo-waracyjna. Nowa propozycja szacowana wymaru fratalnego, Przegląd Statystyczny, nr -2, s