Poniższe eseje zostały opublikowane w Encyklopedii Szkolnej - Fizyka, która została wydana w marcu 2006 r. przez:

Transkrypt

1 Poniższe eseje zostały opubliowane w Encylopedii Szolnej - Fizya, tóra została wydana w marcu 6 r przez: Wydawnictwo Zielona Sowa Sp z o o PL--45 Kraów, ul Wadowica 8A, POLAND Tel/Fax: +(48-) ; Tel: +(48-) 66-69, 6798, 6756 Adres eletroniczny: wydawnictwo@zielonasowapl Strona internetowa: wwwzielonasowapl Copyright by Wydawnictwo Zielona Sowa Sp z o o, Kraów 6 ISBN strony: Krzysztof Ruebenbauer Kraów, listopada 4 r Ruch zwierciadła w polu promieniowania Dyfracja na sieciach przestrzennych Oscylacje pomiędzy dwoma stanami wantowymi z dodatiem: Uład trzech stanów wantowych

2 Ruch zwierciadła w polu promieniowania Rozważmy następujący problem: płasa i ciena tarcza ołowa porusza się w ierunu dodatniej części osi z prostopadłej do powierzchni tarczy Obydwie powierzchnie tarczy są dosonałymi zwierciadłami Tarcza ma powierzchnię S > z ażdej strony oraz masę spoczynową m > W chwili początowej t = szybość tarczy wynosi < v < c, gdzie 8 c = x m/s jest prędością światła w próżni Natomiast położenie powierzchni tarczy w tej chwili wynosi z ( t = ) = Tarcza porusza się w pustej przestrzeni eulidesowej wypełnionej jednorodnym i izotropowym promieniowaniem eletromagnetycznym o gęstości energii ρ > Rozład tego promieniowania nie zmienia się w czasie Interesuje nas jaą drogę d przebędzie tarcza od chwili t = zanim zatrzyma się Problem będziemy rozważać w ramach szczególnej teorii względności Sytuacja jest poazana na niżej zamieszczonym Rys Rys Ilustracja ruchu zwierciadła w polu promieniowania eletromagnetycznego Tarcza jao idealne zwierciadło odbija całowicie promieniowanie eletromagnetyczne we wszystich długościach fal nie pochłaniając żadnych fotonów Idealne zwierciadło nie jest zdolne taże emitować żadnych fotonów Oddziaływanie tarczy z ośrodiem odbywa się wyłącznie poprzez odbijanie światła, gdyż ten ośrode to jest pusta przestrzeń wypełniona wyłącznie światłem Światło odbite od tarczy nie może już ponownie z nią oddziaływać Odbijanie następuje od powierzchni prostopadłych do osi z W tym procesie pole eletromagnetyczne wymienia z tarczą pęd Sładowe pędu prostopadłe do osi z znoszą się wzajemnie, gdyż rozład promieniowania jest izotropowy Natomiast sładowe równoległe do osi z zniosą się tylo w przypadu, gdy tarcza spoczywa względem izotropowego i jednorodnego pola promieniowania W tym przypadu mamy więc wyróżniony uład inercjalny, gdyż przestrzeń nie jest naprawdę pusta, lecz wypełniona promieniowaniem Ta więc równanie ruchu tarczy możemy zapisać w postaci: dv m + F =, dt () gdzie masa tarczy spełnia relację m = m / (v / c), a symbol v oznacza chwilową szybość tarczy w chwili czasu t Wartość hamującej ruch tarczy siły oporu wyniającej z rozpraszania promieniowania można zapisać jao:

3 c + v c v F = ρ S c v c + v () Czynni jest wyniiem założenia, że rozład promieniowania jest izotropowy Po podstawieniu relacji () do relacji () i po uwzględnieniu relatywistycznej zmiany masy otrzymujemy następującą zależność: dv ρ S = dt v mc () Ostatnie równanie może być scałowane po czasie od chwili początowej t = do dowolnej chwili dodatniego czasu przy warunu początowym mówiącym, że w chwili t = szybość tarczy wynosiła v Operacja taa daje następujące równanie: ρ S v = v exp t mc (4) dla interesujących nas czasów t Ponowne scałowanie po czasie równania (4) daje wyrażenie na drogę przebytą przez tarczę w funcji czasu Wyrażenie to ma następującą postać przy przyjętych warunach początowych: t mc ρ S z( t) = dt' v = v exp t ρ S mc (5) W granicy niesończenie długiego interwału czasu dostaniemy z ostatniego wyrażenia drogę przebytą przez tarczę od chwili początowej t = do zatrzymania się: d m c limt ρ S = + [ z( t) ] = v Łatwo obliczyć, że całowita energia tarczy E zmienia się w czasie według relacji: v 4ρ S E = m c exp t c mc (/ ) W związu z tym moc P wydzielana przez tarczę zmienia się z czasem następująco: (6) (7) ρ S v 4ρ S 4ρ S P = ( de / dt) = v exp exp t t c c m c mc (8) Moc ta jest wypromieniowywana przez poruszającą się tarczę Ruch tarczy wygląda analogicznie ja ruch z przepływem laminarnym w ośrodu lepim W celu podtrzymania ruchu ze stałą szybością v > potrzebne jest źródło energii o mocy: ( / )

4 ρ S v P = v c c (9) Należy zauważyć, że Wszechświat jest wypełniony promieniowaniem relitowym i dlatego przypomina opisany powyżej przypade Ta więc ruch przedmiotu z prędością blisą prędości światła w próżni będzie bardziej przypominał ruch samolotu w powietrzu niż ruch swobodny W celu utrzymania stałej i bardzo dużej prędości trzeba będzie stale zużywać pewną energię Bardzo szybie naładowane cząsti podlegają podobnemu prawu W szczególności dotyczy to srajnie relatywistycznych eletronów i dlatego nie są one zdolne propagować na bardzo duże odległości w obecnym Wszechświecie Jeżeli przyjmiemy, że nasza tarcza rozprasza wyłącznie promieniowanie relitowe Wszechświata, tóre jest bardzo dobrze przybliżone przez promieniowanie ciała dosonale czarnego, to możemy obliczyć moc P, gdyż gęstość energii tego promieniowania w uładzie, w tórym jest ono izotropowe możemy oszacować z prawa Stefana-Boltzmanna jao: 4 π B 4 ρ = T, 6c h () gdzie symbol B oznacza stałą Boltzmanna, h jest stałą Planca podzieloną przez π, a T jest temperaturą promieniowania W obecnej epoce temperatura promieniowania wynosi w przybliżeniu T =,7 K W tej sytuacji gęstość energii promieniowania wynosi ρ =,5 x 4 J/m Dla tarczy o promieniu wynoszącym m i poruszającej się z szybością v =,999 c względem uładu, w tórym promieniowanie jest izotropowe otrzymujemy P =,7 W Przy szybości v,99999 = c moc ta wzrośnie do 7 W Krzysztof Ruebenbauer Kraów, listopada r ( / ) 4

5 Dyfracja na sieciach przestrzennych Jeżeli rozważymy trzy wetory o wspólnym początu w trójwymiarowej przestrzeni eulidesowej spełniające warune, że żaden z tych wetorów nie jest ani równoległy ani antyrównoległy do żadnego z pozostałych oraz, że żaden z tych wetorów nie leży w płaszczyźnie zdefiniowanej przez pozostałe, to przy dodatowym założeniu, że żaden z tych wetorów nie jest wetorem zerowym możemy zbudować na ich bazie wielościan wypuły o sześciu ścianach oraz dodatniej objętości Jeżeli we wspólnym początu tych wetorów umieścimy począte prawosrętnego uładu artezjańsiego, to bez utraty ogólności naszych rozważań możemy zapisać współrzędne tych wetorów w tym uładzie jao: cosγ cos β a, sin,, = a a = a γ a = a Y Z () gdzie Y = ( cosα cos β cosγ )/ sinγ oraz Z = (cos β + Y ) Przyjęliśmy, że pierwszy wetor a jest sierowany w ierunu dodatniej części osi x, drugi wetor a leży w płaszczyźnie zdefiniowanej przez osie x oraz y, natomiast że trzeci wetor a jest sierowany ta, że posiada dodatni rzut na oś z Symbole a >, a > oraz a > oznaczają długości odpowiednich wetorów, natomiast ąt < α< π jest ątem pomiędzy wetorami a i a (liczonym od wetora a do wetora a ), ąt < β< π jest ątem pomiędzy wetorami a i a (liczonym od wetora a do wetora a ) i w ońcu ąt < γ<π jest ątem pomiędzy wetorami a i a (liczonym od wetora a do wetora a ) W początu uładu współrzędnych znajduje się puntowy węzeł o symetrii sferycznej Sytuacja opisana powyżej jest poazana na Rys Wielościan rozpięty na omówionych powyżej wetorach będziemy nazywać omórą prymitywną sieci prostej Jest ona zdefiniowana ompletnie przez podanie trzech długości wetorów oraz trzech ątów pomiędzy nimi Rys Komóra prymitywna sieci prostej Komórę tę możemy przesuwać wzdłuż ierunów wyznaczonych przez wetory bazowe a, a oraz a o ich długości W ten sposób wypełnimy ompletnie przestrzeń omórami, a żadne omóri nie będą zachodzić na siebie wzajemnie Innymi słowy wygenerujemy w ten 5

6 sposób niesończoną sieć prostą złożoną z węzłów otrzymanych przez przesuwanie oryginalnego węzła poazanego na Rys Położenie dowolnego węzła wyrazi się jao: R( n ), nn = na + na + na () gdzie n, n oraz n są dowolnymi liczbami całowitymi Objętość omóri możemy obliczyć jao V = ( a a ) a > Komórę prymitywną sieci prostej możemy przeształcić na omórę prymitywną sieci odwrotnej zwaną często omórą Wignera-Seitza stosując przeształcenia: π π π b = ( a a), b = ( a a), b = ( a a), V V V () gdzie wetory b, b oraz b są wetorami bazowymi sieci odwrotnej Analogicznie więc dowolny wetor sieci odwrotnej wyrazi się jao: G( hl ) = h b b b, + + l (4) gdzie wsaźnii h, oraz l są dowolnymi liczbami całowitymi Wsaźnii te są zwane wsaźniami Millera Istotną relacją pomiędzy siecią prostą i zbudowaną na jej podstawie siecią odwrotną jest spełnianie następującego związu: ( i [ ( hl) R( n n n )]) exp G (5) Jeżeli teraz na naszą sieć padają cząsti o dobrze oreślonym stanie pędu (a tym samym energii), a więc opisane falą płasą i ulegają rozproszeniu na węzłach sieci (założymy, że ażdy węzeł ma taą samą amplitudę rozpraszania oraz, że rozprasza on w sposób izotropowy) w tai sposób, że ani stan węzła ani stan sieci nie ulega zmianie w procesie rozproszenia, to rozpraszanie taie będzie spójne Jeżeli dodatowo założymy, że powyższe rozpraszanie jest jedynym rodzajem oddziaływania pomiędzy padającymi cząstami, a sztywną i bardzo masywną oraz spoczywającą siecią i zaniedbamy oddziaływania wtórne rozproszonych cząste z siecią, to możemy się posłużyć onstrucją Ewalda do analizy sytuacji przyjmując, że zarówno detetor cząste, ja i ich źródło są bardzo daleo od rozpraszającej próbi i widzą ją pod bardzo małymi ątami bryłowymi W przypadu rozpraszania światła przyjmiemy, że współczynni załamania światła wewnątrz sieci jest bardzo zbliżony do współczynnia załamania w próżni Konstrucja Ewalda jest poazana na Rys Wiąza padających cząste (fala płasa) o wetorze falowym q i = p i / h przechodzi przez sieć - tutaj odwrotną Wetor p i jest pędem padających cząste, a symbol h oznacza stałą Planca podzieloną przez π Jeden z węzłów sieci odwrotnej znajduje się na powierzchni sfery o promieniu q i, gdzie q i jest dodatnią liczbą falową padających cząste Wiąza przechodzi wzdłuż średnicy sfery i wychodzi z niej w wyżej wymienionym węźle Jeżeli jaiś inny węzeł sieci odwrotnej znajduje się na powierzchni sfery, to występuje dla naszej prostej sieci zawierającej pojedynczy węzeł w omórce rozpraszanie w ierunu poprowadzonym ze środa sfery przez tenże węzeł Wetor falowy promieniowania rozproszonego w tym ierunu oznaczono na poniższym rysunu jao q f Ze względu na fat, że rozpraszanie w naszym przyładzie jest całowicie sprężyste zachodzi relacja q f = q i, gdzie q f jest liczbą falową cząste wychodzących Przeaz wetora falowego do 6

7 sieci wynosi q = q i q f W naszym przyładzie ten przeaz jest równy jednemu z wetorów sieci odwrotnej, czyli zachodzi związe q = G(hl) zwany waruniem Bragga Można zapytać dlaczego wtedy dochodzi do silnego rozpraszania, a w pozostałych przypadach sieć jest pratycznie przezroczysta dla padających cząste Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta Amplitudę rozproszonego promieniowania (cząste) w dużej odległości od próbi możemy zapisać jao: Rys Konstrucja Ewalda A = A exp( i [ q R( nn n] ), n n n (6) gdzie symbol A oznacza amplitudę rozpraszania od pojedynczego węzła Sumowanie rozciąga się po wszystich oświetlonych węzłach, tórych jest bardzo dużo Przyjęliśmy założenie, że tylo nieznaczna część wiązi pierwotnej ulega rozproszeniom Jeżeli jest spełniony warune Bragga, to na mocy relacji (5) wszystie sładnii sumy wynoszą jeden W pozostałych przypadach suma zmierza do zera dla dużej liczby sładniów Natężenie * rozproszonego promieniowania jest proporcjonalne do iloczynu AA, czyli w przypadu rozpraszania w ierunu braggowsim do N, gdzie N >> jest liczbą rozpraszających węzłów Należy zauważyć, że warune Bragga jest zawsze spełniony dla wiązi przechodzącej (rozpraszanej do przodu), gdyż wtedy q = Jest to jedna przypade trywialny Jeżeli sfera Ewalda ma zbyt mały promień (mały pęd cząste padających), to może nie objąć żadnego węzła sieci odwrotnej i rozpraszania nie będzie W pozostałych przypadach można otrzymać rozpraszanie pod waruniem, że próba jest ta zorientowana względem padającej wiązi, że co najmniej jeden węzeł sieci odwrotnej znajduje się na jej powierzchni poza węzłem leżącym w puncie wychodzenia wiązi pierwotnej Obrót próbi (sieci prostej) powoduje oczywiście obrót związanej z nią sieci odwrotnej Jeżeli promieniowanie nie jest mono energetyczne, to sfera zamienia się w dwie sfery pomiędzy tórymi leżą wszystie dostępne do rozpraszania wetory falowe Jeżeli pomiędzy tymi sferami znajduje się jaiś węzeł sieci odwrotnej (poza trywialnym ieruniem do przodu), to będzie on rozpraszał w ściśle oreślonym ierunu promieniowanie o dobrze zdefiniowanej liczbie falowej Sieć będzie więc działać, ja bardzo dobry seletor energii cząste padających Jeżeli zreduujemy do zera jeden z wymiarów sieci prostej zamieniając ją w sieć płasą (wybierając z niej jedną płaszczyznę), to węzły leżące w tej płaszczyźnie sieci odwrotnej (pozostałe węzły zniają) zamienią się w proste przechodzące przez oryginalne węzły leżące w tej płaszczyźnie Proste te będą prostopadłe do tej płaszczyzny W tej sytuacji przy 7

8 dostatecznie dużej sferze Ewalda waruni Bragga będą zawsze spełnione, gdyż taie proste muszą ją gdzieś przebić Sieć taa będzie nadal monochromatorem, ale będzie zdolna rozpraszać cząsti o różnych energiach dla onretnego warunu Bragga Cząsti o różnych energiach będą emitowane w nieco różnych ierunach Jeżeli taą dwuwymiarową sieć zreduujemy do prostej wybierając prostą z powyższej płaszczyzny, to waruni Bragga będą spełnione dla płaszczyzn prostopadłych do tej prostej i przechodzących przez węzły, tóre leżą na tej prostej Promieniowanie będzie więc rozpraszane w stożi otrzymane przez przecięcie sfery Ewalda tymi płaszczyznami W przypadu różnych energii cząste padających promieniowanie rozpraszane przy onretnym warunu Bragga będzie emitowane w pewnym zaresie ierunów w zależności od energii cząsti padającej Schematy taich monochromatorów są poazane na Rys w przerojach Można zauważyć, że obrót sieci trójwymiarowej woół ierunu prostopadłego do płaszczyzny rysunu pozwala wybierać żądane energie rozproszonych cząste w pewnym zaresie Rys Porównanie monochromatora o sieci trójwymiarowej i jednowymiarowej równoległej do wiązi padającej W ostatnim przypadu występuje symetria obrotowa woół ierunu wiązi padającej Warto zauważyć, że dwu i jednowymiarowe sieci odwrotne mają taą samą orientację w przestrzeni położeń ja oryginalne sieci proste, z tórych zostały wygenerowane Jeżeli wiąza padająca nie jest równoległa do taiej sieci, to węzeł przechodzący przez punt sfery, w tórym wiąza pierwotna wychodzi ze sfery będzie dawał przyczyni do rozpraszania w innym ierunu niż ierune do przodu dla sieci o dwóch wymiarach oraz dla zbioru taich ierunów dla sieci o jednym wymiarze Rozpraszanie to będzie zachodzić dla wszystich pędów cząste padających, a więc nie będzie zachodzić selecja energii, a rozpraszanie wystąpi nawet dla bardzo małych pędów cząste padających Taa sieć będzie po prostu częściowo odbijającym zwierciadłem w tym przypadu Jeżeli jednowymiarową sieć zreduujemy do puntu, to węzeł sieci odwrotnej wypełni całą przestrzeń wetora falowego i rozpraszanie będzie wyglądać ta ja dla pojedynczego węzła, a nie sieci Przyroda dostarcza nam taich trójwymiarowych sieci przestrzennych w postaci ryształów Odległości pomiędzy węzłami (atomami) w ryształach są tego rzędu, że rozpraszanie braggowsie zachodzi dla promieniowania rentgenowsiego, powolnych neutronów oraz eletronów przyspieszanych do niezbyt dużych energii Można też rozpraszać braggowso wiązi atomowe i moleularne Najlepsze monochromatory braggowsie dają rozdzielczości 8 energii rzędu w przypadu promieniowania rentgenowsiego Jeżeli stan węzła ulega w jaiś sposób zmianie w wyniu rozpraszania, to rozpraszanie będzie niespójne Jeżeli na przyład rozpraszamy neutrony na jądrach atomowych o spinie różnym od zera, to wystąpi amplituda na rozpraszanie spójne bez zmiany orientacji spinu jądra oraz amplituda na rozpraszanie niespójne ze zmianą orientacji spinu jądra i równoczesną zmianą 8

9 orientacji spinu neutronu Rozpraszanie spójne będzie podlegać wyżej opisanym prawom, natomiast promieniowanie niespójne będzie emitowane mniej więcej w sposób izotropowy Warto zauważyć, że natężenie promieniowania niespójnego jest mniej więcej N razy słabsze niż natężenie promieniowania spójnego (przy porównywalnych amplitudach rozpraszania przez węzeł), gdyż przy rozpraszaniu niespójnym ażdy węzeł rozprasza niezależnie od pozostałych i sumujemy natężenia, a nie amplitudy Jest to dramatyczne zjawiso przy bardzo dużej liczbie węzłów rozpraszających, zwłaszcza uwzględniając fat, że promieniowanie spójne jest emitowane w bardzo mały ąt bryłowy w przypadu mono energetycznego promieniowania padającego rozpraszanego przez sieci trójwymiarowe Krzysztof Ruebenbauer Kraów, 4 listopada r 9

10 Oscylacje pomiędzy dwoma stanami wantowymi Rozważmy dwa wzajemnie ortogonalne i unormowane stany wantowe tworzące dwuwymiarową przestrzeń Hilberta, a więc tworzące uład zupełny w tej przestrzeni: > = oraz > = () Należy zauważyć, że następujące iloczyny salarne przyjmują następujące wartości < > = < > = oraz < > = < > = z powodu wzajemnej ortogonalności i unormowania wyżej zdefiniowanych stanów Niech ażdy z tych stanów opisuje puntową (sferyczną) spoczywającą wirtualną cząstę swobodną W taiej sytuacji z tymi stanami możemy związać następujący hamiltonian: m H = c m () Symbol c > oznacza tutaj prędość światła w próżni, a symbole m > oraz m > masy spoczynowe związane ze stanami > oraz > odpowiednio Załóżmy, że masy te są różne i że zachodzi związe m > m Elementy macierzowe hamiltonianu () w stanach opisanych równaniem () przyjmą postać < n' H n > = δ m c nn ' n, gdzie symbol δ nn' jest symbolem Kronecera, a wsaźnii n =, oraz n '=, numerują stany opisane równaniem () Przyjmijmy, że istnieją dwie cząsti swobodne opisane odpowiednio stanami: a > = b > ( > + > ) oraz > = ( > ) () Rys Wetory stanów w przestrzeni Hilberta rozważanego problemu Stany tych dwóch cząste są taże wzajemnie ortogonalne i są unormowane, gdyż zachodzą relacje < a a > = = oraz < a b > = = Stany tych cząste taże tworzą uład zupełny w przestrzeni Hilberta stanów opisanych równaniem () Masy spoczynowe tych dwóch cząste są jednaowe, gdyż zachodzą następujące związi

11 < a H a > = = ( m + m) c Z drugiej strony cząsti te nie będą trwałe, ale będą przechodzić jedna w drugą i na odwrót, gdyż następujące elementy macierzowe nie są zerami < a H b > = = ( m m) c Wetory stanów w przestrzeni Hilberta dotyczące powyższego zagadnienia są poazane na Rys Cząsta swobodna o dodatniej masie spoczynowej posiada oreśloną energię całowitą E m c, gdzie m > jest jej masą spoczynową Energia ta jest sumą energii inetycznej i energii spoczynowej m c Ponadto cząsta taa posiada oreślony pęd p Wartość pędu p oraz energia całowita spełniają relację E = ( pc) + ( mc ) Funcja falowa taiej cząsti poruszającej się w dodatnim ierunu osi x jest falą płasą o powierzchniach jednaowej fazy prostopadłych do osi x Liczba falowa tej fali przyjmuje wartość q = p / h, gdzie h > jest stałą Planca podzieloną przez π Ta więc liczba falowa dla cząsti o dodatniej energii inetycznej wyrazi się jao: E ( m ) c q = hc (4) Jeżeli cząsti powstają w stanie a > o energii całowitej E > m c w położeniu x =, a następnie propagują w dodatnim ierunu osi x, to ich funcja falowa w tym stanie oraz wzdłuż dodatniej półosi x może być wyrażona jao: < x a > = ( exp( iq ) exp( )) x + iqx, N (5) gdzie N = jest wymiarem przestrzeni Hilberta Liczby falowe q oraz q wyniosą odpowiednio: q = E ( m c hc ) oraz Natomiast analogiczna funcja falowa stanu b > wyniesie: q = E ( mc hc ) (6) < x b > = ( exp( iq ) exp( )) x iqx N (7) Z olei prawdopodobieństwo znalezienia cząsti w stanie a > dla x wyrazi się jao P a = < x a > < a x >, a analogiczne prawdopodobieństwo znalezienia cząsti w stanie b > wyniesie P b = < x b > Ostatecznie te prawdopodobieństwa wyrażą się jao: ( + cos[( q q ) x] ) oraz P = ( cos[( q q ) ]) P ( ) x a x = b (8) Suma tych prawdopodobieństw nie zależy od położenia i wynosi Pa + Pb =, gdyż uład stanów jest zupełny, a cząsta musi znajdować się w jednym z nich Cząsti w stanach

12 a > oraz b > mogą być cząstami realnie istniejącymi pod waruniem, że ich całowita energia spełnia warune E > m c Jeżeli detetor cząste jest wrażliwy tylo na cząsti w stanie a > i jest umieszczany w różnych położeniach x, to szybość jego zliczeń będzie proporcjonalna do P a (x) czyli: ( E ( m ) ( ) ) c E mc P a = + cos x h c (9) Ores oscylacji będzie się wydłużał ze wzrostem całowitej energii cząsti E W szczególności dla bardzo dużych energii całowitych w porównaniu z energią spoczynową, czyli dla m E >> c można użyć przybliżenia: c P a = + cos ( m m ) x h E () Wydaje się, że w Przyrodzie podobne oscylacje zachodzą pomiędzy różnymi rodzajami neutrin Jeżeli na przyład energia całowita cząsti wynosi E = MeV, a energie spoczynowe 4 E = mc = ev oraz E = mc = 9 x ev, to wyrażenie () daje odległość od początu uładu współrzędnych do pierwszego minimum wynoszącą 597 m Przy zmniejszeniu energii całowitej do E = MeV i pozostawieniu poprzednich energii spoczynowych otrzymujemy za pomocą wyrażenia () odległość 5,97 m, a więc odległość porównywalną ze średnicą Ziemi Na tym przyładzie widać, że mechania wantowa może działać taże w sali odległości astronomicznych Jeżeli źródło cząste w stanie a > ma rozmiary znacznie więsze niż długość: π hc λ =, E ( mc ) E ( mc ) () jest w miarę jednorodne, a cząsti powstają niezależnie w różnych częściach źródła, to średnia szybość zliczeń detetora cząste znajdującego się daleo od źródła będzie proporcjonalna do wartości średniej ( P a ) = dla detetora cząste czułego na cząsti w stanie a > Podobna sytuacja istnieje dla neutrin generowanych we wnętrzach gwiazd W szczególności to zjawiso jest najlepszym wytłumaczeniem niedoboru eletronowych neutrin słonecznych rejestrowanych na Ziemi Gdyby nie zachodziły oscylacje, to zawsze byłby spełniony warune ( P a ) = i detetor liczyłby więcej cząste na jednostę czasu Dodatowym i istotnym czynniiem powodującym uśrednienie w przypadu neutrin eletronowych generowanych w gwiazdach jest fat, że mają one bardzo szeroie widmo energii, a detetory neutrin eletronowych nie są specjalnie czułe na energie rejestrowanych cząste pod waruniem, że przeracza ona pewną wartość progową charaterystyczną dla czynnia roboczego detetora Oczywiście onretne neutrino ma ściśle oreśloną energię W naszym przyładzie istnieje najmniejszy ores oscylacji osiągany w sytuacji gdy E m c Wynosi on:

13 π h λ = c m m () Dla naszych przyładowych energii spoczynowych otrzymujemy λ =,8449 mm, czyli odległość do pierwszego minimum wynoszącą,495 mm Niestety nie istnieją detetory neutrin o bardzo nisich energiach całowitych Interesujące jest, że cząsti znajdujące się w stanie a > lub b > nie mogą spoczywać w żadnym uładzie inercjalnym Pamiętając, że wartość pędu cząsti swobodnej o masie spoczynowej m wyraża się jao p = ( m v) / (v / c), gdzie v < c jest wartością jej prędości możemy obliczyć wartość jej prędości w funcji energii całowitej podstawiając masy spoczynowe stanów a > lub b >, tóre są jednaowe oraz orzystając ze związu pomiędzy energią całowitą, wartością pędu oraz masą spoczynową W wyniu tych operacji otrzymujemy: c 4 v = E 4 ( m + m ) c E () W sytuacji gdy zachodzi relacja E m c wyrażenie () przechodzi w wyrażenie na najmniejszą możliwą wartość prędości: c m v m = m m (4) 7 Dla naszych przyładowych cząste dostajemy v = 9,665 x m/s Ta więc ciągle poruszają się one bardzo szybo nawet w uładzie inercjalnym, w tórym mają najniższą możliwą energię całowitą aby istnieć realnie Krzysztof Ruebenbauer Kraów, 7 listopada r > DODATEK: Uład trzech stanów wantowych Dla trzech stanów wantowych hamiltonian w postaci diagonalnej przyjmie następującą postać: m H = c m, m (A) gdzie przyjmiemy, że zachodzi następujący związe m > m > m > dla poszczególnych mas spoczynowych związanych ze stanami bazowymi Jeżeli wybierzemy następujące wetory stanów:

14 a > =, a > = ( i ), a > = ( + i ), ( ) ( ) + i i (A) to mogą one reprezentować trwałe i swobodne cząsti realnie istniejące o energii całowitej E spełniającej relację E > m c Wetory te bowiem spełniają następujące waruni: są wzajemnie ortogonalne oraz unormowane, czyli zachodzi związe < an' a n > = δ nn', tworzą uład zupełny w trójwymiarowej przestrzeni Hilberta oraz wartość oczeiwana hamiltonianu (A) jest taa sama w ażdym z tych stanów i wyraża się następująco < a a > = ( m + m + m) c > n H n Wsaźnii n oraz n ' przebiegają obecnie wartości,, Natomiast wymiar przestrzeni Hilberta wynosi obecnie N = Z drugiej strony wszystie nie diagonalne elementy macierzowe < a n' H an >, gdzie n' n są różne od zera zapewniając wzajemne oscylacje pomiędzy wszystimi stanami a n > Liczby falowe związane z poszczególnymi masami spoczynowymi wyrażą się oczywiście jao q ( E m c ) ( c) = ( ) / h, gdzie wsaźni =,, numeruje poszczególne masy spoczynowe Funcje falowe w poszczególnych stanach opisanych wetorami (A) można wyrazić następująco dla położenia x : < x a a exp( iq x), n > = < n > = (A) gdzie wetory > są wetorami bazowymi w tej reprezentacji, w tórej hamiltonian jest diagonalny i opisany równaniem (A) Mają więc one następującą postać: > =, > =, > = (A4) Prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów opisanych wetorami (A) można obliczyć jao Pn = < x an > < an x > Suma tych prawdopodobieństw będzie stała, gdyż będzie spełniony warune P x) + P + P, a średnia dowolnego z powyższych ( = prawdopodobieństw wyniesie ( ) znajduje się w czystym stanie a > P n = Wetory (A) są ta dobrane, że dla x = cząsta Rys poazuje prawdopodobieństwo P ( ) x wyrysowane w funcji położenia dla następujących energii spoczynowych 4 E = mc = ev, E = mc = 9 x ev oraz 4 E = mc = 7 x ev przy całowitej energii cząsti E = MeV Dla dużych wartości energii całowitej, gdzie E >> m c można użyć przybliżenia: exp( iq x) exp i h E c m c x exp i x, he (A5) 4

15 tóre dla naszego przyładu jest dobrze spełnione Rys Prawdopodobieństwo wystąpienia stanu a > w funcji odległości x od źródła, w tórym cząsti powstają wyłącznie w tym stanie W Przyrodzie występują przynajmniej trzy rodzaje neutrin i odpowiadające im anty-neutrina Obecne dane doświadczalne nie pozwalają jedna jednoznacznie rozstrzygnąć czy oscylacje zachodzą pomiędzy wszystimi rodzajami neutrin, a więc czy trzeba stosować co najmniej uład trzech stanów Krzysztof Ruebenbauer Kraów, 6 listopada r Dodatowe informacje (niepubliowane w Encylopedii Szolnej - Fizya) Rys poazuje wszystie prawdopodobieństwa P n (x) wyrysowane w funcji położenia dla tych samych warunów jaie były zastosowane przy symulacji poazanej na Rys DODATKU Rys Prawdopodobieństwa wystąpienia stanu a n > w funcji odległości x od źródła, w tórym cząsti powstają wyłącznie w stanie a > Krzysztof Ruebenbauer Kraów, marca 4 r 5

16 Penetracja cząste będących ombinacją liniową stanów o różnych masach spoczynowych przez barierę potencjału zachowawczego Jeżeli rozpatrzymy stany opisane funcjami falowymi wyrażonymi przez równanie A i założymy, że cząsti te padają na barierę potencjału zachowawczego, to nastąpi modyfiacja tych funcji falowych Załóżmy, że bariera potencjału jest opisana następującym równaniem: U = U [ F( x, x, A) F( x, x, A) ], (B) gdzie U > jest energią potencjalną w obszarze bariery (w środu bardzo szeroiej bariery), x > jest parametrem opisującym począte bariery na osi x, a wielość x (przy czym x > x ) jest analogicznym parametrem opisującym oniec bariery oraz gdzie parametr A > definiuje szeroość początu i ońca bariery Przyjmiemy taże, że zachodzi następująca relacja: F( x, xs, A) =, x xs exp + A (B) gdzie wsaźni s =, Wyrażenie B opisuje funcję Fermiego Dodatowo przyjmiemy, że dla x = bariera potencjału zmierza do zera Górna część Rys poazuje omówioną powyżej barierę potencjału, a przyjęte do obliczeń wartości parametrów znajdują się w Tablicy Będziemy rozpatrywać tylo potencjały U Potencjał zdefiniowany powyżej spełnia ten warune W tej sytuacji funcje falowe przyjmą następującą postać: x < x a exp ' ( ') n > = < an > i dx q x = (B) Iloczyny zostały zastąpione całami, gdyż liczby falowe stały się funcjami położenia ze względu na zmieniający się z położeniem potencjał oddziaływania Liczby falowe opisane są obecnie następującym wyrażeniem: [ E m c U ( x' )] ( E m c ) + q ( x' ) = hc (B4) Oczywiście wielości E = mc reprezentują energie spoczynowe stanów własnych poszczególnych mas spoczynowych w obszarze wolnym od potencjału Wsaźni =,, numeruje stany własne widma mas spoczynowych w obszarze pozbawionym potencjału Analogicznie można zdefiniować wielość E = E + E + E ) Energia E reprezentuje ( całowitą energię cząsti dla x = Wartości różnych energii użytych w obliczeniach znajdują się w Tablicy W obszarze pozbawionym potencjału energie inetyczne poszczególnych stanów własnych olejnych mas spoczynowych wyrażą się jao ε = E W ten sam sposób można zdefiniować wielość ε = E E W środu E 6

17 bariery potencjału energie inetyczne zostaną zmniejszone niemal do wartości ε U oraz ε U pod waruniem, że x x >> A Poszczególne energie inetyczne otrzymane dla założonych wartości parametrów są zebrane w Tablicy Tablica Wartości parametrów użyte do obliczeń x x A E E E E E U [mm] [mm] [mm] [mev] [mev] [mev] [mev] [mev] [mev] 5,,5,,9,7,8667,8 Tablica Wartości różnych energii inetycznych dla wartości parametrów podanych w Tablicy ε ε ε ε [mev] [mev] [mev] [mev],5,6,8,6 ε U ε U ε U ε U [mev] [mev] [mev] [mev] -, -, -, -,668 W naszym przyładzie wszystie energie inetyczne są ujemne wewnątrz bariery (w pobliżu jej środa) Sytuacja ta jest poazana na górnej części Rys Niemniej stan o najmniejszej masie spoczynowej ma tę energię niemal równą masymalnej wartości potencjału (zobacz władę w górnej części Rys ) Dlatego tylo ten stan może przejść ze znaczącym prawdopodobieństwem przez barierę jaą jest bariera użyta w obecnych obliczeniach Pozostałe stany, a taże część stanu o najmniejszej masie spoczynowej, ulegną odbiciu od bariery Powyższy formalizm jest poprawny jeżeli energie inetyczne wszystich stanów własnych masy spoczynowej są mniejsze od potencjału w środu bariery Gęstości prawdopodobieństw cząste odbitych od bariery nie są poazane na Rys W tej sytuacji, ja widać z dolnej części Rys, prawdopodobieństwa zarejestrowania cząsti w różnych stanach a n > wyrażone jao Pn =< x an >< an x >, gdzie n =,, i po przejściu cząsti przez barierę są wszystie sobie równe Nie zależą one taże od położenia po przejściu cząsti przez barierę Wyni ten jest onsewencją fatu, że bariera przepuszcza częściowo tylo stan o najmniejszej masie spoczynowej Przyład podany powyżej jest niestety nieco aademici gdyż jedyne znane trwałe cząsti, tóre mogą ewentualnie występować w mieszanych stanach mas spoczynowych to są prawdopodobnie tylo neutrina Ja to już podreślono poprzednio nie umiemy wyrywać neutrin o bardzo nisich całowitych energiach, a ponadto neutrina (o nisich energiach) podlegają jedynie oddziaływaniom słabym i grawitacyjnym Oddziaływania słabe są bardzo róto zasięgowe, a więc trudno mówić o marosopowych barierach potencjału, natomiast oddziaływania grawitacyjne (aczolwie długo zasięgowe) są jeszcze słabsze dla cząste o małych energiach całowitych i jedynie przyciągające Ta więc nie będzie łatwo utworzyć opisaną powyżej barierę o charaterze marosopowym 7

18 Rys Bariera potencjału i prawdopodobieństwa znalezienia cząsti w poszczególnych stanach an > w funcji położenia x Impliacje osmologiczne Jeżeli rozważymy trwałe cząsti elementarne mogące występować jao cząsti swobodne, to możemy je podzielić na taie, tóre nie posiadają masy spoczynowej (a), cząsti będące w stanie własnym oreślonej dodatniej masy spoczynowej (b) i wreszcie opisane powyżej cząsti scharateryzowane widmem oreślonych dodatnich mas spoczynowych (c) Te ostatnie cząsti nie występują w oreślonym stanie masy spoczynowej, ale są ombinacją 8

19 liniową stanów o oreślonych dodatnich masach spoczynowych o ile oczywiście rzeczywiście istnieją w taim stanie Przyładem cząsti typu a jest foton, cząsti typu b eletron, a neutrino być może ma cechy cząsti c Obecnie nie ma dowodów na nietrwałość protonu, ale jest wysoce prawdopodobne, że rozpada się on z bardzo długim czasem życia W taiej sytuacji nie byłoby trwałych jąder atomowych Oczywiście swobodny neutron rozpada się stosunowo szybo Ze względu na fat, że materia jest eletrycznie obojętna, a rozpad protonu powinien prowadzić do powstania pozytonu, powstające pozytony zostałyby w ońcu zniszczone razem z eletronami w procesach anihilacji produując fotony Ta więc cząsti typu b mają szansę zninąć jeżeli Wszechświat pozostanie w stanie espansji lub w stanie asymptotycznym osiągniętym po obecnej fazie espansji Można zadać sobie pytanie: co się dzieje z różnymi typami izolowanych cząste w wyniu espansji Wszechświata? Cząsti typu b znajdą się ostatecznie w spoczynu o ile przeżyją Cząsti typu a zawsze muszą się poruszać z prędością światła w próżni aby istnieć, ale nie posiadają energii spoczynowej Dlatego w ońcu dojdą do stanu o zerowej energii całowitej i rozpuszczą się w nirwanie Natomiast cząsti typu c (o ile są trwałe) mogą dojść w dół do energii spoczynowej stanu o najwięszej masie spoczynowej Energia ta będzie podzielona pomiędzy energię spoczynową E i pozostałą energię w formie energii inetycznej Być może, że jedna cząsti typu c są taże nietrwałe, ale mają bardzo długi czas życia Ponadto nie wiemy, czy asymetria materia-antymateria dotyczy cząste typu c Jeżeli nie, to mają one szansę zninąć całowicie w procesach anihilacji, aczolwie przeroje czynne na tai proces dla cząste istotnie obojętnych eletrycznie jaimi są neutrina są niezwyle małe Oczywiście jest onieczne do całowitego zninięcia materii aby ońcowymi produtami rozpadów były cząsti typu a Obecnie nic nie wiadomo jaie to mogłyby być cząsti w przypadu neutrin Jeżeli cząstami tymi byłyby fotony lub (hipotetyczne) grawitony, to proces ten musiałby łamać symetrię prowadzącą do zachowania liczby fermionowej Jedyną siłą podejrzaną o łamanie tej symetrii może być grawitacja Nie jest jedna wyluczone, że cała energia zawarta we Wszechświecie zostanie w ońcu zużyta na wytworzenie pustej przestrzeni eulidesowej Ja obliczyć prawdopodobieństwa dla cząste odbitych od wyżej opisanej bariery? Funcje falowe dla cząste w oreślonym stanie masy spoczynowej i odbitych od bariery potencjału czyli propagujących w ujemnym ierunu osi x mają następujące własności: ψ dla x > x ( ) b, x ( ) ( ) ψ C = exp dx' [ U ( x' ) ε ][ E + E ] dla x a x xb oraz hc ( ) x b x ( ) i ( ) ψ ( ) ( ) x = ψ xa exp dx' [ ε U ( x' )][ E + E ] dla x < xa c ( ) h x a (B5) ( ) ( ) Punty graniczne spełniają równanie U ( xa ) = U ( xb ) = ε Odpowiednie funcje falowe obserwowalnych stanów dostaniemy jao: 9

20 < x an > B = < an > ψ = (B6) Natomiast odpowiadające tym funcjom falowym prawdopodobieństwa możemy obliczyć z relacji R n =< x an > B < an x > B Natomiast stałą normalizacji C > możemy wyznaczyć z następującego warunu, gdyż rozważamy tutaj potencjał zachowawczy: lim x + Pn + lim x Rn = n= n= (B7) Prawdopodobieństwa te dla naszego przyładu są poazane na Rys Prawdopodobieństwa te mają sens taże dla ujemnych wartości argumentu x, gdyż cząsti odbite mogą propagować dowolnie daleo poza swoje źródło Rys Prawdopodobieństwa znalezienia cząsti odbitej od bariery potencjału w poszczególnych stanach > w funcji położenia x Krzysztof Ruebenbauer Kraów, listopada 4 r a n