1 z :41
|
|
- Wacław Dąbrowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algorytm rozwiązujący problem optymalnej alokacji zasobów dr hab. Leszek S. Zaremba Profesor w POU, kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU Cezary S. Zaremba Absolwent studiów licencjackich w POU oraz magisterskich w University College London Wprowadzenie W kierowaniu firmą zarząd często staje przed problemem rozdysponowania (alokacji) zasobów firmy (pieniędzy, czasu, powierzchni magazynowej, ładowności samochodów transportowych itp.). Z zagadnieniami tego typu stykają się teŝ indywidualni decydenci, na przykład studenci planujący przygotowanie się do sesji egzaminacyjnej, kiedy to podstawowym zasobem, jakim dysponują, jest czas. Rozdział 1. Optymalna alokacja kapitału finansowego W tym rozdziale zaprezentujemy przykłady zastosowań badań operacyjnych w podejmowaniu decyzji w przedsiębiorstwie. Rozpocznijmy od zdefiniowania klasycznego (standardowego) zagadnienia optymalnej alokacji zasobów, tak jak w przykładzie 5 z [1, s. 960]. Przykład 1. [por.1, s. 960] Pan Finco ma 6000 dolarów do zainwestowania w 3 y, przy czym kwoty d 1, d 2, d 3, jakie chce zainwestować w te y, są wielokrotnością 1000 dolarów. Wszystkie te y będą przynosić zyski lub straty przez tę samą liczbę lat. W tabeli 1 zostały podane wartości NPV (zwane dalej przychodami) dla kaŝdego z tych 3 ów zgodnie ze wzorami: (1) r 1 (d 1 ) = 7d 1 + 2, r 2 (d 2 ) = 3d 1 + 7, r 3 (d 3 ) = 4d Tabela 1 przy czym funkcja r 1 (d) określa przychody z u 1, r 2 (d) z u 2, a r 3 (d) z u 3. Zgodnie z treścią zadania musi być jeszcze spełniona równość: (2) d 1 + d 2 + d 3 = 6. Zagadnienie, które chce rozwiązać pan Finco, polega więc na maksymalizacji sumy przychodów, co zapisujemy w postaci: (3) max{r 1 (d 1 ) + r 2 (d 2 ) + r 3 (d 3 )} przy zachowaniu warunku (2). Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego zadania opisanego w przykładzie 2, który podobnie jak przykład 3, rozwiąŝemy za pomocą programu obliczeniowego pod nazwą Problem 1, specjalnie napisanego na potrzeby tego artykułu. Przykład 2. Pan Finco ma 7000 dolarów do zainwestowania. Postanowił skoncentrować się na maksimum 4 ach spośród 5 dostępnych do realizacji, przy czym ustalił, Ŝe kwota, jaką zainwestuje w którykolwiek z 5 ów będzie wielokrotnością 1000 dolarów. Wszystkie y będą przynosić zyski lub straty przez tę samą liczbę lat. Tabela 2 podaje wartości NPV (zwane dalej przychodami) dla kaŝdego z tych 5 ów w zaleŝności od zainwestowanej w nie kwoty. Zagadnienie, które chce rozwiązać pan Finco, polega na maksymalizacji sumy przychodów ze zrealizowanych ów (minimum 1, maksimum 4 y), na które łącznie moŝe wydać nie więcej niŝ 7000 dolarów. Wielkości, które występują w tabeli, zostały wybrane przypadkowo, ale metoda rozwiązania zaprezentowana w tym artykule moŝe być z powodzeniem zastosowana do innych danych z :41
2 Tabela 2. Koszty oraz przychody z 5 ów Jak wynika z tabeli 2, jeŝeli pan Finco zainwestuje 4000 dolarów w 1, to wartość dodana z tego u reprezentowana przez NPV i zwana przez nas przychodem, wyniesie 5000 dolarów. Tak więc do rozlokowania w pozostałe y zostanie 3000 dolarów. Gdyby te 4000 dolarów pan Finco zainwestował w 3, to przychód wyniósłby dolarów, a do alokacji w inne y równieŝ pozostałoby 3000 dolarów, np w 4 i 2000 w 2, co łącznie dałoby mu dolarów. Z kolei przeznaczając cały budŝet tylko na jeden, pan Finco moŝe uzyskać maksymalnie dolarów. Rozumując w ten sposób, nie pomylimy się i znajdziemy optymalne rozwiązanie problemu decyzyjnego. Gdy jednak liczba wierszy (ów), podobnie jak liczba kolumn, rośnie, metoda ta staje się coraz bardziej zawodna i trzeba ją zastąpić. W tym celu opracowaliśmy program obliczeniowy Problem 1, napisany w języku Java, który będzie wyświetlać tabelę danych wyjściowych, najlepsze rozwiązanie, drugie najlepsze rozwiązanie oraz kilka dodatkowych informacji. Poszukiwania optymalnej alokacji kapitału podzielimy na 4 fazy. W pierwszej fazie obliczeń inwestujemy całą kwotę 7000 dolarów w jeden ; proszę się teraz zastanowić, którą liczbę z tabeli 2 naleŝy zmienić (moŝna to zrobić na kilka sposobów), aby zainwestowanie całej kwoty 7000 dolarów w jeden rzeczywiście przyniosło największy przychód ze wszystkich moŝliwych sposobów alokacji w 1, 2, 3 lub 4 y. W pierwszej fazie program wybierze zatem największą liczbę z ostatniej kolumny. W naszym przykładzie będzie to liczba 24, odpowiadająca owi 1, co oznacza, Ŝe przychód z u 1 wyniesie dolarów. Oznaczymy tę liczbę jako Max1, a drugą największą jako Max2. Przypomnijmy teraz wzór z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa, który mówi, Ŝe wszystkich podzbiorów k-elementowych w zbiorze n-elementowym jest: (4) gdzie n! (czytaj: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. W drugiej fazie obliczeń rozwaŝamy inwestycję w dowolne 2 y spośród wszystkich (5 w tym przypadku), alokując najpierw 1000 dolarów w jeden oraz 6000 dolarów w drugi, dzięki czemu łączna suma nakładów inwestycyjnych wyniesie 7000 dolarów. Taki wybór dwóch kolumn oznaczymy krótko jako 1-6. Kolejnym wyborem w tej fazie będzie 2-5, następnie 3-4, co jak zobaczymy później, wyczerpuje wszystkie moŝliwości. Program wybiera więc po jednej liczbie z kolumny pierwszej i szóstej, które nie znajdują się w tym samym wierszu, czyli reprezentują róŝne y. Wszystkich sposobów wybrania tych 2 liczb będzie jak wiemy ze wzoru: (4). Jeśli na przykład wybierzemy przychód 13 z kolumny 1 oraz przychód 14 z kolumny 6 i dodamy je do siebie, to otrzymując łącznie dolarów, aktualizujemy wartość Max1 oraz Max2. Postępujemy tak przy kaŝdej nowej sumie, a więc na tym etapie 10 razy. Następnie program przechodzi do kolejnego etapu, na którym dokonuje wyboru 2-5, czyli wybiera kolumnę 2 i kolumnę 5. I tym razem wybierze 10 róŝnych par liczb z tych dwóch kolumn, zsumuje te pary i za kaŝdym razem uaktualni wartości liczb Max1 i Max2. Na kolejnym etapie tej samej fazy program obliczeniowy wybiera kolumnę 3 i 4, postępując tak samo jak poprzednio. Na tym kończy się faza druga, poniewaŝ wybór 4-3, podobnie jak wybór 5-2, nie wnosi juŝ nic nowego. Wynika to stąd, Ŝe wybieranie 10 par liczb z kolumn 3 i 4 i sumowanie ich jest tym samym co wybieranie 10 liczb z kolumn 4 i 3 i sumowanie ich. W trzeciej fazie obliczeń program wybiera 3 kolumny nakłady inwestycyjne które łącznie pochłoną 7000 dolarów. Rozpoczyna od alokacji 5-1-1, czyli wybiera 3 liczby po jednej z kolumn piątej, pierwszej i pierwszej, tak aby te liczby odpowiadały 3 róŝnym om. MoŜna to zrobić na: sposobów, za kaŝdym razem sumując te 3 liczby i uaktualniając wartość liczb Max1 i Max2. W kolejnym kroku program przechodzi do kolumn 4-2-1, wybierając na 10 sposobów 3 liczby, sumuje je i uaktualnia Max1 i Max2. Jedną z tych sum będzie 30 jako suma liczb 16 (z czwartej kolumny), 8 (z drugiej kolumny) oraz 6 (z pierwszej kolumny), z czego wynika, Ŝe Max1 30. W kolejnym kroku trzeciej fazy program przechodzi do kolumn (wybór kolumn nie 2 z :41
3 3 z :41 miałby sensu, poniewaŝ były juŝ rozpatrywane kolumny 4-2-1). Program ponownie wybiera na 10 sposobów 3 liczby z kolumny trzeciej, trzeciej oraz pierwszej, tak aby były z róŝnych wierszy, sumuje je i uaktualnia dwie największe sumy. Pozostaje jeszcze rozpatrzyć w ten sam sposób kolumny 3-2-2, gdyŝ wszystkie inne układy 3 kolumn zostały juŝ rozpatrzone. W czwartej fazie obliczeń program koncentruje się na wyborze czterech kolumn nakładów inwestycyjnych które łącznie pochłoną 7000 dolarów. Rozpoczyna od alokacji , potem zajmuje się alokacją , następnie , co wyczerpuje wszystkie moŝliwości. Rozpoczynając od alokacji 4000, 1000, 1000 i 1000 dolarów w 4 róŝne y spośród 5, wybieramy 4 liczby po jednej z kolumn czwartej, pierwszej, pierwszej i pierwszej, tak aby te liczby odpowiadały 4 róŝnym om (4 róŝnym wierszom). MoŜna to zrobić na: sposobów, za kaŝdym razem sumując te 4 liczby i uaktualniając Max1 oraz Max2. W kolejnych dwóch krokach odpowiadających alokacjom oraz program postępuje analogicznie, kończąc obliczenia. Wyniki końcowe i cząstkowe przeprowadzonych obliczeń uzyskane w Problemie 1 są do obejrzenia w dwóch poniŝszych interfejsach. Program obliczeniowy Problem 1 został napisany przy załoŝeniu, Ŝe kwoty inwestowane w y wzrastają o 1000 dolarów (w omawianym przypadku od 1000 do 7000). Prosty zabieg dopisania kilku kolumn pozwala jednak sprowadzić kaŝdy inny przykład do takiego sformułowania, które daje się rozwiązać za pomocą tego algorytmu. Zilustrujmy to poniŝej. Przykład 3. Treść zagadnienia jest taka sama jak w przykładzie 2, inne są jednak przychody z 5 ów. Pokazuje je tabela Tabela 3 Aby zastosować program obliczeniowy Problem 1, zastąpmy tabelę 3 poniŝszą
4 Tabela 4 W pierwszej fazie obliczeń inwestujemy całą kwotę dolarów w jeden. Z obliczeń wynika, Ŝe najlepiej zainwestować je w 3 (przychód dolarów) i to jest aktualna wartość Max1. W drugiej fazie obliczeń rozwaŝamy inwestycję w dowolne 2 y. Po wykonaniu obliczeń okazuje się, Ŝe najlepiej zainwestować dolarów w 2 (przychód dolarów) oraz 1000 dolarów w 3 (przychód dolarów), co daje łącznie dolarów. Uaktualniona wartość Max1 to dolarów. W trzeciej fazie obliczeń program wybiera 3 kolumny. Z obliczeń wynika, Ŝe najlepiej zainwestować 9000 dolarów w 1 (przychód dolarów), 1000 dolarów w 2 (przychód 7000 dolarów) oraz 1000 dolarów w 3 (przychód dolarów). Uaktualniona wartość Max1 wynosi więc dolarów. Jest to drugi najlepszy wynik. W czwartej, ostatniej, fazie obliczeń program wybiera 4 kolumny. Po przeprowadzeniu obliczeń dowiadujemy się, Ŝe najlepiej zainwestować 8000 dolarów w 1 (przychód 5000 dolarów), 1000 w 2 (przychód 7000 dolarów), 1000 w 3 (przychód dolarów) oraz 1000 w 4 (przychód 6000 dolarów), co daje końcową wartość Max1 = dolarów. Jest to najlepszy wynik (najwyŝszy przychód) z alokacji posiadanego kapitału dolarów, jaki wskazał program obliczeniowy Problem 1. Rozdział 2. Uogólnione zagadnienie alokacji zasobów Zdefiniujemy teraz (por. [1, s. 964]) uogólnione zagadnienie alokacji zasobów. MoŜna je przedstawić za pomocą wzoru: Redukuje się ono do standardowego zagadnienia alokacji, jeśli wszystkie funkcje g t (d), 1 T są dane wzorami g t (d) = d. Gdy ponadto T = 3, r t (d) dane są wzorami (1), zaś w = 6, otrzymujemy przykład 5 z [1, s. 960]. Zagadnienie (5)-(6) jest na tyle ogólne, Ŝe prezentuje wiele zagadnień decyzyjnych. Opiszemy teraz 6 z nich (przykłady 5-10), z których 4 pochodzą z [1, s. 964]. Przykład 4. ( plecakowy problem knapsack problem). Turysta wybiera się na wycieczkę w góry. Zastanawia się, co włoŝyć do plecaka. Bierze pod uwagę pidŝamy, ręczniki, szczoteczkę do zębów, kanapki z wędliną, kanapki z serem, koszule, itp. Wszystkich rodzajów przedmiotów jest T. KaŜdy ręcznik, 2 ręczniki, kanapka z serem, 3 kanapki z serem itp. generuje pewną uŝyteczność (benifit), a jednocześnie waŝy pewną ilość kilogramów. Turysta uznał, Ŝe maksymalna waga plecaka moŝe wynosić w = 40 kg. Jest to szczególny przypadek uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów (zasobem jest pojemność plecaka przeliczana na kilogramy), jeśli g t (d) będzie oznaczać wagę przedmiotu t wziętego do plecaka w liczbie d sztuk, a r t (d) określa uŝyteczność wzięcia do plecaka d sztuk przedmiotu rodzaju t. Przykład 5. (przeprowadzka z Białegostoku do Warszawy). Kowalscy przeprowadzają się z Białegostoku do Warszawy. Wynajęcie duŝej cięŝarówki, którą przewieźliby wszystkie meble za jednym razem, jest kosztowne, dlatego przyjęli ofertę kuzyna, który dysponuje nieduŝym 4 z :41
5 5 z :41 samochodem transportowym i moŝe przewieźć ładunek w dwóch turach (dziś i za 3 tygodnie) jedynie po kosztach paliwa. Doradź im, które meble i urządzenia kuchenne mają zabrać w pierwszej turze, aby wystarczyły im przez 3 tygodnie, a jednocześnie zmieściły się na cięŝarówce kuzyna. Oznacza to, Ŝe suma objętości przedmiotów, które wezmą w pierwszej turze, nie moŝe przekroczyć pojemności samochodu, czyli 30 m 3. KaŜdemu meblowi i urządzeniu (zostały one ponumerowane od 1 do n), jak równieŝ grupie mebli i urządzeń tego samego rodzaju Kowalscy przyporządkowali określoną uŝyteczność, którą oznaczymy jako r i (d i ), gdzie d i oznacza liczbę mebli czy urządzeń typu i, 1 i n. Będzie to zatem zagadnienie (5)-(6), gdzie g i (d i ) oznacza objętość d i urządzeń typu i. Przykład 6. (optymalne zaplanowanie przygotowania do sesji egzaminacyjnej). Student ma do zdania egzaminy z T przedmiotów. Wie, jak wyniki egzaminów będą zaleŝeć od liczby godzin, które przeznaczy na naukę. Niestety, czas, jaki mu pozostał, nie wystarczy, aby uzyskać maksymalnie wysokie oceny ze wszystkich przedmiotów. Niech r t (d) oznacza stopień (liczony w punktach od 0 do 100), jaki uzyska student, gdy przeznaczy d godzin na przygotowywanie do egzaminu z tego przedmiotu. Jeśli g t (d) = d, a w jest liczbą godzin, jaką dysponuje student (jest to jego zasób), to nierówność (6), czyli w tym przypadku: (7) będzie oznaczać, Ŝe na przygotowywanie do wszystkich egzaminów student ma najwyŝej w godzin. Warunek (5) oznacza natomiast, Ŝe chodzi o maksymalizację sumy ocen ze wszystkich egzaminów, czyli o maksymalizację liczby (8) reprezentującą średnią ocenę ze wszystkich egzaminów. Przykład 7. Sprzedawców produktu D, którzy są zasobem firmy ABC, naleŝy przydzielić (alokacja) do T regionów. Znamy zarówno koszty g t (x t ) wysłania x t sprzedawców do regionu t, jak i wielkość sprzedaŝy r t (x t ), jaką tam uzyskają. Chodzi więc o maksymalizację przychodów ze sprzedaŝy przy zachowaniu ograniczenia gdzie w jest budŝetem firmy ABC na dany rok. Przykład 8. Władzom powiatu podlega T jednostek straŝy poŝarnej działających w regionach t, gdzie 1 t T. NaleŜy ustalić, ile wozów straŝackich (oznaczmy tę liczbę jako x t ) powinna posiadać jednostka w regionie t, aby w całym powiecie maksymalizować liczbę poŝarów w ciągu tygodnia, do których wóz straŝacki wyrusza w czasie krótszym niŝ 1 minuta od podniesienia alarmu, jeŝeli wiemy, Ŝe ta liczba w rejonie t wynosi r t (x t ). Władze powiatu muszą uwzględnić fakt, Ŝe tygodniowy koszt utrzymania x t wozów straŝackich w rejonie t wynosi g t (x t ). Chodzi więc o maksymalizację przy zachowaniu ograniczenia gdzie w jest budŝetem. Ponownie zatem mamy do czynienia z zagadnieniem typu (5)-(6). Przykład 9. Pan Michał chce dobrze zainwestować środki w wysokości dolarów. RozwaŜa kilka moŝliwości inwestycyjnych. Doradź mu, jakie pakiety akcji poszczególnych spółek giełdowych powinien kupić (pakiet = 100 akcji), aby w optymalny sposób dokonać alokacji kapitału.
6 Koszt nabycia 100 akcji Oczekiwany zysk Spółka A 3000 dolarów 500 dolarów Spółka B 4000 dolarów 700 dolarów Spółka C 5000 dolarów 800 dolarów Tabela 5. MoŜliwości inwestycyjne oraz oczekiwany zysk Chodzi o taki wybór liczby pakietów (d 1 pakietów akcji spółki A, d 2 pakietów akcji spółki B oraz d 3 pakietów akcji spółki C), aby maksymalizować oczekiwane zyski z kupna akcji spółek A, B, C. Tabela 5 podaje zyski z zakupu jednego pakietu akcji. Widzimy, Ŝe dla spółki A oczekiwany zysk z zakupu jednego pakietu akcji wynosi r 1 (1) = 500, dla spółki B równy jest r 2 (1) = 700, a w przypadku spółki C r 3 (1) = 800. PoniewaŜ zyski są proporcjonalne do liczby zakupionych pakietów akcji, zachodzą równości: (9) r 1 (d) = d r 1 (1), r 2 (d) = d r 2 (1), r 3 (d) = d r 3 (1), gdzie d oznacza liczbę pakietów akcji. Pojawia się zatem następujący problem optymalizacyjny: (10) max{r 1 (d 1 ) + r 2 (d 2 ) + r 3 (d 3 )}, gdy spełnione są ograniczenia budŝetowe (11) g 1 (d 1 ) + g 2 (d 2 ) + g 3 (d 3 ) Oznacza to, Ŝe koszty nabycia d 1 pakietów akcji spółki A, d 2 pakietów akcji spółki B oraz d 3 pakietów akcji spółki C nie mogą przewyŝszać kwoty dolarów. W tym przykładzie koszty g 1 (d), g 2 (d), g 3 (d) spełniają warunek (9), to znaczy są proporcjonalne do liczby zakupionych pakietów akcji, dzięki czemu (10)-(11) moŝemy zapisać w postaci: (12) max{500d d d 3 }, gdy (13) 3000d d d Rozwiązanie W tym prostym przykładzie odpowiedź moŝna zgadnąć. Widać, Ŝe zmaksymalizujemy oczekiwany zysk, gdy d 1 = 2, d 2 = 1, a d 3 = 0, uzyskując dolarów = Zachęcamy państwa do samodzielnego wymyślenia podobnych przykładów. Literatura 1. Guzik B., Ekonometria i badania operacyjne, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, Ignasiak E., Badania operacyjne, PWE, Warszawa, Winston W., Operations Research: Applications and Algorithms, PWS-Kent Publishing Company, z :41
Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów
Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów dr hab. Leszek S. Zaremba Profesor w POU, kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU Cezary S. Zaremba Absolwent studiów licencjackich
Bardziej szczegółowoKontrakty zakupowe. PC-Market
Kontrakty zakupowe PC-Market 7.2.110.0 2009 Insoft sp. z o.o. 31-227 Kraków ul. Jasna 3a tel. (012) 415-23-72 wew. 11 e-mail: market@insoft.com.pl http://www.insoft.com.pl PC-Market 7 kontrakty. 1. Czym
Bardziej szczegółowoArtykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:
InŜynieria finansowa Prof. Leszek S. Zaremba Autor jest wykładowcą w POU WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University wprowadza do programu nauczania wykład poświęcony inŝynierii finansowej, przeznaczony
Bardziej szczegółowoModelowanie przy uŝyciu arkusza kalkulacyjnego
Wydział Odlewnictwa Wirtualizacja technologii odlewniczych Modelowanie przy uŝyciu Projektowanie informatycznych systemów zarządzania 2Modelowanie przy uŝyciu Modelowania przy uŝyciu Wprowadzenie Zasady
Bardziej szczegółowoZastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów
Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów dr hab. Leszek S. Zaremba 1. Postawienie problemu RozwaŜmy zagadnienie decyzyjne, jakie pojawia się w przypadku importerów pewnego
Bardziej szczegółowoOPRACOWANIE MONIKA KASIELSKA
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DIAGNOZA UMIEJĘTNOŚCI ZGODNYCH ZE STANDARDAMI WYMAGAŃ MATURALNYCH PRZEDMIOT : Matematyka KLASA: III TEMAT: Rozwiązywanie problemów poprzez stosowanie algorytmów. STANDARDY WYMAGAŃ
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR 1 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342
TECHNIKI ANALITYCZNE W BIZNESIE SPRAWDZIAN NR 1 Autor pracy ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 Kraków, 22 Grudnia 2009 2 Spis treści 1 Zadanie 1... 3 1.1 Szereg rozdzielczy wag kobiałek.... 4 1.2 Histogram
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoRachunkowość. Decyzje zarządcze 1/58
Rachunkowość zarządcza Decyzje zarządcze 1/58 Decyzje zarządcze Spis treści Rodzaje decyzji zarządczych Decyzje podjąć / odrzucić działanie Ogólny opis Koszty relewantne opis i przykłady Przykłady decyzji
Bardziej szczegółowoPolsko-Niemiecka Współpraca MłodzieŜy Podręcznik uŝytkownika Oprogramowania do opracowywania wniosków PNWM
Strona 1 / 10 1.1 Wniosek zbiorczy Moduł Wniosek zbiorczy pomoŝe Państwu zestawić pojedyncze wnioski, by je złoŝyć w PNWM celem otrzymania wstępnej decyzji finansowej wzgl. później do rozliczenia. Proszę
Bardziej szczegółowoLista zadań. Babilońska wiedza matematyczna
Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze
Bardziej szczegółowoJak rozgrywać turnieje tenisowe?
Jak rozgrywać turnieje tenisowe? Kamila Agnieszka Baten Kamila Agnieszka Baten Strona 1 008-10-16 ISTOTA PROBLEMU Będziemy zajmować się problemem, który został sformułowany w 199 roku przez prof. Hugona
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 1.nb 1. Wykład 1
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Wykład. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Z ksiąŝki Practical Optimization Methods: With Mathematica Applications by: M.A.Bhatti, M.Asghar Bhatti ü Przykład. (Zagadnienie
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy zachłanne
Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,
Bardziej szczegółowoAutostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień. Tom I: Optymalizacja. Nie panikuj!
Autostopem przez galaiktykę: Intuicyjne omówienie zagadnień Tom I: Optymalizacja Nie panikuj! Autorzy: Iwo Błądek Konrad Miazga Oświadczamy, że w trakcie produkcji tego tutoriala nie zginęły żadne zwierzęta,
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoWyznaczanie symulacyjne granicy minimalnej w portfelu Markowitza
Wyznaczanie symulacyjne granicy minimalnej w portfelu Markowitza Łukasz Kanar UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WARSZAWA 2008 1. Portfel Markowitza Dany jest pewien portfel n 1 spółek giełdowych.
Bardziej szczegółowoCiekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3
1/9 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 Zadanie 1 Zapisz pięć liczb całkowitych co najmniej trzycyfrowych oraz liczby do nich przeciwne. Następnie uszereguj
Bardziej szczegółowoOmówienie procesu zakupowego w sklepie internetowym Papyrus Sp. z o. o. Spis treści
Omówienie procesu zakupowego w sklepie internetowym Papyrus Sp. z o. o. Spis treści 1. PRZEBIEG PROCESU ZAKUPÓW... 2 2. KOSZYK ZAKUPOWY... 2 2.1 DODAWANIE POZYCJI DO KOSZYKA POPRZEZ WYNIKI WYSZUKIWANIA...
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoRACHUNKOWOŚĆ ZARZĄDCZA
RACHUNKOWOŚĆ ZARZĄDCZA wykład VII dr Marek Masztalerz Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 2011 PRÓG RENTOWNOŚCI PRODUKCJA JEDNOASORTYMENTOWA przychody Sx PRw margines bezpieczeństwa margines bezpieczeństwa
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoPROJEKT OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
Poznań, dnia 1 sierpnia 2012 r. Dr Eliza Buszkowska Adiunkt w Katedrze Nauk Ekonomicznych PROJEKT OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) dla przedmiotu Zarządzanie Techniki Organizatorskie i Decyzyjne na kierunku
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoKonspekt do lekcji matematyki dn w klasie IIIa Gimnazjum nr 7 w Rzeszowie.
Monika Łokaj III Matematyka (licencjat) Konspekt do lekcji matematyki dn. 6.01.2006 w klasie IIIa Gimnazjum nr 7 w Rzeszowie. Nauczyciel: Prowadzący: Monika Łokaj Temat lekcji: Rozwiązywanie zadań tekstowych
Bardziej szczegółowoSystemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH
Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Rozgrywki sportowe moŝna organizować na kilka róŝnych sposobów, w zaleŝności od liczby zgłoszonych druŝyn, czasu, liczby boisk
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza
ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ Joanna Bryndza Wprowadzenie Jednym z kluczowych problemów w szacowaniu poziomu ryzyka przedsięwzięcia informatycznego
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowoMODUŁ INTERNETOWY dane statystyczne PUP
MODUŁ INTERNETOWY dane statystyczne PUP Chcąc ułatwić publikację danych statystycznych na stronach WWW Urzędów Pracy prezentujemy Państwu moduł internetowej obsługi w/w danych. Moduł ten realizuje następujące
Bardziej szczegółowoWojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2008/2009 TEST
TEST. Test składa się z 35 zadań. Na jego rozwiązanie masz 90 minut. W kaŝdym zadaniu wybierz jedną, najlepszą według Ciebie odpowiedź i zaznacz na karcie odpowiedzi znakiem x. Do dyspozycji masz wszystkie
Bardziej szczegółowoProgram automatycznej obsługi sklepu i supermarketu
Program automatycznej obsługi sklepu i supermarketu wersja 7 dla Windows Dodatek do instrukcji uŝytkownika Wirtualny kolektor Redakcja 7.2.102.0 2002-2007 Insoft sp. z o.o. 31-227 Kraków ul. Jasna 3a tel.
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoO pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 Programowanie dynamiczne
Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne [źródło: Wprowadzenie do algorytmów, T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L.Rivest, Wyd. Naukowo-Techniczne Warszawa, 2001; ZłoŜoność obliczeniowa problemów kombinatorycznych,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change
Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych
Bardziej szczegółowoRunda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów.
1. Gry dotyczące systemu dziesiętnego Pomoce: kostka dziesięciościenna i/albo karty z cyframi. KaŜdy rywalizuje z kaŝdym. KaŜdy gracz rysuje planszę: Prowadzący rzuca dziesięciościenną kostką albo losuje
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.
Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin
Bardziej szczegółowoZasady jednakowe dla wszystkich. Wirtualna gotówka na start dla kaŝdego. Nagrody tylko dla Ciebie.
Czy chciałbyś handlować na giełdzie papierami wartościowymi? Poczuć emocje, które inwestorzy odciskają na wykresach, odzwierciedlających ich podejście do inwestowania? Skonfrontować doniesienia o ogromnych
Bardziej szczegółowoCo to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,
wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoCo to jest Pakiet Rodzinny Lwa?
Pakiet Rodzinny Lwa Co to jest Pakiet Rodzinny Lwa? To 4 Pakiety INDYWIDUALNY MAŁśEŃSKI RODZINNY A RODZINNY B występujące w 3 Wariantach (róŝne sumy ubezpieczenia) = 12 propozycji umowy dodatkowej Pakiet
Bardziej szczegółowoPROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE
D: PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE I. Strategia zachłanna II. Problem przetasowań w genomie III. Sortowanie przez odwrócenia IV. Algorytmy przybliżone V. Algorytm zachłanny
Bardziej szczegółowoPROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE
PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE OPTYMALNA STRUKTURA PRODUKCJI Na podstawie: J. Wermut, Rachunkowość zarządcza, ODDK, Gdańsk 2013 1 DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE Decyzje krótkookresowe to takie, które dotyczą
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 5. Temat: Funkcje agregujące, klauzule GROUP BY, HAVING
Laboratorium nr 5 Temat: Funkcje agregujące, klauzule GROUP BY, HAVING Celem ćwiczenia jest zaprezentowanie zagadnień dotyczących stosowania w zapytaniach języka SQL predefiniowanych funkcji agregujących.
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoJózef Myrczek, Justyna Partyka Bank Spółdzielczy w Katowicach, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej
Józef Myrczek, Justyna Partyka Bank Spółdzielczy w Katowicach, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej Analiza wraŝliwości Banków Spółdzielczych na dokapitalizowanie w kontekście wzrostu akcji
Bardziej szczegółowoAlgorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach
Adam Stawowy Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Summary: We present a meta-heuristic to combine Monte Carlo simulation with genetic algorithm for Capital
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S.
Załóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S. Plecak ma być zapakowany optymalnie, tzn. bierzemy tylko te przedmioty,
Bardziej szczegółowoZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM
ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoPrzepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału.
Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału Wiktor Miszuris 2 czerwca 2004 Przepustowość kanału Zacznijmy od wprowadzenia równości IA, B HB HB A HA HA B Można ją intuicyjnie
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi zamówień
Instrukcja obsługi zamówień Spis treści:. Proces realizacji zamówienia tworzonego bezpośrednio w str.. Proces realizacji zamówienia stworzonego w programie aptecznym i wysłanego Internetem do. str. 8.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowozmiany w aplikacji abcpanel MoŜliwość wysyłania informacji podatkowych SMS-em.
Lista wprowadzonych zmian: zmiany w aplikacji abcpanel MoŜliwość wysyłania informacji podatkowych SMS-em. Jeśli będziecie Państwo mieli jakiekolwiek problemy czy to z rejestracją czy z konfiguracją abcpanel-a,
Bardziej szczegółowoMatura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP
Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR 2 ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342
TECHNIKI ANALITYCZNE W BIZNESIE SPRAWDZIAN NR 2 Autor pracy ROBERT KOPERCZAK, ID studenta : k4342 Kraków, 22 Grudnia 2009 2 Spis treści 1 Zadanie 1... 3 1.1 Uszkodzi się tylko pierwsza maszyna.... 3 1.2
Bardziej szczegółowoPROJEKT CZĘŚCIOWO FINANSOWANY PRZEZ UNIĘ EUROPEJSKĄ. Opis działania raportów w ClearQuest
PROJEKT CZĘŚCIOWO FINANSOWANY PRZEZ UNIĘ EUROPEJSKĄ Opis działania raportów w ClearQuest Historia zmian Data Wersja Opis Autor 2008.08.26 1.0 Utworzenie dokumentu. Wersja bazowa dokumentu. 2009.12.11 1.1
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowowybierz właściwą odpowiedź i zamaluj kratkę z odpowiednimi literami, np. gdy wybierasz odpowiedź FP:
WPISUJE UCZEŃ KOD UCZNIA PESEL PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z OPERONEM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 7 stron (zadania 1. 2.).
Bardziej szczegółowoSystemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1
Systemy liczenia. System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, Ŝe wartość liczby zaleŝy od pozycji na której się ona znajduje np. w liczbie 333 kaŝda cyfra oznacza inną wartość bowiem: 333=
Bardziej szczegółowoObjaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej na lata 2012 2039 Gminy Miasta Radomia.
Objaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej na lata 2012 2039 Gminy Miasta Radomia. Za bazę do opracowania Wieloletniej Prognozy Finansowej na kolejne lata przyjęto projekt budŝetu
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoObjaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej na lata 2011 2039 Gminy Miasta Radomia.
Objaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej na lata 2011 2039 Gminy Miasta Radomia. Za bazę do opracowania Wieloletniej Prognozy Finansowej na kolejne lata przyjęto projekt budŝetu
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego
Bardziej szczegółowoWPISUJE UCZEŃ GRUDZIEŃ Czas pracy: 90 minut PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z OPERONEM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA
WPISUJE UCZEŃ KOD UCZNIA PESEL PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z OPERONEM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 7 stron (zadania 1..).
Bardziej szczegółowoWyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2
- 1 - MS EXCEL CZ.2 FUNKCJE Program Excel zawiera ok. 200 funkcji, będących predefiniowanymi formułami, słuŝącymi do wykonywania określonych obliczeń. KaŜda funkcja składa się z nazwy funkcji, która określa
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoPrzykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja A
Przykładowy arkusz egzaminacyjny I - poziom podstawowy - wersja A Zadanie. (3 pkt.) Rozwiąż równanie:. Zadanie 2. (3 pkt.) Zadanie 3. (3 pkt.) Obok, na wykresie kołowym, przedstawiono procentowy udział
Bardziej szczegółowoPodstawowe informacje o obsłudze pliku z uprawnieniami licencja.txt
Podstawowe informacje o obsłudze pliku z uprawnieniami licencja.txt W artykule znajdują się odpowiedzi na najczęściej zadawane pytania związane z plikiem licencja.txt : 1. Jak zapisać plik licencja.txt
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych.
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoAnaliza metod prognozowania kursów akcji
Analiza metod prognozowania kursów akcji Izabela Łabuś Wydział InŜynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek informatyka, Rok V Specjalność informatyka ekonomiczna Politechnika Częstochowska izulka184@o2.pl
Bardziej szczegółowoPodstawy ekonomii ELASTYCZNOŚCI W EKONOMII
Podstawy ekonomii ELASTYCZNOŚCI W EKONOMII Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność dochodowa popytu Opracowanie: dr Tomasz Taraszkiewicz Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie. Wyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie Wejście: posortowana, n-elementowa tablica liczbowa T oraz liczba p. Wyjście: liczba naturalna, określająca pozycję elementu p w tablicy T, bądź 1, jeŝeli element w tablicy nie występuje.
Bardziej szczegółowoPopyt rynkowy. Wyprowadzenie funkcji popytu z funkcji uŝyteczności
Popyt rynkowy Wyprowadzenie funkcji popytu z funkcji uŝyteczności Zadanie 1 (*) Jak zwykle w tego typu zadaniach darujmy sobie tworzenie sztucznych przykładów i będziemy analizować wybór między dwoma dobrami
Bardziej szczegółowoKontrola okresów prowadzenia, przerw i odpoczynków w Tachospeed
Infolab 2008 Kontrola okresów prowadzenia, przerw i odpoczynków w Tachospeed Instrukcja zgodna z programem w wersji 2.19 i wyższej Aleksander Suzdalcew, Magdalena Kanicka, Dariusz Wata 2008-01-03 2 S t
Bardziej szczegółowoRAPORT OKRESOWY KWARTALNY TAXUS FUND SPÓŁKI AKCYJNEJ Z SIEDZIBĄ W ŁODZI ZA OKRES OD DNIA R. DO DNIA R. (I KWARTAŁ 2011 R.
RAPORT OKRESOWY KWARTALNY TAXUS FUND SPÓŁKI AKCYJNEJ Z SIEDZIBĄ W ŁODZI ZA OKRES OD DNIA 01.01.2011 R. DO DNIA 31.03.2011 R. (I KWARTAŁ 2011 R.) WRAZ Z DANYMI ZA OKRES OD DNIA 01.01.2010 R. DO DNIA 31.03.2010
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoPROGRAM NAUCZANIA NA STACJONARNYCH STUDIACH I STOPNIA NA KIERUNKU: MATEMATYKA SPECJALNOŚĆ: MATEMATYKA OGÓLNA dotyczy rekrutacji 2008/2009
PROGRAM NAUCZANIA NA STACJONARNYCH STUDIACH I STOPNIA NA KIERUNKU: MATEMATYKA SPECJALNOŚĆ: MATEMATYKA OGÓLNA dotyczy rekrutacji 2008/2009 I. WYMAGANIA OGÓLNE: Studia trwają 6 semestrów. Przewidziana liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza progu rentowności
Analiza progu rentowności Aby przedsiębiorstwo mogło osiągnąć zysk, muszą być zachowane odpowiednie relacje między przychodami ze sprzedaży i kosztami, tzn. przychody powinny być wyższe od poniesionych
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoCele polityki cenowej
DECYZJE CENOWE Cele polityki cenowej Kształtowanie poziomu sprzedaŝy, Kształtowanie poziomu zysku, Kreowanie wizerunku przedsiębiorstwa, Kształtowanie pozycji konkurencyjnej, Przetrwanie na rynku. 2/30
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoInstrukcja do instalacji/aktualizacji systemu KS-FKW
Instrukcja do instalacji/aktualizacji systemu KS-FKW System KS-FKW składa się z - bazy danych, schemat KS - część dla danych wspólnych dla programów KAMSOFT - bazy danych, schemat FK (lub FKxxxx w zaleŝności
Bardziej szczegółowoŹródła danych: Wyniki pomiarów. Dane technologiczne
Przygotowanie danych dotyczących wielkości emisji do modelowania rozprzestrzenia się zanieczyszczeń w atmosferze przy uŝyciu pakietu oprogramowania Operat-2000 Przystępując do modelowania emisji naleŝy
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowo