Algorytmy i Struktury Danych.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmy i Struktury Danych."

Transkrypt

1 Algorytmy i Struktury Danych. Programowanie Dynamiczne dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 14 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 1 / 25

2 Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne jest jedna z metod rozwiazywania wieloetapowych problemów decyzyjnych. Programowanie dynamiczne to nie jest jeden algorytm, ale sposób podejścia do rozwiazywania problemu optymalizacyjnego. Twórca programowania dynamicznego jest amerykański matematyk Richard Bellman. Programowanie dynamiczne polega na podziale danego zagadnienia na podproblemy (etapy), a następnie na ich sekwencyjnym rozwiazywaniu, aż do znalezienia rozwiazania optymalnego. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 2 / 25

3 Programowanie dynamiczne Wykorzystuje, niezależnie od algorytmu, zasadę optymalności Bellmana, w myśl której optymalne rozwiazanie zagadnień z zakresu programowania dynamicznego ma tę własność, że optymalne rozwiazanie dla k-tego etapu jest jednocześnie rozwiazaniem optymalnym dla etapów k + 1, k + 2,..., N. Tak więc optymalne rozwiazanie dla etapu pierwszego stanowi optymalne rozwiazanie dla całego problemu. W zwiazku z zasada optymalności Bellmana problem z zakresu programowania dynamicznego rozwiazuje się rozpoczynajac od poszukiwania rozwiazania dla ostatniego etapu (N), a następnie cofajac się poszukuje się rozwiazania dla etapu N 1. Uzyskane w ten sposób rozwiazanie dla etapów N 1 oraz N jest optymalne bez względu na to, w jaki sposób osiagnięto etap N 1. Powtarzajac w powyższy sposób etap po etapie dochodzimy do rozwiazania optymalnego dla pierwszego etapu, a więc i dla całego problemu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 3 / 25

4 Problem dyliżansu Nazwa zagadnienia pochodzi od pewnego kupca amerykańskiego, który transportował towary ze Wschodniego Wybrzeża USA na Wybrzeże Zachodnie, używajac w tym celu różnych połaczeń realizowanych za pomoca dyliżansu. Chodziło o dobór takich połaczeń, aby transport odbywał się w miarę bezpiecznie, a miara bezpieczeństwa na danej linii były stawki pobierane przez towarzystwo ubezpieczeniowe. Rozwiazanie problemu wymagało podzielenia całej trasy na etapy, a w każdym z etapów określenia miast etapowych oraz wszystkich możliwych połaczeń pomiędzy nimi. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 4 / 25

5 Problem dyliżansu Definicja Firma transportowa EuroLine, ustalajac nowe trasy przejazdu swych ciężarówek z Polski do Francji, podzieliła cała trasę na pięć etapów. W każdym z etapów wyznaczono po kilka miast, przez które przejeżdżać będa ciężarówki. Problem polega na znalezieniu najkrótszej drogi przejazdu pomiędzy Polska a Francja. Odległości drogowe pomiędzy wybranymi miastami (w km) sa pniżyszmy grafie: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 5 / 25

6 Krok 1 Załóżmy, że ciężarówki dotarły do etapu 4. W tej sytuacji odległość od celu wynosi: d(7, 9) = 120 km lub d(8, 9) = 130 km, w zależności od tego, w którym z miast w etapie 4 zatrzymano się na postój. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 6 / 25

7 Krok 2 Cofnijmy się o jeden etap. Odległość miast od celu w etapie 3 wynosi: d(4, 7) + d(7, 9) = = 320, d(4, 8) + d(8, 9) = = 380. Zatem z miasta 4 do 9 należy wybrać drogę o długości d(4, 7, 9) = 320. Następnie: d(5, 7) + d(7, 9) = = 320, d(5, 8) + d(8, 9) = = 310. Zatem z miasta 5 do 9 należy wybrać drogę o długości d(5, 8, 9) = 310. W końcu: d(6, 7) + d(7, 9) = = 270, d(6, 8) + d(8, 9) = = 240. Zatem z miasta 6 do 9 należy wybrać drogę o długości d(6, 8, 9) = 240. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 7 / 25

8 Krok 3 Powtórzamy całe postępowanie biorac za punkt wyjścia etap 2: d(2, 4) + d(4, 9) = = 470, d(2, 5) + d(5, 9) = = 390, d(2, 6) + d(6, 9) = = 360, Zatem z miasta 2 do 9 należy wybrać drogę: o długości 360 km. Podobnie d(3, 4) + d(4, 9) = = 470, d(3, 5) + d(4, 9) = = 440, d(3, 6) + d(4, 9) = = 430, Zatem z miasta 3 do 9 należy wybrać drogę: o długości 430 km Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 8 / 25

9 Krok 4 Dotarliśmy do etapu startowego, w którym rozpatrujemy sposób dotarcia do celu z miasta 1 przez miasta 2 lub 3: d(1, 2) + d(2, 9) = = 460, d(1, 3) + d(3, 9) = = 510, Zatem z miasta 1 do 9 należy wybrać drogę: o długości 460 km. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 14 9 / 25

10 Przykład zagadnienia alokacji inwestycji Przedsiębiorca Jan Nowak, posiadajacy kredyt inwestycyjny w wysokości 6 mln złotych oraz halę produkcyjna w Częstochowie, postanowił zainstalować nowoczesne linie piekarnicze: francuska (F), szwedzka (S), oraz polska (P). Dobowe zdolności produkcyjne pieczywa (w tonach) w zależności od wysokości nakładów inwestycyjnych przeznaczonych na zainstalowanie linii produkcyjnej danego typu, przedstawiono w poniższej tabeli: Nakłady (w mln zł) Zdolności F Produkcyjne S (w tyśacach) P Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

11 Przykład zagadnienia alokacji inwestycji Analiza rynku wykazała, że każda z linii produkcyjnych, pozwala uzyskiwać jednakowe zyski w przeliczeniu na 1t pieczywa. Jan Nowak musi więc w tym przypadku podjać decyzję dotyczac a podziału kredytu pomiędzy poszczególne programy inwestycyjne, tak aby piekarnia osiagnęła maksymalna, dobowa zdolność produkcyjna. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

12 Rozwiazanie - Krok 1 Załóżmy, że jedynym możliwym rozwiazaniem jest zakupienie polskiej linii produkcyjnej i zadajmy sobie pytanie dotyczace uzyskanej w ten sposób dobowej zdolności produkcyjnej w zależności od zainwestowanej kwoty. Nakłady (w mln zł) Zdolności F Produkcyjne S (w tyśacach) P W tym przypadku, jedynym sensownym rozwiazaniem jest zainwestowanie 6 mln zł w polska linię produkcyjna w celu osiagnięcia zdolności produkcyjnej 16t pieczywa na dobę. Rezultat ten zapiszemy następujaco:p(6) = 16, Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

13 Krok 2 Załóżmy, że dostępne sa dwa typy linii produkcyjnych P oraz S. Zadajmy następujace pytanie: jak należy podzielić kredyt inwestycyjny pomiędzy te dwa programy, aby uzyskać maksymalna dobowa zdolność produkcyjna? Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

14 Krok 2 Załóżmy, że dostępne sa dwa typy linii produkcyjnych P oraz S. Zadajmy następujace pytanie: jak należy podzielić kredyt inwestycyjny pomiędzy te dwa programy, aby uzyskać maksymalna dobowa zdolność produkcyjna? W tym przypadku możliwe jest siedem wariantów podziału 6 mln kredytu, które daja następujace dobowe zdolności produkcyjne: P(6) + S(0) = = 16, P(5) + S(1) = = 20, P(4) + S(2) = = 23, P(3) + S(3) = = 26, P(2) + S(4) = = 29, P(1) + S(5) = = 21, P(0) + S(6) = = 18. Zatem należy zainwestować 2 mln zł w polska linię o raz 4 mln zł w szwedzka linię, osiagaj ac w ten sposób 29t pieczywa na dobę, tzn. P(2) + S(4) = 29. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

15 Krok 3 Znajdźmy optymalny podział kredytu pomiędzy linię P oraz S przy malejacej kwocie nakładów inwestycyjnych: 5 min na linie P oraz S P(5) + S(O) = = 15, P(4) + S(1) = = 20, P(3) + S(2) = = 23, P(2) + S(3) = = 26, P(1) + S(4) = = 18, P(0) + S(5) = = 17. W przypadku dysponowania kwota 5 min zł na linię P oraz S należy zainwestować 2 mln zł w linię P oraz 3 mln zł w linię S, osiagaj ac 26t pieczywa dobę, tzn. P(2) + S(3) = 26. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

16 Krok 3 - cd Znajdźmy optymalny podział kredytu pomiędzy linię P oraz S przy malejacej kwocie nakładów inwestycyjnych: 4 mln zł na linie P oraz S P(4) + S(0) = = 15, P(3) + S(1) = = 20, P(2) + S(2) = = 23, P(1) + S(3) = = 15, P(0) + S(4) = = 14. W przypadku dysponowania kwota 4 mln zł należy zainwestować po 2 mln zł w linię P oraz S: P(2) + S(2) = 23. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

17 Krok 3 - cd Znajdźmy optymalny podział kredytu pomiędzy linię P oraz S przy malejacej kwocie nakładów inwestycyjnych: 3 mln zł na linie P oraz S P(3) + S(0) = = 15, P(2) + S(1) = = 20, P(1) + S(2) = = 12, P(0) + S(3) = = 11. W przypadku dysponowania kwota 3 mln zł należy zainwestować 2 mln zł w linię P oraz 1 mln w linię S: P(2) + S(1) = mln zł na linie P oraz S P(2) + S(0) = = 15, P(1) + S(1) = = 9, P(0) + S(2) = = 8. W przypadku dysponowania kwota 2 mln zł należy zainwestować 2 mln zł w linię P oraz 0 mln w linię S: P(2) + S(1) = 20. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

18 Krok 3 - cd Znajdźmy optymalny podział kredytu pomiędzy linię P oraz S przy malejacej kwocie nakładów inwestycyjnych: 1 mln zł na linie P oraz S P(1) + S(0) = = 4, P(0) + S(1) = = 5. W tym przypadku należy zainwestować 1 mln zł w linię szwedzka (S): P(0) + S(1) = 5. Zatem, w kroku 3 określiliśmy optymalne kombinacje nakładów na linie P oraz S. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

19 Krok 4 W kroku 4 wystarczy rozpatrzyć wszystkie kombinacje podziału 6 mln zł kredytu pomiędzy linię F oraz linie P + S. Zdolności produkcyjne w zależności od nakładów kredytowych przedstawiono w poniższej tabeli: Nakłady (w mln zł) Zdolności F Produkcyjne S+P Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

20 Krok 4 Możliwych jest 7 wariantów podziału 6 mln kredytu pomiędzy linie F oraz linie P+S, dajacych następujace zdolności produkcyjne: F(6) + (P + S)(0) = = 20, F(5) + (P + S)(1) = = 20, F(4) + (P + S)(2) = = 27, F(3) + (P + S)(3) = = 32, F(2) + (P + S)(4) = = 35, F(1) + (P + S)(5) = = 32, F(0) + (P + S)(6) = = 29. Zatem maksymalna zdolność produkcyjna piekarni można uzyskać inwestujac 2 mln zł w linię francuska (F) oraz 4 mln zł w linię P i S. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

21 Krok 5 Aby uzyskać rozwiazanie ostateczne, wystarczy odszukać w kroku 3 optymalny sposób podziału tych 4 mln zł pomiędzy linię P oraz S. Zatem otrzymujemy następujace rozwiazanie: 2 mln zł na linię F, 2 mln zł na linię P oraz 2 mln ma linię S, co zapewnia 35t pieczywa na dobę: F(2)+P(2)+S(2)=35. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

22 Hodowla owiec Hodowca owiec na poczatku roku ma stado liczace 100 sztuk. Musi on podjać decyzję jaka część stada sprzedać, a jaka zachować do dalszej hodowli, jeśli chce maksymalizować zysk w ciagu trzech lat. Założono, że: 1 sprzedaż następuje zawsze na poczatku roku, 2 pod koniec roku stado powiększa się o 50%, 3 na poczatku czwartego roku hodowla jest likwidowana. Dane dotyczace cen sprzedaży oraz roczny koszt utrzymania jednej sztuki sa następujace: Lata cena sprzedaży w jp roczny koszt utrzymania w jp Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

23 Hodowla Owiec - rozwiazanie Przyjmijmy oznaczenia: y i - liczba sprzedanych owiec w i - tym roku, s i - wielkość stada na poczatku i - tego roku, f i (y i, s i ) - zysk hodowcy w i - tym roku przy sprzedaży y i i stanie poczatkowym stada s i, dla i = 1, 2, 3, 4. Całkowity zysk wynosi więc: f 1 (y 1, s 1 ) + f 2 (y 2, s 2 ) + f 3 (y 3, s 3 ) + f 4 (y 4, s 4 ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

24 Hodowla Owiec - rozwiazanie ROK 1. Hodowca posiada stado o liczności s 1 = 100 sztuk oraz sprzedaje y 1 sztuk. Do hodowli pozostaje więc x 1 = 100 y 1 sztuk. Zysk hodowcy wynosi f 1 (y 1, 100) = 56y 1 20(100 y 1 ) = 76y ROK 2. Na poczatku 2 roku stado liczy s 2 = 1, 5(100 y 1 ) sztuk. Hodowca sprzedaje y 2 sztuk, do hodowli pozostaje x 2 = s 2 y 2 sztuk. Zysk hodowcy wynosi: f 2 (y 2, s 2 ) = 55y 2 21(s 2 y 2 ) = 76y 2 21s 2. ROK 3. Na poczatku roku trzeciego stado liczy s 3 = 1, 5(s 2 y 2 ) sztuk. Hodowca sprzedaje y 3 sztuk, do hodowli pozostaje x 3 = s 3 y 3 sztuk. Zysk hodowcy wynosi: f 3(y 3, s 3 ) = 56y 3 22(s 3 y 3 ) = 78y 3 22s 3. ROK 4. Na poczatku roku czwartego stado liczy s 4 = 1, 5(s 3 y 3 ) i zostaje w całości sprzedane. Zysk wynosi zatem f 4 (s 4, s 4 ) = 58s 4. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

25 Hodowla Owiec - rozwiazanie Obliczenia wykonujemy korzystajac z rownań Bellmana Krok 1. Rok czwarty: g 4 (s 4 ) = 58s 4 Krok 2. Rok trzeci. g 3 (s 3 ) = max 0 y3 s 3 {f 3 (y 3, s 3 ) + g 4 (s 4 )} = max 0 y3 s 3 {78y 3 22s s 4 } = max 0 y3 s 3 {78y 3 22s (1, 5(s 3 y 3 ))} = max 0 y3 s 3 {78y 3 22s s 3 87y 3 } = max 0 y3 s 3 { 9y s 3 } = 65s 3 dla y 3 = 0 Krok 3. Rok drugi. g 2 (s 2 ) = max 0 y2 s 2 {f 2 (y 2, s 2 ) + g 3 (s 3 )} = max 0 y2 s 2 {76y 2 21s s 3 } = max 0 y2 s 2 {76y 2 21s (1, 5(s 2 y 2 ))} = max 0 y2 s 2 { 21, 5y , 521s 2 } = 76, 5s 2 dla y 2 = 0 Krok 4. Rok pierwszy. g 2 (s 2 ) = max 0 y1 s 1 {f 1 (y 1, s 1 ) + g 2 (s 2 )} = max 0 y1 s 1 {76y , 5(1, 5(100 y 1 ))} = max 0 y1 s 1 { 44, 75y } = 9475 y 1 = 0 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

26 Hodowla Owiec - rozwiazanie Hodowca nie powinien sprzedawać owiec w roku pierwszym, drugim, trzecim. Wszystkie owce powinny być sprzedane na poczatku roku czwartego, co przyniesie największy możliwy zysk 9475 jp. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład / 25

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.SIK306 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Optymalizacja. Algorytmy dokładne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Badania operacyjne

Opis przedmiotu: Badania operacyjne Opis : Badania operacyjne Kod Nazwa Wersja TR.SIK306 Badania operacyjne 2013/14 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK405 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/2016 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy

Bardziej szczegółowo

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż.

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż. Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych Badania operacyjne Dr inż. Artur KIERZKOWSKI Wprowadzenie Badania operacyjne związana jest ściśle z teorią podejmowania

Bardziej szczegółowo

etody programowania całkowitoliczboweg

etody programowania całkowitoliczboweg etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

Problem zarządzania produkcją i zapasami

Problem zarządzania produkcją i zapasami Problem zarządzania produkcją i zapasami Wykorzystamy zasadę optymalności Bellmana do poradzenia sobie z zarządzaniem zapasami i produkcją w określonym czasie z punktu widzenia istniejącego i mogącego

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych.

Algorytmy i struktury danych. Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności

Bardziej szczegółowo

Modelowanie całkowitoliczbowe

Modelowanie całkowitoliczbowe 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.

Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem. Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I, Kierunek Oceanotechnika, Spec. Okrętowe Podstawy teorii optymalizacji Wykład 1 M. H. Ghaemi Marzec 2016 Podstawy teorii

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne cz. 2

Programowanie dynamiczne cz. 2 Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9 Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych

Bardziej szczegółowo

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH

MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH ZADANIE. Mamy trzech konsumentów, którzy zastanawiają się nad nabyciem trzech rożnych programów komputerowych. Właściwości popytu konsumentów przedstawiono w następującej tabeli:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład: Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. X Jesień 2013 1 / 21 Dziel i zwyciężaj przypomnienie 1 Podział problemu na 2 lub

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki

Wstęp do Informatyki Wstęp do Informatyki dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. AJD bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 8 1 / 32 Instrukcje iteracyjne

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)

PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:

Bardziej szczegółowo

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska 159 e-mail: mieczyslaw_polonski@sggw.pl Poszukiwanie optymalnego wyrównania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE

PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE OPTYMALNA STRUKTURA PRODUKCJI Na podstawie: J. Wermut, Rachunkowość zarządcza, ODDK, Gdańsk 2013 1 DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE Decyzje krótkookresowe to takie, które dotyczą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 29 MARCA 2014 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 ZADANIE 1 (1 PKT) Na diagramie przedstawiono wyniki pracy klasowej z matematyki

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Ekonomia menedżerska. Wprowadzenie

Ekonomia menedżerska. Wprowadzenie Ekonomia menedżerska Wprowadzenie Informacje wstępne Wygląd / przebieg zajęć: Konwersatorium: Wprowadzenie wymagana znajomość zadanego materiału 1-3 zadania Zadanie do domu Zaliczenie: Kolokwium na koniec

Bardziej szczegółowo

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik dr hab. Maciej Nowak, prof. UE Wybór portfela projektów z wykorzystaniem wielokryterialnego programowania dynamicznego Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych 19-06-2017

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2

LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2 Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl OBLICZENIA EWOLUCYJNE LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2 opracował:

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

BIZNES PLAN W PRAKTYCE

BIZNES PLAN W PRAKTYCE BIZNES PLAN W PRAKTYCE Biznes Plan Biznes Plan jest to dokument, dzięki któremu możemy sprzedać naszą fascynację prowadzoną działalnością oraz nadzieje, jakie ona rokuje, potencjalnym źródłom wsparcia

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA

Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA Zadanie 1. Konsument żyje przez 4 okresy. W pierwszym i drugim okresie jego dochód jest równy 100; w trzecim rośnie do 300, a w czwartym spada do zera.

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne

Sterowanie optymalne Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE W metodach CPM i PERT zwraca się uwagę jedynie na analizę ilościowa Równie ważne zagadnienie aspekt ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Strategie wspó³zawodnictwa

Strategie wspó³zawodnictwa Strategie wspó³zawodnictwa W MESE można opracować trzy podstawowe strategie: 1) niskich cen (dużej ilości), 2) wysokich cen, 3) średnich cen. STRATEGIA NISKICH CEN (DUŻEJ ILOŚCI) Strategia ta wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8

Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8 Definicje Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8 krótki i długi okres stałe i zmienne czynniki produkcyjne produkt krzywa produktu całkowitego produkt krańcowy prawo malejącego produktu krańcowego

Bardziej szczegółowo

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.

Bardziej szczegółowo

Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach

Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Adam Stawowy Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Summary: We present a meta-heuristic to combine Monte Carlo simulation with genetic algorithm for Capital

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ.

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. Wykład 1 Wprowadzenie do ekonomii menedżerskiej 1 WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI NA PODSTAWIE ANALIZY MARGINALNEJ. 1. EKONOMIA MENEDŻERSKA ekonomia menedżerska

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe

Bardziej szczegółowo